高中数学第3章变化率与导数3计算导数课后演练提升北师大版选修1_1
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．324．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10C ．4D 5．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim 12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-6．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．129．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点 10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 18．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________．19．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x=+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 25．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 26．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11a e-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题2．D解析：D由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞2．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820195．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．D ．6．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 9．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 10．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e11．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或412．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 22．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．23．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．2．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.3．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．5．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.6．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.7．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+，可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．8．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．B解析：B【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．10．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121x x k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=14．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.15．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.18．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=【分析】由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程． 【详解】由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2(1)(1)17f g =+=-，(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出 解析：1y x =+【分析】求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】ln y x =的导数为1y x'=,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．三、解答题21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ）A ．164-B ．149-C ．164D ．1493．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65BCD ．64．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1B．C．(0,3-D．(0,35．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．126．已知函数3()2(1)f x x f x '=--，则函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为（ ） A ．-21B ．-27C ．-24D ．-257．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点8．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--9．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0C ．m +13n ﹣3＝0D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝010．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4 11．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.14．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 15．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．16．直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2x y =相切，若直线l 的倾斜角为4π，则t =__________．17．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．18．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线y=x-3的距离最小值_________ 19．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于____． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．已知函数()2f x x =，()h x =（1）令()()[),,,,x x t y f x x t ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，当2x =时4y =，求实数t 的取值范围； （2）令()()1,02,0f x x y a h x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩的值域为(],1-∞，求实数a 的取值范围； （3）已知函数在()F x ，()G x 数集D 上都有定义，对任意的12,x x D ∈，当12x x <时()()()()121212F x F x G x G x x x -≤≤-或()()()()122112F x F xG x G x x x -≤≤-成立，则称()G x 是数集D 上()F x 的限制函数；令函数()()()F x f x g x =-，求其在()0,D =+∞上的限制函数()G x 的解析式，并求()G x 在()0,D =+∞上的单调区间． 22．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x =+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 23．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程；（Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.24．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()()ln f x x a x =-()a R ∈． （1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值； （3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11x f x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.3．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ 的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．4．D解析：D 【分析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e xf x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f x g x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得015x =-或015x =+（舍去），要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.5．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.6．A解析：A 【分析】由导数的运算可得：2()6(1)f x x f ''=--，再由导数的几何意义，即函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为()2f '，求解即可. 【详解】由题得2()6(1)f x x f ''=--，所以()()161f f ''=--，解得()13f '=-，所以()221f '=-.故选A.【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(答案解析)
一、选择题1．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．322．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞ 3．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'1f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n nf x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --4．若函数231()(0)3f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-C ．(][),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++7．设点P 是曲线31y =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3-B ．[]1,2-C ．[]2,3D ．[)2,39．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e12．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.14．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___. 15．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．16．若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________.17．函数()22,1,,1x x ax x f x e x a x ⎧-<-⎪=⎨--≥-⎪⎩有3个不同零点，则实数a 的取值范围____18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．19．曲线2x y x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为_______． 20．正弦曲线sin y x =上一点P ，正弦曲线以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是______.三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 22．已知函数1()ln f x a x b x=++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b . （Ⅱ）求()f x 的最小值. 23．已知函数()()321453f x x ax ax a a R =+-+∈． ()1若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围；()2若0a >且()()313g x f x x =-，()2x ax ϕ=+，当[]11,3x ∈-，[]01,3x ∈-时，不等式()()10x g x ϕ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 24．已知函数311()32f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2,)a 可作三条不同直线与曲线()y f x =相切，求实数a 的取值范围 25．已知函数()(1)(1)x x f x x e a e =+--.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为1，求实数a 的值； （2）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()f x =()1ln e 1(ax x x +--a 为实数). (1)若e 1y x =--是曲线()f x 的一条切线,求a 的值; (2)当0e a <≤时,试判断函数()f x 的零点个数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．3．C解析：C 【分析】由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可 【详解】由题意得，()0sin cos f x x x =+，()10'()cos sin f x f x x x ==-， ()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+，()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.4．A解析：A 【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可．【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴2112x a x +=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++， 因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++.故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题7．A解析：A 【分析】求函数的导数，设出切点(,)P m n ，可得切线的斜率，由定义域得斜率的范围，由正切函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】31y x =-+，(11)x -<<的导数为2y '=- 设(,)P m n ，可得切线的斜率为2tan 33k m α==-，(1m 1)-<< 即有3tan 0α-<， 可得2[3πα∈，)π． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围的求法，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．8．D解析：D 【分析】设切点为()00,x y ，写出切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，把(1,)m 代入，关于0x 的方程在[1,2]-上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解. 【详解】设切点为()00,x y ，22y x '=+,则切线方程为200002(22)()y x x x x x --=+-，(1,)P m 在切线上，可得()()220000221312m x x x x +--≤≤=-+=-+，函数2()(1)3h x x =--+(12)x -≤≤在[1,1]-上递增，在[1,2]上递减，max ()3h x =，又(1)1h -=-，(22)h =，∴如果0x 有两解，则23m ≤<.故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e4．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +125．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e6．设函数()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．540x y --=B ．320x y --=C ．0x y -=D ．1x =7．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞--B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞8．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．D ．9．某种新产品的社会需求量y 是时间t 的函数，记作：y ＝f （t ）.若f （0）＝y 0，社会需求量y 的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f （t ）的导函数f '（t ）满足：f '（t ）＝kf （t ）（500﹣f （t ））（k 为正的常数），则函数f （t ）的图象可能为（ ）③ ④① ②A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③10．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．1211．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=12．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)(4)f f '+=____________.15．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．16．已知函数2()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 17．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____. 18．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．19．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数) 20．若函数()xxf x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是___． 三、解答题21．已知函数3()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程.22．记()()f x g x ''，分别为函数()()f x g x ，的导函数.若存在0x R ∈，满足()()00f x g x ''=，且()()00f x g x =，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“公共切点”.（1）若()23f x x x =+-，()3221g x x x x =-++，求()f x 与()g x 的“公共切点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“公共切点”，求实数a 的值；23．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程24．已知曲线()()1xf x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3xg x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.25．已知函数()ln x f x ae b x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)1y e x =-+． （1）求a ，b 的值； （2）求证：()2f x >．26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.4．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.5．C解析：C 【分析】求得函数的导数)(()x x y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.6．A解析：A 【分析】取1x =，可得()1122f f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，把已知等式求导，取12x =求得()1f ，进一步得到12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，求得函数解析式，进而求得曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程. 【详解】由题意，函数()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可得()1122f f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 又由()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，得()()11222f f x f x x ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭， 取12x =，可得()1122122f f f ⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11f =，代入()1122f f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，得132f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，∴()232ln f x x x x =-+，则()162f x x x'=-+，∴()15f '=， ∴曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程是()151y x -=-，即540x y --=. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用导数运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t be ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--，故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.8．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.9．B解析：B 【分析】令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0，从而得到答案. 【详解】因为()()()()500f t kf t f t '=﹣， 令()0f t '=，则()0f t =或500，即当()0f t =或500时，曲线的切线斜率接近0， 由选项可知，只有①③符合题意， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.10．A解析：A【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.11．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。
新北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1494．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0B ．1C ．2D ．35．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-6．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e7．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．8．设函数()()2121ln 2f x f x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程是（ ）A ．540x y --=B ．320x y --=C ．0x y -=D ．1x =9．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-，10．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定二、填空题13．函数f （x ）＝sin x +a e x 的图象过点（0，2），则曲线y ＝f （x ）在（0，2）处的切线方程为__14．若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________.15．直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2x y =相切，若直线l 的倾斜角为4π，则t =__________．16．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数) 17．已知函数()2sinxf x cosx=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是________ .18．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．19．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________．20．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.三、解答题21．已知函数()()()1xf x x a ea R =--∈()1当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；()2当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的最大值。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．03．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ）A ．1712-B ．29-C ．14-D ．04．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 5．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 6．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞9．已知函数()ln f x x x =- ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．121112x x +> 10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设，则在点处的切线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为16，则实数a =____。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．1π- D ．1π+ 3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅-⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10 C ．4 D ．4 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ） A ．20152016 B ．20162017 C ．20172018 D ．201820195．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．320x y --=B ．350x y --=C ．20x y ++=D ．10x y ++= 7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( )A ．[2, )+∞B ．[2, 4]C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ） A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=9．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x =B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+ 10．函数()2x a f x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()1- 11．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________． 15．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且10,2a b ==，则sin B =__________．16．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．17．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.18．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.19．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程.22．已知曲线()3:C f x x x =-. (1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.23．已知函数()()f ln x x a x a R =-∈.（1）当2a =时,求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）设函数()()1a h x f x x+=+,求函数()h x 的单调区间. 24．已知函数1()ln f x a x b x =++，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为21y x =+. （Ⅰ）求实数a 和b .（Ⅱ）求()f x 的最小值.25．设函数()b f x ax x=-，若曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为5x-4y-4=0．（Ⅰ）求f （x ）的解析式； （Ⅱ）求证：在曲线y=f （x ）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x 所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=，则曲线()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为（ ） A ．164-B ．149-C ．164D ．1492．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．03．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<5．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞6．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++8．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．32D ．29．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ） A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e=或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 10．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5311．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．函数f （x ）＝xsinx+cosx 的导函数为'()f x ，则导函数'()f x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．15．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．16．已知函数()()2f x f '1e x 1x =+-，其()f 'x 是()f x 的导函数，则曲线y f (x)=在点（1，f (1)）处的切线方程为____________________17．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______． 18．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.19．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．20．曲线ln y a x =有一条切线方程为y kx =（a 、k 为常数，且a ≠0、k ≠0），则ak的值为_______.三、解答题21．已知函数3()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求曲线()y f x =过点(2,6)-的切线方程. 22．已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，讨论函数()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调区间. 23．设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.24．已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)． (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间． 25．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围.26．已知三次函数32()(,,)f x x bx cx d a b c R =+++∈过点(3,0)，且函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线恰好是直线0y =.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ） 设函数()91g x x m =+-，若函数()()y f x g x =-在区间[2,1]-上有两个零点，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意依次计算得()717xf x x=+，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：因为函数()1f x xx=+，若()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x +=， 所以()11xf x x =+，()212x f x x =+，()313x f x x =+，…，()717x f x x=+， 所以()()72117f x x '=+，所以()()721116417f '==+． 故()7y f x =在点()()71,1f 处切线的斜率为164. 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.2．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.3．A解析：A 【分析】求得()f x 的导函数，令1x =求出(1)f '，则求得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率． 【详解】()()221ln f x x f x '=+的导数为()()212f f x x x''=+令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题．4．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.5．B解析：B 【分析】判处出()2xt f x e =+单调递增，可得2222a b t a e t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，进而可得a ，b 为方程2x x t e -=的两个实根，进一步转化为函数1xy e =与22x t y -=有两个交点，求出斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，切线在y 轴上的截距为1ln 22+，只需1ln 222t +->即可. 【详解】因为函数()2xtf x e =+为“倍缩函数”， 所以存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由于()2xt f x e =+单调递增，所以2222a b t ae t b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a ，b 为方程2xx te -=的两个实根， 进一步转化为函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 不妨先求出与函数1xy e =相切且斜率为12的直线方程． 对于数1x y e =，求导得1x y e '=，令12xe =，解得1ln 2x =，112y =， 所以斜率为12的切线方程为111ln 222y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 该直线在y 轴上的截距为1ln 22+， 要使函数1xy e =与22x ty -=有两个交点， 则1ln 222t +->，所以1ln 2t <--， 故选：B ． 【点睛】本题是函数的新定义题目，考查了函数的单调性求值域、导数的几何意义求切线方程，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++.故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题8．A解析：A 【分析】根据题意，对函数求导，且过A B 、两点的切线互相垂直，则有21()()1f x f x ''⋅=-，构造()2112122222x x x x -=-+++⎡⎤⎣⎦根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】()22f x x '=+120x x <<，过,A B 两点的切线互相垂直，()()1222221x x ∴++=-，12220,220x x ∴+<+>，()21121222212x x x x ⎡⎤∴-=-+++≥=⎣⎦， 当且仅当()1222221x x -+=+=， 即1231,22x x =-=-时等号成立，21x x ∴-的最小值为1.故选：A 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.9．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.10．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.11．B解析：B 【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值. 【详解】 设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x'=+ 所以切线斜率01k a x =+则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭又因为切线方程为31y x =-所以得0013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩故选B 项. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项. 【详解】()cos f x x x '=，()cos f x x x '=为奇函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有()0f x '>，故选C.【点睛】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，即20x y π+-=． 故答案为：20x y π+-=14．6【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时切点即为点到直线的距离最小由得（负值舍去）即切点则切点Q 到直线的距离为故答案解析：6 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】解：当直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时， 切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2911y x '=-=-，得x =y =，即切点22Q ⎛ ⎝⎭， 则切点Q 到直线0x y +=6=，故答案为：6． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.15．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=，所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】求导计算再计算根据切线公式得到答案【详解】解析：220e 1x y ++=-. 【分析】求导计算2(1)1f e '=-，再计算2e (1)(1)e 1ef f '==-，根据切线公式得到答案. 【详解】()(1)e 2x f x f x ''=+,故(1)(1)2f ef ''=+，即2(1)1f e '=-,2e (1)(1)e 1ef f '==- .切线方程为2e 2(1)1e 1ey x -=--- 即,2201x y e ++=- 故答案为2201x y e ++=- 【点睛】本题考查了切线问题，先计算出2(1)1f e'=-是解题的关键，属于常考题型. 17．【详解】由题意设切点为由导数的定义可得即又∴【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义考查基本求解能力属基础题解析：14【详解】由题意，设切点为00,x y ，由导数的定义，可得()22000000()11lim lim 22x x a x x ax k a x ax ax x∆→∆→+∆+--==∆+=∆切线,即021ax =． 又2001ax x +=，∴012,4x a ==. 【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.18．【分析】由函数的解析式求得根据导数求得结合直线的点斜式即可求解【详解】由题意函数可得又由可得即切线的斜率为根据直线的点斜式方程可得即所求切线方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方 解析：210x y --=【分析】由函数()f x 的解析式，求得()11f =，根据导数求得()12k f '==，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，函数()1ln x f x ex -=+，可得()11f =，又由()11x f x e x-'=+，可得()12f '=，即切线的斜率为2k =， 根据直线的点斜式方程，可得12(1)y x -=-， 即所求切线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=. 【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.19．【分析】先求与直线平行且与相切的切线切点再根据点到直线距离公式求结果【详解】由题意的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离设切点为因为单调递增因此的最小值为故答案为：【点睛】本题考查导数几【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.20．e 【分析】设切点坐标对求导后表示出切线方程即可计算出结果【详解】设切点为由可得则则曲线在切点处的切线方程为把代入可得则则切点为即故答案为：【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程根据题意即可得到结果解析：e【分析】设切点坐标，对ln y a x =求导后表示出切线方程，即可计算出结果. 【详解】设切点为()00,ln x a x ，由ln y a x =可得a y x'= 则0x x a y x ='=则曲线ln y a x =在切点处的切线方程为()000ln ay a x x x x -=- 把()0,0代入可得0ln a x a -=-，则0x e = 则切点为(),e a ，,a k e =即a e k= 故答案为：e 【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程，根据题意即可得到结果，本题较为基础.三、解答题21．（1）20y +=；（2）30x y +=或24540x y --=.【分析】（1）先对函数求导，再把1x =代入导函数中可求出切线的斜率，再求出(1)f 的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程；（2）设切点为3000(,3)x x x -，则32000036332x x x x -+=--，从而可求出00x =或3，进而可求得切线方程 【详解】解：(1)由已知得2()33f x x '=-,则()01f '=，所以切线斜率0k =， 因为()311312f =-⨯=-所以切点坐标为(1,2)-，所以所求直线方程为20y +=， 故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为20y +=. (2)由已知得2()33f x x '=-，设切点为3000(,3)x x x -,则32000036332x x x x -+=--，即3200260x x -=，得00x =或3， 所以切点为(0,0)或(3,18)，切线的斜率为3-或24， 所以切线方程为3y x =-或1824(3)y x -=- 即切线方程为30x y +=或24540x y --=， 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，求曲线的切线方程，解题的关键是注意过某点和在某点处的切线方程的求法的区别，考查计算能力，属于中档题 22．（1）10y +=；（2）见解析. 【分析】（1）根据题意，由0a =即可得函数的解析式，进而求出函数的导数，据此计算可得()1f 与()1f '的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，变形即可得答案；（2）根据题意，求出函数的导数，对a 的值进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】（1）若0a =，()ln f x x x =-，导函数为()11f x x'=-，则()11f =-，()10f '=. 则所求切线方程为()101y x +=⨯-，即10y +=； （2）当0a >时，()()()()1111ax x f x ax a x x--'=-++=， 令()0f x '=，可得1x a=或1x =. ①当101a<<时，即当1a >.令()0f x '>，可得10x a<<或1x >；令()0f x '<，可得11x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； ②当11a=时，即当1a =时，对任意的()0,x ∈+∞，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； ③当11a>时，即当01a <<时. 令()0f x '>，可得01x <<或1x a>；令()0f x '<，可得11x a <<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当01a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算切线的方程，注意函数的定义域以及对a 的范围进行讨论．23．(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【分析】（1）先求出函数的导函数()()()21110x e x f x x x x⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，再构造函数()(),0,1xe g x x x =∈，求其值域，则可得a 的范围，再利用导数确定0x x =是极大值点或者极小值点.【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-.（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭， 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x --'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a=在()0,1范围内有唯一交点，设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()210x x e g x x-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ，当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xeax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数，即0x x =为函数()f x 的极小值点，综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题. 24．（I ）322ln 230x y -+-=（II ）见解析 【详解】 （I ）322ln 230x y -+-=（II ）当0k =时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-. 当1k =时()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k- 25．（1）()1y e x =-；（2）a e ≥ 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，把1x =代入导数得斜率，把1x =代入()f x 即可得1x =时的坐标。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．若()f x lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1-4．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+=D ．320x y ++=6．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +128．设函数的定义域为D ，若满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数()2xt f x e =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(],1ln 2-∞-- B ．(),1ln2-∞--C ．[)1ln 2,++∞D ．()1ln 2,++∞9．已知函数()3237f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和点()()02,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则()31iii x y =+=∑（ ）A ．0B ．3C ．6D ．910．若过点()1,P m 可作两条不同直线与曲线段C ：22y x x =+ (12)x -≤≤相切，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3-B ．[]1,2-C ．[]2,3D ．[)2,311．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．5812．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-二、填空题13．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________． 14．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．15．曲线3y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为16，则实数a =____。
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2016-2017学年高中数学 第3章 变化率与导数 3 计算导数课后演
练提升 北师大版选修1-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线f(x)＝x3在点33，39处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析： ∵f′(x)＝3x2，∴f′33＝1，即切线的斜率为1，故倾斜角为45°.
答案： B
2．过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标是( )
A.12，2 B．－12，－2或12，2
C.－12，－2 D．12，－2
解析： y′＝－1x2＝－4，x＝±12，P的坐标为12，2或－12，－2.
答案： B
3．已知函数f(x)＝31x，则f′(8)等于( )
A.148 B．－148
C．－12 D．－2
解析： ∵f(x)＝x－13
∴f′(x)＝－13x－43 ，
∴f′(8)＝－13³8－43 ＝－148.
答案： B
4．已知正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜
角的范围是( )
A.0，π4∪34π，π B．[0，π)
2
C.π4，3π4 D．0，π4∪π2，3π4
解析： y′＝cos x，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围[－1,1]，结合
正切函数图像及直线倾斜角取值范围[0，π)，可知本题答案为0，π4∪34π，π.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
解析： ∵y′＝ex，
∴f′(2)＝e2
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝1，
∴S△＝12³1³e2＝e22.
答案： e22
6．已知函数f(x)＝xm－n的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝________.
解析： ∵f(x)＝xm－n，
∴f′(x)＝(m－n)xm－n－1.
∴ m－n＝n，m－n－1＝3，解得m＝8，n＝4.
∴m＋n＝12.
答案： 12
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求曲线y＝1x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解析： 由 y＝1xy＝x2得交点为(1,1)，
而1x′＝－1x2；(x2)′＝2x，
∴斜率分别为：－1和2，
∴切线方程为：y－1＝－(x－1)．
及y－1＝2(x－1)；
3
令y＝0得与x轴交点为(2,0)及12，0，
∴S△＝12²2－12³1＝34.
8．已知曲线方程为y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解析： 设切点P的坐标为(x0，x20)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0.
∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式得5－x20＝2x0(3－x0)，
即5－x20＝6x0－2x20.
∴x20－6x0＋5＝0，
∴(x0－1)(x0－5)＝0.
∴x0＝1或x0＝5.
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．
∴所求切线方程为y－1＝2³(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)设直线l1与曲线y＝f(x)＝x相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若
l2交x轴于Q点，又作PK垂直x轴于点K，求KQ
的长．
解析： 如图，设P(x0，y0)，
则kl1＝f′(x0)＝12x0，
∵直线l1与l2垂直，
则kl2＝－2x0，
∴直线l2的方程为
y－y0＝－2x0(x－x
0
)
∵点P(x0，y0)在曲线y＝x上，
∴y0＝x0，
在直线l2的方程中令y＝0.
则0－x0＝－2x0(x－x0)，
∴x＝12＋x0，即xQ＝12＋x0，
又xK＝x0，
4
∴|KQ|＝xQ－xK＝12＋x0－x0＝12.