离散数学期末试卷06-07(2)
安徽大学2006—2007学年第二学期
《离散数学》考试试卷(B卷)
一、选择题(每小题2分,共20分)
1.在自然数集合N上,下列运算中可结合的是()
A. b
a
b
a-
=
*; B. )
,
max(
*b
a
b
a=;
C. b
a
b
a2
*+
=; D. b
a
b
a-
=
*。
2.R为实数集,运算*定义为:R
b
a∈
,,|
|
*b
a
b
a?
=,则代数系统
3.下列代数系统中,哪个是独异点()
A.
2b
a
b
a+
=
; B.
3b
a
b
a+
=
;
C. ,其中max为求两数中较大数;
D.
+
,GCD>,其中GCD为最大公约数。
(R:实数集,I:整数集,I
+
:正整数集)
4.下列集合对于指定运算,构成群的为()
A.非负整数集关于数的加法运算;
B. 整数集关于数的减法运算;
C. 正实数关于数的除法运算;
D. 一元实系数多项式集合关于多项式加法。5.下面哪个集合关于指定运算构成整环()
A. }
,
|2
{3Z
b
a
b
a∈
+,关于数的加法和乘法;
B. {n阶实数矩阵},关于矩阵的加法和乘法;
C. }
,
|2
{Z
b
a
b
a∈
+,关于数的加法和乘法;
D. }
,
|
{Z
b
a
a
b
b
a
∈
??
?
?
?
?
,关于矩阵的加法和乘法。
6.下面给出了一些偏序集的哈斯图,其中哪个不是格()
A.;
B.;
C.;
D.。
7. 下面哈斯图(图1-7)表示的格中哪个元素无补元()?
A. a ;
B. c ;
C. e ;
D. f 。
图1-7
8.给定平面图G如图1-8所示,则G中面的个数及面的总次数分别为()
A. 4,20 ;
B. 4,22 ;
C. 5,22 ;
D. 5,24 。
图1-8
9.设G 是具有w 个连通分支的平面图,若G 中有n 个结点,m 条边,k 个面,则必有( ) A. 2=+-k m n ; B. w k m n =+- ; C. 1-=+-w k m n ; D. 1+=+-w k m n 。
10.设G=(V,E)为(n,m)连通图,则要确定G 的一颗生成树必删去G 中边数为( ) A .n-m-1 ; B . n-m+1 ; C .m-n+1 ; D .m-n-1 。 二、填空题(每空2分,共22分)
1.设G={1,5,7,11},
有__________个真子群。
>+<1212,N 有__________个真子群,H 的左培集=H 3__________,=H 4__________。 4.若连通平面图G 有4个结点,3个面,则G 有__________条边。
5.设T 是无向树,它有40个1度点,20个2度点,31个3度点,且没有6度或6度以上的顶点。
则T 中有__________个4度点,有__________个5度点。
6.无向图G 是有k (2≥k )棵树组成的森林,至少要添加_______条边才能使G 成为一棵树。 三、综合题(每小题6分,共18分)
1.Q 为有理数集,Q 上定义运算*为:ab b a b a -+=*。(共6分)
(1) 求的幺元;(2分)
(2) 求中元素a 的逆元(若存在逆元);(2分)
(3) 求2*(-5);7*2
1
。(2分)
2.图3-2是格L 所对应的哈斯图。(共6分)
(1) 若a,b,d,0的补元存在,写出它们的补元;(2分) (2) L 是否是有补格?说明理由;(2分) (3) L 是否是分配格?说明理由。(2分)
图3-2
3.画出所有具有6个顶点的无向树。(6分)
四、证明题(每小题8分,共40分)
1.设><,*G 是一个群,证明:对于G 中任意的d c b a ,,,,1111,,,d c b a ,如果11**c a c a =,
11**d a d a =,11**c b c b =。则有11**d b d b =。
2.设G 是交换群,证明G 中一切有限阶元素所成集合H 是G 的一个子群。
a
3.设≤>
<,L为一个格,试证明:≤>
<,L为分配格的充要条件是对于任意的L
c
b
a∈
,
,,有)
*
(
*)
(c
b
a
c
b
a⊕
≤
⊕。
4.证明在无向完全图K
n 中(3
≥
n)任意删去n-3条边后,所得到的图是哈密尔顿图。
5.设简单平面图G中结点数7
=
n,边数15
=
m,证明:G是连通的。
安徽大学2006—2007学年第 二 学期 《 离散数学 》考试试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题2分,共20分)
1. B ; 2. A ; 3. B ; 4. D ; 5. C ; 6. C ; 7. B ; 8. C ;9. D ; 10.C 。
二、填空题(每空2分,共22分) 1. 2,3 ; 2. c, 3 ;
3. 3, {3,7,11},{4,8,0} ;
4. 5 ;
5. 2,1;
6. k-1。
三、综合题(每小题6分,共18分) 1.解:(1)幺元e=0,因为任Q a ∈, 0*a=a=a*0。(2分)
(2)当1≠a 时有逆元1
-a a
,使a a a a a a a a a a a *10111*2-==---+=-;(4分) (3)2*(-5)=2+(-5)+10=7;7*1/2=7+1/2-7/2=4。(6分)
2.解:
(1)c a =,e a =;c d =;10=;b 不存在。 (2)L 不是有补格,因为b 无补元。
(3)L 不是分配格,因为c c c e a ==⊕*1*)(而e e c e c a =⊕=⊕0)*()*(,两者不等。
3.解:由无向树的性质可知,无向树中的顶点数n 和边数m 有 m=n 一1 2m=2n 一2
由此可见,6个顶点的无向树中,6个顶点度数之和为10。(1分) 因此,6个顶点的无向树中,6个顶点的度数分别为:1,1,2,2,2,2(见图3.3-a );1,1,1,2,2,3(见图3.3-b,3.3-c);1,1,1,l,3,3(见图3.3-d);1,1,1,1,2,4(见图3.3-e );l,1,1,1,1,5(见图3.3-f)。(3分)
因此,具有6个顶点的无向树共有6种。(6分)
图3.3
(注,直接画出以上六个图形得6分,写出分析过程并正确可得3分。)
四、证明题(每小题8分,共40分)
1.证明:因为><,*G 是一个群,则G y x ∈?,,有111*)*(---=x y y x ,e x x =-1*(1分)。所以,
d a a c c b d b *)*(*)*(**11--= (2分) =)*(*)*(*)*(11d a a c c b -- (3分) =)*(*)*(*)*(11111d a c a c b - (4分) =)*(*)*(*)*(1111111d a c a c b - (5分)
=)*(*)*(*)*(111
11
111d a a c c b -- (6分)
=111
11
111*)*(*)*(*d a a c c b -- (7分)
=11*d b (8分)
2.证明:
(1)H e ∈,所以Φ≠H ;(2分)
(2)对任H y x ∈,,存在+∈Z n m ,,使e x m =,e y n =, G 是交换群,∴e y x y x n m n m mn =?=??),(,即xy 也是有限阶元素,所以H xy ∈;(6分)
(3)对任H x ∈,存在+∈Z m ,使e x m =,所以e e x x m m ===---111)()(,所以H x ∈-1。(8分)
3.证明:
设≤><,L 是分配格。由a c a ≤*,)*()*(c b c b ≤,可得
)*()*()*(c b a c b c a ⊕≤⊕,而)*()*(*)(c b c a c b a ⊕=⊕ 所以)*(*)(c b a c b a ⊕≤⊕。(2分)
反之,若对于任意的L c b a ∈,,,有)*(*)(c b a c b a ⊕≤⊕,则可得
c c a b c b a *)*)((*)(⊕=⊕
c c a b *))*((⊕≤ 由已知条件 c b c a *))*((⊕=
)*()*(c b c a ⊕≤ 由已知条件 (6分)
又由c b a c a *)(*⊕≤和c b a c b *)(*⊕≤,可得
c b a c b c a *)()*()*(⊕≤⊕
于是有)*()*(*)(c b c a c b a ⊕=⊕ (8分)
4.证明:
我们已经知道,一个n 阶无向简单图是哈密尔顿图的充分条件是:图中任意不同两点的度数之和大于等于n 。(2分)
现证在无向完全图K n 中任意删去n-3条边后所得的图G ,其不同两点的度数之和大于等于n 。 用反证法。
设图G 中存在两点v i 和v j ,其度数之和不大于等于n ,即
deg(v i )+deg(v j )≤n-1
删去这两个点后,至多删去图G 中的n-1条边,由题设条件可知,图G 的边数
)1()3(2
)
1()1(-----=
--n n n n n m 12
)
3)(2(+--=n n (6分)
由此可知,在图G 中删去点v i 和v j 后,余下的图为具有n-2个点,且至少有
12
)
3)(2(+--n n 条边,
但这样的简单无向图是不存在的。因为具有n-2个点的简单无向图最多有2
)
3)(2(--n n 条边。所以
图G 中任意不同的两点的度数之和大于等于n ,图G 为哈密尔顿图。(8分)
5.证明:
设G 为非连通的,具有2≥ω个连通分支ωG G G ,...,,21。设i G 的结点数为i n ,边数为i m ,
ω,...,2,1=i 。
若存在1=j n ,则ω必为2,因为只有此时G 为一个平凡图并上一个6K 才能使其边数为15,可
是6K 不是平面图,这矛盾于G 为平面图这个事实,所以不存在1=j n 。(2分)
若存在2=j n ,j G 中至多有一条边(简单图),另外5个结点构成5K 时边数最多,但其值也仅为10条边,这与G 有15条边矛盾。(4分)
综上所述,i n 必大于等于3,ω,...,2,1=i 。由简单平面图可得:
63-≤i i n m ,ω,...,2,1=i
求和得:ω63-≤n m 。(6分)将7=n ,15=m 代入得:162115≤?-≤ωω。这与2≥ω矛盾。故G 必为连通图。(8分)
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2013-2014学年第 一 学期 考试科目: 离散结构 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题,共6页。 ②所有解答必须写在答卷上,写在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 25 小题,每小题 2 分,共 50 分) 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生,r:他可以在宿舍使用电脑,下列命题“除非他不是新生,否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集,下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系,它可以既满足对称性,又满足反对称性 B 、存在这样的关系,它可以既不满足对称性,又不满足反对称性 C 、存在这样的关系,它可以既满足自反性,又满足反自反性 D 、存在这样的关系,它可以既不满足自反性,又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系,当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是:______。 A 、R 是自反的,则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的,则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的,则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的,则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上,P 是所有人的集合,=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲},=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲},则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是:______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列,能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1,2,2,3,4,5
2012-2013(1)离散数学试卷及答案B卷
浙江工业大学期终考试命题稿 2010 /2011 学年第1 学期 命题注意事项: 一、命题稿请用A4纸电脑打印,或用教务处印刷的命题纸,并用黑 墨水书写,保持字迹清晰,页码完整。 二、两份试题必须同等要求,卷面上不要注明A、B字样,由教务处 抽定A、B卷。 三、命题稿必须经学院审核,并在考试前两周交教务处。
浙江工业大学2012/2013 学年 第1学期试卷 课程________ 姓名 ________ 班级________ 学号 ________ 题序 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 计分 一、 1.下列语句是命题的是( A )。 A 、离散数学是重要的一门必修课。 B 、1+101=110? C 、我正在说谎。 D 、全体起立! 2.图 的邻接矩阵为( C )。 A 、 1 111111*********?? ? ? ? ??? B 、1 110011*********?? ? ? ? ??? C 、0 110001*********?? ? ? ? ??? D 、0 111101*********-?? ? - ? ?-- ?-?? 3.下列排列能构成图的顶点度序列的是( A )。 A 、1,2,2,3,4 B 、2,3,4,5,6,7 C 、2,1,1,1,2 D 、3,3,5,6,0 4.设{}b a A ,=,则I A =(D )。 A 、 A ; B 、A×I A ; C 、 I A ×A ; D 、{,,,}a a b b <><>。 5.下述命题公式中,是重言式的为( C )。 A 、)()(q p q p ∨→∧; B 、))())(()(p q q p q p →∧→??; C 、q q p ∧→?)(; D 、q p p ??∧)(。 二、填空题15分 (每小题 3分) 1已知一棵无向树T 有三个3度顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点, 则T 中有 5 个1度顶点。
离散数学期末试题
离散数学考试试题(A 卷及答案) 一、(10分)求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解:(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解 设设P :王教授是苏州人;Q :王教授是上海人;R :王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P ∧Q 乙:?Q ∧P 丙:?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P ,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷(A 卷) 一、 选择题(共5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3,则4+5=9; B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3,则4+5≠9; D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时,下列公式( C )不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质( B )。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是( D )。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题(共 5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设|A|=4,|P(B)|=32,|P(A ?B)|=128,则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?,其中)(x P :x=1, )(x Q :x=2,当论域为{0,1,2}时,其真值为???1???。 4、设A ={1,2,3,4},则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ={a ,b ,c },B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题(对的填T ,错的填F ,共 10 小题,每题 1 分,共计10 分) 1、“这个语句是真的”是真命题。 ( F ) 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 ( F ) 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 ( T ) 4、)(T S R T R S R ??????。 ( F ) 5、恒等关系具有自反性,对称性,反对称性,传递性。 ( T ) 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 ( T ) 7、若g f ?是满射,则g 是满射。 ( F ) 8、若A B ?,则)()(A P B P ?。 ( T ) 9、若R 具有自反性,则1-R 也具有自反性。 ( T ) 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 (F ) 四、计算题(共 3 小题,每题 10 分,共30 分) 1、调查260个大学生,获得如下数据:64人选修数学课程,94人选修计算机课程,58人选修商贸课程,28人同时选修数学课程和商贸课程,26人同时选修数学课程和计算机课程,22人同时选修计算机课程和商贸课程,14人同时选修三门课程。问 (1)三门课程都不选的学生有多少? (2)只选修计算机课程的学生有多少?
离散数学期末试题及答案
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).
最新离散数学期末考试试卷(A卷)
最新离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题:(每题2分,共10分) (1) (1) (2)对任意的命题公式,若,则 (0) (3)设是集合上的等价关系,是由诱导的上的等价关系,则. (1) (4)任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. (0) (5)设是上的关系,分别表示的对称和传递闭包,则 (0) 二、填空题:(每题2分,共10分) (1) 空集的幂集的幂集为(). (2) 写出的对偶式(). (3)设是我校本科生全体构成的集合,两位同学等价当且仅当他们在 同一个班,则等价类的个数为(),同学小王所在 的等价类为(). (4)设是上的关系,则满足下列性质的哪几条:自反的,对称的,传递的,反自反的,反对称的. () (5)写出命题公式的两种等价公式( ). 三、用命题公式符号化下列命题(1)(2)(3),用谓词公式符号化下列命题(4)(5)(6).(12分) (1)(1)仅当今晚有时间,我去看电影. (2)(2)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书. (3)你能通你能通过考试,除非你不复习. (4)(4)并非发光的都是金子. (5)(5)有些男同志,既是教练员,又是国家选手. (6)(6)有一个数比任何数都大. 四、设,给定上的两个关系和分别是 (1)(1)写出和的关系矩阵.(2)求及(12分) 五、求的主析取范式和主合取范式.(10分) 六、设是到的关系,是到的关系,证明:(8分) 七、设是一个等价关系,设对某一个,有
,证明: 也是一个等价关系.(10分) 八、(10分)用命题推理理论来论证 下述推证是否有效? 甲、乙、丙、丁四人参加比赛,如果甲获胜,则乙失败;如果丙获胜,则乙也获 胜,如果甲不获胜,则丁不失败.所以,如果丙获胜,则丁不失败. 九、(10分) 用谓词推理理论来论证下述推证. 任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车,每一个人或喜欢乘汽车,或喜欢骑 自行车(可能这两种都喜欢).有的人不爱骑自行车,因而有的人不爱步行 (论 域是人). 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题. 甲、乙、丙、丁四人参加考试后,有人问他们,谁的成绩最好, 甲说:“不是我,”乙说:“是丁,”丙说:“是乙,” 丁说:“不是我.” 四人的回答只有一人符合实际,问若只有一人成绩最 好,是谁? 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题:(每题2分,共10分) (1)}}{{}{x x x -∈ ( ∨) (2) 对任意的命题公式C B A ,,, 若 C B C A ∧?∧, 则B A ? ( ? ) (3)设R 是集合A 上的等价关系, L 是由R A 诱导的A 上的等价关系,则 L R =. ( ∨ ) (4) 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. ( ? ) (5)设R 是A 上的关系,)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包,则 )()(R st R ts ? ( ? ) 二、填空题:(每题2分,共10分) (1) 空集的幂集的幂集为 ( }},{{φφ). (2) 写出)()(R P Q P →∧∨的对偶式( )()(R P Q P ∧?∨∧ ). (3)设A 是我校本科生全体构成的集合,两位同学等价当且仅当他们在 同一个班,则等价类的个数为(我校本科生的班级数 ),同学小王所在 的等价类为(小王所在的班的集合). (4)设},,,{},,,{><><==3121321R A 是A 上的关系,则R 满足下列性质的哪 几条:自反的,对称的,传递的,反自反的,反对称的. ( 传递的,反自反的,反对称的 ) (5)写出命题公式Q P ?的两种等价公式 ( )()()()(P Q Q P P Q Q P ∨?∧∨?→∧→). 三、用命题公式符号化下列命题(1)(2)(3),用谓词公式符号化下列命题 (4)(5)(6).(12分) (3)(1)仅当今晚有时间,我去看电影.
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学(上)》考试试卷(A 卷) (时间120分钟) 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题(每小题2分,共20分) 1. 设A={a,b,c},A 上二元关系R={〈a,a 〉,〈b,b 〉,〈a,c 〉},则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系,要使I x ∪{〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉,〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系,R 应取( ) A. {〈c,a 〉,〈a,c 〉} B.{〈c,b 〉,〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉,〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉,〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下:论域D 为实数集,a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学试题(A卷答案) 一、(10分)求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解:(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解设设P:王教授是苏州人;Q:王教授是上海人;R:王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P∧Q 乙:?Q∧P 丙:?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为: ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则由定理4.19知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 综上可知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、(15分)集合A ={a ,b ,c ,d ,e }上的二元关系R 为R ={,,,,,,,,(完整版)离散数学试卷及答案