奥赛辅导第六讲万有引力和天体运动

第六讲 万有引力和天体运动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。

太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。

“面积速度”： 1sin 2S r tυθ∆=∆（θ为矢径r 与速度υ的夹角）第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。

即：23T a=常量．2．万有引力定律⑪万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的．任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比． 2M m F Gr= ， 11226.6710/G N m k g-=⨯⋅，称为引力常量．⑫重力加速度的基本计算方法设M 为地球的质量，g 为地球表面的重力加速度． 在地球表面附近（h R << ）处：2M m Gm gR=，22G M g R==9.8m/s在地球上空距地心r=R+h 处：2r M g Gr=，222()r g R R g rR h==+在地球内部跟离地心r 处：3224433r r r M g GG G r rrπρπρ===，r g r gR=，r r g gR =3．行星运动的能量⑪行星的动能当一颗质量为m 的行星以速度υ 绕着质量为M 的恒星做平径为r 的圆周运动：2122K M m E m Grυ==，式中υ=⑫行星的势能对质量分别为M 和m 的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m 与M 相距r 时，其体系的引力势能：P M m E G r =-⑬行星的机械能：2122K P M mM m E E E m GGrrυ=+=-=-4．宇宙速度和引力场 ⑪宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）．第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）．第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）． ⑫引力场、引力半径与宇宙半径．对于任何一个质量为M ，半径为r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度．如果第二宇宙速度超过光速，即c <，则有关系．22G M r c<在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r 值被称为引力半径，记为22g G M r c=用地球质量代入，得到r g ≈0.9 cm ，设想地球全部质量缩小到1 cm 以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息．如果物质均匀分布于一个半径为r 的球体内，密度为ρ，则总质量为343M r πρ=又假设半径r 正好是引力半径，那么32423g g G r r cπρ⋅=，得1223()8g cr G πρ=此式表示所设环境中光不可能发射到超出r g 的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm 3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm 以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径． 二、方法演练类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。

例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。

在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？分析与解：如示6—1所示，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S 点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：222334ST T aG MRπ==可知椭圆的半长轴a=R ，两轨道的交点必为半轴顶点， 发射飞船时，绕日速度υ应沿轨道切线方向，即与椭圆 长轴平行的方向．则飞船的“面积速度”为：12R bS b Tπυ∆==椭，2R T πυ=地球的“面积速度”为：2012R S R Tπυ∆==圆，02R Tπυ=故：0υυ=当绕日速度的方向不同时，其轨道的短轴b 不同，但长半轴R 相同，太阳为椭圆轨道的一个焦点，且发射的绕日速度大小相同．例2．一物体A 由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。

分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：υ=上式中R 为地球半径，g 为地球表面处的重力加速度。

设A 最初离地心的距离为r ，则由其下落过程中机械能守恒，应有：212M m M m m GGRrυ-=-且GM=gR 2联立上三式可解得：r=2R物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。

这就是我们通常所说的“轨道极限化”。

物体A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端，如图6—2所示，则由开普勒第一定律， 得知地心为椭圆的一个焦点．则椭圆长半轴为 a=R又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为R ）的圆轨道运行的周期相等．其周期为：22RT ππυ==再由开普勒第二定律得：S t S T=1142S ab abπ=+，0S ab π=11422(2ab ab S t T S abππππ+==⋅=+33.14(2.06102s=+=⨯类型二、天体质量（密度）的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本方程，解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立，同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常重要的因数。

例3．新发现一行星，其星球半径为6400 km ，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km ，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变．试求此行星表面处的自由落体加速度．已知万有引力常量G=6. 67×10-11N m 2/ kg 2。

分析和解：解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是如何求中心天体的质量。

以R 表示此星球的半径，M 表示其质量，h 表示其表面层海洋的深度，R 0表示除海洋外星球内层的半径，r 表示海洋内任一点到星球中心的距离．则：0R r R >>，且0R R h=+，以ρ水表示水的密度．则此星球表面海洋水的总质量为3322300044433333m R R R h R h h πρπρπρ=-=++水水水（）因R>>h ，略去h 高次项，得24m R h πρ=水 由2M m Gm g R=表，2G M g R=表，02M m Gm g R -=（）m，02G M m g R -=（）依题意：0g g =表，即：2220M M m M m RR R h --==-（）（）（），222m M R h h =-R则32422R g G R R hπρπρ⨯==⋅水表水G h将G ＝6. 67×10-11N m 2/kg 2，ρ水＝1．0×103kg/m 3，R ＝6.4 ×106 m 代入得：g表=2. 7 m/s 2。

类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能，然后利用机械能的改变及功能原理来解题，这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理，又要符合能量原理。

例4．质量为m 的人造地球卫星，在圆形轨道上运行．运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作用，以r 表示卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中： （1）轨道半径的改变量Δr=？ （2）卫星动能的改变量ΔE k =？ 分析和解：因卫星沿圆形轨道运动，则22M m G mrrυ=，则2122K G M m E m rυ==，则卫星的机械能为22G M m G M m G M m E rrr=-=-（1） 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r ，则对应机械能改变量为11222G M mG M m G M m E r r rr r r ∆=-+=-+∆+∆（）（），211r rr r r r r ∆∆-≈+∆+∆=r （）r22G M m E r r ∆=∆ 根据功能原理：W=ΔE ，即222G M m rf rrπ-=∆，34r f r G M mπ∆=-，负号表示轨道半径减小。

（2）卫星动能的改变量为：322114222222K GM mGM m GM m GM m GM m r fE r rf r r rr r r GM mππ∆=-=-≈∆=-⨯-=+∆+∆（）（）（）r r 类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题：一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。

而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。

例5．宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小很多，飞行器的速率为0υ，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍。

有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：Ⅰ．当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；Ⅱ．飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；Ⅲ．小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。

不计燃烧的燃料质量．（1）试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系．（2）设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E 1．如果不采取上述方案而令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时飞行器从发动机取得的能量的最小值用E 2表示．问12E E 为多少？分析和解：(1)设太阳的质量为M 0，飞行器的质量为m ，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为R 。

根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的．该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内，由0υ变为某一值u 0．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u,因为大小为u 0和u 的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得u 0 R= 6 Ur （1） 由能量关系，有2200011226M m M m m u Gm u GRR-=- （2） 由万有引力定律，有2002M m GmRRυ=，或0υ=（3）解（1）（2）（3）三式得00u =（4），0u =（5）设小行星绕太阳运动的速度为V ，小行星的质量为M ， 由万有引力定律20266M MVGMR R=（），得0V ==（6）可以看出V>u （7）由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击。