高数第五版答案（同济）12-9

高数第五版答案（同济）12-9

习题12-9

1. 求下列各微分方程的通解:

(1)2y ''+y '-y =2e x ;

解微分方程的特征方程为

2r 2+r -1=0, 其根为211=

r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ae x ,

代入原方程得

2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,

解得A =1, 从而y *=e x .

因此, 原方程的通解为

x x x e e C e C y ++=-2211.

(2)y ''+a 2y =e x ;

解微分方程的特征方程为

r 2+a 2=0,

其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1cos ax +C 2sin ax .

因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ae x ,

代入原方程得

Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2

11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为

2

211sin cos a e ax C ax C y x +++=.

(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;

解微分方程的特征方程为

2r 2+5r =0,

其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为

x e C C Y 2521-+=.

因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,

故原方程的特解设为

y *=x (Ax 2+Bx +C ),

代入原方程并整理得

15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25

75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575

33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;

解微分方程的特征方程为

r 2+3r +2=0,

其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1e -x +C 2e -2x .

因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,

故原方程的特解设为

y *=x (Ax +B )e -x ,

代入原方程并整理得

2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32

3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323

(2221x x e e C e C y x x x -++=---.

(5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;

解微分方程的特征方程为

r 2-2r +5=0,

其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为

Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).

因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),

代入原方程得

e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 41*-=.

因此, 原方程的通解为

x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.

(6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;

解微分方程的特征方程为

r 2-6r +9=0,

其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为

Y =e 3x (C 1+C 2x ).

因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,

故原方程的特解设为

y *=x 2e 3x (Ax +B ),

代入原方程得

e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2

161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为 )2161

()(233213x x e x C C e y x x +++=.

(7)y ''+5y '+4y =3-2x ;

解微分方程的特征方程为

r 2+5r +4=0,

其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1e -x +C 2e -4x .

因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=Ax +B ,

代入原方程得

4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21

-=A , 811=B , 从而8

1121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为 81121

421+

-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;

解微分方程的特征方程为

r 2+4=0,

其根为r =±2i , 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1cos2x +C 2sin2x .

因为f (x )= x cos x =e 0x (x ?cos x +0?sin x ), λ+i ω=i 不是特征方程的根,

故原方程的特解设为

y *=(Ax +B )cos x +(Cx +D )sin x ,

代入原方程得

(3Ax +3B +2C )cos x +(3Cx -2A +3D )sin x =x cos x , 比较系数得31=A , B =0, C =0,9

2=D , 从而x x x y sin 92cos 31*+=. 因此, 原方程的通解为 x x x x C x C y sin 92cos 31

sin 2cos 21+++=.

(9)y ''+y =e x +cos x ;

解微分方程的特征方程为

r 2+1=0,

其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为

Y =C 1cos x +C 2sin x .

因为f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=e x , f 2(x )=cos x , 而

方程y ''+y =e x 具有Ae x 形式的特解;

方程y ''+y =cos x 具有x (B cos x +C sin x )形式的特解,

故原方程的特解设为

y *=Ae x +x (B cos x +C sin x ),

代入原方程得

2Ae x +2C cos x -2B sin x =e x +cos x , 比较系数得21=A , B =0,21=C , 从而x x e y x sin 2

21*+=. 因此, 原方程的通解为 x x e x C x C y x sin 221