光学信息技术原理及应用(第二版)课后答案

1 第一章 习题解答 1.1 已知不变线性系统的输入为 xxgcomb

系统的传递函数bfΛ。若b取（1）.b（2）.b，求系统的输出xg'。并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）xxgδF 图形从略， （2）xscoffδfδxgxxxπδF 图形从略。

1.2若限带函数yx,f的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零， （1） 如果La，Wb，试证明 yxfyxfbxaxab,,sincsinc

证明：yx,fbxsincaxsincabbfafrectyxfyx,fbfafrectyxfWfLfrectyxfyx,fyxyxyx,,FF,,F,,FF1- （2） 如果La， Wb，还能得出以上结论吗？ 2

答：不能。因为这时yxyxbfafrectyxfWfLfrectyxf,,F,,F。 1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 yxyxhsinc, 试用频域方法对下面每一个输入yxfi,，求其输出yxgi,。（必要时，可取合理近似） （1）xyxfcos,

答：xcosxcosfrectxcosy7xsinxcosyxhyxfyxgxπππδπFFFFFFF,F,FF, （2）yrectxrectxcosyxfπ, 答： 





yrectxrectxcosfrectfsinc75fsincxcosy7xsinyrectxrectxcosyxhyxfyxgxyxππδπFF

FFF,F,FF,

（3）xrectxcosyxfπ,

答： xrectf75fsincfrectf75fsincfrectfδ75fsincffxfrectfδ75fsincxcosy7xsinxrectxcosyxgyxxyxxyxxxxyxδδδδδπδπFFFFFFFF, 3

（4）yrectxrectxcombyxf, 答： 

xπ6cosxπ2cosfffffffffffrectffδffδffδffδfrectfsinc2fsincffcomby7xsinyrectxrectxcombyxgyxyxyxyxyxxyxyxyxyxxyxyx...

,.,.,.,.,F

,.,.,.,FFFFF,δδδδ0.25δδδ



1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 xxrectxcombxgiΛ 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）ffHrect

（2）fffHrectrect 答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形 2

1()()()()()3350(3)50sin(50)sinixxGfgxcombrectxcombfcfcf









FFF

方括号内函数频谱图形为： 4

f12

12

35343213

5

3432

331

50

图1.4（1） fc2sin图形为：

f1

321

33123

1

0.6850.170.04

1 5

图 1.4（2） 因为fc2sin的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时fc2sin的最大值小于0.04%。故图解)(fG频谱结果为：

f321

32

331

50G(f)50*0.68550*0.171

图 1.4（3） 传递函数（1）形为： 6

f1

11 图 1.4（4） 因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：



)32()32(171.0)50(sin50)31()31(685.0)(fffcfff

其反变换，即输出函数为： )50(322cos342.032cos37.11xrectxx 该函数为限制在25,25区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为： 7

f1 图 1.4（5） 此时，输出函数仅剩下在1,2及2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在1,1的零值也是不能忽略的，由于

027.0)35(sin043.0)34(sin22cc 可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为： )50(352cos027.0342cos043.0xrectxx 该函数依然限制在25,25区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数 axayxhsinc, 抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。 答：



yxfδafaxsincayxh



ΛF,F 8

YaBXx; 也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用ba表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 byaxYyXxyxgyxgsrectrectcombcomb,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复yxg,。 答：因为ba表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复yxg,也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”xyxf,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应xL。如果系统的传递函数为yxffH,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿xf轴的截面分布0,xfH。

证明：0,,,yδxyxyfHffHfyxhxLFF

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间xxBf，yyBf之外恒为零，系统输入为非限带函数yxg,，输出为yxg,'。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数yxg,'，它作为等效输入，可产生相同的输出yxg,'，并请确定yxg,'。

答：为了便于从频率域分析，分别设： 9

物的空间频谱 00(,){(,)}xyAffgxyF； 像的空间频谱 (,){(,)}ixyiAffgxyF； 等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}xyAffgxyF； 等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.xyAffgxyF 由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,xxyyfBfB之外恒为零，故可将其记为：

(,)22yxxyxyffHffrectrectBB









、

利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为 0(,)(,)22(,)yxxyxyxyixyffAffHffrectrectBBAff 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把0(,)22yxxyxyffAffrectrectBB安置在xyff平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)xyBnBm点周围，选择矩形格点在xf、yf方向上的间隔分别为2xB和2yB,以免频谱混叠，于是

00'(,)(,)2,222yxxyxyxxyynmxyffAffAffrectrectfBnfBnBB













01(,)22422yyxxxyxyxyxyffffAffrectrectcombcombBBBBBB （1）