一元二次方程知识结构
人教版九上数学一元二次方程知识点和考点精析
一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构： 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
一元二次方程单元结构图
一元二次方程单元结构图
知识：一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、一元二次方程的实际应用。
核心知识：1.降次转化的思想。
2.配方法、公式法、因式分解法。
3.把实际问题转化为一元二次方程问题，及建立一元二次方程数学模型的能力。
4.适合学生探究问题的顺序，培养学生的探究能力。
知识结构图：
实际问题－－－一元二次方程的概念－－－－一元二次方程的解法
一元二次方程的根
检验方程的根是否符合实际解决实际问题。
1.从实际问题引入，让学生归纳出一元二次方程的概念，既有利于
激发学生学习兴趣又能让学生体会一元二次方程的概念的形成过程，进一步感受数学和生活实际的密切联系，通过对问题解得急切需求，又为探究一元二次方程的解法激发了良好的学习动机。
2.一元二次方程方程的解法按照直接开平方法、配方法、公式法体
现由简单到复杂，由特殊到一般的探究顺序，符合学生探究问题的心理特点，有利于学生逐步建立信心。
通过对配方法的实质探究，让学生体会到降次转化的思想方法，为探究因式分解法解一元二次方程提供思路，通过因式分解法的探究学习，让学生进一
步体会降次转化的思想，体会解决问题的多种方法。
3.实际问题与一元二次方程核心是弄清问题中的数量关系，寻找相
等关系，建立一元二次方程模型。
通过解一元二次方程，检验根是否符合实际，获得实际问题的解。
这一部分的学习对于学生建立方程模型，体会方程思想，培养学生解决实际问题的兴趣和能力都有很大的帮助。
一元二次方程知识结构图(1).doc
一元二次方程一元二次方程知识结构图（1）含有一个未知数。
（2）未知数的最高次数是 21、概念（3）是整式方程。
（4）一元二次方程的一般形式是ax2 bx c 0,( a 0) 。
依据： ab=0 (a,b 为两个因式 ),则 a=0 或 b=0（2）因式分解法思想：降次方法：提公因式法、公式法、十字相乘法等思路：利用完全平方公式，转变成直接开平方法的形式①将方程化为一般形式②二次项系数化为 1（ 3）配方法步骤：③把常数项移至方程右边2、解法④方程两边加上一次项系数22⑤变成直接开平方法的形式思想：常在代数式求最值或说明代数式值恒大于（或小于）零时涉及求根公式x b b24ac,( b2 4ac 0)2a（4）公式法方程化为一般形式确定 a、b、 c 值步骤求 b2 4ac 值确定方程有解代入公式x b b2 4ac ,2a当0 时，方程有两个不相等的实数根。
20，方程有两个相等的实数根。
0 时，方程有解b 4ac当3、根的判别式当0 时，方程有没有的实数根。
不解方程判别根的情况应用：根据根的情况确定系数的值根为有理数时的值是完全平方数抛物线与直线的交点问题2 0) 的两根为x1, x2则x1x2 b c设ax bx c 0,( a , x1 x2a a4、根与系数的关系（韦达定理）隐含条件： a 0, 0应用：整体代入求代数式的值（1）审题（ 2）解设合适未知数（ 3）找等量关系列方程5、一元二次方程的应用（可用于解决实际问题的步骤）（4）解方程（5）检验方程的解是否符合题意（ 6）答题。
七年级一元二次方程知识点总结
七年级一元二次方程知识点总结
一元二次方程是中学数学中的重要内容之一。
在七年级研究一元二次方程时，主要包括以下几个知识点：
1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为已知数，而x是未知数。
2. 一元二次方程的解：解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式。
其中最常用的方法是求根公式，即利用二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
3. 一元二次方程的判别式：判别式可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。
判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以分为三种情况：当Δ > 0时，方程有两个不同实数解；当Δ = 0时，方程有两个相等实数解；当Δ < 0时，方程没有实数解。
4. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
通过方程中的a的正负和判别式的值可以判断抛物线的开口方向和位置。
5. 一元二次方程的应用：一元二次方程在生活和实际问题中有
许多应用。
例如，可以用一元二次方程求解一个物体的抛射问题、
轨道问题、距离问题等。
以上是七年级研究一元二次方程的主要知识点总结。
通过掌握
这些知识点，可以更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题。
参考资料：
- 《数学七年级上册》教材
- 《中学数学七年级上册》辅导书。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点本章内容框架：一．一元二次方程的形式及解法标准性质：)0(02≠=++a c bx ax1.配方法： 注意：（1）二次项系数必须为1，（2）配方配一次项系数一半的平方2.公式法： aac b b x 242-±-= 注意：养成良好的书写格式 3.因式分解法：注意：对于解方程要熟练的掌握提公因式法4.换元法 注意：把方程里的某个高次项或某个整体换成另一个未知数（如例1）二．一元二次方程根的情况：、1.根的判别式： ac b 42-=∆ ∆>0时，方程有两个不相等的实数根∆=0时，方程有两个相等的实数根∆<0时，方程没有实数根2.根与系数的关系（韦达定理） a b x x -=+21 a c x x =21 2122122212)(x x x x x x -+=+ （如例2）212212214)()(x x x x x x -+=- ax x ∆=-21 3.已知两根构造一元二次方程：0))((21=--x x x x4.二次三项式的最值问题： 通过配方化成n m x +-2)(的形式 即当x=m 时，最大（小）值是n 三．一元二次方程的应用1.平均增长率问题 b x a n =±)1(2.商品的销售问题：先列表格 再列方程 （如例3）3图形的动点问题：设时间 长度=速度⨯时间4其他问题（如：单循环比赛m n n =+)1(21，送贺卡m n n =+)1(等） 例1 换元法（1）06524=+-x x （2）已知5)3)(1(2222=-+++y x y x 求22y x +设y x =2则原方程变为： 设：a y x =+22 则原方程变为： 0652=+-x y 解得： 5)3)(1(=-+a a 整理得：0822=--a a21=y 32=y 即： 解得： 41=a 22-=a 即：222±==x x 332±==x x 022≥+y x 422=+∴y x 例2 已知方程02)12(22=-+++m x m x 的两实数根的平方和等于11，求m 的值解： 方程有两个实数根 根据题意：112221=+x x042>-=∆∴ac b 112)(212212221=-+=+x x x x x x 即： 0)2(4)12(22>--+m m []11)2(2)12(22=--+-m m 解得：49->m 整理得：0322=-+m m 解得：11=m 32-=m49->m 1=∴m 例3 百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x 元，根据题意的：1200)220)(40(=+-x x 解得：101=x 202=x根据题意，为了扩大销量，减少库存所以20=x答：要想平均每天销售获利1200元，每件童装应降价20元注意：（做完答案时，要验证保证利润>0 ， 销量>0）。
一元二次方程知识归纳总结
一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。
它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。
在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。
2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。
三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。
2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
- 当Δ < 0时，方程无实数解。
3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。
4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。
四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。
它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。
一元二次方程知识结构图
一元二次方程知识结构图
1、相关概念：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解、一元二次方程的根的概念。
2、相关解法：夹逼法、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法。
重点是以下三种方法：
(1)配方法首先通过实际问题引出，这样的方程可以化为更为简单的形式，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解方程，引出配方法。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)公式法首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。
然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。
然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。
最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
3、根的判别式及韦达定理。
4、相关应用：通过实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
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一元二次方程知识结构
第一部分：引言
一元二次方程是数学中的重要概念之一，它在代数学和几何学中有着广泛的应用。
一元二次方程包含一个未知数的二次项、一次项和常数项，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x 为未知数。
解一元二次方程的过程涉及到求根、判别式等数学概念和方法。
第二部分：一元二次方程的基本概念
1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是一个未知数的二次项、一次项和常数项的代数等式。
2. 二次项、一次项和常数项：二次项是未知数的平方，一次项是未知数的一次幂，常数项是不含未知数的常数。
3. 一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
4. 解一元二次方程的含义：解一元二次方程就是求出使方程成立的未知数的值，即方程的根。
第三部分：一元二次方程的求解方法
1. 因式分解法：当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过这种方法求解方程。
2. 完全平方公式：当一元二次方程的二次项和一次项都是完全平方时，可以利用完全平方公式求解方程。
3. 直接使用求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以直接使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)求解方程。
4. 判别式法：通过计算一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，可以判断方程有几个实根、重根还是无实根。
第四部分：一元二次方程的应用领域
1. 几何学中的应用：一元二次方程可以描述平面图形的性质，如抛物线的形状、焦点、顶点等。
2. 物理学中的应用：一元二次方程可以描述运动的轨迹、抛射物的飞行距离等物理现象。
3. 经济学中的应用：一元二次方程可以用于描述成本函数、收益函数等经济模型。
4. 工程学中的应用：一元二次方程可以用于解决工程问题，如求解最佳设计方案、优化问题等。
第五部分：一元二次方程的拓展
1. 复数解：当一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac小于0时，方程没有实根，但可以有复数根。
2. 高次方程：一元二次方程是二次方程的特殊情况，还有更高次的方程，如三次方程、四次方程等，其求解方法也有所不同。
3. 二次方程与二次函数的关系：一元二次方程的解对应于二次函数的零点，二次函数的图像与一元二次方程的根之间存在关系。
第六部分：总结
一元二次方程作为代数学中的基础概念，具有重要的理论和实际应用价值。
掌握一元二次方程的基本概念和求解方法，有助于理解和解决各种与方程相关的问题。
同时，一元二次方程的拓展和应用领域也为我们深入理解数学的抽象概念和应用意义提供了更多的可能性。