(完整版)算法设计与分析期末考试卷及答案a.doc

一．填空题（每空 2 分，共 30 分）

1．算法的时间复杂性指算法中的执行次数。

2．在忽略常数因子的情况下，O、和三个符号中，提供了算法运行时间的一个上界。

3．设 D n表示大小为 n 的输入集合， t(I) 表示输入为 I 时算法的运算时间 , p(I) 表示输入

I 出现的概率，则算法的平均情况下时间复杂性A(n)= 。4．分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程：

f (n) d , n n 0

f(n) af(n/c) g(n) , n n 0

其中， g(n)表示。

5. 分治算法的基本步骤包括。

6．回溯算法的基本思想是。

7．动态规划和分治法在分解子问题方面的不同点是。

8．贪心算法中每次做出的贪心选择都是最优选择。

9． PQ 式的分支限界法中，对于活结点表中的结点，其下界函数值越小，优先级越。

10．选择排序、插入排序和归并排序算法中，算法是分治算法。

11．随机算法的一个基本特征是对于同一组输入，不同的运行可能得到的结果。

12.对于下面的确定性快速排序算法，只要在步骤 3 前加入随机化步

骤，就可得到一个随机化快速排序算法，该随机化步骤的功能是。

算法 QUICKSORT

输入： n 个元素的数组 A[1..n] 。

输出：按非降序排列的数组 A 中的元素。

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考＿装

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学

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1.quicksort(1, n)

end QUICKSORT

程 quicksort(A, low, high)

//A[low..high] 中的元素按非降序排序。

2.if low

3.w=SPLIT(A, low, high)

//算法 SPLIT 以 A[low] 主元将 A[low..high] 划分成两部

//分，返回主元的新位置。

4.quicksort (A, low, w -1)

5.quicksort (A, w+1, high)

6． end if

end quicksort

13．下面算法的基本运算是运算，算法的复性()。

算法 SPLIT

入：正整数 n，数 A[1..n] 。

出：?。

i=1

x=A[1]

for j=2 to n

if A[j]<=x then

i=i+1

if i j then A[i]A[j]

end if

end for

A[i]A[1]

w=i return

w, A

end SPLIT

二．计算题和简答题（每小题7 分，共 21 分）

1．用 O、、表示函数f与g之的关系，并分指出下列函数中最低和最高的函数：

(1) f (n)=100 g(n)=100n

(2) f(n)=6n+n log n g(n)=3n

(3) f(n)= n/logn-1 g(n)= 2 n

(4) f(n)= 2n n2 g(n)= 3n

(5) f(n)= log3n g(n)= log2n

2．下面是一个算法，其中，程 pro1 和 pro2 的运算分是 1 和log2n。

出算法的复性T(n) 足的方程，并求解方程，估 T(n)的（用表示）。

算法 EX1

入：正整数 n，n=2k。

出：?

ex1(n)

end EX1

程 ex1(n)

if n=1 then

pro1(n)

else

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＿装

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院

学

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pro2(n)

ex1(n/2)

end if

return

end ex1

3．用 Floyd 算法求下图每一对顶点之间的最短路径长度，计算矩阵D0，D1，D2和 D3，其中 D k[i, j] 表示从顶点 i 到顶点 j 的不经过编号大于k的顶点的最短路径长度。

三．算法填空题（共34 分）

1．（10 分）设 n 个不同的整数按升序存于数组A[1..n] 中，求使得 A[i]=i 的下标 i 。下面是求解该问题的分治算法。

算法 SEARCH

输入：正整数 n，存储 n 个按升序排列的不同整数的数组 A[1..n] 。

输出： A[1..n] 中使得 A[i]=i 的一个下标 i，若不存在，则输出 no solution。

i=find ((1))

if i>0 then output i

else output“ no solution”

end SEARCH

过程 find (low, high)

// 求 A[low..high]中使得A[i]=i的一个下标并返回，若不存在，

//返回0。

if (2) then return 0 else

mid= (low high ) / 2

if(3)

else

if A[mid]

return find( else

return

end if then return mid

(4)

(5)

)

end if

end if

end find

2．(10 分) 下面是求解矩乘的划算法。

矩乘：出 n 个矩 M 1 2

, ?n

, M

i i

r

i+1 矩，?

,

, M , M r i=1, 2, n，求算 M 1M 2? M n所需的最少数量乘法次数。

M i, j =M i M i+1?M j , i<=j 。 C[i, j], 1<=i<=j<=n,表示算M i, j的所需的最少数量乘法次数，

C[ i, j] 0 , i j min{ C[i, k -1] C[k, j] r i r k r j 1} , i j i k j

算法 MATCHAIN

入：矩度 n, n 个矩的 r[1..n+1], 其中 r[1..n] n 个矩的行数， r[n+1] 第 n 个矩的列数。

出： n 个矩乘所需的数量乘法的最少次数。

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号 学

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栏 ＿

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名 姓

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级 线

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信 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿

业 订

生 专 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿

考

系

装

＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ 院 学 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿

for i=1 to n C[i, i]=

（1）

for d=1 to n-1

for i=1 to n -d

j=

(2)

C[i, j]=

∞

for k=i+1 to j

x=

(3)

if x

(4)

=x

end if

end for

end for

end for

return

(5)

end MATCHAIN

3． (14 分) 下面是用回溯法求解马的周游问题的算法。

马的周游问题：给出一个

nxn 棋盘，已知一个中国象棋马在

棋盘上的某个起点位置（ x0, y0），求一条访问每个棋盘格点恰好

一次，最后回到起点的周游路线。 （设马走日字。）

算法 HORSETRAVEL

输入：正整数 n ，马的起点位置 (x0, y0) ，1<=x0, y0<=n 。

输出：一条从起点始访问 nxn 棋盘每个格点恰好一次， 最后回到起

点的周游路线；若问题无解，则输出

no solution 。

tag[1..n, 1..n]=0

dx[1..8]={2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2} dy[1..8]={1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1}

flag=false

x=x0; y=y0 ; tag[x, y]=1

m=n*n

i=1; k[i]=0

while(1)and not flag

while k[i]<8 and not flag

k[i]=(2)

x1= x+dx[k[i]]; y1= y+dy[k[i]]

if ((x1,y1)无越界 and tag[x1, y1]=0) or ((x1,y1)=(x0,y0) and i=m) then x=x1; y=y1

tag[x, y]= (3)

if i=m then flag=true

else

i=(4)

(5)

end if

end if

end while

i=i -1

(6)

(7)

end while

if flag then outputroute(k) // 输出路径

else output“ no solution”

end HORSETRAVEL

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号

学

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名

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＿装考＿

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四．算法设计题（ 15 分）

1.一个旅行者要驾车从 A 地到 B 地， A、B 两地间距离为 s。A 、B 两地

之间有 n 个加油站，已知第 i 个加油站离起点 A 的距离为d i公里，

0=d1 d 2 d n s，车加满油后可行驶m 公里，出发之前汽车油箱为空。应如何加油使得从 A 地到 B 地沿途加油次数最少？给出用贪心法求解该最优化问题的贪心选择策略，写出求该最优化问题

的最优值和最优解的贪心算法，并分析算法的时间复杂性。

《算法设计与分析》期考试卷(A) 标准答案

一. 填空题：

1.元运算

2. O

3.

p( I )t (I )

I D n

4. 将规模为 n 的问题分解为子问题以及组合相应的子问题的解所需的时间

5. 分解，递归，组合

6. 在问题的状态空间树上作带剪枝的 DFS 搜索（或： DFS+ 剪枝）

7. 前者分解出的子问题有重叠的，而后者分解出的子问题是相互独立（不重叠）的

8. 局部 9. 高

10. 归并排序算法 11. 不同

12. v=random (low, high); 交换 A[low] 和 A[v] 的值随

机选主元

13. 比较

n

二. 计算题和简答题：

1. 阶的关系： (1) f(n)= O(g(n)) (2) f(n)=(g(n)) (3) f(n)=(g(n)) (4) f(n)= O(g(n))

(5) f(n)=(g(n))

阶最低的函数是： 100

阶最高的函数是：

3n

2. 该递归算法的时间复杂性 T(n) 满足下列递归方程：

T(n) 1

, n 1

T(n) T(n/2)

log 2n , n

1

将 n= 2k , a=1, c=2, g(n)= log 2 n , d=1 代入该类递归方程解的一般形式得：

k 1

n k 1

T(n)=1+

=1+k log 2 n -

i

log 2

i 0

2i

i

=1+ k log 2 n - k (k 1) =

1

log 22

n + 1

log 2 n +1

2

2 2

所以， T(n)=

1

log 22

n + 1

log 2 n +1= (log 2 n) 。

2 2

3.

2

2

0 2

D 0

3 0 6 D 1

3 0 5 D 2

3 0 5 10

5

10 5 0

8 5 0

0 7 2

D 3 3 0 5

8 50

三. 算法填空题：

1. (1) 1, n (2) low>high (3) A[mid]=mid

(4) mid+1, high (5) find(low, mid -1)

2. (1) 0 (2) i+d (3) C[i, k -1]+C[k, j]+r[i]*r[k]*r[j+1]

(4) C[i, j] (5) C[1, n]

3. (1) i>=1 (2)k[i]+1 (3) 1

(4) i+1 (5) k[i]=0 (6) tag[x, y]=0

(7)x=x-dx[k[i]]; y=y-dy[k[i]]

四.算法设计题：

1.贪心选择策略：从起点的加油站起每次加满油后不加油行驶尽可能远，直至油箱中的油

耗尽前所能到达的最远的油站为止，在该油站再加满油。

算法 MINSTOPS

输入： A 、 B 两地间的距离 s，A 、B 两地间的加油站数 n，车加满油后可行驶的公里数m，存储各加油站离起点 A 的距离的数组d[1..n] 。

输出：从 A 地到 B 地的最少加油次数k 以及最优解x[1..k] （ x[i] 表示第 i 次加油的加油站序号），若问题无解，则输出no solution 。

d[n+1]=s; //设置虚拟加油站第n+1 站。

for i=1 to n

if d[i+1] -d[i]>m then

output “ no solution” ; //return无解，返回

end if

end for

k=1; x[k]=1//在第 1 站加满油。

s1=m //s1 为用汽车的当前油量可行驶至的地点与 A 点的距离

i=2

while s1

if d[i+1]>s1 then// 以汽车的当前油量无法到达第i+1 站。

k=k+1; x[k]=i// 在第 i 站加满油。

s1=d[i]+m// 刷新 s1 的值

end if

i=i+1

end while

output k, x[1..k]

MINSTOPS

最坏情况下的时间复杂性：Θ(n)