高中数学必会基础题型5—平面向量

《数学》必会基础题型——《平面向量》

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则：

AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，2

2||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||

a b

a b θ⋅=

⋅

14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

（8）若ma mb =，则a b =。 （9）若ma na =，则m n =。 （10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。

（11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。 （12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。

2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。

3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。

5.已知点C 在线段AB 上，且3

5

AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=

2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则1

32

a b -= 。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +和3

22

a b -。

a b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，

表示AD 。 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。

题型6.向量的坐标运算

1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。

2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。

3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。

4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。

5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。

6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = 。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和

2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ）

A.34(,)55

B.43(,)55

C.34(,)55--

D.4(1,)3--

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标。

题型9.求数量积

1.已知||3,||4

a b

==，且a与b的夹角为60，求（1）a b⋅，（2）()

a a b

⋅+，

（3）

1

()

2

a b b

-⋅，（4）(2)(3)

a b a b

-⋅+。

2.已知(2,6),(8,10)

a b

=-=-，求（1）||,||

a b，（2）a b⋅，（3）(2)

a a b

⋅+，（4）(2)(3)

a b a b

-⋅+。

题型10.求向量的夹角

1.已知||8,||3

a b

==，12

a b⋅=，求a与b的夹角。

2.已知(3,1),(23,2)

a b

==-，求a与b的夹角。

3.已知(1,0)

A，(0,1)

B，(2,5)

C，求cos BAC

∠。