微专题 平面向量中的最值问题
高考数学 玩转压轴题 专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二．解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， ,c>60a c b <--=︒，则c 的最大值等于（ ）A. 4B. 2C. 2D. 1 【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在Rt ABC ∆中， 090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为（ ）A.72 B. 3 C. 125 D. 52【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量,a b 满足： 1a b ==，且12a b ⋅=，若c xa yb =+，其中0x >，0y >且2x y +=，则c 的最小值是__________．【解析】1a b ==，且12a b ⋅=，当c xa yb =+时， 222222c x a xya b y b =+⋅+， ()222x xy y x y xy =++=+-，又0,0x y >>且22,12x y x y xy +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取“=”， ()2222213,2x y c x y c +⎛⎫∴≥+-=-=∴ ⎪⎝⎭的最小值是.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,a b c ，满足1,2,3a b c ===， 01λ≤≤，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---的最大值为_________，最小值为__________．【答案】1 【解析】设()()1,1n b c a b c a nλλλλ=+----=-，n a a n n a-≤-≤+，即11n a n n -≤-≤+，()()()2222221121n b c b c bc λλλλλλ=--=+-+-()()2224911318901λλλλλ=+-=-+≤≤，由二次函数性质可得，266136139,3,111413n n n a n n ≤≤≤≤-≤-≤-≤+≤， ()1a b c λλ∴---，最大值为4，最小6131-，故答案为4， 6131-. 类型二 与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，转化为求二次函数的最小值问题，当θθcos 45cos 210++=t 时，取最小值，由已知条件0105t <<，得关于夹角θ的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3π【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b +=，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤11cos ,22a b a b a b a b ⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π2、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（ ）A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. ⎛⎤⎥⎝⎦C. ⎛⎤⎥⎝⎦D. ⎛⎤⎥ ⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当1λ0x >===，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时， 1x ====1x <05x ∴-<<综上所述]( ,15x ∈-故答案选D 【指点迷津】由已知求得OA OP→⋅→及OP→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。
数形结合，破解平面向量最值问题
２０２３年１１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合,破解平面向量最值问题◉江苏省前黄高级中学㊀孟㊀敏㊀㊀摘要:平面向量问题一般具有 数 形 兼备的特征,所以对于平面向量中的很多最值问题,可以分别从代数和几何两个角度来研究．研究的角度不同,可能就会有不一样的精彩．而这种 数形结合 的研究,也有助于学生拓宽思路,加深对问题本质的认识．关键词:平面向量;数形结合;最值问题㊀㊀近几年的高考和模考中,平面向量经常以求最值或取值范围的题型出现,与其关联的知识点较多,题目的综合性也比较强,学生虽然感觉 面熟 ,却普遍得分不高．这种情况也在一定程度上反映出高中平面向量教学和解题中存在过于注重代数形式而忽略了几何方法的问题．其实,平面向量集 数 形 于一体,是沟通代数与几何的桥梁,也是分析与解答数学问题的有效工具．高中数学中的最值问题研究的就是 动 的问题,只要找到 动 的规律,问题也就迎刃而解了!所以,在解决问题时,有时可以利用平面向量的定义㊁性质㊁几何意义等,将条件转化为图形特征,将问题化归为平面几何问题进行处理．相对于代数方法,几何法可能更直观形象!下面将以例题形式呈现一些平面向量最值问题的代数解法与几何解法,并对几何解法的入手方向进行分类阐述,揭示 动 与 变 的联系．１利用平面向量的平行四边形法则例１㊀如图１,在әA B C 中,øA ＝π３,点D 满足A D ң＝２３A C ң,且对任意的x ɪR ,|x A C ң＋A B ң|ȡ|A D ң－A B ң|恒成立,则c o søA B C ＝．图１审题后,很多学生的第一反应是把A B ң,A Cң作为基底,将条件中模的关系式平方,转化为关于x 的二次不等式b x ２＋c x －４９b ＋２３c ȡ０(令|A C ң|＝b ,|A B ң|＝c )在R 上恒成立,这就将问题转向了代数角度进行研究．只要令Δɤ０,即可得到(３c －４b )２ɤ０,所以c ＝４３b ,最后利用余弦定理得到a ＝１３３b ,c o s øA B C ＝５１３２６．那么,能不能从几何角度入手来研究这个问题呢?答案是肯定的．我们首先要将条件 对任意的x ɪR ,|xA B ң＋A B ң|ȡ|A D ң－A B ң|恒成立 转化为图形语言,即向量xA C ң＋A B ң的长度大于等于向量B Dң的长度．然后结合共线向量和平行四边形法则,发现向量xA C ң＋A B ң是以A 为起点,终点落在过点B 且与A C平行的直线l 上的向量,问题就很好解释了．向量B Dң图２的长度就是这两条平行线之间的距离,即B D ʅA C ．此时利用直角三角形的勾股定理不难得到各边的长度关系(如图２,令C D ＝t ),最后在әA B C 中利用余弦定理求得c o s øA B C ＝５１３２６．２利用数量积的几何意义例２㊀在әA B C 中,(A B ң－λA C ң)ʅB C ң(λ＞１),若角A 的最大值为π６,则实数λ的值是．本题一般是使用基底思想,以A B ң,A Cң为基底,将B C ң表示为A C ң－A B ң,则(A B ң－λA C ң) (A C ң－A B ң)＝－A B ң２－λA C ң２＋(λ＋１)|A B ң||A C ң|c o s A ＝０,所以c o s A ＝A B ң２＋λA C ң２(λ＋１)|A B ң||A C ң|＝|A B ң|(λ＋１)|A C ң|＋λ|A C ң|(λ＋１)|A B ң|ȡ２|A Bң|(λ＋１)|A C ң| λ|A C ң|(λ＋１)|A B ң|＝２λλ＋１．因为角A 的最大值为π６,所以２λλ＋１＝３２(λ＞１),则λ＝３．这是利用代数思想的解法．１５学习指导２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀如果从几何角度来审视本题,首当其冲就是利用数量积的几何意义将垂直条件转化为圆的内接直角三角形．不妨设λA C ң＝A D ң,则B D ң B C ң＝０,结合λ＞１,画出图形(如图３)．用运动的观点来尝试,不难发现角A 最大时,直线A B 应该与圆O 相切(如图４),此时O B ʅA B ,A ＝π６．设圆O 的半径为r ,则O A ＝２r ,A D ＝３r ,O D ＝r ,进而得到λ＝３．图３㊀㊀图４３利用极化恒等式化归为距离问题例３㊀在әA B C 中,A B ＝５,A C ＝４,A D ң＝λA B ң＋(１－λ)A C ң(０＜λ＜１),且A D ң A C ң＝１６,则D A ң D Bң的最小值等于．对于本题,大多数学生是用基底法来处理的,根据题设条件将A B ң,A C ң作为基底,由A D ң A C ң＝１６求得A B ң,A C ң的夹角øB A C 的余弦值,再利用余弦定理发现әA B C 是直角三角形,且øA C B ＝π２(如图５)．图５㊀㊀㊀㊀图６而D A ң D B ң＝[λA B ң＋(λ－１)A C ң] [(１－λ)A B ң＋(λ－１)A C ң]＝９λ２－９λ,转化为二次函数求最值问题,答案是－９４．这是代数解法．如果发现әA B C 是直角三角形后,取A B 的中点M (如图６),利用极化恒等式,得到D A ң D B ң＝(DM ң＋M A ң) (DM ң－M A ң)＝DM ң２－M A ң２＝DM ң２－２５４．因此可以将问题转化为求|DM ң|的最小值,即动点D 到B C 上定点M 的距离的最小值,即点线距离．不难看出来,这个长度就是１２A C ＝２,所以D A ң D B ң的最小值为－９４．４利用向量的模的几何意义例４㊀已知平面向量a ,b ,c 满足a b ＝７４,且|a －b |＝３,(a －c )(b －c )＝－２,则|c |的取值范围是．代数解法:利用a b ＝７４,|a －b |＝３,求得|a ＋b |＝４．设a ＋b 与c 的夹角为θ,由(a －c )(b －c )＝－２,得到|c |２－４c o s θ |c |＋１５４＝０,再利用三角函数的有界性,可得４c o s θ＝|c |２＋１５４|c |ɪ[－４,４],解得３２ɤ|c |ɤ５２．图７几何思路:令O A ң＝a ,O B ң＝b ,O C ң＝c ,利用向量模的几何意义,由|a －b |＝３可知A B 的长为定值３,要求的是线段O C 的长度范围．可以取线段A B 中点M (如图７),利用极化恒等式,将a b ＝７４转化为O A ң O B ң＝|O M ң|２－(１２|A B ң|)２＝|O M ң|２－９４＝７４,得到O M ＝２,即点O 在以M 为圆心,２为半径的圆上．再将(a －c )(b －c )＝－２转化为C A ң C B ң＝|C M ң|２－(１２|A B |)２＝|C M ң|２－９４＝－２,得到C M ＝１２,即点C 的轨迹是以M 为圆心,１２为半径的圆(如图７)．于是问题就转化为求两个圆上动点之间的距离,所以O C ＝|c |ɪ２－１２,２＋１２éëêêùûúú,即３２ɤ|c |ɤ５２．其实,平时的练习中还有很多这样既可以用代数法又能用几何法解决的问题,更不乏巧妙使用几何法的例子．但是,我们不能因为将向量条件量化后能摆脱复杂的变形或化简就一味追求代数法．如果能够充分发掘题设条件和所求目标的几何意义,有些繁难的运算可能就能够避免,同时也能引导学生领会和体验数学内涵,掌握和巩固数学方法．因此,在平时的教学中,既要重视向量的代数运算,又要注意加强向量运算的几何意义的渗透,帮助学生形成和内化数学思想,促进其核心素养的发展．Z２５。
例析平面向量的最值问题的几种解法
高一使用2021年5月例析平面向量的最值问题的几种解法■刘长柏1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。
下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”—、基底法以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。
例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。
A.6B.7C.8D.9解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。
因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。
应选B。
评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。
利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。
练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。
提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。
二、坐标系法利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。
例2已知矩形ABCN,AB=2,AN= 1，点P,Q分别在边BC,CN上，且X PAQ= 45°,则A「P•A<Q的最小值是。
解：以A为坐标原点,AB^AN所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,如图1。
由AB=2,AN=1,可知点A(0,0), B(2,0),C(2,1),N(0,1)。
第11讲 平面向量中的最值范围问题(教师版)
第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3 -e 2的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b |=3，(a -c )(b -c)=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅a a ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b =-1，向量c -a与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是.2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为3.已知向量a 、b 满足：a -b =4，a =2b .设a -b 与a +b的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b ，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a =4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b ⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是．1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b =4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为．2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b 的夹角为2π3，a -b=23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为.5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b =1，则c的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c =2b =2，b -a 与a的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c =23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b =3，b =1，则a +2a +b的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c-b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a =3，且b -λa的最小值为1(λ为实数)，记a ,b =α，a ,a-b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为．3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为．1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ 的最小值为．1.设向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c|的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM =1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
平面向量最值问题解题方法
平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。
下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。
一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。
2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。
二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。
2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。
三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。
则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。
2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。
如何求解平面向量最值问题
有些平面向量问题采用常规方法求解较为困难， 我们可以根据题意建立合适的平面直角坐标系，给各 个向量赋予坐标，根据平面向量坐标运算法则进行运 算，进而求得最值.通过向量坐标运算，可将平面向量 最值问题转化为坐标运算问题，有利于快速求得最值.
仍以上述例题为例.
解 设：O建A 立= a如=图(1,20所) ，示c =的O平C面= (直x,角y)坐，标系，
学会从不同的角度寻找解题的途径.
（作者单位：江苏省东台市唐洋中学） 35
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∵ ∴
Oa∙Bb==b0=，(∴0, 1a)⊥，b
,
由 |c - a - b| = 1 可得
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 ，
∴点 C 在以 (1,1) 为
圆心，1 为半径的圆上，
图2
∴ |c| 的最大值为 1 + 2 .
这里根据 a ⊥ b 分别以 OA、OB 为 x、y 轴建立平面 直角坐标系，然后给各个向量赋予坐标，通过向量坐
解 答 本 题 ，主 要 运 用 了 绝 对 值 不 等 式 的 性 质
||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| ± |b| 、a + b≥ |a + b| 来建立新的不 等式，然后通过解不等式求得 |c| 的最大值.
二、借助平面几何知识求解
平面向量是连接“数”与“形”的纽带.在求解平面
解：∵ a∙b= 0 ，a ，b 是单位向量，∴ |a + b| = 2 ，
∵ a + b≥ |a + b| ，
∴ |c - a - b| = |c -(a + b)| ≥ ||c| - |a + b|| = ||c| - 2| ，
平面向量中的最值和范围问题
平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 ；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法． 考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是 ；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（ ） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满 足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是 （ ）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方 体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（ ） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形 内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为 ；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一 边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。
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高三数学微专题：平面向量中的最值问题
类型一：“数量积与不等式性质相结合”
[例1]如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N
为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为____．
解析：设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋1
2DC ＝
12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×1
2＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9
类型二：“通过坐标转化为函数最值问题”
[例2]已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则 |P A →＋3PB →
|的最小值为________。
解析 以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y 。
则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，P A →
＝(2，－y ),
PB →＝(1，a －y )，则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|P A →＋3PB →
|2＝25＋(3a －4y )2，由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a 。
因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →
|2的最小值为25。
故|P A →＋3PB →
|的最小值为5。
答案5
类型三：“通过换元法转化为三角函数最值问题”
[例3]在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。
若AP →＝λAB →＋μAD →
，则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．22
C ．5
D ．2
解析 根据已知条件，以C 为原点，BC 为x 轴，CD 为y 轴建立平面直角坐标系。
设圆的半径为r ，由题意知BD ＝5，利用等面积法可得r ×5＝2，解得r ＝255，所以圆的方程是x 2＋y 2＝4
5。
由题意得B (－2,0)，
A (－2,1)，D (0,1)，设P (x ，y )，因为AP →＝λA
B →＋μAD →
，所以(x ＋2，y －1)＝λ(0，－1)＋μ(2,0)，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2＝2μ，y －1＝－λ，所以μ＋λ＝x 2＋1＋1－y ＝2－y ＋x 2。
根据圆的方程可得x ＝25cos θ，y ＝25sin θ，所以μ＋λ＝2－25sin θ＋
1
5
cos θ＝2－
1
5
(2sin θ－cos θ)＝2－sin(θ－φ)，显然(μ＋λ)max ＝3。
故选A 。
类型四：“通过坐标转化为直线与圆位置关系问题”
[例4]已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →⊥OB →，OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R ) 。
若M 为AB 的中点，并且|MC →
|＝1，则λ＋μ的最大值为( )
A ．1－3
B ．1＋2
C ．5
D ．1＋ 3
解析 因为向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝1，OA →⊥OB →，所以可以分别以OA →，OB →
所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)。
又因为M 为AB 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫12，12。
因为OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，所以OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，即点C (λ，μ)。
所以MC →＝⎝⎛⎭⎫λ－12，μ－12。
因为|MC →
|＝1，所以⎝⎛⎭⎫λ－122
＋⎝⎛⎭⎫μ－122
＝1，即点C (λ，μ)在以⎝⎛⎭⎫12，1
2为圆心，1为半径的圆上。
令t ＝λ＋μ，则直线λ＋μ－t ＝0与此圆有公共点，所以d ＝|12＋1
2
－t 2≤1，解得－2＋1≤t ≤2＋1，即λ＋μ的最大值是1＋2。
故选B 。
类型五：“向量与基本不等式相结合”
[例5]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →
)的最小值是( ) A ．－2 B ．－3
2 C ．－4
3 D ．－1
解析：法一：如图，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 边的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →。
要
使P A →·PD →最小，则P A →，PD →方向相反，即P 点在线段AD 上，如图。
则(2PD →·P A →)min ＝－2|P A →|·|PD →|，即求|PD →|·|P A →|的最大值，又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，则|P A →|·|PD →|≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫|P A →|＋|PD →|2 2 ＝⎝⎛
⎭⎫322＝3
4
，则2(PD →·P A →)min ＝－2×34＝－32。
故选B 。
法二：解析：以BC 边中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)。
设P (x ，y )，则有P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →
＝(1－x ，－y )，所以P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－23y ＋2y 2＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝
⎛⎭⎫y －3
22－34。
故其最小值为2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32，此时x ＝0，y ＝3
2。
故选B 。
配套练习
1．设M 为边长为4的正方形ABCD 的边BC 的中点，N 为正方形区域内任意一点(含边界)，则AM →·AN →
的最大值为( )
A ．32
B ．24
C ．20
D ．16
2．已知△ABC 的外接圆半径为2，D 为该圆上的一点，且AB →＋AC →＝AD →，则△ABC 的面积的最大值为( )
A ．3
B ．4
C ．33
D ．4 3
3．已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2，2)，平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →
(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成。
若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )
A ．3
2 B ．2 C ．4 D ．8
4．已知O ，A ，B 三点的坐标分别为O (0,0)，A (3,0)，B (0，3)，且P 在线段AB 上，AP →＝tAB →
(0≤t ≤1)，则OA →·OP →
的最大值为( )
A. 3 B ．3 C ．2 2 D ．9
5、已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →
＝0，如图所示，△ABC 的顶点
B ，
C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →
|的最大值为________.
6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________。
7．已知点A (1－m,0)，B (1＋m,0)，若圆C ：x 2＋y 2－8x －8y ＋31＝0上存在一点P 使得P A →·PB →
＝0，则m 的最大值为________。
8．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52
，若AP →＝λAB →＋μAD →
(λ，μ∈R )，求5λ＋3μ的最大值。