第一章、集合
第1章 第1节 集合的概念与运算
B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所表示阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
解析： 依题意得 A＝{x|x<－1 或 x>4}，因为∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的
阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． 答案： D
返回
[同类练]
1．(2017·天津卷)设集合 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A
∪B)∩C＝( )
A．{2}
B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析： 因为 A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，所以 A∪B＝{1,2,4,6}，又 C＝{x∈R| －1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
返回
2．判断集合关系的三种方法 (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再 利用集合元素的特征判断集合关系． (3)数形结合法：利用数轴或 Venn 图．
返回
考向·分层突破
考向一 集合的基本概念 自主练透型
1．已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个
(2)∵B⊆A，
∴①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
②若 B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
注意集合的分类 讨论问题
解得 2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
答案： (1)D (2)(－∞，3]
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
第十七页，共35页。
考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
第十五页，共35页。
解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
第七页，共35页。
2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
第一章 §1 1.1 第1课时 集合的概念
§1集合1．1集合的概念与表示第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”与“不属于”关系.4.记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的、顺序任意的．思考某班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系关系说法记法属于a属于集合A a∈A不属于a不属于集合A a∉A思考符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？答案不能，符号“∈”和“∉”具有方向性，必须左边是元素，右边是集合．知识点三常见的数集及表示符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋1．组成集合的元素一定是数．(×)2．接近于0的数可以组成集合．(×)3．元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的．(×)4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)一、对集合的理解例1(多选)考察下列每组对象，能构成集合的是()A．2 020年全国高考数学试卷中的所有难题B．中国各地美丽的乡村C．参加我市新冠防治的志愿者D．不小于3的自然数答案CD解析A中“难题”，B中“美丽的”标准不明确，不符合确定性；CD中的元素标准明确，均可构成集合，故选CD.反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列说法中，正确的是()A．“不超过20的非负数”构成一个集合B．用实数2,0,2,0组成的集合有4个元素C．“3的近似值的全体”构成一个集合D．由甲、乙、丙三人组成的集合与丙、乙、甲三人组成的集合不同答案 A二、元素与集合的关系例2(1)下列关系式中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z；⑤0∈N.A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确；⑤0是自然数，故⑤正确．(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为__________．答案2,1,0解析由题意可得，3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0，因此A中元素有2,1,0.反思感悟判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N＋，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、集合中元素特性的简单应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.(学生)反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾；当m＝3时，此时集合A中含有3个元素0,2,3，故选B.1．现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校今年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点．其中能构成集合的是()A．①③B．②③C．③④D．③④⑤答案 D解析①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合．2．(多选)下列结论正确的是()A．0∈N＋ B.2－7∉QC．0∉Q D．8∈Z答案BD3．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案 D解析因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案10解析由集合元素的互异性知，集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．5．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．答案②④解析因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．下列各组对象能构成集合的有( ) ①接近于1的所有正整数； ②小于0的实数； ③(2 020,1)与(1,2 020)． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．0组答案 B解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合． 2．(多选)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B. 5 C.34 D ．－7 答案 BD解析 由题意知a 应为无理数．3．给出下列关系：①13∈R ；②7∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 13是实数，①正确；7是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.4．已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A 且－3∉A B ．－3∈A 且3∈A C ．3∉A 且－3∉A D ．3∉A 且－3∈A 答案 D解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A ， 又－3－1＝－4<3，∴－3∈A . 5．已知集合M 是由满足y ＝12x ⎝⎛⎭⎫其中x ∈N ＋，12x ∈Z 的实数y 组成的，则M 中含有的元素个数为( ) A ．4B ．6C．8 D．12答案 B解析由题意，可知y可取的值为1,2,3,4,6,12，共6个，故选B.6．用符号“∈”或“∉”填空：设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.答案∈∉解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.7．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．答案－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合中元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________. 答案 6解析∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a＝6.9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．解(1)由集合元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.经检验，知x＝－2符合题意．故x＝－2.10．若集合A中含有a－2，a2＋4a,10三个元素，若－3∈A，求实数a的值．解由－3∈A得，a－2＝－3或a2＋4a＝－3.若a－2＝－3，解得a＝－1，此时a2＋4a＝1－4＝－3，集合A中的元素为－3，－3,10，不满足元素的互异性，所以a＝－1，舍去．若a2＋4a＝－3，解得a＝－3或a＝－1(舍去)．当a ＝－3时，a －2＝－5，此时集合A 中的元素为－5，－3,10，符合条件． 综上，a ＝－3.11．集合A 中只含有三个元素2,4,8，若a ∈A ，且8－a ∈A ，则a 为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．0答案 B解析 若a ＝2，则8－a ＝8－2＝6∉A ；若a ＝4，则8－a ＝8－4＝4∈A ；若a ＝8，则8－a ＝8－8＝0∉A ，故选B.12．(多选)已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．－1∈MB ．1∈MC ．2∈MD ．3∈M 答案 AD解析 ①当x ，y 均为正数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为3；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y |y |＋xy |xy |的值为－1；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为－1，所以集合M 的元素有－1,3.13．由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案 C解析 由题意知a 2≠4,2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，结合选项知C 正确，故选C.14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________． 答案 1,2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，∴集合A 中元素为0,1,2，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是1,2.15．已知集合M 有2个元素x ,2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3. 答案 ②解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0,2，故①可能正确；当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，根据上述条件求出实数a 的值． 解 ∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，a ＝－3.。
集合第一章 习题课
关
∴(∁IM)∩(∁IN)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.
(A ) D．{a，c}
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
5．已知全集 U＝R，集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，下图
中阴影部分所表示的集合为
(B )
本
课
时
栏 目
A．{1}
B．{1,2}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2}
可知没有参加过比赛的同学有：45－(12＋20－6)＝19(名)．
答 这个班共有 19 名同学没有参加过比赛．
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集
本 课
合与集合的包含关系．
时
栏 目
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用
开
关
集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的
同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有 20 名同学参赛，
已知两项都参赛的有 6 名同学，两项比赛中，这个班共有多
本 课
少名同学没有参加过比赛？
时 栏
解
设 A＝{x|x 为参加排球赛的同学}，B＝
目
开 {x|x 为参加田径赛的同学}，则 A∩B＝{x|x 为
关
参加两项比赛的同学}．画出 Venn 图(如图)，
综上所述，满足 B⊆A 时，a 的取值范围是 a≥4.
∴满足 B⊆A 的 a 的取值范围是 a＜4.
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
题型三 集合的交、并、补运算
例 3 设全集为 R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B) 及(∁RA)∩B. 解 把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下：
第一章 1.1集合的概念 第1课时
1．1集合的概念第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．思考我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？答案不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R1．组成集合的元素一定是数．(×)2．接近于0的数可以组成集合．(×)3．分别由元素0,1和1,0组成的两个集合是相等的．(√)4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)一、对集合的理解例1(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④答案 B解析①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．答案②解析①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．反思感悟判断一组对象是否为集合的三依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．二、元素与集合的关系例2下列关系中正确的个数为()①2∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z.A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①∵2是无理数，∴2∉Q，故①错误；②－1∉N，②正确；③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练1给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确．三、元素特性的应用例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；综上所述，a＝0或a＝－1.延伸探究若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．解∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，符合题意．故所求a的值为1.反思感悟由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练2已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________. 答案－1解析若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根答案 D2．下列结论不正确的是()A．0∈N B.2∉Q C．0∉Q D．8∈Z答案 C解析0是有理数，故0∈Q，所以C错误．3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案 A解析由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．4．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有________个元素．答案10解析由集合元素的互异性知：集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个，因此书架上的书组成的集合中有10个元素．5．如果有一集合含有两个元素：x，x2－x，则实数x的取值范围是________．答案x≠0,2解析由集合元素的互异性可得x2－x≠x，解得x≠0,2.1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．(2)常用数集的表示．(3)集合中元素的特性及应用．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．1．以下各组对象不能组成集合的是( ) A ．中国古代四大发明 B ．地球上的小河流 C ．方程x 2－7＝0的实数解 D ．周长为10 cm 的三角形 答案 B解析 因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合． 2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C.37 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数，故a 可以为7. 3．有下列说法：①集合N 中最小的数为1；②若－a ∈N ，则a ∈N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 N 中最小的数为0，所以①错；由－(－2)∈N ，而－2∉N 可知②错；若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为0，所以③错；“小”的正数没有明确的标准，所以④错，故选A. 4．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.5．集合A 中有三个元素2,3,4，集合B 中有三个元素2,4,6，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 B解析 集合A 中的元素3不在集合B 中，且仅有这个元素符合题意．6．下列说法中：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________． 答案 ②④解析 因为集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．7．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________. 答案 3解析 由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.8．若由a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b,0组成的集合相等，则a 2 019＋b 2 019的值为________．答案 －1解析 由已知可得a ≠0，因为两集合相等，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0，a ＝1，(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝－1，经检验，a ＝－1，b ＝0，满足条件， 所以a 2 019＋b 2 019＝－1.9．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解 ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求元素x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解 (1)由集合元素的互异性可得x ≠3，x 2－2x ≠x ，且x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0，且x ≠3. (2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，所以x ＝－2. 经检验，知x ＝－2符合互异性．故x ＝－2.11．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0 答案 B解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ； 若a ＝4，则6－4＝2∈A ； 若a ＝6，则6－6＝0∉A ，故选B.12．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．－1∈MB ．1∈MC ．2∈MD ．3∉M 答案 A解析 ①当x ，y 均为正数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为3；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y |y |＋xy |xy |的值为－1；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |＋xy|xy |的值为－1，所以集合M 的元素有－1,3，故选A.13．由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．－1 D ．2 答案 C解析 由题意知a 2≠4,2－a ≠4，a 2≠2－a ，解得a ≠±2，且a ≠1，结合选项知C 正确，故选C.14．已知集合A 中的元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则－1________A ，－34________A ．(填“∈”或“∉”) 答案 ∈ ∈解析 当k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ；令－34＝3k －1，得k ＝－11，所以－34∈A .15．已知集合M 有2个元素x,2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________． ①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3. 答案 ②解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0,2，故①可能正确；当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 16．设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a，所以集合A 不可能是单元素集。
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 函数
集合B到集合C的函数，函数f和g的组 合用f ◦g表示，定义为：
(f ◦g)(a)=f ( g (a) )
三、反函数和函数组合
如果g的值域不是f 的定义域的子集， 就无法定义f ◦g。
P62 － 例17－18。 对函数组合而言交换律不成立。
函数f是一对一的，当且仅当只要x≠y， 就有f(x)≠f(y)
P59 － 例6 - 例8
二、一对一函数和映上函数
定义域和伴域都是实数集合子集的函 数f称为严格递增的，如果对f定义域 中的x和y，只要x<y就有f(x)<f(y)。
f称为严格递减的，如果对f定义域中 的x和y，只要x<y就有f(x)>f(y)。
一、引言
在许多情况下，我们都会为一个集合的每 个元素指派另一个集合的一个特定元素。
例如：假定为学习数理逻辑课的每个学生 从{A,B,C,D}中选择一个字母作为他的得分。 再假定张三的得分为A，李四的得分为C， 王五的得分为A，赵六的得分为D。
这种打分就是一个函数。
一、引言
令A和B为集合。从A到B的函数f是对 元素的一种指派，对A的每个元素恰 好指派B的一个元素。如果f指派给A 中元素a的唯一的B的元素是b，就写 成f(a)＝b。如果f是从A到B的函数， 就写成 f: A→B。
二、一对一函数和映上函数
例：A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，f(4)=c，
则f是满射。
例：A={1,2,3}，B={a,b,c,d}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，
则f是单射。
《实变函数》第一章 集合
第一章 集合 （总授课时数 8学时）由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.本节难点 对集列极限的理解. 授课时数 2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握 以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合，也常称为集族或集类． 以后常用大写字母,,,,,,A B C D X Y Z表示集合，用小写字母,,,,a b c x y表示集合中的元素．如果a 是集合A 的元素，则说a 属于A ，记作a A ∈，或说A 含有a ．如果a 不是集A 的元素，则说a 不属于A ，记作a A ∉，或说A 不含有a ． 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{}a ． 由n 个元素12,n a a a 所组成的集合，可表示为12{,}n a a a由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,,,}n ．当集A 是具有某性质P 的元素之全体时，我们用下面的形式表示A ：{|}A x x p =具有性质例如，方程210x -= 的解x 的全体组成的数集是2{|10}x x -=，实际上就是{1,1}-.有时我们也把集{|,x x E x ∈具有性质}p 改写成[E x 具有性质]p ．例如，设()f x 是定义在集合E 上的一实函数，a 是一个实数，我们把集{|,()}x x E f x a ∈>写成[()]E f x a >或[]E f a >．不含任何元素的集合称为空集，记作∅．设A ，B 是两个集，若A 和B 的元素完全相同，就称A 和B 相等，记作A =B (或 B =A ).若集合A 的元素都是集合B 的元素，就称为A 是B 的子集，记作A ∈B (或B ∈A )， 读作A 包含于B (或B 包含A )．若A ∈B 且A B ≠,就称A 是B 的真子集，规定空集是任何集的子集． 由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理： 定理1 对任何集合A ，B ，C ，均有 （1）A A ⊂；（2）若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； （3）A B A B =⇔⊂且B A ⊂．二 集合的运算设A ，B 是两个集合，集合A 与B 的并集或并{:}AB x x A x B =∈∈或集合A 与B 的交集或交{:}A B x x A x B =∈∈且特别地，若A B ⋂=∅，称A 与B 不相交；反之，则称A 与B 相交．集合A 减B 的差集或差:\{:}A B A B x x A x B -=∈∉或但 当B A ⊂时，称差集A B -为B 关于A 的余集记作(A C B )．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A 的子集时，就称A 为基本集或全集，并把A 的子集B 关于A 的余集A C B 简称为B 的余集，记为CB 或CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设Γ为一非空集合，并且对每一个α∈Γ，指定了一个集合A α,此时我们称{|}A αα∈Γ是以Γ为指标集的集族，集族{|}A αα∈Γ的并与交分别定义为:{:,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈使 {:,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈有例 设11{:11},,n A x x n N n n=--<≤-∈则 1[1,0]n n A ∞=⋂=-,1(2,1)n n A ∞=⋃=-关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)更一般地有:De Morgan 公式()c c A A αααα∈Γ∈Γ=,()c cA A αααα∈Γ∈Γ=证明（略）注：通过取余集，使A 与C A ，⋃与⋂互相转换.三、集列极限设12,,,,n A A A 是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim (limsup ){:}{:}n n n n n n nA A x x A x A x A →∞==∈或属于无限多个集合存在无限多个，使 {:,,}n x N n N x A =∀∃≥∈使 1n N n NA ∞∞===下极限集：lim (n n A →∞或liminf ){:n nA x =除去有限个集外，有}{:n x A x ∈=当n 充分大时，有}n x A ∈{:,,}n x N n N x A =∃∀≥∈有 1n N n NA ∞∞===注：11lim lim n n n n n n n n A A A A ∞∞→∞→∞==⊂⊂⊂例：设2n 21A [0,1],[1,2]n A +==，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}. 极限集如果集列{}n A 的上极限集与下极限集相等，即lim lim n n n n A A A →∞→∞==则称集列{}n A 收敛，称其共同的极限为集列{}n A 的极限集，记为：lim n n A A →∞=单调增集列极限1{}(),{};n n n n A A A n N A +⊂∀∈若集列满足则称为单调增加1{}(),{};n n n n A A A n N A +⊃∀∈若集列满足则称为单调减少定理2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列{}n A 单调增加，则1lim n n n n A A ∞→∞==2) 如果集列{}n A 单调减少，则1lim n n n n A A ∞→∞==例1：设21211(1,1),(,),,n n A A n n n N n n-=-++=-+∈则 lim (,)n n A →∞=-∞+∞，lim (1,1]n n A →∞=-例2：设2121111[,4],[,1],,n n A A n N n n n n-=-=-+∈则 lim [0,4)n n A →∞=，lim (0,1]n n A →∞=小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础.证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念.——————————————————————————————作业：P30 5, 7, 8练习题1. 设{}n A 为一集列： （1）作1111,(1)n n n k k B A B A A n -===->，证明{}n B 为一列互不相交的集列，且11(1,2,)n n k k k k A B n ====（2）若{}n A 是单调减少的集列，证明1122311()()()(),n n k k A A A A A A A A ∞+==-⋃-⋃⋃-⋃⋃并且其中各项互不相交. 2. 证明:(1) lim n n A →∞1n N n NA ∞∞===,lim n n A →∞1n N n NA ∞∞===(2) lim n n A →∞⊂lim n n A →∞(3) {}n A 单调递增时，有lim n n A →∞=lim n n A →∞=1lim n n n n A A ∞→∞==(4) {}n A 单调递减时，有lim n n A →∞=lim n n A →∞=1lim n n n n A A ∞→∞==3. 已知221,,(1,2,)n n A E A F n -===，求lim n n A →∞和lim n n A →∞，并问lim n n A →∞是否存在？§2 对等与基数教学目的 介绍映射, 基数,等概念和它们的属性.本节要点 一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其中的技巧.本节难点证明两个集对等或具有相同的基数. 授课时数 2学时——————————————————————————————1 映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是n R 的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念. 定义：设X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则f ，对X 中的每个x ，均存在Y 中唯一的y 与之对应，则称这个对应法则f 是从X 到Y 的一个映射，记作:f X Y →或：设X ,Y 是两个非空集合，f 是X Y ⨯的子集，且对任意x X ∈，存在唯一的y Y ∈使(,)x y f ∈，则f 是从X 到Y 的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2 集合运算关于映射的性质（像集）定理1 ：设:,,,()f X Y A B A αα→∈Γ是X 的子集，称{():}f x x A ∈为A 的像集，记作()f A ，则有：1)()();A B f A f B ⊂⇒⊂ 2)()()(),f AB f A f B =一般地有()();f A f A αααα∈Γ∈Γ=3)()()(),f A B f A f B ⊂一般地有()();f A f A αααα∈Γ∈Γ⊂证明的过程略 注：()()()f AB f A f B = 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理2：设:,,,,()f X Y A X C D C αα→⊂∈Γ是Y 的子集，称{:()}x f x C ∈为C 的原像集，记作1()(fC f -不一定有逆映射），则有：111)()();C D f C f D --⊂⇒⊂ 1112)()()(),f C D f C f D ---=一般地有：11()();f C f C αααα--∈Γ∈Γ=1113)()()(),f CD f C f D ---=一般地有：11()();f C f C αααα--∈Γ∈Γ=11111114)(\)()\();5)()[()];6)[()];7)[()];c c f C D f C f D f C f C A f f A f f C C -------==⊂⊂证明略.注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f 为单射，7）等号成立当且仅当f 为满射.3 对等与势1）定义设A ，B 是两非空集合，若存在着A 到B 的一一映射（既单又满），则称A 与B 对等,记作~A B . 约定~∅∅.注：（1）称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A . （2）势是对有限集元素个数概念的推广. 2）性质)a 自反性：~;A A)b 对称性：~~;A B B A ⇒ )c 传递性：~,~~;A B B C A C ⇒例：1)~~~N N N Z 奇数偶数2)(1,1)~(,)--∞+∞证明：令:()2f x tg x π→，则f 是(1,1)-到(,)-∞+∞的一一映射.故(1,1)~(,)--∞+∞注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能. 3)基数的大小比较)a 若~,A B 则称A B =；)b 若1~,A B B ⊂则称A B ≤；相当于：A 到B 有一个单射，也相当于B 到A 有一个满射. )c 若,A B ≤且A B ≠，则称A B <. 注：不能用A 与B 的一个真子集对等描述. 如：(1,1)~(1,1)(,)--⊂-∞+∞ 4 Bernstein 定理引理：设{:}{:}A B λλλλ∈Λ∈Λ，是两个集族，Λ是一个指标集，又,~,A B λλλ∀∈Λ而且{:}A λλ∈Λ中的集合两两不交，{:}B λλ∈Λ中的集合两两不交，那么：~A B λλλλ∈Λ∈Λ证明略定理3:（Bernstein 定理）若有A 的子集*A ，使*~,B A 及B 的子集*B ，使*~,A B 则~.A B 即：若,,A B B A ≤≤则.A B =证明：根据题设，存在A 到*B 上的一一映射f ，以及B 到*A 上的一一映射g .令*1\A A A =，11()B f A =，21()A g B =，22()B f A =，32()A g B =，33()B f A =，由*()g B A =知*21(),A g B A =⊂而*1\A A A =，故1A 与2A 不交. 从而12,A A 在f 的像12,B B 不交，12,B B 在g 下的像23,A A 不交.由*3,A A ⊂知1A 与3A 不交，故123,,A A A 两两不交.从而123,,A A A 在f 的像123,,B B B 也两两不交，从而123,,,A A A 两两不交，123,,,B B B 也两两不交且~(1,2,),fn n A B n =所以11~fn n n n A B ∞∞==另外由1~(1,2,),gk k B A k +=可知111~g k k k k B A ∞∞+==又*~,gB A 所以*111\~\gk k k k B B A A ∞∞+==，*111111\(\)\\k k k k k k A A A A A A A ∞∞∞++=====∴ 11\~\k k k k B B A A ∞∞==∴ 1111(\)()~(\)()k k k k k k k k A A A A B B B B ∞∞∞∞======证毕．注：要证A B =，需要在A 与B 间找一个既单又满的映射；而要证A B ≤，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例：(1,1)~[1,1]--证明：由(1,1)[1,1](,)~(1,1)-⊂-⊂-∞+∞-可知，(1,1)~[1,1]--——————————————————————————————作业：P30 9, 10练习题1. 1R 上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？ 2．证明:若,,A B C A C ⊃⊃则A B C .3. 证明：若A B ⊂，AA C ⋃，则有BB C ⋃.4.设F 是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F M .§3、可数集合教学目的 介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点 可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来, 可数集证明技巧较强 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.本节难点证明集合可数.授课时数 2学时——————————————————————————————１ 可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a 或0ℵ1,2,3,4,5,6123456,,,,,a a a a a a注：A 可数当且仅当A 可以写成无穷序列的形式123456{,,,,,}a a a a a a例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3}2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,}２ 可数集的性质（子集）定理1 任何无限集合均含有可数子集.证明：设M 是一个无限集，取出其中的一个元素从M 中任取一元素，记为1e .则M 1{}e -≠∅,在M 1{}e -中取一元素2e ,显然21e e ≠.设从M 中已取出n 个互异元素1,2,n e e e ,由于M 是无限集，故1,2{,}n M e e e -≠∅,于是又可以从1,2{,}n M e e e -中取出一元素1n e +,它自然不同于1,2,n e e e .所以，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集1,2{,,}ne e e 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数． 可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集{}123,,,A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}123,,,C c c c =假设,,A B C 两两不交，则{}1212,,,,,,n A B b b b a a ⋃= （当集合有公共元素时，不重复排）{}112233,,,,,,A C a c a c a c ⋃=关于可数个可数集的并仍为可数集的证明11,a 12,a13,a 14a ， 21,a 22,a 23,a 24a ， 31,a 32,a 33,a 34a ， 41,a 42,a 43,a 44a ，,,,，当i A 互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当i A 有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；因此1n n A ∞=是可数集。
第一章 集合
第一章 集合第一单元 集合的概念及运算知识点一 集合及其表示方法1、 集合：能够确切指定的对象集在一起组成的整体叫做集合。
元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法⎪⎩⎪⎨⎧象的集合表示和运算。
韦恩图法：主要用于抽不可数或很多时使用。
描述法：集合中元素为使用。
中元素为可数且较少时列举法：主要用于集合 （1）{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （2）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}3、集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧的集合空集：不含有任何元素多个的集合无限集：元素个数无限的集合有限集：元素个数有限例题讲解1、观察下列实例：①小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数； ③抛物线12+=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形； ⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学。
回答下列问题：（1）哪些对象能组成一个集合。
（2）用适当的方法表示它。
（3）指出以上集合哪些集合是有限集。
2、用适当的方法表示以下集合： （1）平方后与原数相等的数的集合。
（2）设b a ,为非零实数，bb aa +可能表示的数的取值集合。
（3）不等式62<x 的解集。
（4）坐标轴上的点组成的集合。
（5）第二象限内的点组成的集合。
（6）方程组⎩⎨⎧=-=+15y x y x 的解集。
课堂练习1、下列给出的对象中，能表示集合的是( )A 、一切很大的数B 、无限接近零的数C 、聪明的人D 、方程x 2=2的实数根 2、用适当的方法表示下列集合： （1）平方后仍等于原数的数集。
（2）方程29x =的解集。
（3）使得函数612-+=x x y 有意义的实数x 的集合。
（4）方程组1232x y x y +=⎧⎨=-⎩的解集。
（5）方程224941250x y x y +-++=的解集。
3、方程0652=+-x x 的解集可表示为_____________________。
高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合
数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一．集合的概念：集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类：根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分Φ，}{Φ，}0{，0等符号的含义 4、常用数集（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *二．集合的表示法：1.列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；2.描述法：例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 3.韦恩图： 4.区间法：三．集合间的基本关系：1.元素与集合的关系，用∈或∉表示；属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。
人教 高中数学必修第一册第一章《1.1集合的概念》课件(共17张ppt)
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．