均值不等式的巧用
均值不等式方法及例题
之阳早格格创做均值没有等式当且仅当a＝b时等号创制）是一个要害的没有等式，利用它不妨供解函数最值问题.对付于有些题目，不妨曲交利用公式供解.然而是有些题目必须举止需要的变形才搞利用均值没有等式供解.底下是一些时常使用的变形要领.一、配凑1. 凑系数例1. 当时，供的最大值.剖析：由知，，利用均值没有等式供最值，必须战为定值或者积为定值，此题为二个式子积的形式，然而其战没有是定值.注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可.当且仅当，即x＝2时与等号.所以当x＝2时，的最大值为8.评注：原题无法曲交使用均值没有等式供解，然而凑系数后可得到战为定值，进而可利用均值没有等式供最大值.2. 凑项例2. 已知，供函数的最大值.剖析：由题意知，最先要安排标记，又没有是定值，故需对付举止凑项才搞得到定值.∵∴当且仅当，坐即等号创制.评注：原题需要安排项的标记，又要配凑项的系数，使其积为定值.3. 分散例3. 供的值域.剖析：原题瞅似无法使用均值没有等式，无妨将分子配圆凑出含有（x＋1）的项，再将其分散.当，坐即（当且仅当x＝1时与“＝”号）.当，坐即（当且仅当x＝－3时与“＝”号）.∴的值域为.评注：分式函数供最值，常常化成g(x)恒正或者恒背的形式，而后使用均值没有等式去供最值.二、完全代换例4. 已知，供的最小值.解法1：无妨将乘以1，而1用a＋2b代换.当且仅当时与等号，由坐即，的最小值为.解法2：将分子中的1用代换.评注：原题巧妙使用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值没有等式供得的最小值.三、换元例5. 供函数的最大值.剖析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，坐即与等号故.评注：原题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转移为认识的分式型函数的供最值问题，进而为构制积为定值创制有利条件.四、与仄圆例6. 供函数的最大值.剖析：注意到的战为定值.又，所以当且仅当，坐即与等号.故.评注：原题将剖析式二边仄圆构制出“战为定值”，为利用均值没有等式创制了条件.总之，咱们利用均值没有等式供最值时，一定要注意“一正二定三相等”，共时还要注意一些变形本领，主动创制条件利用均值没有等式.1. 若，供的最大值.2. 供函数的最小值.3. 供函数的最小值.4. 已知，且，供的最小值.参照问案：1. 2. 5 3. 8 4.。
高考数学考点均值不等式全解
高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
均值不等式应用(技巧)(稻谷书苑)
均值不等式应用（技巧）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式的应用(新版教材)
均值不等式的应用类型 用均值不等式证明不等式 ┃┃典例剖析__■1．无附加条件的不等式的证明典例1 已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .思路探究：由条件中a ，b ，c >0及待证不等式的结构特征知，先用均值不等式证a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，再进行证明即可． 解析：∵a ，b ，c >0，∴利用均值不等式可得a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点： (1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件． 2．有附加条件的不等式的证明典例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9.思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成a ＋b ，由均值不等式即可证明． 解析：方法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba .同理1＋1b ＝2＋ab.故(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.所以(1＋1a )(1＋1b )≥9，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．方法二：(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝14，所以1ab ≥4，2ab≥8.因此(1＋1a )(1＋1b )≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型(1)无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．(2)有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形． ┃┃对点训练__■1．已知x >0，y >0，z >0，求证：(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yz )≥8.证明：∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z>0， 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号同时成立． ∴(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋y z )≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 类型 利用均值不等式解决实际问题 ┃┃典例剖析__■典例3 如图所示，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则问题(1)是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值；而问题(2)是在xy ＝24的前提下求4x ＋6y 的最小值，因此可用均值不等式来解决． 解析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，每间虎笼的面积为S m 2. (1)由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，S ＝xy . 方法一：由2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 得26xy ≤18，解得xy ≤272，S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.故每间虎笼长为92 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．方法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝(9－32y )y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6，∴6－y >0. ∴S ≤32·[(6－y )＋y 2]2＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l m ，则l ＝4x ＋6y . 方法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16y＋y )≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 归纳提升：求实际问题中最值的一般思路 1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题．3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解． 4．正确地写出答案． ┃┃对点训练__■2．某公司计划建一面长为a 米的玻璃幕墙，先等距安装x 根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6 400元，一块长为m 米的玻璃造价为(50m ＋100m 2)元．假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y 元(总造价＝立柱造价＋玻璃造价)． (1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝56时，怎样设计能使总造价最低？ 解析：(1)依题意可知a m ＝x －1，所以m ＝ax －1，y ＝6 400x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤50a x －1＋100⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －12(x －1) ＝6 400x ＋50a ＋100a 2x －1(x ∈N ，且x ≥2)．(2)y ＝6 400x ＋50a ＋100a 2x －1＝100⎣⎢⎡⎦⎥⎤64(x －1)＋a 2x －1＋50a ＋6 400. ∵x ∈N ，且x ≥2，∴x －1>0. ∴y ≥20064(x －1)·a 2x －1＋50a ＋6 400＝1 650a ＋6 400，当且仅当64(x －1)＝a 2x －1，即x ＝a8＋1时，等号成立．又∵a ＝56，∴当x ＝8时，y min ＝98 800.所以，安装8根立柱时，总造价最低． 易混易错警示 忽略等号成立的条件┃┃典例剖析__■典例4 求函数y ＝x (1－x )，x ∈[23，1)的最大值．错因探究：由23≤x <1，易知1－x >0，从而错解为y ＝x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14.而x ＝1－x 在x ＝12时才能取“＝”，但23≤x <1，因而不等式取不到等号，从而最大值为14是错误的． 解析：y ＝x (1－x )＝－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14，当x ＝23时，y max ＝23×(1－23)＝29.误区警示：利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答． 学科核心素养 与不等式有关的恒成立问题 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即 y ≥m 恒成立⇔y min ≥m ； y ≤m 恒成立⇔y max ≤m .但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．典例5 已知函数y ＝－1a ＋2x ，若y ＋2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是__(－∞，0)∪[14，＋∞)__.解析：∵y ＋2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即－1a ＋2x ＋2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴1a ≤2(x ＋1x )在(0，＋∞)上恒成立． 当a <0时，不等式恒成立；当a >0时，∵2(x ＋1x )≥4，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴0<1a ≤4，解得a ≥14.∴a <0或a ≥14.课堂检测·固双基1．若实数a ，b 满足ab >0，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果．实数a ，b 满足ab >0，则a 2＋4b 2＋1ab ≥4ab ＋1ab ≥4，当且仅当a ＝2b ，且ab ＝12时，等号成立，故选C ． 2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( D ) A ．1ab ≤14B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25_m 2__. 解析：设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25 m 2. 4．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为__32__.解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥22(x －a )·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( C )A ．1B ．12C ．14D ．18解析：因为0<x <12，所以1－4x 2>0，所以x1－4x 2＝12×2x ×1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2即x ＝24时等号成立，故选C ． 2．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：由于x >1，所以x －1>0，1x －1>0，于是x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当1x －1＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ．3．(2019·江苏南京师大附中高二期中)函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1 (x >－1)的图像的最低点的坐标是( D ) A ．(1,2) B ．(1，－2) C ．(1,1)D ．(0,2)解析：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，即当x ＝0时，该函数取得最小值2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2)． 4．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ．2 B ．2 C ．22D ．8解析：因为x >0，y >0， 所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy ≤2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2， 当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以使得x ＋y ≤ax 2＋y 2对所有正数x ，y 恒成立的a 的最小值是 2.故选A ．5．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是__1__.解析：f (x )＝(x －2)2＋12x －4＝x －22＋12x －4＝2x －44＋12x －4≥22x －44·12x －4＝1. 当且仅当2x －44＝12x －4，即x ＝3时取“＝”．7．(2019·辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(4，＋∞)__.解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴(x ＋y 4)min <m 2－3m .∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝(x＋y 4)(1x ＋4y )＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴(x ＋y4)min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．8．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.解析：①∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab ∈[9，＋∞)．②∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b2)2，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴a ＋b ∈[6，＋∞)． 三、解答题(共20分)9．(6分)(2019·湖北华中师大一附中高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.解析：因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a 2＋1b 2≥2ab ＝2c ，1b 2＋1c 2≥2bc ＝2a ， 1a 2＋1c 2≥2ac＝2b ， 以上三个不等式相加，得2(1a 2＋1b 2＋1c 2)≥2(a ＋b ＋c )，即1a 2＋1b 2＋1c 2≥a ＋b ＋c . 因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立． 所以a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.10．(7分)a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值．解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －ca －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －b b －c≥2(b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.11．(7分)已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc . 解析：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又a ，b ，c 都是正实数，∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. ∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：由条件知A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， 所以(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤[(1＋a )＋(1＋b )2]2，所以1＋x ≤1＋a ＋b 2，故x ≤a ＋b2.2．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值．若y ＝5m ，x ＝4n 是方程y ＝x α的解，则α＝( C ) A ．－1 B ．12C ．2D ．3解析：1m ＋16n ＝(1m ＋16n )(m ＋n )＝1＋16m n ＋n m ＋16＝17＋16m n ＋nm ≥17＋216m n ·nm＝25. 当且仅当16m n ＝n m ，又m ＋n ＝1，即m ＝15，n ＝45时，上式取等号，即1m ＋16n 取得最小值时，m ＝15，n ＝45，所以y ＝25，x ＝5,25＝5α. 得α＝2.二、多选题(每小题5分，共10分)3．设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是( ABC )A ．a 2＋1>aB ．(a ＋1a )(b ＋1b )≥4C ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4 D ．a 2＋9>6a解析：由于a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0， ∴a 2＋1>a ，故A 恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2， ∴(a ＋1a )(b ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab ， ∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立；故选ABC ．4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( BD )A ．ab >1B ．ab <1C ．a 2＋b 22<1 D ．a 2＋b 22>1 解析：因为ab ≤(a ＋b 2)2，a ≠b ，所以ab <1， 又1＝(a ＋b )24＝a 2＋b 2＋2ab 4<a 2＋b 22， 所以a 2＋b 22>1，所以ab <1<a 2＋b 22. 三、填空题(每小题5分，共10分)5．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是__56__dm 2.解析：设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2. 由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x)≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2)． 当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立． 6．设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时a 的值为__－2__. 解析：因为a ＋b ＝2， 所以12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝ a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a 4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立． 又a ＋b ＝2，b >0，所以当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 四、解答题(共10分)7．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数．(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解析：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)， ∴2019年该产品的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当 16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件(29张)
解析：∵a，b，c>0，∴利用均值不等式可得ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b， ca2＋a≥2c，∴ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋ c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点： (1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立． (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使 用． (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不 等式的条件．
1．无附加条件的不等式的证明 典例 1 已知 a，b，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
思路探究：由条件中 a，b，c>0 及待证不等式的结构特征知，先用 均值不等式证ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，再进行证明即可．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升：求实际问题中最值的一般思路 1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题． 3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不 等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学 习的函数的单调性求解． 4．正确地写出答案．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
2．有附加条件的不等式的证明 典例 2 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋b1)≥9.
思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成 a＋b，由均值不等式即可 证明．
均值不等式应用（技巧）
均值不等式应用（技巧）一．均值不等式1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取R b a ∈,ab b a 222≥+R b a ∈,222b a ab +≤b a =“=”）2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）*,R b a ∈ab b a ≥+2*,R b a ∈ab b a 2≥+b a =(3)若，则 (当且仅当时取“=”）*,R b a ∈22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取0x >12x x +≥1x =0x <12x x+≤-1x =-“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）0>ab 2≥+a b b a b a =若，则(当且仅当时取“=”）0ab ≠22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或b a =4.若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2)2(222b a b a +≤+b a =注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋ （2）y ＝x ＋12x 21x解：（1）y ＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）12x 266 （2）当x ＞0时，y ＝x ＋≥2＝2；1x 当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2=－21x 1x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。
54x <14245y x x =-+-解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑450x -<1(42)45x x --A 42x -项，，5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
平均值不等式常用使用方法
平均值不等式常用使用方法说到“平均值不等式”，我知道很多小伙伴一听到这个名词就头皮发麻，甚至有点想“跑路”。
其实呢，它看起来像个高深的数学难题，但如果从生活中的角度来理解，它其实挺有意思的，也能帮助我们看清楚一些隐藏的规律。
大家可能会觉得它跟咱们平时做数学题有什么关系，不管是学数学的还是生活中做事的人，都会遇到“平均”的概念。
比如说，你请了几个人吃饭，每个人付的金额能不能平摊？是不是有个规律，谁付多了，谁付少了，都能通过调整，让大家付得“差不多”。
这就有点像是“平均值不等式”要讨论的内容。
听起来是不是有点意思了？我们说的“平均值不等式”，其实就是告诉我们：几个数的平均值，永远不会比它们中任何一个数的值大，也不会比它们的最小值小。
是不是有点抽象？没关系，让我给大家举个生活中的例子。
假设你和小伙伴们玩游戏，比赛谁吃得多，大家都拿到了一堆零食。
你吃了15块巧克力，小明吃了10块，小李吃了20块，那么你们的平均值就是(15+10+20)÷3，得出的结果是15块。
如果有个人问你：“你觉得平均数15比你吃的15块多吗？”你是不是觉得有点“哎呦，怎么可能呢？”确实，平均值15块其实就是一个“中规中矩”的数字，不会大于最吃得最多的小李，也不会小于最吃得少的小明。
也就是说，平均数永远都被这几个数中的最大和最小数“夹在中间”。
是不是挺简单的？这个不等式在实际生活中其实非常常见。
就像我们做事情，大家有没有注意到，团队合作中，总是有那种“大佬”总是承担更多的责任，而有些小伙伴可能就相对“轻松”一点。
这就是“平均值不等式”在发挥作用。
即使每个人的贡献和付出不一样，但如果我们从团队的整体角度来看，最终的效果一定会受到最大值和最小值的影响。
这个就是所谓的“平均数”，它虽然看起来很温和，实际上却充满了“智慧”。
所以，当我们在团队中，或者说在生活中，遇到类似需要“公平”分配的情况时，了解这个不等式就显得格外重要。
再举个例子，大家想想你们平时和朋友一起拼团买东西。
均值不等式及其应用
和一定, 积有最大值。
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
y
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
10
30x 4000
解：设每吨平均成本为 y（万元），则
y x 4000 x 4000 30 2 30 10 10 x x 10 x
6
1 max= 12
1、已知：0＜x
1 8
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12 如此解答行吗？
1 2、若x<0，求 f ( x) x x 的值域。
1 例2、求 f ( x) x 的值域。 x 解: 定义域为 {x | x 0}
1 1 x 0时，f ( x) x 2 x 2 x x 1 当且仅当x ,即 x 1时,取“=”号
利用奇函数的性质求x<0时的值域
x
x 0 时，有 x 0 1 1 1 ( x ) 2 ( x) ( ) f ( x) x x x x 1
思考题:某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面 图是由两个相同的矩形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ构成的面积为 ２００m2的十字型地域（如图）计划在正方形ＭＮＰＱ上建一座 花坛，造价为４２００元／m2，在４个相同的矩形上（阴影部分） 铺花岗岩地坪，造价为２１０元／m2，再在４个空角上铺草坪， 造价为８０元／m2， H G （１）设总造价为Ｓ元，ＡＤ长为X， 试建立Ｓ关于X的函数关系式； C （２）当X为何值时Ｓ最小，并求 D 出这个最小值。 Q P
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均值不等式的巧用
均值不等式的巧用陵水中学李莎
在教学实践中,我们发现均值不等式是求解函数的最值问题和证明不等式问题的重要工具。
现举例介绍如下：一、求函数的最值问题
运用均值不等式求函数最值问题时，应特别注意"一正、二定、三相等"。
例1 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）
分析由题意知，注意到若取最大值，a、b必同号，不妨设a、b均为正数，则将问题转化为
a>0，b>0，且，求的最大值。
由，知
而，当且仅当a=b，且即，时，取得最大值。
例2 求二元函数（x，y>0）的最大值。
解：∵4 = ，
∴
所以函数的最大值为5，当且仅当时取得。
例3 ΔABC的三边a、b、c依次成等比数列，求角B的取值范围。
分析在中，注意到分式的积，我们把化为" "即可求出最值。
解：∵
∴
又∵B ，∴
例4 用长为的铁丝围成直角三角形的三边，求直角三角形的最大面积。
分析设直角边长分别为x，y（x，y>0），面积为S，则
①
又S= ，注意到求积的最值，我们把①式中的和分别化为" "和" "即可巧妙求出最值。
解：∵
∴
所以S的最大值为，当且仅当即等腰直角三角形时取得。
二、证明不等式的问题
运用均值不等式证明不等式时，常常需要根据不等式的结构特征，配以适当的技巧，方能如愿。
例5 设a、b、c各为不相等的正数，求证： >
分析所证不等式两边均为和的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠加的方法。
证明：∵ >
>
>
∴2（）>2（）
∴ >
例6 设a、b、c ，求证：（a+b)(b+c)(c+a) 8abc
分析所证不等式的两边都是积的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结合再叠乘的方法。
证明：∵a、b、c
∴
以上三个不等式两边分别相乘，便得
（a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例7 已知a>2，求证： <1
分析所证的不等式是积小于一个常数，则可考虑逆用均值不等式。
证明：∵a>2
∴ >0， >0
∴ <
=
< =1
例8 设a、b 且a+b=1，求证：
分析所证不等式左边是和的形式，若顺用均值不等式，则不但不能利用已知条件配凑，而且不等号方向也与所证相反。
平方后，由于能产生积的形式，给利用"和是定值"创造条件，且不等号方向也与所证相同。
证明：∴a、b 且a+b=1
∴（） =2（a+b)+2+2
=4+2
∴
从以上堵例可以看出，用均值不等式解决问题时，需仔细审题，认准特征，对症下药。