沪科版八年级上 16.2 线段的垂直平分线(1)(含答案)-

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人教版2021年八年级数学上册课时作业本轴对称与等腰三角形-线段的垂直平分线(含答案)

人教版2021年八年级数学上册课时作业本轴对称与等腰三角形-线段的垂直平分线一、选择题1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为( )A．8 B．11 C．16 D．172.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A.①②B.①③C.②③D.③④3.如图，已知线段AB，分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点C和点D，作直线CD，在CD上取两点P、M，连接PA、PB、MA、MB，则下列结论一定正确的是( ）A.PA=MAB.MA=PEC.PE=BED.PA=PB4.如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形5.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（）A.10°B.15°C.40°D.50°6.如图所示，在△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和点E，则△BCD 的周长是（）A.6B.8C.10D.无法确定7.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图：②分别以B，C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为（）A.90°B.95°C.100°D.105°8.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点9.如图,△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AE=3cm,△ADC的周长为9cm,则△ABC 的周长是（）A.10cmB.12cmC.15cmD.17cm10.△ABC中，AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP、△ACP、△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )A.1个B.4个C.6个D.8个二、填空题11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC点D，AD平分∠BAC，则∠B度数为.12.如图，△ABC中，AB+AC=8cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为．13.如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为．14.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.如果已知CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为.15.如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=8，AC=3，则△ACD的周长为．16.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C 沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．三、作图题17.在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方的指挥部P设在S区．到公路a与公路b的距离相（不等，并且到水井M与小树N的距离也相等，请你帮助侦查员在图上标出蓝方指挥部P的位置．写作法，保留作图痕迹）四、解答题18.在ΔABC中，AB>BC,AB=AC,DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E.（1）若∠ABE=38°，求∠EBC的度数；（2）若ΔABC的周长为36cm，一边为13cm，求ΔBCE的周长.19.如图，已知△ABC，AB=AC，AD是△ABC角平分线，EF垂直平分AC，分别交AC，AD，AB于点E，O，F.若∠CAD=20°，求∠OCD的度数.20.如图，在△ABC中，°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．求∠FAC的大小．21.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.（1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.22.如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证： MN⊥BD.参考答案1.答案为：B.2.答案为：B3.答案为：D.4.A5.A6.C7.D8.D.9.C10.答案为：C；解析：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的P点，②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；③作BC的垂直平分线，以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的P点；④在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌△ABC，这点也是符合要求的P点；⑤同理在△ABC的右边作一个△APC，使△APC≌△ACB，这点也是符合要求的P点.所以共有6个符合条件的点P.11.答案为：30°12.答案为：8cm．13.答案为：28cm．14.答案为：105°；15.答案为：11．16.答案为：100°17.解：如图所示，①作公路a与公路b的交角AOB的平分线OC，②连接MN，作线段MN的中垂直平分线EF，EF和OC的交点P就是所求的点．18.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=38°∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=71°∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=71°-38°=33°由ΔABC的周长为36cm AB>BC AB=AC可知AB=AC=13cm BC=10cmΔBCE的周长=BE+CE+BC=AC+BC=13+10=23(cm)19.50°20.解：∵EF垂直平分AD ∴FA=FD ∴∠ADF=∠DAF又∵∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠FAC+∠DAC,∠BAD=∠DAC ∴∠FAC=∠B=45°21.解：(1) 50(2) ①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm.22.证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴2DM=EC，2BM=EC，∴DM=BM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．。

八年级上册数学人教版课时练《线段的垂直平分线的性质》试题试卷含答案解析(1)

《13．1．2线段的垂直平分线的性质》课时练1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（）A．6B．5C．4D．32．在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点3．如图所示，已知AO＝OC，AC⊥BD，AD＝10cm，BC＝4cm，则四边形ABCD的周长为（）A．30cm B．16cm C．28cm D．以上都不对4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A．7B．14C．17D．205．如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB，则下列结论中正确的是（）A．AO=BOB．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线D．P点在AB的垂直平分线上6．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．7．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，DE为AB的垂直平分线．若△ACD的周长为50cm，则线段AC 与BC的长度和为．8．在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为50°，则∠A的度数为．9．如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P 到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）10．△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点P．求证：点P在BC的垂直平分线上．11．如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD＝∠ACD．12．如图，已知，AB＝AD，CB＝CD，那么直线AC是线段BD的，你能写出证明过程吗？13．如图，AD⊥BC，BD=CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB=3cm，BD=2cm，求BE的长．14．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．15．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G．求证：（1）BF=CG；（2）AF=12（AB+AC）．参考答案1—5．BDCCD6．87．50cm8．40°或140°9．略10．证明：边AB、AC的垂直平分线交于点P．∴PA＝PB，PA＝PC，∴PB＝PC．∴点P在BC的垂直平分线上．11．证明：∵AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，DB＝DC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD．12．垂直平分线∵AB＝AD，∴点A在BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在BD的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AC是BD的垂直平分线．13．∵AD⊥BC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴CA=CE，∴CE=AB=3cm，∴BE=2BD+CE=7cm．14．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴D在线段EF的垂直平分线上．∵在R t△ADE和R t△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴R t△ADE≌R t△ADF，∴AE=AF，∴A点在EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF．15．（1）连接BE，CE．∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∵AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG，在R t△EBF和R t△ECG中，BE=CE，EF=EG，∴R t△EBF≌R t△ECG（HL），∴BF=CG．（2）易证：R t△AEF≌R t△AEG，∴AF=AG，∵AB=AF-BF，AC=AG+CG，BF=CG，∴AB+AC=AF+AG=2AF，∴AF=12（AB+AC）．。

沪教版(上海)八年级上学期图形几何卷

沪教版（上海）八年级上学期图形几何卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（） A ．一个命题一定有逆命题 B ．一个定理一定有逆定理 C ．真命题的逆命题一定是真命题D ．假命题的逆命题一定是假命题2．如果三角形三条垂直平分线的交点刚好在三角形的一边上，那么这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的（） A ．两角和一边B ．两边及夹角C ．三个角D ．三条边4．如果Rt △的两直角边长分别为n 2-1，2n(n >1)，那么它的斜边长是( ) A ．2nB ．n+1C ．n 2-1D ．n 2+15．已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果22(5)|12|261690a b c c -+-+-+=，则△ABC是（）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形6．已知点()A -、(B ，那么ABO ∆是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形二、填空题7．命题“互余的角不相等”的逆命题是_____.8．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，那么A ∠=______，B ∠=_____. 9．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若3a =，4b =，则c =_____. 10．已知()1,4A ，()3,4B -，则线段AB 的长度是______.11．在ABC ∆中，20cm AB AC ==，腰AB 的中垂线交AC 于点D ，BCD ∆周长为30cm ，则BC =_____cm.12．以线段AB 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是____________________________． 13．如图所示，已知AB AC =，44A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则DBC ∠=_____︒.14．在ABC ∆中，AB AC =，15B ∠=︒，10AB =，则ABC ∆的面积是_____. 15．已知点A 的坐标为()3,5，点B 在x 轴上，且13AB =，那么点B 的坐标为_____.16．在ABC ∆中，60A ∠=︒，16AC =，ABC S ∆=AB =_____.17．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13，则A 、B 、C 、D 的面积和是_____.18．已知：在ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分CBA ∠，且交AC 于点D ，1BC =，那么AD =____.三、解答题19．如图，已知BD CD =，B C ∠=∠．求证：AB AC =．20．如图所示，一根长度为50cm 的木棒的两端系着一根长度为70cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？21．已知，如图所示，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，11AB =，BC =12CD =，5AD =，求四边形ABCD 的面积.22．已知：如图所示，AD BC ∥，AC BC ⊥，E 、F 分别为AB 、CD 的中点.（1）求证：12AF CD =；（2）若AB CD =，求证：B D ∠=∠.23．已知：如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为点E ，BF AC 交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF .24．已知点()2,3A 、()4,5B ，在x 轴上是否存在点P 使PA PB +的值最小，若存在，请求出PA PB +的最小值；若不存在，请说明理由.25．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，点D 是斜边AB 的中点，作DE AB ⊥，交直线AC 于点E .（1）若30A ∠=︒，求线段CE 的长；（2）当点E 在线段AC 上时，设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若1CE =，求BC 的长.参考答案1．A【分析】命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．【详解】解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．2．A【分析】根据三种三角形线段垂直平分线上的交点的位置解答即可．【详解】解：∵锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边上，∴该三角形是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记三种三角形线段垂直平分线的交点的位置是解题的关键．3．C【解析】判定两三角形全等，就必须有边的参与，因此C选项是错误的．A选项，运用的是全等三角形判定定理中的AAS或ASA，因此结论正确；B选项，运用的是全等三角形判定定理中的SAS，因此结论正确；D 选项，运用的是全等三角形判定定理中的SSS ，因此结论正确；故选C ． 4．D 【解析】试题分析：根据勾股定理直接解答即可．两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：故选D.考点：本题考查的是勾股定理点评：解决本题的关键是正确对（n 2-1）2+（2n ）2进行分解因式． 5．C 【分析】根据绝对值和偶数次幂的非负性，即可求出a ，b ，c 的值，进而判断△ABC 的形状. 【详解】∵22(5)|12|261690a b c c -+-+-+=， ∴22(5)|12|(-13)0a b c -+-+=，又∵22(5)|12|0,0(-1)0,3a b c --≥≥≥，∴22(5)|12|0,0(-1)0,3a b c --===，即a =5，b =12，c =13， ∵222+=a b c ，∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形，故选C. 【点睛】本题主要考查绝对值和偶数次幂的非负性以及勾股定理的逆定理，根据条件求出三角形各边长，是解题的关键. 6．D 【分析】根据点的坐标，分别计算OA 、OB 、AB 的长度，可得OB=AB ，利用勾股定理的逆定理可判定三角形为直角三角形，于是可判断ABO ∆是等腰直角三角形. 【详解】解：∵()A -，(B ，∴OA ==，2OB ==，2AB ==，∴222OB AB OA +=， ∴ABO ∆是等腰直角三角形，故选：D. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义，坐标与图形．判断三角形是否为直角三角形，先求出三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 7．不相等的角互余【分析】先写出原命题的条件和结论，然后按照原命题的条件即为它的逆命题的结论，原命题的结论即为它的逆命题的条件即可写出原命题的逆命题. 【详解】解：“互余的角不相等”的条件是互余的角，结论是不相等，故逆命题是:不相等的角互余. 故答案为：不相等的角互余. 【点睛】此题考查了命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 8．60︒ 30 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，再结合30A B ∠-∠=︒即可求出∠A 和∠B. 【详解】由题意可得∠A+∠B=90°，∠A-∠B=30°，解得∠A=60°，∠B=30°.【点睛】此题主要考查了直角三角形两锐角互余．熟记直角三角形两锐角互余是解决此题关键. 9．5【分析】直接利用勾股定理可求得斜边c的长【详解】解：5c==.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．10．4【分析】由A、B点的坐标可知它们的纵坐标相同，所以线段AB的长度就是这两点横坐标差的绝对值.【详解】解：∵A(1,4)，B(-3,4)，∴线段AB的长为|1-(-3)|=|1+3|=|4|=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，观察出点A、B的纵坐标相同是解题的关键．11．10【分析】∆周长为30cm可求得根据中垂线（即线段垂直平分线）的性质可得AD=BD，结合BCDAC+BC=30cm，由此可求BC的长度.【详解】解：如图所示：∵腰AB的中垂线交AC于点D，∴AD=BD.周长为30cm，∵BCD∴BD+CD+BC=30,即AD+CD+BC=30,∴AC+BC=30.∵AC=20cm,∴BC=10cm.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等求出AD=BD是解决此题的关键．12．线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．【分析】满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）．【详解】∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．故答案为：线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．【点睛】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质、等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记线段AB的垂直平分线的定义．13．24【分析】先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的点到线段两端距离相等可得AD=BD ，结合等腰三角形等边对等角可求得∠ABD ，由此可求∠DBC 的度数. 【详解】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝44°， ∴∠ABC ＝12（180°﹣∠A ）＝12×（180°﹣44°）＝68°， ∵MN 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝44°，∴∠DBC ＝∠ABC ﹣∠ABD ＝68°﹣44°＝24°．故答案为：24°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.熟记垂直平分线上的点到线段两端距离相等和等腰三角形等边对等角是解决此题的关键. 14．25 【分析】先根据题意画出ABC ∆，作出它的高线CD ，根据三角形的外角性质可求得∠CAD=30°，由直角三角形30°角所对边是斜边的一半可求得CD 的长度，由此可求△ABC 的面积. 【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥交BA 的延长线于点D ，∵AB AC =，∴15B ACB ∠=∠=︒，∴1530CAD B ACB ∠=∠+∠=︒+15︒=︒，∴1110522CD AC ==⨯=， ∴ABC ∆的面积111052522AB CD =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查含30°角直角三角形，三角形外角性质，等腰三角形的性质.熟记这些性质并能灵活运用是解题的关键，作出图形更形象直观．15．()9,0-或()15,0【分析】设点B 的横坐标为t 13=，从而可以求出t 的值.【详解】解：设点B 的横坐标为t ，13=，即2(3)12t -=.所以3-t=12或3-t=-12．∴t=-9或t=15.故答案为()9,0-或()15,0.【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则这两点间的距离为AB16．55【分析】根据题意，过点B 作BD AC ⊥，根据三角形的面积可求得BD 的长度，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和勾股定理即可求出AB 的长度.【详解】解:过点B 作BD AC ⊥.∵ABC S ∆=16AC =，∴12AC BD ⨯⨯=，∴BD =在Rt ABD ∆中，60A ∠=︒，∴30ABD ∠=︒， ∴12AD AB =. ∵222AD BD AB +=，∴22212AB AB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得55AB =.【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质和利用勾股定理解直角三角形.能根据题意构造图形是解决此题的关键.17．169【分析】能够发现正方形A ，B ，C ，D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A ，B ，C ，D 的面积和即是最大正方形的面积．【详解】解：如图：根据勾股定理得到：C 与D 的面积的和是P 的面积；A 与B 的面积的和是Q 的面积；而P ，Q 的面积的和是M 的面积．即A 、B 、C 、D 的面积之和为M 的面积．∵M 的面积是132=169，∴A 、B 、C 、D 的面积之和为169m 2．故答案为：169m 2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键.18【分析】依据题意画出图形，根据直角三角形两锐角互余和三角形的角平分线可求得30A ABD CBD ∠=∠=∠=︒，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和勾股定理求得BD 的长度，然后根据等腰三角形等角对等边即可求出AD.【详解】解：如图所示，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴903060ABC ∠=︒-︒=︒.∵BD 平分ABC ∠，∴30ABD CBD ∠=∠=︒.又∵30A ABD ∠=∠=︒，∴BD AD =，60BDC ∠=︒，在Rt BCD ∆中，12CD BD =， ∴222CD BC BD +=，即222112BD BD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得3BD =，∴AD =. 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的角平分线，直角三角形两锐角互余．能根据题意构造图形且熟练掌握相关定理，能根据定理进行分析是解决此题的关键.19．详见解析【分析】先连接BC ，根据等腰三角形的现在，即可解答．【详解】连接BC ，∵BD CD =，∴△DBC 为等腰三角形，∴DBC DCB ∠=∠．∵ABD ACD ∠=∠，∴ABC ACD ∠=∠．∴AB AC =．【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，解题关键在于需要熟练掌握判定定理．20．这个点将绳子分成的两段分别是30cm 、40cm 或370cm 7、120cm 7. 【分析】设cm AC x =，则()70cm BC x =-，分以AB 为斜边，AC 为斜边，BC 为斜边三种情况讨论，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x 的值.【详解】如图所示：设cm AC x =，则()70cm BC x =-，若AB 为斜边，则()2225070x x =+-，解得：130x =，240x = 若AC 为斜边，则()2225070x x +-=，解得：3707x = 若BC 为斜边，则()2225070x x +=-，解得：1207x = 综上所述，这个点将绳子分成的两段分别是30cm 、40cm 或370cm 7、120cm 7. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．21．30ABCD S =+四边形【分析】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出∠ADC=90°，然后根据四边形ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ACD 的面积，列式进行计算即可得解．【详解】解：连接AC ，∵90ABC ∠=︒，11AB =，BC=∴由勾股定理可得：13AC ==在ADC ∆中，5AD =，12CD =，13AC =根据勾股定理的逆定理可得：90ADC ∠=︒∴111151211302222ABCD S AD DC AB BC =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+四边形【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线将一般的四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质可证90BCA DAC ∠=∠=︒，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；（2）根据HL 定理证明Rt ACD Rt CAB ∆∆≌即可证明B D ∠=∠.【详解】（1）证明：∵AD BC ∥，AC BC ⊥∴90BCA DAC ∠=∠=︒∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点∴AF 为Rt ACD ∆斜边上的中线 ∴12AF CD = （2）证明：∵AD BC ∥，AC BC ⊥∴90BCA DAC ∠=∠=︒在Rt ACD ∆和Rt CAB ∆中CD AB AC CA =⎧⎨=⎩∴()Rt ACD Rt CAB HL ∆∆≌∴B D ∠=∠【点睛】本题考查直接三角形斜边上的中线，平行线的性质定理，全等三角形的判定和性质.（1）中掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键；（2）中掌握证明直角三角形全等的HL 定理是解题关键.23．见解析.【分析】先证明ACD CBF ∆∆≌推出CD=BF ，再结合D 是BC 的中点证明△BDF 为等腰三角形，然后证明∠CBA=∠FBA ，根据等腰三角形三线合一即可得出结论.【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE AD ⊥，∴90BCE ACE ∠+∠=︒，90ACE CAE ∠+∠=︒，∴BCE CAE ∠=∠，∵BF AC ，∴90ACD CBF ∠=∠=︒，∵AC CB =，∴()ASA ACD CBF ∆∆≌，∴CD BF =，∵D 是BC 的中点， ∴12CD BD BC ==∴BF BD =∴BFD ∆为等腰直角三角形∵90ACB ∠=︒，CA CB =∴45ABC ∠=︒∵90FBD ∠=︒∴45ABF ∠=︒∴ABC ABF ∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线∴BA 是FD 边上的高线，BA 又是边FD 的中线∴AB 垂直平分DF【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质定理，等腰三角形的性质和判定.本题中能证明ACD CBF ∆∆≌，并结合全等三角形的性质证明BFD ∆为等腰直角三角形是解决此题的关键.24．存在，PA PB +=【分析】作出A 点关于x 轴的对称点A′，连接A′B 交x 轴于P 即为所求，利用两点之间距离公式求出A B '即为PA PB +的最小值.【详解】解：存在，如图，作A 关于x 轴对称点()2,3A '-，联结A B '交x 轴于点P ，则有最小值，因为两点之间线段最短∴PA PB A B '+===【点睛】本题考查的是利用轴对称性质求最短路径问题，坐标与图形.熟练掌握轴对称的性质，找出P 点是解题的关键.25．（1）2CE =；（2）()230612x y x =-<≤；（3）满足条件的BC 的长为【分析】（1）连接BE ，点D 是AB 中点且DE ⊥AB ，BE=AE ，利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形即可求出线段CE 的长；（2）连接BE ，则AE=BE=6-y ，由勾股定理得BC 2+CE 2=BE 2，即x 2+y 2=（6-y ）2，整理即可得出y 关于x 的函数解析式()230612x y x =-<≤；（3）此题有两种情况：①是当点E 在线段AC 上时，由（2）得21312x =-，解得x 即可；②是当点E 在AC 延长线上时，AE=BE=7，由勾股定理得BC 2+CE 2=BE 2即x 2+12=72．解得x 即可．【详解】（1）如图，连接BE ，∵点D 是AB 中点且DE AB ⊥，∴BE AE =，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠A=60°，30ABE A ∠=∠=︒∴30CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒， ∴1122CE BE AE ==， ∵6AC =，AC=AE+CE,∴2CE =，（2）连接BE ，则6AE BE y ==-，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得222BC CE BE +=，即()2226x y y +=-，解得()230612x y x =-<≤ （3）①当点E 在线段AC 上时，由（2）得21312x =-，解得x =②当点E 在AC 延长线上时，7AE BE ==，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得222BC CE BE +=，即22217x +=. 解得43x （负值已舍）综上所述，满足条件的BC 的长为【点睛】此题主要考查勾股定理、线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形,二次函数的应用.（1）中熟练掌握线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键；（2）中能利用勾股定理建立x ，y 的等式是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键.。

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16-2线段的垂直平分线》同步达标训练(附答案)

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步达标训练（附答案）1．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L 与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24°B．30°C．32°D．36°2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．24．如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF 的周长为（）A．2B．4C．8D．不能确定5．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm6．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（）A．14cm B．18cm C．20cm D．22cm8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（）A．8°B．9°C．10°D．11°9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B ＝∠CAE．恒成立的结论有（）A．（1）（2）B．（2）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD＝45°，②AE＝EC，③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．①③④11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（）A．8cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则DE的长为（）A．B．C．D．13．如图地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点14．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC 边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为（）A．13B．14C．15D．1615．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB 与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△P AC：S△P AB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC 于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．17．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．18．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．19．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为．20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为．21．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝．22．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝．23．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．25．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF＝∠ACF．26．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．（1）若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式．参考答案1．解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°，即3∠ABP+60°+24°＝180°，解得∠ABP＝32°．故选：C．2．解：∵ED垂直平分AB，∴BE＝AE，∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，∴12+5+AE＝30，∴AE＝13，∴BE＝AE＝13，故选：D．3．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD＝AB：（BC+CE），又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴3：2.5＝5：（3+CE），从而得到CE＝．解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，∴x2＝42+（x﹣3）2，解得x＝，∴EC＝﹣3＝．故选：B．4．解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，∴EA＝EB，F A＝FC，则△AEF的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝8，故选：C．5．解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．6．解：连接OA、OB，∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝70°，∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝20°，故选：C．7．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴CE+BE＝AB＝8cm．∵BC＝6cm，∴△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AB＝6+8＝14（cm）．故选：A．8．解：连接OA，∵∠BAC＝82°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB＝OA，OC＝OA，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBC+∠OCB＝98°﹣（∠OBA+∠OCA）＝16°，∴∠OBC＝8°，故选：A．9．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED，F A＝FD，又∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF（SSS），∴∠AEF＝∠DEF，又∵AD⊥EF，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD，∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵FD与BE不一定互相垂直，∴∠FDE＝90°不成立；（4）由（1）（2）得：∠EAD＝∠EDA，∠F AD＝∠CAD，又∵∠EDA＝∠B+∠F AD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，∴∠B＝∠CAE．故选：C．10．解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，∴③正确；∵∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC，∴FD＝CD，∴∠FCD＝∠CFD＝45°，∴①正确；若AE＝EC，BE⊥AC，可得AB＝BC，与题意不符合，故②错误．若BF＝2EC，根据①得BF＝AC，∴AC＝2EC，即E为AC的中点，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，BA＝BC，∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，即△FDC周长等于AB的长，∴④正确．故选：D．11．解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故选：D．12．解：设CE＝x，连接AE．∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，解得x＝．在Rt△ABC中，AB＝＝5，∴BD＝AD＝，在Rt△BDE中，DE＝＝，故选：B．13．解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选：A．14．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．15．解：∵P A平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠P AB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠P AB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD，∵S△P AC：S△P AB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF，∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．故选：D．16．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案为：10．17．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠B＝40°，∠C＝45°，∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，∴∠BAD+∠CAE＝85°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，故答案为：10°18．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．19．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点F，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+x2＝（2﹣x）2，解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．故答案为：6﹣4．20．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，∴∠FCE＝24°，∴∠ABC＝48°，故答案为：48°21．解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BOC的平分线，∴DE＝DF，∵DP是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDC＝∠EDF，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∵∠BAC＝85°，∴∠BDC＝∠EDF＝95°，故答案为：95°．22．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF∴AC＝AF+CF＝BF+CF＝12+3＝15．23．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．24．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．25．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴F A＝FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠F AD＝∠FDA（等边对等角），∵∠BAF＝∠F AD+∠1，∠ACF＝∠FDA+∠2，∴∠BAF＝∠ACF．26．解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，∴3∠ABP＝120°﹣24°，∴∠ABP＝32°；（2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP＝n°，∵∠A＝60°，∠ACP＝m°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣m°，∴3∠ABP＝120°﹣m°，∴3n°+m°＝120°，故答案为：m+3n＝120．。

八年级数学下册第一章三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线(第2课时)课件

第三十五页，共四十七页。
【火眼金睛】在△ABC中,点D为BC上一点(yī diǎn),连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
第三十六页，共四十七页。
第三十七页，共四十七页。
正解:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
第二十六页，共四十七页。
上述(shàngshù)作法的四个步骤中,你认为有错误的一步是
( C)
A.①
B.②
C.③
D.④
第二十七页，共四十七页。
★2.如图所示,A,B是直线(zhíxiàn)l外两点,在l上求作一点P,使 PA+PB最小,其作法是 ( D )
A.连接BA并延长与l的交点为P B.连接AB,并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
角和即可推出结论.
第十五页，共四十七页。
【题组训练】
1.(2019·菏泽牡丹区期中(qī zhōnɡ))如图,有A,B,C三个居民小
区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市
到三个小区的距离相等,则超市应建在 (
)B
第十六页，共四十七页。
A.AC,BC两边高线的交点(jiāodiǎn)处 B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
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【新知预习】阅读教材(jiàocái)P24-25,解决以下问题
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置, 并测量各个交点到三角形顶点的距离.
第三页，共四十七页。
结论(jiélùn):①锐角三角形三边的垂直平分线交点在三__角__(s_ān_ji_ǎo) __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在_______ 斜边

八年级数学垂直平分线的性质(人教版)(含答案)

垂直平分线的性质(人教版)一、单选题(共12道，每道8分)1.下列命题中正确的命题有( )①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质2.下列说法：①P是线段AB上的一点，直线经过点P且⊥AB，则是线段AB的垂直平分线；②直线经过线段AB的中点，则是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线垂直于线段AB，则是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质3.如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连接AD，下列结论一定成立的是( )A.ED=CDB.∠DAC=∠BC. D.∠B+∠ADE=90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质4.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是( )A.AC=2ECB.∠B=∠CAEC.∠DEA=2∠BD.BC=3EC答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质6.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A.在AC，BC两边高线的交点处B.在AC，BC两边中线的交点处C.在AC，BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A，∠B两内角平分线的交点处答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质7.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，将△ABC对折，使A与B重合，折痕为DE，连接BD，若△BCD的周长为27cm，则BC的长为( )cm．A.10B.9C.7D.13答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称图形的性质8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，连接AE．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，交AB于点D，交AC于点E，连接CD，∠A=50°，则∠DCB的度数是( )A.15°B.30°C.50°D.65°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质10.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为( )A.7B.14C.17D.20答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质11.如图，锐角三角形ABC中，直线为BC的中垂线，直线为∠ABC的角平分线，与相交于P点，连接CP．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数是( )度A.24B.30C.32D.36答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质12.如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，连接EF，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③；④EF一定平行BC．其中正确的是( )A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质。

专题1.5 线段的垂直平分线-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.5 线段的垂直平分线-重难点题型【北师大版】【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段】【例1】（2021春•莱阳市期末）如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC 的延长线于点E，若BF＝6，CF＝2，则AC的长为．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AF＝BF＝6，结合图形计算即可．【解答】解：∵ED垂直平分AB，BF＝6，∴AF＝BF＝6，∵CF＝2，∴AC＝AF+CF＝6+2＝8，故答案为：8．【变式1-1】（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3B．6C．12D．16【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，故选：B．【变式1-2】（2021春•高新区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（）A．2B．3C．4D．无法确定【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周长＝2．故选：A．【变式1-3】（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）A．13B．14C．15D．16【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．【题型2 利用线段垂直平分线的性质求角度】【例2】（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．85°【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B ＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根据三角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，∵AB 的垂直平分线是DE ，∴BD ＝AD ，∴∠BAD ＝∠B ，即∠B ＝5x °，∵∠C ＝90°，∴∠CAB +∠B ＝90°，∴2x +5x +5x ＝90，解得：x =152，即∠B ＝∠BAD ＝（752）°，∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝（752）°+（752）°＝75°，故选：B ．【变式2-1】（2021春•建平县期末）如图，已知△ABC 中，∠B ＝50°，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB ，BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为（）A ．100°B ．105°C ．115°D ．120°【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC +∠ACB ＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM ＝PM ，PN ＝CN ，由等腰三角形的性质得到∠MAP ＝∠APM ，∠CPN ＝∠PCN ，进而得出∠MAP +∠PCN ＝∠PAC +∠ACP =12×130°＝65°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠ABC ＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝130°，∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=12×130°＝65°，∴∠APC＝115°，故选：C．【变式2-2】（2021•市南区一模）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．80°【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故选：C．【变式2-3】（2021春•安国市期末）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（）A．160°B．140°C．130°D．125°【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：连接CO，∵∠AOB＝140°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，∵O是三边垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠OCA+∠OCB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）＝55°，∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．【题型3 线段垂直平分线的性质的应用】【例3】（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．【变式3-1】（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．【变式3-2】（2021春•宁阳县期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．【变式3-3】（2021春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）A．三条边的垂直平分线的交点处B．三个角的平分线的交点处C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条中线的交点处【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，故选：A．【题型4 线段垂直平分线的性质综合】【例4】（2021春•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN 交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，在△MDE和△CAE中，∠MDE=∠CAEDE=AE，∠DEM=∠AEC∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．【变式4-1】（2021春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A 作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一个外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E．【变式4-2】（2021春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，BA=BEBD=BD，DA=DE∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．【变式4-3】（2020秋•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．【题型5 线段垂直平分线的判定】【例5】（2021秋•仪征市月考）如图．AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．【分析】由AB＝AC，MB＝MC，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点A在BC的垂直平分线上，点M在BC的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线．【解答】证明：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∵BM＝CM，∴点M在BC的垂直平分线上，∴直线AM是BC的垂直平分线．【变式5-1】（2021•沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．【分析】根据全等三角形的判定定理证明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．【解答】证明：连接PQ，在△BQP和△CRQ中，PB=QC∠B=∠C，QB=RC∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．【变式5-2】（2021秋•博白县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠BAC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）证明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【变式5-3】（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝∠BAM，根据角平分线的定义求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．【题型6 线段垂直平分线的作法】【例6】（2020秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE 的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC ＝S△BDC，∵S△BDC ﹣S△CDE＝5，∴S△ADC ﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，故选：A．【变式6-1】（2021春•碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）【分析】作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【变式6-2】（2021•碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可．【解答】解：如图，点D即为所求作．【变式6-3】（2021春•长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．（1）请用尺规在图上找出点P；（2）请说明你作图的依据．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线MN交直线m于点P，连接PA，PB．（2）根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴PA＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．。

冀教版八年级上16.2线段的垂直平分线课件

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？
与与线线段段两两端端距距离离相相等等的的点在点这在条这线条段线的段垂的直垂平直分平线分上线。上。
例2
已知：如图，DE、DF分别是△ABD 和△ACD的高，DE＝DF。
求证：AD垂直平分EF。
• 一个方法
证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。
• 两条定理
线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
折纸;
• 三种作图过中点做垂线;
尺规作图法
1、必做作业：（1）课本：课后习题
2、选做作业：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设
施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等。（1）若三所运动员公寓A、B、C的
16.2 线段的垂直平分线
指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
怎样做出一条线段的垂直平分线？
ห้องสมุดไป่ตู้
1.
分别以点A、B为圆心，大于
1 2
AB
长为半径，画弧交于点E、F；
2. 过点E、F作直线。
测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离
线线段段垂垂直直平平分分线上线的上点的与点线与段线两段端的两距端离的相距等离。相等。
已知，如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB,P是MN上任意一点。
求证： PAPB
例1
如图，四边形ABCD中，直线AC垂直平分BD于点O。（1）图中有多少对全等三角形，请把它们写出来；（2）任选（1）中一对全等三角形加以证明。

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16、2 线段的垂直平分线（1）
【课标解读】
能够利用尺规作图作一条线段的垂直平分线，并能证明它的正确性，经历探索、证明
线段的垂直平分线的性质定理，进一步发展推理意识和能力。
一、选择题（每小题5分，共25分）

1．如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE=23，则BE•两
点间的距离是（）
A．132 B．3 C．23 D．43

(1) (20 (3)
2、如图2所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C>2∠B ．∠B+∠ADE=90°
3、如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD分∠CAD：∠DAB=2：
1，则∠B的度数为（）
A．20° B．22、5° C．25° D．30°
4、如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=900，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线
段有（）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

(4) (5) (6)
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
二、填空题（每小题5分，共25分）
6、线段的任意一点和线段两端点的距离相等。

B
C

A
D

E
7．已知M、N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是．
8、已知：如图5，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC=______．
9、如图6，在△ABC中，AC=8cm，ED垂直平分AB，如果△EBC的周长是14cm，那
么BC•的长度为_________．
10、在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是30cm
和20cm，则AB= cm。
三、解答题（50分）
11、（12分）如图所示，△ABC中，在AB上找一点P，使PB=PC．（•保留作图痕迹）

12、（12分）如图，AE是△ABC的角平分线，AE的垂直平分线与BC的延长线相交于
点F，若∠CAF=50°，求∠B的度数．

13、（12分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于点D，
交AC于点E，AC＝9cm，△BCE的周长为15cm，求BC的长．
14、（14分）如图，△ABC中，∠B=22、5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于
P点，PE󰀂⊥AC于E点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．

四、探究题（不计入总分）
15、如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF，
求证：BE+CF>EF．
参考答案
1、 C 2、 D 3、 B 4、 B 5、 A
6、垂直平分线
7、 MANMBN∠∠ ；8、30°；9、 6 cm；10、 10

11、作图略，作法：（1）分别以A、B为圆心，大于12AB长度为半径画弧，分别在AB
的两侧交于点M、N，（2）连结MN，
则直线MN与AB的交点即为所求作的点P
12、解：因为AE是△ABC的角平分线，所以∠BAE=∠CAE,
又因为PF是线段AE的垂直平分线，
所以AF=EF,所以△AFP≌EFP（HL）,所以∠PAF=∠AEF,
又因为∠AEF=∠B+BAE、所以∠PAF=∠B+BAE,也即∠PAF=∠B+∠CAE,
又因为∠PAF=∠CAE+∠CAF，所以∠B+∠CAE=∠CAE+∠CAF，
所以∠B=∠CAF=50°、
13、 6cmBC，提示：由ED是AB边的垂直平分线，可得，AE=EB、
所以EB+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=15，
又因为AC=9cm、所以BC=6cm、
14、连接PA，则PA=PB，可求∠APD=45°，从而可得出AD=PD，
再证△PDF󰀂≌△ADC（ASA），即可得证DF=DC
15、延长ED至M点，使DM=ED，连接MC，MF，则EF=FM，
再证△BDE󰀂≌△CDM（SAS），
∴BE=CM，
∵CF+CM>MF，
∴BE+CF>EF