理论力学 第十四章 动荷载
结构力学-第十四章 结构动力学1
动的合成，为了便于研究合成运动,
令 (e)式改写成
y Asin,
v Acos
y(t) Asin( t )......... .......... ...( f )
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅
A
y2
v
2
.............................(g
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y(0)
y v
得 C1 y
C2
v
y r
y(t)
e t
( y
cos r t
v
r
y
sin rt)
21
y(t)
e t
(
y
cos r t
v
r
y
sin
rt
)
y(t) et Asin( rt )
2
其中
A
y2
v
y r
tg1 r y
v y
y
讨论（：a）衰减周期运动
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………. 9
一、运动微分方程的建立
（1）低阻尼情形 ( <1 )
1,2 i 1 2 , 令 r 1 2
y(t)
B e( ir )t 1
B e( ir )t 2
eix cos x i sin x
et (B1eirt B2eirt ) eix cos x i sin x
材料力学14
PD = K DQ σ D = K Dσ C δ D = K Dδ C
其中动系数 KD 由不同的冲击而定,KD 中的 δ C 是冲击 由不同的冲击而定, 点沿冲击力方向的静位移. 点沿冲击力方向的静位移.
脱离体图
b. 绘内力图.确定内力最大的截面,并计算最大应力. 绘内力图.确定内力最大的截面,并计算最大应力. N D max W ω 2 l W ω 2l , σ D max = = 当 x=l 时, N D max = 2g A 2 gA
内力图
(2)计算杆件的伸长 )
Wω 2 x2 ND(x) = lx 2 gl
2 Qυ 2 Qδ D = 2g 2δ C
解出
δ D = δC
υ2 = K Dδ C gδ C
υ2 υ KD = = (14 10 ) 动荷系数: 动荷系数: gδ C gδ C
(三)起吊重物时的冲击(推导略) 起吊重物时的冲击(推导略)
υ2 (14 11) 动荷系数: 动荷系数: K D = 1 + gδ C
(
)
例3图 图
解:(一)图a所示杆内的最大正应力 所示杆内的最大正应力 最大静应力: 最大静应力:
动荷系数为: D 动荷系数为: K ′ =
图b
M A Ql = 最大静应力为: ′ 最大静应力为:σ C = Wz Wz
(三)最大正应力之比和最大动位移之比
12 EIH Ql 3 3 EIH Ql 3 Ql 2Wz Ql Wz
理论力学第十四章达朗伯原理
O
x
D
at
x
y
φ
φ
(b)
an
y
rz
D
O
x
D
at
x
y
φ
φ
(b)
an
y
rz
D
刚体对y、z轴的惯性积
刚体对x、z轴的惯性积
解得
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求：当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。
解：研究对象:转子
受力分析:如图示
FA
FB
mg
Fg
运动分析:转动
静反力
附加动反力
解：研究对象:转子
例：两圆盘质量均为m，对称偏心距均为e，=常量。
材料力学-第14章 冲击载荷
Vε =
W=
1 2
Fd
∆
d
=
1 2
(
kd
Fst
)
⋅
(
kd
∆st
)
=
1 2
kd2
P∆st
kd =
v2 g ∆ st
材料力学－第14章 冲击载荷
解决冲击问题的关键
1. 物理过程 2. 能量守恒定律 3. 冲击情况下所有物理量与静载情况下相应物理量成比例
（动载系数）
材料力学－第14章 冲击载荷
The end!
对于前面所讨论的简支梁，动载系数为
K d＝1 +
1+ 2h Δst
问题： 如果是悬臂梁，动载系数怎么写？
P
∆d
材料力学－第14章 冲击载荷
对于重物坠落引起的冲击问题，不同结构的不同仅在于刚度
系数k 的差别。
Fd
简支梁中间受冲击：
∆d
=k F=d 48EI
∆d
l3
悬臂梁自由端受冲击：
∆d
=k
F=d ∆d
材料力学－第14章 冲击载荷
最大冲击载荷：Fd =
kdP =
P 1+
1+
2h ∆ st
这一结果表明，最大冲击载荷与静位移有关，即与梁的 刚度有关：梁的刚度愈小，静位移愈大，冲击载荷将相应地减 小。设计承受冲击载荷的构件时，应当利用这一特性，以减小 构件所承受的冲击力。
若令上式中h＝0，得到
Fd＝ 2W
材料力学－第14章 冲击载荷
例题 1
图示重量为 P 的梁长l，弯曲刚度EI，抗 弯截面系数W 等为常数。梁的质量和冲击物的变形忽略不计。
Bv
材料力学第14章 动载荷
这样钢梁匀减速下降时钢索的拉力Fd与均布力系qd组成形式上的静平衡力系
。钢梁为匀速下降，
，由式(14.1)可计算下降时动载荷系数为
钢索匀减速下降时，槽钢所受到的动载荷集度为
由平衡条件可得，钢索匀加速上升时所受拉力为
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材料力学
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据前述弯曲内力分析，工字钢的最大弯矩在其中间截面上，其值为
14.2惯性力问题 惯性力问题通常用达朗伯原理（动静法）求解，杆件作等加速直线运动和作 等速转动的应力问题等是常见的惯性力问题。达朗伯原理指出，对作加速运 动的质点系，如假想地在每一质点上加上惯性力FI=ma，则质点系上的原力 系与惯性力系组成平衡力系。这样，就可把动力学问题在形式上作为静力学
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第14章 动载荷
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14.1概述 实验表明，在动载荷作用下，只要构件的动应力不超过比例极限，胡克定律 仍然成立，且材料的弹性模量与静载荷作用下的弹性模量数值相同。 材料力学仅讨论其中最常见的动载荷问题，主要可以划分为3类：匀加速直 线运动和匀速旋转运动、冲击、交变荷载等。本章主要讨论构件在匀加速直 线运动、匀速旋转运动及冲击下的动应力，交变荷载及交变应力将在下一章 讨论。
αk的单位为焦耳/毫米2（J/mm2）。αk越大，材料抗冲击的能力就越强。 试验结果表明，αk的值随着温度的降低而减小，在某一温度范围下，材料 将变得很脆，其αk值突然变小，这就是冷脆现象，这一温度范围称为转变 温度。各种材料的αk值与温度的关系及其转变温度都不相同，图14.11为低
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材料力学
如将 引入
代入式(14.6) 可得 ，则
结合式（14.5(a)）和式（14.6）以及之前的讨论可以看出，式（14.5(a)） 右端第一项代表了自重静荷载对动荷系数kd的贡献， 根号内的第一项代表 突然加载对动荷系数kd的贡献， 代表了冲击物初始动能对动荷系数kd的 贡献，代表冲击物相对冲击面所具有的势能对动荷系数kd 的贡献。所以在 垂直冲击的动载荷系数式（14.5a）中减去自重静荷载作用、突然加载以及
理论力学第十四章
解： 选杆AB为研究对象， 虚加惯性力系：
FgR
ml
2
FgnR man 0
M gA
J A
ml 2
3
根据动静法，有
F 0 , FA mg cos0 FgR 0 (1)
Fn 0 , FAn mg sin 0 FgnR 0 (2)
M A (F ) 0 , mg cos0 l / 2 M gA 0 (3)
C
解：以杆AB为研究对象, 受力如图。
杆AB匀速转动, 杆上距A点x 的微元段dx
的加速度的大小为
A
an (x sin ) 2
an
dFg
微 元 段 的 质 量 dm ＝ Pdx/gl 。 在 该 微 元 段
虚加惯性力dFg ,它的大小为
dFg
d m an
P 2
gl
sin
x
Z (e) i
FI iz 0 ,
mz (Fi(e) ) mz (FI i ) 0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
11
[例3] 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并
以匀角速度 绕该轴转动, 如图。求角速度 与角 的y 关系。
6
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
7
解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
FI ma ( FI ma ) FI
由动静法, 有
X 0 , mg sin FI cos 0
理论力学中的荷载分布如何分析？
理论力学中的荷载分布如何分析？在理论力学的研究领域中，荷载分布的分析是一项至关重要的任务。
它不仅关乎着我们对物体受力情况的准确理解，更直接影响到结构设计的安全性和可靠性。
那么，如何有效地进行荷载分布的分析呢？首先，我们要明确什么是荷载。
荷载，简单来说，就是作用在物体上的力或者力的组合。
它可以是集中力，比如一个重物直接放在桌子上的那个点的受力；也可以是分布力，比如一个物体均匀地受到压力或者拉力。
在分析荷载分布时，第一步通常是确定荷载的类型。
这就像是给一个问题定性，只有明确了它的性质，我们才能采取正确的方法去解决。
集中力相对来说比较简单直观，我们只需要关注力作用的那个点以及其大小和方向。
而分布力则稍微复杂一些，因为它不是作用在一个点上，而是在一段长度、面积或者体积上。
对于分布力，我们经常会遇到线分布力、面分布力和体分布力。
线分布力的例子比如一根悬挂的绳子，每单位长度上所受的力就是线分布力；面分布力常见于一块平板受到的均匀压力；体分布力则像是一个物体内部每单位体积所受的重力。
接下来，我们要学会将分布力转化为等效的集中力。
这是一个很有用的技巧，能够让问题变得更加简洁和易于处理。
比如，对于一个均匀分布的线荷载，我们可以通过计算其总力大小，并将其作用在分布长度的中点，来得到一个等效的集中力。
在实际的分析中，我们还需要考虑荷载的作用方向。
荷载可以是垂直于接触面的压力，也可以是平行于接触面的摩擦力，或者是与接触面成一定角度的力。
对于不同方向的荷载，我们在分析时需要分别处理。
为了更准确地描述荷载分布，我们会用到一些数学工具。
比如，用函数来表示荷载的大小随位置的变化关系。
如果是线分布力，可能会用一个关于长度坐标的函数；面分布力则用关于面积坐标的函数；体分布力则用关于体积坐标的函数。
在分析复杂的结构时，我们还需要考虑多个荷载的组合情况。
这时候就需要运用力的合成与分解原理，将各个荷载分解到合适的方向上，然后再进行合成，以得到最终的合力和合力矩。
动荷载及交变应力
193第二十五章 动荷载及交变应力一、 内容提要使构件内各点产生加速度的载荷称动载荷。
构件在动载荷作用下产生的应力称为动荷应力。
若以 、和 分别表示动载荷、动荷应力、动荷变形， 、 和 分别表示静载荷、静应力和静变形，则有动荷系数1. 构件以等加速度运动时的动荷应力这类问题可应用达朗伯原理把惯性力作为静载荷处理，按静力平衡求解内力。
动荷系数2. 承受冲击载荷时构件内的动荷应力忽略冲击过程中的能量损失,根据机械能守恒定律,刚体冲击物在冲击过程中所减少的动能T 和位能V ,应等于受冲击物体的弹性变形能,即自由落体垂直冲击水平冲击3. 疲劳应力：随时间作周期性变化的应力。
正应力—时间曲线d P d σd ∆j P j σj ∆jd jd jd d P P K ∆∆===σσga K d +=1d U V T =+jd H K ∆++=211jd g vK ∆=2mσ194 基本参量 循环种类应力最大值 对称循环 应力最小值 脉动循环平均应力 静应力循环 应力幅循环特征4. 疲劳破坏：金属材料在交变应力作用下的破坏。
有以下特点：(1) 交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值, 但经历时间长。
(2) 无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为脆性断裂,无明显塑性变形，断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。
(3) 疲劳过程一般分三个阶段：裂纹萌生、裂纹扩展、扩展到临界尺寸瞬时断裂。
二、 基本要求1. 掌握匀加速直线运动杆件和匀速转动圆环的应力和强度计算方法。
2. 理解自由落体冲击应力和变形公式的推导过程和假设条件,熟练掌握受该冲击作用的动应力和动变形的计算方法。
3. 了解提高构件抗冲击能力的主要措施。
4. 了解疲劳破坏的机理和特点,掌握交变应力的应力幅度、平均应力和循环特性的概念和计算方法。
三、 典型例题分析例1 图1 直杆的横截面积为A ，长 ，重量为G ，放置在无摩擦的水平面上，设试用动静法求杆内动荷应力沿杆长的分布规律。
工程力学 动载荷.
2018/11/27
B
A
C
l1
st
24
水平冲击动荷系数
A
B
C
l1 2 l 2 2 3EIl Kd gP(l l1 ) 2 g st 最大静弯矩发生在B点 M st max P(l l1 )
v2 g st
设圆环以均角速度转动，
ω
qd
厚度 t 远小于直径D， 截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
2018/11/27
D 2 an R 2 A D 2 A qd an 2g g
2
8
y
取半圆，求内力 由以前的结论，有:2 F
Nd
qd D
2
qd
FN d
A D 2 qd D 4g 2
静载——静平衡状态
动载——不平衡状态 实验表明：只要动应力不超过静载下的比例 极限，胡克定律仍适用，且弹性 模量不变。
动载荷下的应力和变形计算仍采用静载 下的计算公式，但是需要做相应的修正，以 考虑动载荷的效应。
2018/11/27 3
§12-2 构件有加速度时的动应力计算
一、动载法的应用
动载与静载的区别：一个处于不平衡，一个处 于平衡。
思路：将不平衡转化为平衡，则可以用静载的 方法，解决动载问题。 方法：动静法：除外载荷外，再在构件各点加 上惯性力（此时构件处于形式上的平衡），然 后按求解静载问题的程序，求解构件的动应力。
2018/11/27 4
二、动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。
动荷载及交变应力.ppt
动荷载和交变应力
§9-1 概
述
静荷载－－是指由零缓慢增加到F以后不变的荷载。
动荷载——是指随时间作急剧变化的荷载，及作加 速运动或转动系统中构件的惯性力。 F
如：轮船靠泊时的冲击力
起吊重物时的惯性力
t
构件由动荷载引起的应力和变形称为动应力和动变形。 构件在动荷载作用下，同样有强度、刚度和稳定性的问题。 构件内的应力随时间作交替变化，则称为交变应力。
（c）
例3
如图所示。已知P=150N，h=75mm，l =2m，
截面为边长a =50mm正方形，E = 2×105 MPa。求
σdmax和梁跨中C点的动位移△Cd(不计梁的自重)。
解：1°计算静态的△st、Mmax和σstmax
P
2l 3 l 3
st
1 EI z
0
Px x 1 dx 3 3 EI z
1.19 103 m
由 (1 )式
kd 17.2
由 (2 )式
H 0.16m
例6：图示结构，已知:P＝4kN,h=20mm,d1=32mm,d2=24mm;两 杆材料相同， σs=235MPa 、 σp=200MPa 、 E=2×105MPa ；强度 安全因数 n=1.1 ，稳定安全因数 nst=1.45 。试校核结构的安全性。 （中长杆 ） ) cr 304 1.12 ( MPa
例2：已知:A, l,ρ,ω.求:σmax,
x
O
l
an 2 x
qd Aan A 2 x
max
1 1 1 2 qd ( x)dx A xdx 2l 2 A0 A0 2
l