五年级奥数专题 几何计数(学生版)
小学数学竞赛：几何计数(一).学生版解题技巧 培优 易错 难
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例 1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．教学目标例题精讲知识要点7-8-1几何计数（一）【例 2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版
勾股定理与弦图课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。
即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
小学生奥数计算几何计数练习题
小学生奥数计算几何计数练习题1.题目：在一个正方形的格子地图上，每个格子只能是黑色或白色。
若对于任意一个1×1的正方形，它的四个顶点都是不同颜色的格子，那么这个格子地图上最多有多少个格子？解析：考虑一个格子地图最多有A个格子，A的最大值就是所求。
首先，考虑格子地图的一行或一列。
对于任意一个格子，它的左下、右下、左上三个格子必须是与它不同颜色的格子。
所以对于一行或一列而言，最多只能有两个相邻的格子颜色相同。
其次，我们可以得出格子地图的一行或一列最多有B个格子，B的最大值就是所求。
对于1×B的格子地图，我们可以得出它共有2种颜色的排列方式。
所以，对于一行或一列而言，它最多有2种颜色的排列方式。
所以，对于一个正方形的格子地图而言，它的最多格子数就是A×B。
要求A最大，我们要尽量使格子地图大。
通过简单推理得出，当且仅当正方形的格子数为2的n次方时，可以构造出满足条件的格子地图。
所以A的最大值为2的n次方。
要求B最大，我们要尽量使格子地图短。
通过简单推理得出，1×B的格子地图中，当且仅当B为奇数时，可以构造出满足条件的格子地图。
所以B的最大值为奇数。
所以，我们得出结论：正方形的格子地图上最多有2的n次方个格子。
2.题目：在一个圆形的车轮上，有12个相同的螺丝孔均匀分布在圆周上。
小明使用起子从第1个孔开始顺时针拧螺丝，他想知道，在拧了n 个螺丝之后，第1个孔位置的螺丝是否被拧过？解析：在回答这个问题之前，我们需要先了解一下起子和螺丝孔的位置。
首先，我们假设起子从第1个孔开始顺时针拧螺丝。
拧一个螺丝孔相当于圆周上的一个单位长度。
其次，有12个螺丝孔，所以圆周的长度是12个螺丝孔的长度之和。
也就是说，圆周的长度是12个单位长度。
所以，如果小明拧了12个螺丝，他又回到了起点位置，即第1个孔位置的螺丝被拧过。
如果小明拧了24个螺丝，他又回到了起点位置，并且继续拧下去，实际上是重新拧了一遍。
五年级奥数.几何.圆与扇形包含与排除和旋转对称(B级).学生版
捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，π取3.14） 答案提示：地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米； 一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。
简直不可思议！圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π=半径×2π 圆面积=π×半径2扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆课前预习知识框架包含与排除和旋转对称心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。
【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法：1. 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。
小学奥数教程之-几何计数
⼩学奥数教程之-⼏何计数1.掌握计数常⽤⽅法；2.熟记⼀些计数公式及其推导⽅法；3.根据不同题⽬灵活运⽤计数⽅法进⾏计数．本讲主要介绍了计数的常⽤⽅法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和⽤容斥原理的计数思想．⼀、⼏何计数在⼏何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满⾜某种条件的三⾓形的个数，若⼲个图分平⾯所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到⼀些处理⽅法的．常⽤的⽅法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平⾯分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平⾯的部分数为n (n -1)+2；n 个三⾓形将平⾯最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平⾯最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常⽤到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序⽆关，只与这两个组合中的元素有关．⼆、⼏何计数分类数线段：如果⼀条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段⼀共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数⾓：数⾓与数线段相似，线段图形中的点类似于⾓图形中的边．数三⾓形：可⽤数线段的⽅法数如右图所⽰的三⾓形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成⼀个三⾓形，共有15个三⾓形，同样⼀边在BC 上的三⾓形也有15个，所以图中共有30个三⾓形．ED CBA数长⽅形、平⾏四边形和正⽅形：⼀般的，对于任意长⽅形（平⾏四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长⽅形（平⾏四边形）mn 个．模块⼀、⽴体⼏何计数教学⽬标例题精讲知识要点7-8-3.⼏何计数（三）【例1】⽤同样⼤⼩的正⽅体⼩⽊块堆成如下图的⽴体图形，那么⼀共⽤了__________块⼩正⽅体。
五年级奥数专题图形的计数.docx
九图形的计数 (A)年级班姓名得分一、填空题1．下中一共有（）条段.A12A11A10O A9A8A7AA A6345A A A122.如右上 , O三角形 A1A6 A12的 A1A12上的一点 , 分 OA2, OA3, ⋯ OA11，中共有_____个三角形 .A3.下中有 _____个三角形 .DB C4.右上中共有 _____个梯形 .5.数一数(1)一共有 ( ) 个方形 .(2)一共有 ( ) 个三角形 .D CA B(2)(1)6.在下中 , 所有正方形的个数是 ______.7.在一块画有 4 4 方格网木板上钉上了 25 颗铁钉 ( 如下图 ), 如果用线绳围正方形 , 最多可以围出 _____个.A P O N MB QX W LC R Y VKD S T U JE F G H I8.一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板 , 上面有 4 4 个钉 ( 如右图 ). 以每个钉为顶点 , 你能用皮筋套出正方形和长方形共 _____个.9.如下图 , 方格纸上放了 20 枚棋子 , 以棋子为顶点的正方形共有 _____个 .10.数一数 , 下图是由 _____个小立方体堆成的 . 要注意那些看不见的 .二、解答题11.右图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.O12A B3C D456E F 7M N12.下图中 , AB、CD、 EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少13．现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、 4 厘米、8 厘米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样 4 个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个白色正方形多少个14．将ABC的每一边 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形九图形的计数（ B）年级班姓名得分一、填空题1.下图中长方形（包括正方形）总个数是 _____.2.右上图中有正方形 _____个, 三角形 _____个 , 平行四边形 _____个, 梯形 _____个.3.下图中共出现了 _____个长方形 .4.先把正方形平均分成 8 个三角形 . 再数一数 , 它一共有 _____个大小不同的三角形 .5.图形中有 _____个三角形 .6．如右上图 , 一个三角形分成 36 个小三角形 . 把每个小三角形涂上红色或蓝色 , 两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色 , 已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多 , 那么多_____个.7.下图是由小立方体码放起来的 , 其中有一些小方体看不见 . 图中共有 _____个小立方体.8.右上图中共有 _____个正方形 .9.有九张同样大小的圆形纸片 , 其中标有数码“ 1”的有 1 张；标有数码“ 2”的有 2 张；标有数码“ 3”的有 3 张，标有数码“ 4”的也有 3 张。
小学奥数几何计数
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．教学目标知识要点几何计数数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】（难度等级※※）下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【解析】通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n层用4+6×(n-1)根，现在共用了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．【例 2】（难度等级※※※）用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根；从上向下数第二层用了3×3=9根；……【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？【解析】首先，需弄清形状如图的大三角形共有多少层．从上往下，第一层用331=⨯根火柴；第四层用=⨯根火柴；第二层用632=⨯根火柴；第三层用933n n=⨯根火柴；…；第n层用33=⨯根火柴．1234=⨯根火柴；第五层用1535根据题意，有：36912153108++++++=L，所以，8n=，nn++++++=L，故1234536即形状如图的大三角形共有8层，是边长为8根火柴的大正三角形．然后，数出共有多少个三角形．尖朝上的三角形共：+++++++++++++++++++++(12345678)(1234567)(123456)++++++++++++++=(个)；(12345)(1234)(123)(12)1120尖朝下的三角形共：++++++++++++++++=(个)；(1234567)(12345)(123)1050所以，共有三角形：12050170+=(个)．本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止．尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止．【例 3】（难度等级※※※）如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根共需1996×4+1997×3=13975根．【例 4】（难度等级【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100．【例 5】（难度等级※）下面的55⨯图中共有____个正方形．⨯和64【解析】 在55⨯的图中，边长为1的正方形25个；边长为2的正方形24个； 边长为3的正方形23个；边长为4的正方形22个；边长为5的正方形有21，总共有 222225432155++++=(个)正方形．在64⨯的图中边长为1的正方形64⨯个；边长为2的正方形53⨯个； 边长为3的正方形42⨯个；边长为4的正方形31⨯个；总共有 6453423142⨯+⨯+⨯+⨯=(个)．【例 6】 （难度等级 ※※）在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?374218125【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++ 1448612384=⨯=(平方厘米)．【巩固】（难度等级 ※※）如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664．【例 7】 （难度等级 ※）下图中共有____个正方形．【解析】每个44⨯正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个；边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222+++=(个)正方形．现有5个44432130⨯的正方形，它们重叠部分是4个22⨯-⨯=．⨯的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130【巩固】（难度等级※）图中有______个正方形．【解析】55⨯的正方形5个；2⨯2的正方形4个；1⨯1的正方形⨯的正方形1个；44⨯的正方形4个；3313个．共27个．【例 8】（难度等级※※※）如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形．【巩固】（难度等级※※※）在下图中，不包含☆的长方形有________个．【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有441-144=297(个)．【例 9】图中含有“※”的长方形总共有________个．※※【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618++=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；含有右上※号的长方形有：662624+⨯+=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62⨯个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448+=个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；所以，含有※号的长方形总共有：1824834+-=个．【巩固】（难度等级 ※※）由20个边长为1的小正方形拼成一个45⨯长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有6848⨯=个，面积总和为(12233445)(122334)360+++++++⨯+++++=．【例 10】 （难度等级 ※※）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．*【解析】 分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416++=(个)．【例 11】（难度等级※※※）如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个．【例 12】（难度等级※※）图中共有多少个三角形？【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形2×59=118（个）．【例 13】（难度等级※※）下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．【例 14】(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？①②③【解析】本题需要分类进行讨论．⑴先考虑其中的等边三角形．图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；图③中，大号等边三角形有2个；⑵再考虑其中非等边的等腰三角形．图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④．④⑤⑥其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形；大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形．那么图中共有662612638+++++=个等腰三角形．【例 15】(第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有个正方形．【解析】 边线是水平或垂直方向的正方形共有22222265432191+++++=(个)，形如的正方形有4个，所以共有正方形91495+=(个)． (如何保证没有其它的斜正方形了？如右图，擦去横线和竖线，只留下斜线，就一目了然了．)此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；则面积为1的正方形的个数为36；面积为2的正方形的个数为4；面积为4的正方形的个数为25；面积为9的正方形的个数为16；面积为16的正方形的个数为9；面积为25的正方形的个数为4；面积为36的正方形的个数为1．所以，共有364251694195++++++=(个)正方形．【巩固】这幅图中有 个三角形．【解析】 (法1)以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有1个基本图形单位的三角形共66272⨯⨯=个；由2个基本图形单位组成的三角形共37个；由4个基本图形单位组成的三角形共30个；由8个基本图形单位组成的三角形共4个；由9个基本图形单位组成的三角形共10个；由16个基本图形单位组成的三角形共2个；所以图中共有三角形7237304102155+++++=(个)．(法2)依三角形的斜边的长度数三角形：①斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：长度为1的斜边共有：36条；长度为2的斜边共有：15条；长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条．因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有()2361551114⨯+++=(个)．②斜边水平的三角形，从上向下：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有4个；斜边在第三条线的有4个；斜边在第四条线的有5个；斜边在第五条线的有2个；斜边在第六条线的有2个；斜边在第七条线的有2个；所以这种类型的三角形共有21个．③斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有2个；斜边在第三条线的有5个；斜边在第四条线的有3个；斜边在第五条线的有3个；斜边在第六条线的有4个；斜边在第七条线的有1个，所以这种类型的三角形共有20个．共有1142120155++=(个)三角形．【例 16】 一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？【解析】 从简单情况入手，从第一次对折开始分析，第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共122=个；第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共242=个；第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共382=个；第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共4162=个；第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共5322=个；第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共6642=个；第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共71282=个．观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是72128=个．【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？【解析】 将最后得到的小正方形纸展开两次，中间形成一个菱形的小洞孔，之后每展开一次，孔的数量为原来的2倍，题中一次操作需要对折2次，五次操作对折了10次，所以孔的数量为(102)12256-⨯=个．【例 17】 在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出 个等腰三角形．【解析】 由于8个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有3824⨯=个等腰三角形，而且这些等腰三角形互不相同(否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合)，所以可以作出24个等腰三角形．【例 18】 圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【解析】 圆周上4点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为“圆周上10个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：()109874321210⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=个．所以交点有210个．【例 19】 圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．【解析】 本题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有2个点，只有1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有122⨯=种连法；若圆周上只有6个点，先选中1个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以相对的1个点相连，若与相邻的点相连，剩下的4个点有2种连法；若与相对的点相连，剩下的4个点只有1种连法，所以此时有2215⨯+=种连法；若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以与与它相隔2个点的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种连法；若与相隔两个点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一边2个点，只有一种连法，一边4个点，有2种连法．所以此时共有522214⨯+⨯=种连法．【例 20】 （难度等级 ※※※※）一个圆上有12个点A 1，A 2，A 3，…，A 11，A 12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?【解析】 我们采用递推的方法．I 如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．Ⅱ如果圆上有6个点，除A 1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A 1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．共有12种连法．Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：①9个点都在同一段弧上：②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．共有12×3+3×6+1＝55种．所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种．。
小学五年级逻辑思维学习—几何计数
小学五年级逻辑思维学习—几何计数知识定位在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．知识梳理一、数线段如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条二、数角数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有： E D∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C同样还有：∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 B∠COD ，∠COE共2个 A∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）三、数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。
四、B M C线段AM与AE对应着长方形AMPE，AM与AG对应着长方形AMQG，AM与AB对应着长方形AMNBAM与EG对应着长方形EPQG,AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个五、染色问题在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论，对所研究的对象进行“染色”，“染色”实质上是分类的一种形象化的表示，利用“染色”，可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来，从而使问题得到简明的解答。
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学科培优数学
“几何计数”
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知识定位
在数学竞赛试题中,经常出现一些几何计数问题,所谓几何计数是指
计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣,为了准确计数,必须要有一套计数的方法,否则越数头绪越杂乱,很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法,更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用,如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想,分类讨论思想在这里尤其突出,我们所使用的所有计数方法都离不开分类．
知识梳理
一、数线段
如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”）,那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
二、数角
数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边。
以OA为一条边的角有： E D
∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个C
同样还有：
∠BOC,∠BOD,∠BOE共3个 B
∠COD ,∠COE共2个 A ∠DOE共1个
合计有4+3+2+1=10（个）
三、数三角形
可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）
因为DE上有15条线段,每条线段的两端点
与点A相连,可构成一个三角形,共有15个
三角形,同样一边在BC上的三角形也有15
个,所以图中共有30个三角形。
四、
B M C
线段AM与AE对应着长方形AMPE,
AM与AG对应着长方形AMQG,
AM与AB对应着长方形AMNB
AM与EG对应着长方形EPQG,
AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB.
就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形,共6个长方形
AD边上共有3条线段,其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形,
所以共有3×6=18个长方形
一般的,类似于这样的长方形（平行四边形）,若其横边上共有n条线段,
纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个
五、染色问题
在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论,对所研究的对象进行“染色”,“染色”实质上是分类的一种形象化的表示,利用“染色”,可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来,从而使问题得到简明的解答。
六、图形计数,方阵计数
这类问题大多比较困难。
图形计数包括,圆,三角,直线,平面分割,等之间的互相交叉题型。
而方阵计数,棋盘中计数是现在考试的热点。
几个计算公式总结：
1．线段、角的计数公式：
2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段,
纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个
3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形,一竖行有n个（假设m≥n）小正方形,那么图中正方形的个数是
mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)
= mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)
例题精讲
【试题来源】
【题目】图中共有多少个长方形？
【试题来源】
【题目】从A到F一共有多少种不同走法？
A B C
D E F
【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成,那么一共要用多少根火柴?
【试题来源】
【题目】如图19—2,用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网,其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成,那么一共需用多少根火柴棍?
【试题来源】
【题目】如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求
图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和．
【试题来源】
【题目】如图AB,CD,EF,MN互相平行,则图中梯形个数与三角形个数
的差是多少?
【题目】如图,木板上钉着12枚钉子,排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? ···
····
····
【试题来源】
【题目】图中共有多少个三角形？
【试题来源】
【题目】在8×8的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图）,一共有多少种不同的方法？
【试题来源】
【题目】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点（共同
的顶点算一个）,以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形。
在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【题目】如果用四种颜色对下面三个图形的A,B,C,D,E 五个区域染色,要求相邻的区域染不同的颜色,那么,对（1）（2）（3）图分别有 、 、 种染法。
【试题来源】
【题目】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?
【试题来源】
【题目】一个长方形把平面分成两部分,那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
【试题来源】9902
【题目】在平面上画5个圆和1条直线,最多可把平面分成多少部分?
【试题来源】迎春杯试题
【题目】用5个1×2的小长方形去覆盖2×5的方格网,一共有＿＿种不同的覆盖方法。
A B D
E
C
A B
C
D
E
A B
C E
D
【试题来源】
【题目】用图1所示的1×2小长方形和1×3小长方形去覆盖如图2所示的填有数字的2×6方格表,共有多少种不同的盖法?
【试题来源】
【题目】小明有8张连在一起的电影票(如下图),他自己要留下四张连
在一起的票,其余的送给别人.他留下的四张票可以有＿＿种不同情况.
（04试验中学入学测试题）
【试题来源】
【题目】将19枚棋子放入5*5的方格网内,每个方格最多只放一枚棋子,且每行每列的棋子数均为奇数个,那么共有_____________种不同的放法。
【试题来源】
【题目】将5枚棋子放入右侧编号的4×4表格的格子中,每个格子最多放一枚,如果要求每
行,每列都有棋子．那么共有种不同放法．
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
【试题来源】
【题目】一个圆上有12个点A1,A2,A3,…,A11,A12．以它们为顶点连三角形,使每个点恰好是一个三角形的顶点,且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
习题演练
【试题来源】
【题目】如下图,工地上堆放了180块砖,这个砖堆有两面靠墙。
如果要把这个砖堆的表面涂满白色,那么,被涂上白色的砖共有块。
【试题来源】
【题目】在一个圆周上均匀分布10个点,以这些点为顶点,可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形,其中直径的边所对的角是直角,所以如果圆周上三点在同一段半圆周上,则这三点构成钝角三角形）
【试题来源】
【题目】格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂。
问可以得到多少种着色方式不同的圆棒？
【试题来源】
【题目】在8×8的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形？
【试题来源】
【题目】如下图,八面体有12条棱,6个顶点。
一只蚂蚁从顶点A出发,沿棱爬行,要求恰好经过每一个顶点一次。
问共有多少种不同的走法？。