地球物理学中的反演问题
地球物理反演方法的综述
地球物理反演方法的综述地球物理反演是一种利用地球物理方法来推断地下构造和物质分布的技术。
通过观测和测量地球物理场，如重力、地磁、电磁、地震等，结合数理统计和计算机模拟方法，可以对地下的地质构造、岩石性质和地下水资源等进行精确的推断。
本文将综述地球物理反演方法的原理、分类及应用。
一、地球物理反演方法的原理地球物理反演方法的原理在于根据地球物理场的观测数据，通过数学模型和计算方法，将地球物理场与地下介质属性之间的关系联系起来。
根据电磁波传播、物质密度、电阻率、磁化率等反演参数的变化规律，推断地下介质的结构和成分。
其中常用的地球物理反演方法包括重力法、磁法、电磁法、地电法和地震法等。
不同的反演方法适用于不同的地质介质和研究目标，各有其优势和限制。
二、地球物理反演方法的分类1. 重力反演法：利用重力场观测数据，通过计算物质的密度分布，来推断地下构造的方法。
重力反演法在石油勘探、地质灾害分析、水资源评价等领域具有广泛应用。
2. 磁法反演法：通过磁场观测数据，推断地下磁化率和磁性物质的空间分布。
磁法反演在矿产勘探、地震预测等方面发挥重要作用。
3. 电磁法反演法：通过电磁场观测数据，推断地下电阻率分布，来研究地下水资源、矿产和工程勘探。
电磁法反演在地下水资源评价、油气勘探、环境地球物理和岩土工程等方面有广泛应用。
4. 地电法反演法：通过电场和电位观测数据，推断地下电阻率分布，用于研究地下水位、地下水性质、污染监测和地下工程等。
地电法反演在工程地球物理勘探和水文地球物理领域具有广泛应用。
5. 地震法反演法：通过地震波在地下的传播与变化，推断地下介质的速度和密度分布，用于研究地质构造、地震预测和石油勘探等。
地震法反演是地球物理反演方法中应用最广泛的方法之一。
三、地球物理反演方法的应用地球物理反演方法广泛应用于地质探测、资源勘探、环境监测和工程勘察等领域。
以下是几个常见的应用领域：1. 石油勘探：地震反演方法可用于确定油气藏的位置、大小和分布，辅助油田开发和管理。
地球物理反演技术的原理与应用
地球物理反演技术的原理与应用地球物理反演技术是一种利用地球物理学原理和数据来研究地球结构和物理性质的方法。
它通过观测不同物理现象的数据，并将这些观测数据与理论模型进行比对，从而推断地下地质结构和属性的技术。
本文将介绍地球物理反演技术的原理和常见的应用领域。
一、地球物理反演技术的原理地球物理反演技术的原理主要基于物理学原理，包括电磁学、重力学、磁学、地震学和地热学等。
具体原理如下：1. 电磁学原理：电磁法反演技术利用地下不同电性介质对电磁场的响应特性来识别地下结构。
该方法可以通过测量地下电磁场的参数（如电阻率、电导率和介电常数）来推断地下岩石类型、孔隙度和流体性质。
2. 重力学原理：重力法反演技术基于地球重力场的变化来推测地下物质的密度分布。
地球上不同密度的岩石体会造成地球重力场的微小变化，通过测量这种变化，可以揭示地下岩石体的类型和分布。
3. 磁学原理：磁法反演技术是利用地下岩石的磁性来推测地下结构。
地球上的磁场会受到地下岩石的磁性影响，通过测量地球磁场的变化，可以了解地下岩石类型和分布。
4. 地震学原理：地震法反演技术是利用地震波在地下传播的特性来推测地下结构。
地震波在地下不同介质中传播时，会发生折射、折射、散射等现象，通过记录地震波的传播速度和幅度变化，可以计算出地下岩石的速度和密度分布。
5. 地热学原理：地热法反演技术是利用地球内部热流传递的特性来推测地下热流分布和地下岩石的导热性质。
地下不同介质的导热性质不同，通过测量地球表面的地温和热流分布，可以推断地下岩石的导热性质、岩石类型和介质性质。
二、地球物理反演技术的应用地球物理反演技术广泛应用于地质勘探、环境监测、灾害预警和能源开发等领域。
以下是一些常见的应用领域：1. 矿产勘探：地球物理反演技术在矿产勘探中具有重要作用。
根据地球物理反演技术可以获得的电阻率、重力梯度、磁场强度等信息，可以推测地下的矿体分布和性质，指导矿产资源的开发和勘探。
地球物理反演理论课件
地震预测
分析地震波在地壳的传播演 化规律，预测地震发生时间 和强度。
环境监测
探测地下水、矿产和污染物 分布及变化情况。
常见的地球物理反演方法
磁法
利用自然磁场或外加磁场探测地 下物质性质。
地震法
利用地震波在地球内部传播规律 探测地下结构。
电法
利用电场或磁场探测地下物质性 质。
地球物理反演的挑战与解决方案
多物理场耦合
发展多种物理场耦合反演技术， 如电磁-声波反演等。
反演模型可解释性
研究拓扑学、机器学习等方法， 提高反演模型可解释性。
总结与展望
地球物理反演理论是地球科学的重要分支，未来将会面临更多的机遇和挑战。 我们期待在该领域的深入研究和应用。
பைடு நூலகம்
地球物理反演理论
探索地球内部构造的基础理论。
地球物理反演的基本原理
1
传播
利用地震波在地球内部的传播规律获取地下介质信息。
2
建模
基于物理学原理建立反演模型刻画地下介质物理结构。
3
求解
应用数学算法求解反演模型以获取地下介质物理参数。
地球物理反演的应用领域
石油勘探
获取地下油藏分布位置、体 积和物性信息。
1 非线性问题
地下介质非线性性质导致反演过程数学模型复杂，求解困难。
2 数据融合
地球物理勘探往往需要多种方法数据的综合利用，如何有效地融合数据是一个难点。
3 高性能计算
反演过程需要进行大量的数值计算，如何利用高性能计算提高计算效率是关键。
地球物理反演的未来发展方向
更多数据源
发掘各种数据源，如遥感、人 工智能数据等，提高数据支撑 和反演精度。
地球物理反演
三、等式限制条件
问题:
d Gm Fm h
目标函数:
E (d Gm)T (d Gm) T [Fm h]
例一
m1
1 N
(1, 1,
, 1)mm2N
(h1 )
h
物理意义:要求解的平均值等于某一个常数
例二.
m1
d1 d2
d
N
di zi di
zi2di
于是，最小二乘解为
N
m
GTG
1 GT d
zi
z
2 i
zi
z
2 i
zi3
zi2
z
3 i
1
di
xi di
zi4
yi d
4. 例子
例三 最小平方反褶积
最小平方反褶积
输入信号： xt
滤 波 器： f t
§6 反演结果的评价
1. 评价问题的提出 2. 评价准则 3. 平均函数A决定分辨率 4. 平均函数与哪些因素有关？
§7 解的稳定性
1. 稳定性的概念 2. 举例 3. 稳定性与核函数的性质有关
§8 线性反演问题综述
1. 构造一组新的正交基 2. 的含义 3. 模型构制（解的存在性） 4. 解的非唯一性 5. 长度最小模型是核函数的线性组合
地球物理反演理论
刘学伟
第一章 绪论
§1 反演的目的和任务 §2 几个反演例子 §3 非线性问题线性化与连续模型离散化 §4 模型构制 §5 解的非唯一性 §6 反演结果的评价 §7 解的稳定性 §8 线性反演问题综述
§1 反演的目的和任务
1．什么是反演，什么是正演？ 2．地球物理反演： 3．反演理论中的四大问题： 4．数学物理模型和响应函数的正演问题：
地球物理反演模型的优化方法比较研究
地球物理反演模型的优化方法比较研究地球物理反演是一种利用地球物理数据来推导地下结构和特性的方法。
它在地震勘探、地热能勘查、矿产资源勘查以及环境地球物理等领域广泛应用。
地球物理反演模型的优化方法比较研究是为了找到最优的反演模型及其参数化表示方法，以提高反演成像的准确性。
在地球物理反演中，通常会使用不同的优化方法来寻找最优模型。
以下将介绍常见的几种优化方法以及它们的优缺点。
1. 非线性最小二乘法（Nonlinear least squares method）：非线性最小二乘法是最常用的地球物理反演优化方法之一。
它将地球物理观测数据与模拟数据之间的差异最小化，通过调整模型参数来寻找最优解。
该方法具有较高的可靠性和准确性，但是计算量大，收敛速度慢，对初值敏感。
2. 遗传算法（Genetic algorithm）：遗传算法是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。
它通过定义适应度函数、选择、交叉和变异等操作，不断迭代生成新的模型解，并逐渐优化适应度函数的值。
遗传算法具有全局搜索能力，能够在复杂的反演问题中找到较好的解，但计算复杂度较高。
3. 模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）：模拟退火算法源于固体退火原理，通过模拟退火的过程来搜索全局最优解。
它以一定的概率接受劣质解，并通过降低温度来控制搜索过程，逐渐趋向全局最优解。
模拟退火算法具有较好的全局搜索能力和收敛性，但计算量会随问题规模增大而增加。
4. 全局直接优化方法（Global direct optimization method）：全局直接优化方法是一种通过定义多个目标函数，同时优化多个参数的方法。
它综合考虑了多个目标函数之间的相关性，通过寻找一个平衡点来达到最优化目标。
全局直接优化方法具有较强的鲁棒性，能够得到更好的全局最优解。
5. 约束反演方法（Constrained inversion method）：约束反演方法在优化过程中引入了先验信息或约束条件，以降低反演的不确定性。
多尺度地球物理反演方法在地球科学中的前沿探索
多尺度地球物理反演方法在地球科学中的前沿探索地球科学研究着眼于理解地球内部结构和动力过程，从而深化我们对地球系统的认识。
地球物理反演作为一种重要的研究方法，旨在通过分析地震、重力、电磁等物理信号，推断地下结构和属性。
然而，地下介质的非均匀性和复杂性使得地球物理反演问题具有挑战性。
为了解决这些挑战，多尺度地球物理反演方法在地球科学中得到广泛应用并取得了前沿的探索成果。
多尺度地球物理反演方法是一种结合了不同空间和时间尺度的反演策略，旨在从微观到宏观，从局部到全球，提供全面的地下结构信息。
具体而言，多尺度地球物理反演方法通过将地下介质划分为不同的尺度层次，从分子、岩石、流体，到岩层、盆地和陆块等尺度，层层递进地揭示地下结构和属性。
在微观尺度上，多尺度地球物理反演方法将关注点放在岩石和流体的微观尺度特征上。
通过分析地震波在不同介质中的传播特性，可以研究地下岩石的孔隙度、弹性模量、渗透率等重要参数。
此外，利用电磁法、核磁共振等技术，可以揭示地下流体活动和成分的分布，对于油气勘探和地下水资源的管理具有重要意义。
在岩石层次尺度上，多尺度地球物理反演方法致力于揭示地下岩石层的空间分布和物理特性。
通过地震层析成像、电磁层析等方法，可以获取岩石层的速度、密度、磁导率等信息。
基于这些信息，可以研究构造和地质演化过程，洞察地球内部的动力学行为。
此外，岩石层次尺度的研究还可以为地质灾害预测和地下资源勘探提供重要依据。
在盆地和陆块尺度上，多尺度地球物理反演方法致力于解决大范围区域地下结构的反演问题。
通过综合利用地震、重力、电磁等多种物理信号，可以构建三维地下模型，揭示地堑盆地、地幔对流、板块构造等地球系统的动力学过程。
此外，多尺度地球物理反演方法还可以用于评估地下水资源的分布、地热资源的潜力以及地下储层的含油气量等重要问题。
近年来，随着计算力的大幅提升和数据采集技术的不断进步，多尺度地球物理反演方法在地球科学中的应用得到了迅猛发展。
地球物理反演方法及优劣分析
地球物理反演方法及优劣分析地球物理反演是一种通过观测地球物理场的响应来推断地下介质结构和性质的方法。
地球物理反演在地质勘探、环境研究、灾害预测等领域具有重要应用价值。
本文将介绍几种常见的地球物理反演方法，并分析它们的优劣势。
1. 重力法重力法是一种通过测量地球物体潜在能的分布来推断地下密度结构的方法。
重力法具有简单、直观、非侵入性的优点，在海洋和陆地上都可应用。
然而，重力法对密度分布变化较小的地下构造敏感性不高，精度受地形影响。
此外，重力法对地下界面的分辨率较低，难以分辨细小结构。
2. 震电阻抗法震电阻抗法是一种通过测量地震波在地下传播的速度和衰减来推断地下介质的电阻率结构的方法。
震电阻抗法在勘探深层、辨析地下岩石类型等方面具有优势。
然而，震电阻抗法对电阻率界面明显的区域辨识度较高，但对电阻率变化较小的结构分辨率较低。
此外，震电阻抗法对最低频率的信号需高信噪比，仪器设备较为复杂。
3. 电法电法是一种通过测量地下电场、电位差和电流等信息来推断地下的电阻率结构的方法。
电法具有分辨率较高、不受地形影响的优势，适用于地下水、矿产资源、环境污染等的勘探。
然而，电法在复杂多层介质的情况下存在解耦问题，且对电阻率的分辨率随探测深度增加而下降。
4. 磁法磁法是一种通过测量地磁场的强度和方向变化来推测地下岩石磁性结构的方法。
磁法适用于勘探地下矿产、火山活动等。
磁法对磁性较强的物质敏感，但对非磁性物质的响应较弱。
此外，磁法的解释也受到磁化方向不明确和磁异常的干扰。
5. 地震反射法地震反射法是一种通过测量地震波在不同介质之间反射和折射的现象来推断地下介质结构的方法。
地震反射法是勘探石油和地表下岩石结构的常用方法。
地震反射法具有高分辨率、多参数的优势，可以提供地层的结构、速度、岩性等信息。
然而，地震反射法对地下介质的反射界面明显的要求较高，且受到地震波传播路径的限制。
总的来说，每种地球物理反演方法都有其适用的场景和局限性。
地球物理反演理论
地球物理反演理论一、解释下列概念1.分辨矩阵数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====，其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。
它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G （它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。
模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。
2.协方差模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。
其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。
在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。
在这种情况下,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只 有采取折衷的办法。
可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题:()(1)(cov )u aspread R size m α+-如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。
而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。
3.适定与不适定问题适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。
这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题4.正则化用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
对于方程c Gm d =，若其是不稳定的，则可以表述为()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数，其正则解为1()T T c m G G I G d α-=+。
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地球物理学中的反演问题1、介绍物理科学的一个重要的方面是根据数据对物理参数做出推断。
通常，物理定律提供了计算给定模型的数据值的方法，这就被称为“正演问题”，见图-1。
在反演问题中，我们的目标是根据一组测量值重建物理模型。
在理想情况下，存在一个确定的理论规定了这些数据应该怎样转换从而重现该模型。
从选择的一些例子来看，这样一个存在的理论假定了（我们）所需要的无限的、无噪声的数据是可以获得的。
在一个空间维度中，当所有能量的反射系数已知时，量子力学势能可以被重建[Marchenko,1955; Brurridge,1980]。
这种手法可以推广到三维空间[Newton,1989]，但是在那样的情形下要求有多余数据组，其中的原因并不是很理解。
在一条一维的线上的质量密度可以通过对它的所有本征频率的测量来构建[Borg,1946]，但是因为这个问题的对称性，因而只有偶数部分的质量密度可以被确定。
如果（地下的）地震波速只和深度有关，那么根据地震波的距离，运用阿贝尔变换，这个速度可以通过测定震波的抵达时间来精确构建[Herglotz,1907;Wiechert,1907]。
从数学上看，这个问题和构建三维空间中的球对称量子力学势是相同的[Keller et al.,1956]。
然而，当波速随着深度单调增加时，Herglotz-Wiechert的构建法只能给出唯一解[Gerver and Markushevitch,1966]。
这种情况和量子力学是相似的，在量子力学中，当电势没有局部最小值时，径向对称势只能被唯一建立[Sabatier,1973]。
（量子力学相关概念不熟悉，翻译起来有点坑~~）图-1尽管精确非线性反演法在数学表达上是美妙的，但它们的适用性是有限的。
原因有很多。
第一，精确的反演法通常只在理想状态下适用，这在实际中可能无法保持。
比如，Herglotz-Wiechert反演假定了地下的波速只依赖于深度并且随着深度单调增加。
地震层析成像显示这两点要求在地幔层都不满足[Nolet et al.,1994]。
第二，精确反演方法常常很不稳定。
Dorren et al[1994]已经清楚地展示了Marchenko方程解中这种不稳定性的存在。
然而，第三个原因是最根本的。
在很多反演问题中，我们要确定的模型是空间变量的一个连续函数。
这意味着该模型有无穷多的自由度。
然而，在实际实验中，能够用来确定模型的数据数量通常都是有限的。
通过变量的简单计算表明这些数据不能承担足够的信息来唯一确定模型。
在线性反演问题的背景下，Backus 和Gilbert[1967,1968]提出了这一观点，之后Parker[1994]也提出来这点。
这个问题对于非线性反演问题同样相关。
在实际实验中有限多的数据可以用来重建具有无穷多自由度的模型这样的事实必然表明反演问题不是唯一的，在这个意义上讲，有很多模型同样可以很好地解释这些数据。
因此，从数据反演中得到的模型不一定等于我们想要的真实模型。
这意味着图1中展示的反演问题的观点太简单了。
对于现实问题，反演实际上包含两步。
用m表示真实模型，d表示数据。
由数据d我们得到一个估计的模型m~，这一步称为估计问题（estimation problem），看图2。
除了估计一个和数据一致的模型m~，我们也需要探究估计模型m~和真实模型m具有什么关系。
在评价问题中，我们会确定估计模型获得了真实模型的哪些性质以及附带了哪些误差。
这部分讨论的实质就是反演=估计+评价。
当我们作出一个物理解释却不承认模型中存在误差的事实以及有限的精度，这是没有多少意义的[Trampert, 1998]。
图-2通常来说，有两个原因可以解释为什么估计模型跟真实模型不同。
第一个原因是反演问题的非唯一性，这使得一些（通常是无穷多的）模型满足这些数据。
从技术上来讲，这个模型因为模型空间的不充分取样所以零空间存在。
第二个原因是实际数据（以及物理理论比我们想要的更频繁）总是受到误差的污染，所以估计模型也受到这些误差的污染。
所以模型评价有两个方面，非唯一性和误差传播。
模型估计和模型评价对于具有有限自由度的离散模型和具有无穷多自由度的连续模型在根本上是不同的。
而且，模型评价的问题只有在线性反演问题上得到很好的解决。
因此，离散模型和连续模型的反演是分开处理的。
线性反演和非线性反演的情况也是分开处理的。
在第2节将讨论有限数量模型参数的线性反演。
在第3节中将推广为处理带有无穷多自由度的连续模型的线性反演问题。
实际上，很多反演问题都不完全是线性的，但是这些问题常常可以通过做一些适当的近似来线性化。
在第4节中将推导出单次散射近似。
这种方法形成了运用于反射地震学中的成像工具的基础。
Rayleigh原理将在第5节介绍，它是关于线性化的，构成了使用正则模态频率对地球结构进行反演的基础。
地震波传播时间层析的线性化方法是基于Fermat原理的，这将在第6节介绍。
非线性反演问题要明显难于线性反演问题。
第7节将会说明非线性可能是不适定性的一个来源。
目前，对于非线性反演问题的评价问题还没有令人满意的理论。
在第8节将会介绍三种可用于非线性评价问题的方法。
然而，这些方法没有一个是非常令人满意的，表明非线性反演理论是一个有重要研究挑战的领域。
2、解有限的线性方程组在前面的章节中讨论过，反演问题将有限的数据映射到一个模型上。
在地球物理学大多数实际应用中，该模型是空间坐标的一个连续函数，因此具有无穷多的自由度。
我们暂时忽略这点并假定该模型的特征可以由有限个参数确定。
我们将回到这些模型的重要情形，在第3节中这些模型会是无限维的。
2.1 线性模型估计对于一个有限维的模型，模型参数可以规定为向量m，类似地，数据可以规定为向量d。
矩阵A通过乘积Am将数据关联到模型上。
这个矩阵常常被称为理论算子。
确实，在给定的问题上，它包含了我们选择给模型的所有物理和数学信息。
实际上，这些数据包含了误差e ，因此记录的数据和该模型的关系应该是：e Am d += （1）有一点需要经常注意的是，我们对于包含在模型向量m 中的模型参数的选择有某种武断性。
例如，若想要描述地球的密度，我们可以选择一个模型，在该模型中，地幔和地核具有均匀密度，在这种情况下存在两个模型参数。
或者，我们可以把大量定义在球体上的特征方程中的地球密度展开，比如描述横向变化的球谐函数以及描述深度方向变化的多项式，这种情况会有更多的模型参数。
在同一个模型上的这两种不同参数化方法对应于不同的模型参数m 和不同的矩阵A 。
这个例子表明模型m 不一定是真实的模型，但是对模型参数的选择通常包含了对于所能构建的模型的等级的限制。
以下我们将把m 认为是真模型，虽然对于它的定义存在很多困难。
由记录的数据我们得到模型的一个估计。
因为这个估计实际上跟真模型是不同的，我们用m ~来表示估计模型。
有很多方法来设计一个逆运算将数据映射到估计模型上[e.g. Menke,1984;Tarantola,1987;Parker,1994]。
无论选择什么估计量，从数据到估计模型之间最一般的线性映射可以写做d A mg -=~ （2） 算子g A -称为矩阵A 的广义逆。
一般来说，数据的数量不等于模型参数的数量。
因此，A 通常是一个非方阵矩阵，所以它的正常逆矩阵是不存在的。
随后我们将说明广义逆矩阵g A -如何来选择，但目前g A -并不需要作详细说明。
被估计模型m~与真模型m 之间的关系遵循如下表达式（将等式（1）代入等式（2））e A Am A mg g --+=~ （3）矩阵A A g -称为精度矩阵（resolution kernel ），这个算子被定义为A A R g -≡ （4）表达式（3）可以写成下列形式来进行解释误差部分有限分辨率e A m I A A m m g g --+-+= )(~ （5） 在理想情况下，估计模型等于真模型向量：m m=~表示我们选择的参数（列在向量m 中）可以被相互独立估计。
等式（5）中最后两项分别解释了估计模型中的模糊度（blurring ）和伪差（artifacts ）。
m I A A g )(--描述了估计模型向量的元素是真模型向量不同元素的线性组合。
我们只能取得模型估计中的参数平均值和模糊度，因为我们无法映射出最完美的细节。
在理想情况下，这一项是为零的，此时A A g -等于单位矩阵。
由（4）可知，对于完美解决的模型参数，精度矩阵为单位矩阵，即I R = （6）如前所述，通常定义向量m 的模型参数的定义存在某种歧义。
精度算子告诉了我们在估计过程中我们可以独立获得的模型参数的程度。
但是，精度矩阵并没有完全告诉我们估计模型和真实的潜在物理模型之间的关系是什么，因为它没有考虑模型参数的选择对于在估计过程中能够得到的模型的限制程度。
表达式（5）中的最后一项描述了误差e 是怎样映射到估计模型上去的。
这些误差并不确知，否则它们就能从数据中减去。
因为数据中存在误差，所以需要一个统计分析来描述估计模型中的这些误差。
当数据j d 不相关且有标准差j d σ，则根据数据误差传播，模型估计i m ~中的标准差i m σ表达为22)(∑-=j d g ij m ji A σσ （7）理想上来看，我们希望同时获得：一个完美的精度，以及不存在误差的估计模型。
不幸的是，实际上这是不可能实现的。
比如，使用广义逆阵0=-g A 完全抑制了误差传播。
这导致（荒谬的）估计模型0~=m，这样确实不受误差的影响。
但是，这个特殊的广义逆阵对应的精度矩阵是0=R ，显然这和理想的精度矩阵I R =相去甚远。
因此，实际上我们需要在误差传播和精度限制之间找到一个可接受的平衡点。
2.2 最小二乘估计我们现在来考虑这样的情况：独立数据的数量多于未知数的数量。
在这种情况下，等式Am d =不总是对任意给定的模型m 都满足，因为数据向量中包含的可能误差使得方程左右矛盾。
例如，我们来考虑下面的问题。
我们有两个物块质量分别是1m 和2m 。
第一个物块的称重得出1千克质量。
某人测量第二个物块，结果得出2千克质量。
接下来，某人把两个物块放在一起称重，结果发现总质量是2千克。
这个问题中测量的结果可以用下列方程组表示111==d m222==d m （8）2321==+d m m相应的矩阵A 表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001A（9）显然，这个方程组是不能满足的。
不可能第一个物块质量是11=m ，第二个物块的质量是22=m ，而它们的质量之和221=+m m 。
显然测量中存在误差，但是没理由舍弃三个方程中的一个而去支持另外两个。
图3（略）生动地阐述了这个问题。
在）（21,m m 平面中，三个方程对应三条实线。
三条线不相交于同一点表示这个线性方程组存在矛盾。