5 简单的逻辑联结词
简单的逻辑连接词(很好用)
（2）2是素数且3是素数. （真）
探究（二）：逻辑联结词“或”
命题(3)是由命
思考 下列三个命题间有什么关系？ 题(1)(2)使用联
（1）27是7的倍数；
结词“或”联 结得到的新命
（2）27是9的倍数；
题.
（3）27是7的倍数 或 是9的倍数。
一般地，用逻辑联结词“ ”把命题p和命题q联结起来,
例2 写出下列命题的否定，并判断
它们的真假：
（1）p：y＝sinx是周期函数；
（2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集.
（1）﹁p：y＝sinx不是周期函数.
假命题.
（2）﹁p：3≥2.
真命题.
（3）﹁p：空集不是集合A的子集. 假命题
例3 已知p：函数y＝ax在R上是减函 数，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R， 若﹁(p∧q)和p∨q都是真命题，求a的取
p与﹁p必有一个是真命题， 另一个是假命题.
பைடு நூலகம்真假相反
例5 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p:y=sinx 是周期函数；
解： p ： y=sinx不是周期函数。
假
（2）p:3 < 2
解： p ： 3≥2.
真
(3) p:空集是集合A的子集
解： p ： 空集不是集合A的子集。 假
符号“∧”与“∩”开口都是向下
思考4：在如图所示的串联电路中，开
关p、q处于什么状态时灯泡发亮？
pq
同真为真
其余为假
（一假必假)
思考5：如果把上述电路图中开关p、q 的闭合与断开，分别对应命题p、q的真 与假，那么灯泡发亮与命题p∧q的真假 有什么关系？
简单的逻辑联结词
选修2-11.3 简单的逻辑联结词逻辑联结词“且”“或”“非”的含义且：就是两者都有的意思。
或：就是两者至少有一个的意思（可兼容）非：就是否定的意思。
注意:今后常用小写字母p,q,r,s,…表示命题。
我们把使用逻辑联结词联结而成的命题称为复合命题。
且(and)观察下面的三个命题，它们之间有什么关系？(1)12能被3整除；(2)12能被4整除；(3)12能被3整除且能被4整除。
可以发现命题（3）是由命题（1）（2）使用了联结词“且”得到的复合命题。
一、“且”命题1.定义：如果用联结词“且”将命题p 和命题q 联结起来，就得到了一个复合命题，记作p∧q读作“p且q”.2.命题p∧q真假的判定:规定：当p,q都是真命题时，p∧q是真命题；当p,q两个命题中有一个是假命题时，p∧q是假命题。
上题中（1）（2）都是真命题，所以（3）为真命题。
开关p,q的闭合对应命题的真假,则整个电路的接通与断开分别对应命题p∧q的真与假.3.p且q形式复合命题的真值表：p q p且q真真真真假假假真假假假假例1、将下列命题用且联结成新命题并判断其真假。
1、p：平行四边形的对角线互相平分；真q：平行四边形对角线相等；假解：p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等. 假2、p：菱形的对角线互相垂直真q：菱形的对角线互相平分；真解：p∧q : 菱形的对角线互相垂直且平分. 真3、p：35是15的倍数；假q：35是7的倍数；真解：p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数. 假例2、用逻辑连结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假。
1、1既是奇数，又是素数。
解：1 是奇数且 1 是素数。
假命题2、2和3都是素数。
解： 2 是素数且 3 是素数。
真命题或(or)观察下列命题之间的关系：（1）27是7的倍数（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数。
可以发现：命题（3）是由命题（1）（2）使用了逻辑联结词“或”构成的复合命题。
高中数学选修1课件：1.3简单的逻辑联结词
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻 辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结 词的命题称为简单命题.
复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.
1.3.1 且(and)
思考?
正面
=>
是
都是
至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定
≠
≤
不是
不都是
至少有两个 没有一个 某个 某些
例4 已知命题p,q,写出“P或q”,“P且q”,“非p”形
式的复合命题. (1)p:π是无理数,q:π是实数. (2)p:3>5,q:3+5=8. (3)p:等腰三角形的两个底角相等,q:等腰三 角形底边上的高和底边上的中线重合.
例2 分别写出由命题“p:平行四边形的对角 线相等”,“q:平行四边形的对角线互相平分” 构成的“P或q”,“P且q”,“非p”形式的命题。
例3 分别指出下列命题的形式及构成它的 简单命题。 (1)24既是8的倍数,又是6的倍数. (2)李强是篮球运动员或跳水运动员. (3)平行线不相交.
本节须注意的几个方面: (1)“≥”的意义是“＞或＝”． (2)“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
是假命题时, p q是假命题.
p
q
全真为真,有假即假.
一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个
p q 新命题,记作
规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
时, p q 是真命题;当p,q两个命题中都是
假命题时, p q 是假命题.
当p,q两个命题中有一个是真命
简单的逻辑连接词
授课班级文117班授课时间45分钟课型新授课课题选修1-1 第一章 1.3 简单的逻辑连接词教学目标1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；3．知道命题的否定与否命题的区别．重点正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，并能正确表述这“p∧q”、“p∨q”、“⌝p”这些新命题。
难点简洁、准确地表述新命题“p∧q”、“p∨q”“⌝p”并能判断其真假性教具教学方法1.3 简单的逻辑联接词命题：可以判断真假的陈述句叫命题。
且：或：非：几种常用词的否定：教学环节教学内容教师活动学生活动设计说明复习旧知一、复习回顾命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题（1）12>5（2）3是15的约数（3）0.5是整数（4）3是15的约数吗？（5） x>8 都不是命题。
[师]：上课，同学们，前面我们学习了命题，现在请观察黑板，然后告诉我这五个语句是不是命题，如果是，请判断真假。
[生]回答教师提问（1）是真命题（2）是真命题（3）是假命题（4）不是命题（5）不是命题（6）复习之前学过的有关命题的知识，为学生学习新课打下基础引入新知歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位文艺批评家“狭路相逢”。
这位批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬局面，但见歌德笑容可掬，谦恭地闪在一旁，一边有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反。
”结果故作聪明的批评家，反倒自讨个没趣。
[师]很好，看来同学们已经掌握了知识，那接下来我们来看一则小故事。
提问：批评家的话是什么意思：（1）我不给傻子让路（2）你歌德是傻子（3）我不给你让路。
歌德的反击：（1）我给傻子让路（2）你批评家是傻子（3）我给你让路[生]一起阅读小故事并回答下列小问题。
2.3-联结词的完备集
13
例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同时 按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下 时，锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电 路图。 解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的状 态，“1”表示打开，“0”表示未打开。 则G（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C） （A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） （A∧B）∨（（A∨B）∧┐C） （A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）
7
推论：{┐、∧}、{┐、∨}、{┐、→}是联结词 完备集，并且是最小联结词完备集。 因为p∨q ┐（┐p∧┐q） p∧q ┐（┐p∨┐q） p∨q ┐p → q p∧q ┐（p → ┐q）
{, }是联结词完备集，并且是最小联 推论： 结词完备集。
c
定理：{}、{}是联结词完备集，并且是最小 联结词完备集。
8
10
为了方便电路逻辑设计的需要，现将命题逻辑联结 电路，使得分别装在楼 梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出控制电 路的逻辑表达式并设计电路图。 解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表示 开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照明 状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。 S（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）s1s2 电路图如下：
6
定义：一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该集 合中的联结词来表示或等值表示，就称为联结词完备集。 如果该集合任意去掉一个联结词，就不再具备这种特性，就 称为最小完备集。
定理：{┐,∧,∨}是联结词完备集。 推论：{┐,∧,∨,→}，{┐,∧,∨,→,}， {┐,∧,∨,→,,}，{┐,∧,∨,→,,,} 等都是联结词完备集。
常用的五个命题联结词
常用的五个命题联结词命题逻辑(propositional logic) 也被称为语句逻辑(sentential logic)，是从连接词和复合语句的角度讨论逻辑蕴含，可演绎性和一致性。
这意味着我们会忽略语句中的其他的元素主语、谓词和量词等。
命题和语句是有区别的，但暂时不区分，命题、语句或句子都是指的同样的东西。
理论的前提和结论都是由陈述句构成的。
对于陈述句，我们给出一个简单的定义:对于任何一个语句ϕ \phi ϕ，如果我们问下列问题是有意义的，•ϕ \phi ϕ是真的吗？•ϕ \phi ϕ是假的吗？那么我们就称ϕ \phiϕ为陈述句。
对于书中的句子：•讨论的句子只限于陈述句•讨论的陈述句只限于非真即假的陈述句如果一个句子是真的，那么我们说该句子的真值是真；如果一个句子是假的，我们说该句子的真值是假。
真和假统称真值(true-value)。
用这个概念重复上两个预设，那么有联结词命题联结词(propositional connectives)，也被称为语句联结词(sentenial connectives),又称命题算子或者语句算子(propositional/sentential operators)。
通常我们简称命题联结词为联结词。
直观来讲，他们是带空格的表达式，使得陈述句填入这些空格的结果总是陈述句。
例如：•----，并且----•(虽然)----，但是，----•(或者)----,或者----•并非----•因为----，所以----•可以想象----•张三相信----•李四认为----•政客们喜欢说----对于自然数 n > 0 n>0 n>0，如果一个联结词有 n 个空格，我们通常就说他是 n元联结词。
联结词实际上是陈述句集合上的某种函数(运算)：对于每个这样的 n 元函数，一旦给定有序的 n 个陈述句作为其自变量的取值，该函数的值是一个唯一的陈述句，即由依次填入联结词的空格列所得到的句子。
1.3简单的逻辑联结词
命题q：指数函数f ( x ) (5 2m) 是增函数.若“p q”为真，求 实数m的取值范围.
x
m 1
新知拓展
已知p：方程x mx 1 0有两个不等
2
负实根；q：方程4 x 4(m 2) 1 0
2
无实根，若p q为真，p q为假，求 m的取值范围.
q 真 假 真 假
p ∧q 真 真 假 真 假 真 假
一 假 则 假
当p、q都是真命题时，p∧q为真命题；
当p、q中有一个是假命题时，p∧q为假命题.
例题讲解
例1 将下列命题用“且”联结成新命题， 并判断它们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
m 3或1 m 2
探究（一）：逻辑联结词“非” 思考1：下列各组语句是命题吗？它们之间 有什么关系？并判明真假. 真 （1）35能被5整除， 35不能被5整除； 假 （2）函数y＝lgx是偶函数， 假 函数y＝lgx不是偶函数； 真 （3）|a|≥0， 真 | a| ＜ 0 ； 假 （4）方程x2－4＝0无实根， 假 2 方程x －4＝0有实根. 真
既不充分也不必要
课堂练习 2 2. 方程 ax bx c 0(a 0) 有实数根是 ac 0 的_________ 必要不充分 条件.
x y 4 x 2 必要不充分 3. 是 的_________条件. xy 4 y 2
课堂练习
1 0, 4.已知 p : x 3x 2 0 , q : 2 x x6
例题讲解
简单的逻辑联结词
“简单的逻辑联结词”教案 章节名称简单的逻辑关联词学习内容分析本章节的内容是学生在接触到了命题及其四种关系之后的基础上进一步学习在命题上常用的逻辑关联词。
通过举例和练习使学生体会和理解“且”、“或”、“非”在命题表述及判断真伪中的实际意义。
学习者分析 学生在刚接触到逻辑相关的知识，由于本章的知识学生在原来的学习过程中接触的较少，所以在理解上会有一定的问题。
但是本章知识在现实生活中是经常会遇到的，在教学过程中，只要能够将书本上的知识与现实相结合，通过列举生活中的例子，使学生认识到所学问题的本质就是源自于生活。
教学 目标 1、使学生理解掌握三个逻辑关联词的意义，并能熟练运用原命题p、q的真假判断p q∧，p q∨，p¬的真假。
2、使学生初步认识到数学是源自于生活，并且服务于生活。
教学重难点及解决措施 重点：1、“且”、“或”、“非”意义的准确理解。
2、由原命题p、q的真假判断p q∧，p q∨，p¬的真假。
难点：1、由原命题p、q的真假判断p q∧，p q∨，p¬的真假。
通过例题的讲解，以及生活中现实例子的说明，带领学生突破难点。
教学过程教学环节 教学内容教学时间教师活动 学生活动第一部知识点 且的相关知识10引入概念问题一：（1）12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且12能被4整除；上面三个命题有什么关系呢？问题二：（1）小明的数学成绩很好；（2）小明的语文成绩很好；（3）小明的数学成绩很好且小明的语文成绩很好；上面三个命题有什么关系呢？问题三：我们能不能将如下命题用关联词“且”将其联结呢？（1）p：35是15的倍数；q：35是7的倍数。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线相等。
一般的，用“且”将命题p和命题“q”联结起来，就得到一个新命题记作p q∧，读作“p且q”思考两个问题中三个命题之间的关系；理解“且”的含义引出：当p，q两个命题有一个是真命题时，p q∨是真命题；当p，q两个命题都是假命题是，p q∨是假命题。
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深圳市坪山高级中学学案（数学选修一）
选修5
简单的逻辑联结词
一、复习回顾
问题：
判断下面命题的真假．
⑴125；⑵3是12的约数；⑶0.4是整数．
我们再来看几个复杂的命题，判断真假：
⑴10可以被2或5整除；
⑵菱形的对角线互相垂直且平分；
⑶0.5非整数．
二、讲授新课
这里的“且”、“或”、“非”称为逻辑联结词．
我们常用小写拉丁字母p，q，r，… 表示命题，上面命题⑴⑵⑶的构成形式分别是：
p且 q；
p或q；
非p．
非p也叫做命题p的否定．非p记作“p”，“”读作“非”（或“并非”），表示“否定”．
思考：
下列三个命题间有什么关系？
⑴ 12能被3整除；
⑵ 12能被4整除；
⑶ 12能被3整除且能被4整除．
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，
记作pq，读作“p且q”．
规定：当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个是假命题时，pq 是
假命题．
全真为真，有假即假．
例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它的真假：
⑴p：平行四边形的对角线互相平分；q：平行四边形的对角线相等．
⑵p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分．
例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：
⑴ 1既是奇数，又是素数；⑵2和3都是素数．
深圳市坪山高级中学学案（数学选修一）
思考：下列三个命题间有什么关系？
⑴27是7的倍数；⑵27是9的倍数；⑶27是7的倍数或是9的倍数．
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，
记作：pq，读作：p或q．
规定：当p、q两个命题中有一个是真命题时，pq是真命题；当p、q都是假命题时，pq是假
命题．
全假为假，有真即真．
例3：判断下列命题的真假：
⑴22；
⑵集合A是AB的子集或是AB的子集；
⑶周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．
思考：如果pq为真命题，那么pq一定是真命题吗？反之，如果pq为真命题，那么pq一
定是真命题吗？
思考：下列命题间有什么关系？
⑴35能被5整除；
⑵35不能被5整除．
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，
记作：p，读作“非p”或“p的否定”．
规定：若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．
“非”命题最常见的几个正面词语的否定：
正面 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些
例4：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
⑴p：sinyx是周期函数； ⑵p：32；
⑶p：空集是集合A的子集； ⑷p：是无理数；
⑸p：等腰三角形的两个底角相等；
⑹p：等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合．
例5：分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
⑴24既是8的倍数，又是6的倍数；⑵李强是篮球运动员或跳水运动员；⑶平行线不相交．
练习：
1．判断下列命题的真假：
⑴12是48且是36的约数； ⑵矩形的对角线互相垂直且平分．
2．判断下列命题的真假：
⑴47是7的倍数或49是7的倍数； ⑵等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直．
3．写出下列命题的否定，然后判断它们的真假：
⑴225； ⑵3是方程290x的根； ⑶211．