上海市徐汇区位育中学2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

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2023-2024学年上海育才中学高一数学上学期期末质量检测卷附答案解析

2023-2024学年上海育才中学高一数学上学期期末质量检测卷（时间120分钟，满分150分）2024．1一.填空题（满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）1．设全集{}07,Z U x x x =≤≤∈，{}2,4,6,7A =，则A =2．已知方程230x x +-=的两根为12,x x ，则2212x x +=3．函数()lg(1)f x x +-的定义域为.4．若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值为.5．若指数函数()3xy m =-在R 上是严格减函数，则实数m 的取值范围是.6．已知3log 7a =，7log 4b=，用a 、b 表示7log 42为.7．用反证法证明“设332a b +=，求证2a b +≤”时，第一步的假设是．8．若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）9．已知函数()2()57(0)m f x m m x x =++≠是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m =．10．已知问题：“35x x a ++-≥恒成立，求实数a 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a 的取值范围．11．已知()y f x =是定义域为()3,3-上的偶函数，且()f x 在()0,3上严格减函数，若()()232f a f a -<-成立，则实数a 的范围是12．若函数(3)(1),()20.25,xx x x af x x a -+-≤⎧=⎨->⎩有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围二、选择题（满分20分，每题5分）13．如果0a b <<，那么下列不等式中成立的是（）A ．11a b<B ．1a b <C ．2a ab >D ．22a b<14．下列函数中，值域是()0,+∞的是A ．2y x=B ．211y x =+C ．2xy =-D ．()lg 1(0)y x x =+>15．函数()2lg xf x x =的图象大致为（）A．B ．C ．D．16．设函数|1|y x =-的定义域为[,]a b ，值域为[0,3]，下列结论正确的是（）A ．当0a =时，b 的值不唯一B ．当1b =时，a 的值不唯一C ．b a -的最大值为3D ．b a -的最小值为3三、解答题（满分76分）17．已知a ，b 都是正实数，求证：3322a b a b ab +≥+，并指出等号成立的条件.18．已知全集U =R ，集合203x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，()(){}210B x x a x a =---<.(1)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围；(2)命题p:x A ∈，命题q:x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.19．（1）已知3sin 5θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πtan 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（21cos 2αα-=-，求πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20．设常数a ∈R ，函数()133x x f x a =⋅+.(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)当2a =-时，用定义证明()y f x =在[]0,1上是严格减函数.21．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台需要另投入成本()c x （万元），当年产量不足90台时，21()602c x x x =+（万元）；当年产量不少于90台时，8100()1212180c x x x =+-（万元），若每台设备的售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)当年产量不足90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少；(2)当年产量不少于90台时，为使该企业在这一电子设备的生产中获利最大，应生产多少台，获利最大为多少？22．设集合(){M f x β=存在正实数β，使得定义域内任意x 都有()()}f x f x β+>.（1）若()22x f x x =-，证明()1f x M ∉；（2）若31()34g x x x =-+，且()a g x M ∈，求实数a 的取值范围；（3）若3()log k h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)1,x ∞∈+，k ∈R 且2()h x M ∈､求函数()y h x =的最小值.1．{}0,1,3,5【分析】直接利用补集的概念求解即可.【详解】全集{}07,Z U x x x =≤≤∈，{}2,4,6,7A =，则{}0,1,3,5A =故答案为：{}0,1,3,52．7【分析】根据题意，利用根与系数的关系，解222121212()2x x x x x x +=+-，即可求解.【详解】由方程230x x +-=的两根为12,x x ，可得0∆>，且12121,3x x x x +=-=-，则2212221212()2(1)2(3)7x x x x x x =+-=--⨯-=+.故答案为：7.3．(]1,4【分析】函数定义域满足4010x x -≥⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】函数()lg(1)f x x =-的定义域满足：4010x x -≥⎧⎨->⎩，解得14x <≤.故定义域为(]1,4.故答案为：(]1,44．45##0.8【分析】直接根据三角函数定义求解即可.【详解】解：因为角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以根据三角函数单位圆的定义得4sin 5α=故答案为：455．34m <<【分析】由指数函数单调性去判断即可解决.【详解】由指数函数()3xy m =-在R 上是严格减函数可知031m <-<，即34m <<故答案为：34m <<6．112b a ++【分析】由已知直接利用对数的运算性质以及换底公式求解.【详解】因为，3log 7a=，7log 4b=，37log 7log 31⋅=，所以，71log 3a =，771log 2log 422b==，()77771log 42log 3271log 3log 212ba =⨯⨯=++=++.故答案为：112b a ++.7．2a b +>【解析】根据反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．即可得解；【详解】解：用反证法证明“设332a b +=，求证2a b +≤”，第一步为假设结论不成立，即假设2a b +>故答案为：2a b +>【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．1.3【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解.【详解】由表格中的数据，可得函数()31f x x x =--的零点在区间(1.3125,1.3475)之间，结合题设要求，可得方程310x x --=的一个近似解为 1.3x =.故答案为：1.3.9．3-【分析】根据幂函数的定义得到2571m m ++=，求出m 值，进行检验即可.【详解】根据其为幂函数，则2571m m ++=，解得2m =-或3-，当2m =-时，221()f x xx -==，则其定义域关于原点对称，()()()21x f f x x =-=-，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示：故2m =-舍去，当3m =-时，33()1f x x x -==，则其定义域关于原点对称，()()()31f x f x x -==--，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示：故答案为：3-.10．(][),82,-∞-+∞ 【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解.【详解】根据三角不等式33x x a a++-≥+，所以35x x a ++-≥恒成立，只需35a +≥，所以35a +≤-或35a +≥解得(][),82,a ∈-∞-+∞U .故答案为：(][),82,-∞-+∞ 11．()0,1【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可.【详解】因为()y f x =是定义域为()3,3-上的偶函数，()()232f a f a -<-成立，所以3233323a a -<-<⎧⎨-<-<⎩，()()232f a f a -<-，则1533a -<<，又因为()f x 在()0,3上严格减函数，所以232a a ->-，平方得()()22232a a ->-，解得01a <<，所以01a <<.故答案为：()0,112．[)(,3)2,1-∞--【分析】把函数(3)(1)y x x =-+-，20.25xy =-的图象画在同一直角坐标系中，直线x a =在平移过程中，可得到函数()f x 与x 轴的不同交点个数，从而即可求解.【详解】解：把函数(3)(1)y x x =-+-，124x y =-的图象画在同一直角坐标系中，如图所示：直线x a =在平移过程中，可得到函数()f x 图象与x 轴的不同交点个数，当[)(,3)2,1a ∈-∞-- 时，函数(3)(1),()20.25,xx x x a f x x a -+-≤⎧=⎨->⎩与x 轴有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是[)(,3)2,1-∞-- ，故答案为：[)(,3)2,1-∞-- ．13．C【分析】作差即可判断A 、B 项；根据不等式的性质可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，11b a a b ab --=，因为0a b <<，所以0ab >，0b a ->，所以110->a b ，所以11a b >，故A 项错误；对于B ，1a a b b b --=，因为0a b <<，所以0a b -<，所以10a b ->，所以1>a b ，故B 项错误；对于C 项，因为0a b <<，根据不等式的性质可得2a ab >，故C 项正确；对于D 项，因为0a b <<，所以0a b ->->，根据不等式的性质可得()()22a b ->-，即22a b >，故D 项错误.故选：C.14．D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥ ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+，211y x ∴=+的值域为(]0,1；对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x > ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．15．D【分析】先判断函数的奇偶性，排除A,B ，再利用特殊值(1)0f =，根据(0,1)之间函数值正负的不同，取110x =，即可得到函数值，判断出结果.【详解】()2lg x f x x =，那么()()()22lg lg x x f x f x x x --===-，那么函数为偶函数，故排除A,B ，当1x =时，(1)0f =，取110x =，那么21lg11101000110110010f -⎛⎫===-< ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么排除C.故选：D 16．D【分析】代入0a =，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b 的值唯一，则A 项错误；代入1b =，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a 的值唯一，则B 项错误；分1a ≥、1b ≤、1a b <<三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出b a -的范围，即可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，当0a =时，显然1b >，则1,0111,1x x y x x x b -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩.函数在[]0,1上的值域为[]0,1，在(]1,b 上的值域为(]0,1b -，又函数在[,]a b 上的值域为[0,3]，所以13b -=，4b =，故A 项错误；对于B 项，当1b =时，函数|1|1y x x =-=-，则此时函数的值域为[]0,1a -，由已知可得13a -=，所以2a =-，故B 错误；对于C 、D 项，①当1a ≥时，函数|1|1y x x =-=-，此时函数的值域为[]1,1a b --，由已知可得1013a b -=⎧⎨-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩，所以3b a -=；②当1b ≤时，函数|1|1y x x =-=-，则此时函数的值域为[]1,1b a --，由已知可得1013b a -=⎧⎨-=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，所以3b a -=；③当1a b <<时，1,111,1x a x y x x x b -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩.此时函数在[],1a 上的值域为[]0,1a -，在(]1,b 上的值域为(]0,1b -.由已知可得，01313b a <-≤⎧⎨-=⎩或13013b a -=⎧⎨<-≤⎩.当01313b a <-≤⎧⎨-=⎩时，即142b a <≤⎧⎨=-⎩，此时有36b a <-≤；当13013b a -=⎧⎨<-≤⎩时，即421b a =⎧⎨-≤<⎩，则12a -<-≤，此时有36b a <-≤.综上所述，36b a ≤-≤.故C 项错误，D 项正确.故选：D.17．证明见解析【分析】利用作差法证明即可.【详解】证明：()()()332222()a b a b ab a b a ab b ab a b +-+=+-+-+()()2a b a b =-+≥所以3322a b ab a b +≥+，且等号当且仅当a b =时成立18．(1)[][)1,13,-+∞(2)(,2⎤-∞⋃⎦【分析】（1）根据一元二次不等式解法化简两个集合，结合交集概念求解答案；（2）将必要条件转化为集合包含关系，进而直接列式求解.【详解】（1）由203x x -<-，得()()23030x x x ⎧--<⎨-≠⎩，则23x <<，即()202,33x A x x ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，比较21,a a +的大小，由22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，则21a a +>，所以()(){}()2210,1B x x a x a a a =---<=+，因为A B ⋂=∅，所以212a +≤或3a ≥，所以11a -≤≤或3a ≥，即实数a 的取值范围为[][)1,13,-+∞ （2）因为命题p:x A ∈，命题q:x B ∈，若q 是p 的必要条件，所以A B ⊆，所以2213a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得a ≤2a ≤≤，即实数a的取值范围为(,2⎤-∞⋃⎦19．（1）17-；（2）1516【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得3tan 4θ=，结合两角差的正切公式，即可求解；（2）根据题意，利用两角差的正弦公式，求得π1sin()64α-=-，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】（1）因为3sin 5θ=且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5θ==，则3tan 4θ=，又由π3tan tan1π144tan π3471tan tan 144θθθ--⎛⎫-==- ⎪⎝⎭++.（231π1cos 2(sin cos )2sin()2262ααααα-=⋅-=-=-，可得π1sin()64α-=-，又由22πππ115cos 2cos 21sin 1366416ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.20．(1)1a =-(2)证明见解析【分析】（1）利用奇函数的定义，即()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）利用作差法直接证明即可．【详解】（1）由题意知：函数()f x 的定义域为R ，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即113(3)33xx x x a a --⋅+=-⋅+，即13(3)33x x x x aa +=-⋅+，整理可得：(1)(91)0x a ++=，10a ∴+=，1a =-（2）证明：由已知得1()233x x f x =-⨯+，任取1201x x ≤<≤①，则12()()f x f x -()()212112121112333323333x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，3x y = 是增函数，∴21330x x >>，即21330x x ->，12()()0f x f x ∴->，12()()f x f x ∴>，即()f x 在[0,1]上是严格单调减函数．21．(1)生产60台时，获利最大，最大值为1300万元；(2)生产90台时，获利最大，最大值为1500万元.【分析】（1）表达出获利为()201621300w x -+-=，090x <<，求出最值；（2）表达出获利为81001680y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最值.【详解】（1）设当年产量不足90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为w ，则()2201162601205020500w x x x x x x =-+=----()201601023x =-+-，090x <<，故当60x =时，w 取得最大值，故当生产60台时，获利最大，最大值为1300万元；（2）设当年产量不少于90台时，该企业在这一电子设备的生产中获利为y ，则8100810012121801680120500y x x x x x ⎛⎫-+=-++ ⎭=--⎝16801500≤-=，90x ≥，当且仅当8100x x =，即90x =时，y 取得最大值，最大值为1500，故当生产90台时，获利最大，最大值为1500万元.22．（1）证明见解析；（2）1a >；（3）(3min3log (1),11()log ,13k k h x k +-<<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩.【解析】（1）利用()()101f f ==判断()f x M ∉．（2）()()0f x a f x +->，化简，通过判别式小于0，求出a 的范围即可．（3）由()()0f x a f x +->，推出()()()332log 2log 02k k h x h x x x x x ⎡⎤⎛⎫+-=++-+> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，得到202k k x x x x ++>+>+对任意[)1,x ∞∈+都成立，然后分离变量，通过当10k -≤<时，当01k <<时，分别求解最小值即可．【详解】（1）()()10f f = ，()1f x M ∴∉．（2）由()()()()33223111330444g x a g x x a x x a x ax a x a a +-=+--++=++->43191204a a a ⎛⎫∴∆=--< ⎪⎝⎭，故1a >；（3）由()()()332log 2log 02k k h x h x x x x x ⎡⎤⎛⎫+-=++-+> ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，即()33log 2log 2k k x x x x ⎡⎤⎛⎫++>+ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭202k k x x x x ∴++>+>+对任意[)1,x ∞∈+都成立()232131k k x x k k k x <⎧<+⎧∴⇒⇒-<<⎨⎨>->-⎩⎩当10k -≤<时，()()()3min 1log 1h x h k ==+；当01k <<时，()()()3min 1log 1h x h k ==+；当13k ≤<时，()(3min log h x h ==．综上：()()(3min3log 1,11log ,13k k h x k ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，重点是理解新定义M β的意义，本题第三问的关键是代入定义后转化为不等式恒成立问题，利用参变分离后求k 的取值范围，再根据[)3()log ,1,,k h x x x k Rx ⎛⎫=+∈+∞∈ ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，讨论k 的取值，求得()h x 的最小值.。

2022-2023学年上海市高一上学期期末数学试题(含解析)

2022-2023学年上海市高一上学期期末数学试题一、填空题1．函数()32lg 53y x x =+-的定义域是______.【正确答案】50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】()()32lg 53lg 53y x x x =+-=+-，所以0530x x ≥⎧⎨->⎩，解得503x ≤<，所以函数的定义域为50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．函数3(1)2y x =-+的图象的对称中心是________．【正确答案】()1,2【详解】3y x =的图象的对称中心是()0,0，将3y x =的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，即得()312y x =-+的图象，所以对称中心为()1,2．3．函数55x y x =+的单调增区间是______.【正确答案】(),-∞+∞【分析】根据函数的单调性确定正确答案.【详解】5y x =在R 上递增，5x y =在R 上递增，所以函数55x y x =+的单调增区间是(),-∞+∞.故(),-∞+∞4．函数()2230y x x x =-+≤的反函数为______.【正确答案】13)y x =≥【分析】根据函数解析式确定3y ≥，配方后求得13)x y =≥，根据反函数定义即可确定函数的反函数.【详解】由题意可得2223(1)2y x x x =-+=-+在(,0]-∞上递减，故3y ≥，则13)x y =≥，故函数()2230y x x x =-+≤的反函数为13)y x =≥，故13)y x =≥5．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ⋅=_________.【正确答案】310由条件可得tan 3θ=，然后222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ⋅⋅==++，可算出答案.【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以tan 12tan 1θθ+=-，所以tan 3θ=所以222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110θθθθθθθθ⋅⋅====+++故3106．已知函数()y f x =是在定义域[]22-,上的严格减函数，且为奇函数.若()11f =-，则不等式()21f x -≤的解集是______.【正确答案】[]1,4【分析】根据函数的奇偶性得到()()111f f -=-=，从而得到()()21f x f -≤-，再根据定义域和单调性列出不等式组，求出解集.【详解】因为()y f x =是在定义域[]22-,上的奇函数，()11f =-，所以()()111f f -=-=，故()()211f x f -≤=-，因为()y f x =是在定义域[]22-,上的严格减函数，所以21222x x -≥-⎧⎨-≤-≤⎩，解得：14x ≤≤，故[]1,47．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，经过t 分钟后物体的温度C θ 可由公式()010e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，.现有80C 的物体，放在20C o 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是60C ，则______分钟后温度首次低于40C o （保留到整数部分）.【正确答案】11【分析】代入数据计算得到42e3k-=，再次带入数据得到21381t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭，1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭得到答案.【详解】根据题意：()460208020ek-=+-⋅，解得42e3k-=；()40208020ekt->+-⋅，即1e3kt-<，即()44421e 33tt k -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即21381t⎛⎫< ⎪⎝⎭，1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭，1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭，故11t =.故118．已知正数a 、b 满足4a b =，且2log 3a b +=，则a b +=________.【正确答案】4或5【分析】由4a b =，得出log 42log 2b b a ==，由2log 3a b +=得出22log 2log 3b b +=解出b 的值，进而得出a 的值，从而得出a b +的值.【详解】4a b =Q ，log 42log 2b b a ∴==，由2log 3a b +=得出22log 2log 3b b +=，由换底公式可得21log 2log b b =，222log 3log b b∴+=，可得2log 1b =或2log 2b =.①当2log 1b =时，2b =，此时，22log 22a ==，则4a b +=；②当2log 2b =时，4b =，此时，4log 41a ==，则5a b +=.因此，4a b +=或5，故答案为4或5.本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9．设()2,0A 为平面上一定点，ππsin 2,cos 233P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为动点，则当t 由0变化到π4时，线段AP 扫过的面积是______.【正确答案】π1422+-【分析】由题意点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可.【详解】由22ππsin 2cos 2133t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，如图，10,(,)22t P =，π4t =点P 运动到1(,)22Q ，则π2POQ ∠=，扇形POQ 面积为1ππ1144⨯⨯⨯=,而11222AOQ Q S OA h =⋅=⨯⨯ ，111122222AOP P S OA h =⋅=⨯⨯= ,故线段AP扫过的面积为π1422+-,故答案为.π1422+-10．已知R λ∈，函数()2221,01,0 1x x x f x x x x λλ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪+⎩，若函数()y f x =的值域为[)3,∞-+，则λ的值为______.【正确答案】2【分析】考虑0λ>，0λ=，0λ<三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到()2min 1f x λ=-和()1,12f x λ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，分别计算，再验证得到答案.【详解】当0λ>时，0x ≥时，()()222211f x x x x λλλ=-+=-+-，()()2min 1f x f λλ==-，当0x <时，()21111xf x x x xλλ=+=+++，1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，故(]1,2y x x =+∈-∞-，故()11,112f x x xλλ⎡⎫=+∈-+⎪⎢⎣⎭+，当213λ-=-时，2λ=，此时满足值域.当132λ-+=-时，8λ=，此时21633λ-=-<-，不满足，故2λ=.当0λ=时，0x ≥时，()211f x x =+≥，当0x <时，()1f x =，不满足；当0λ<时，0x ≥时，()221f x x x λ=-+，单调递增，()()min 01f x f ==，当0x <时，()2111xf x x λ=+>+，不成立；综上所述：2λ=故211．设θ，x ，y 是实数，0xy ≠.若442222cos sin 1x y x y θθ+=+，则2024202420222022cos sin x y θθ+的值为______（用x ，y 表示）【正确答案】()1011221xy +【分析】确定()442222cos sin 1x y xy θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到2222cos sin y x θθ=，结合22cos sin 1θθ+=得到22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，代入计算得到答案.【详解】442222cos sin 1x y x y θθ+=+，即()442222cos sin 1x y x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即24244422cos sin cos sin 1y x x y θθθθ+++=，而2424444422cos sin cos sin cos sin y x x y θθθθθθ+++≥++()2442222cos sin 2cos sin cos sin 1θθθθθθ=++=+=，当且仅当242422cos sin y x x y θθ=，即2222cos sin y x θθ=时等号成立，又222222cos sin cos sin 1y x θθθθ⎧=⎨+=⎩，解得22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，()()()2024202420242024221012101210122022202220222220222222cos sin y yy x x y x y x x x y x y θθ++=+=+++()1011221xy =+.故()1011221x y +12．设{}min ,A B 表示A ，B 中的较小数.若函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】[6,)+∞【分析】设2()23g x x ax a =-+-，()2h x x =-，根据函数()h x 的图象得出6a ≥或2a ≤.然后根据a 的取值讨论即可求解.【详解】设2()23g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得.2x =±要使函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则函数()g x 至少有1个零点，则24(23)0a a ∆=--≥，解得：6a ≥或2a ≤.(1)当2a =时，2()21g x x x =-+，作出函数(),()g x h x的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不满足题意；(2)当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1212,()x x x x <，要使得函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则22x ≤-，所以22(2)410ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≥⎩，解得：a ∈∅；(3)当6a =时，2()69g x x x =-+，作出函数(),()g x h x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，满足题意；(4)当6a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3434,()x x x x <，要使得函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则32x >，所以()2224310a g ⎧>⎪⎨⎪=-=>⎩，解得：2a >，此时6a >，综上所述，实数a 的取值范围是[6,)+∞，故答案为.[6,)+∞二、单选题13．若πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()sin 2π0θ->，则角θ的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据题意和诱导公式可得：cos 0θ>且sin 0θ<，利用任意角三角函数的定义即可求解.【详解】因为πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()sin 2π0θ->，由诱导公式可得：cos 0θ>，sin 0θ<，根据任意角三角函数的定义可知：角θ位于第四象限，故选.D14．已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数B ．是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数C ．是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数D ．是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数【正确答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++ ()f x =，()f x \是偶函数；当1x >时，()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-，设()21t x x =-，则()t x 在(1,)+∞上单增，又()lg f t t =为增函数，所以()2()lg 1f x x =-在(1,)+∞上单增，()f x \是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数.故选：C.本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1为偶函数，1-为奇函数）.15．若,,,a b t x 都是实数，且1,0a b t <，x a a t =+，则x b 与b t +的大小关系是A ．x b b t >+B ．x b b t =+C ．x b b t <+D ．不能确定【正确答案】A【详解】构造函数f (m )=mx ，g (m )=m +t .∵a ＞1，t ＞0，ax =a +t ＞a ＞1，∴x ＞1.在同一坐标系内作出两函数图象.∵ax =a +t ，即两图象交点的横坐标为a .若b ＞a ＞1，则f (b )＞g (b )，即bx ＞b +t .本题选择A 选项.16．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>．其中正确的是（）A ．①与②均正确B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确【正确答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示，①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+，不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x f x f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+，不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>，即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>，所以②正确.故选：A.方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.三、解答题17．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程()20R x ax a a -+=∈的两个根.(1)求实数a 的值，(2)求221cos sin cos sin cos 1tan θθθθθθ-++--的值.【正确答案】(1)12a =(2)12【分析】（1）计算240a a ∆=-≥，根据韦达定理得到222sin cos 21a a θθ+=-=，解得答案；（2）根据三角恒等变换化简得到原式为sin cos θθ+，代入数据计算即可.【详解】（1）sin θ、cos θ是关于x 的方程()20R x ax a a -+=∈的两个根，240a a ∆=-≥，解得4a ≥或0a ≤，则sin cos a θθ+=，sin cos a θθ=，()2222sin cos sin cos 2sin cos 21a a θθθθθθ+=+-=-=，解得1a =1a =，故1a =（2）()222222sin cos cos 1cos sin cos sin cos 1tan sin cos si o i s n n s c θθθθθθθθθθθθθθ+-++=-----()()22sin cos sin cos sin cos sin cos sin co s n s i cos θθθθθθθθθθθθ-+=-=---sin cos 1a θθ=+==18．设()()22log 1f x x a x =-+-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性；(2)若12a =，求证：函数()y f x =在()1,+∞内有且仅有一个零点.【正确答案】(1)0a =，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数(2)证明见解析【分析】（1）考虑0a =和0a ≠两种情况，根据函数奇偶性的定义，计算()f x 和()f x -的关系，得到答案.（2）根据复合函数奇偶性确定函数单调递增，计算0f >，02f ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）当0a =时，()()22log 1f x x x =+-，定义域关于原点对称，()()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x -=-+--=+-=，函数为偶函数；当0a ≠时，()()22log 1f x x a x =-+-，()()()()2222log 1log 1f x x a x x a x -=--+--=++-，()()f x f x ≠-，且()()f x f x ≠--，函数为非奇非偶函数；综上所述：0a =，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.（2）()()221log 12f x x x =-+-，当1x >时，()()221log 12f x x x =-+-，12y x =-为增函数，21y x =-在()1,+∞上为增函数，2log y x =在()0,∞+上为增函数.故函数()()221log 12f x x x =-+-在()1,+∞上为增函数，110022f=+=->，152022222f ⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭，故函数在⎝上有零点，函数单调递增，故函数()y f x =在()1,+∞内有且仅有一个零点19．一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线.当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图像的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()log 583(0a y t a =-+>，且1)a ≠图像的一部分.根据研究，当注意力指数p 不小于80时听课效果最佳.(1)求()p f t =的函数关系式；(2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.【正确答案】(1)213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)能，理由见详解【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点14,81（），代入函数()log 583a y t =-+求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.(2)对分段函数，分别解不等式80p ≥，求出t 的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.【详解】（1）当(0,14]t ∈时，设2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<，将点(14,81)代入得14c =-，∴当(0,14]t ∈时，21()(12)824p f t t ==--+；当[14,40]t ∈时，将点(14,81)代入log (5)83a y t =-+，得13a =.所以213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（（2）当(0,14]t ∈时，2112)82804t --+≥（，解得:1212t -≤≤+所以[12t ∈-；当[14,40]t ∈时，13log (5)8380t -+≥，解得532t <≤，所以[14,32]t ∈，综上[12t ∈-时学生听课效果最佳.此时(32122022t =--=+> .所以，教师能够合理安排时间讲完题目.故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.20．若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合A 上，()()()22x xf x x A -∈是一个常数，则称()f x 在A 上具有P 性质.若I 是函数()y f x =定义域的一个子集，称函数()()g x f x =，x I ∈是函数()y f x =在I 上的限制.(1)设()y f x =是[]3,3-上具有P 性质的奇函数，求[]3,3x ∈-时不等式()32f x >的解集；(2)设()y f x =为[]3,3-上具有P 性质的偶函数.若关于x 的不等式()()220f x m f x +⋅<在[]3,3-上有解，求实数m 的取值范围；(3)已知函数()y f x =在区间[]1,1-上的限制是具有P 性质的奇函数，在[)(]2,11,2-- 上的限制是具有P 性质的偶函数.若对于[]22-,上的任意实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()1234f x f x mf x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设()()22xxf x a -=，根据奇函数确定()122x xf x =-+，再解不等式即可.（2）设()22xx a f x =+，根据函数为偶函数，得到1a =，不等式转化为12k m k <-，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，再考虑0m >，0m =，0m <三种情况，分别计算综合得到答案.【详解】（1）设()()22xxf x a -=，则()22x xaf x =+，函数为奇函数，故()010f a =+=，1a =-，则()122x xf x =-+，()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-，函数为奇函数，满足，13222x x -+>，设2xt=，132t t -+>，解得2t >或21t <-（舍）即22x >，解得1x >，故(]1,3x ∈（2）设()()22xxf x a -=，则()22x xaf x =+，函数为偶函数，故()()1222222x x xx x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+，故1a =，()122x x f x =+，()()220f x m f x +⋅<，即2211222022x x x xm ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，设122xx k +=，[]3,3x ∈-，则12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数1y x x =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]1,8上单调递增，故16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎣⎦，2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22122k km k k -<=-，函数12k y k =-在652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，故12m <-.（3）根据（1）（2）知：()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x xx f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩，当[]1,1x ∈-时，()122x x f x =-+，设2xb =，则1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1y b b =-+，函数单调递增，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，(]1,2x ∈时，()122x x f x =+，设2x c =，则(]2,4c ∈，1y c c=+单调递增，故1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，函数在[)(]2,11,2-- 上的偶函数，故()15172,224xx f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎣⎦⎝⎦()()()1234f x f x mf x ++>，当0m >时，即()()min max 24f x mf x +>，即17344m -+>，解得417m <；当0m =时，即()min 240f x +>，即340-+>，成立；当0m <时，即()()min min 24f x mf x +>，即3342m -+>-，解得23m >-；综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握.21．若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【正确答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【详解】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...m m g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|ni i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|nii i q x M q x-=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nni i i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|n i i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.。

2022-2023学年上海市SOEC高一上数学期末统考模拟试题含解析

②因为函数 f x x2 ax 1在区间 2, 2 上有零点，所以 f (2) 0 或 f (2) 0,即
4 2a 1 0或4 2a 1 0a 3 或a 3 a R
2
2
③平面平面，平面平面， l ，在平面内取一点 P 作 PA 垂直于平面与平面的交线, 作 PB
∴AC= 11 2 ∴SA⊥AC，SB⊥BC，
SC=
22 2
∴球 O 的半径 R= 1 SC 2
=1∴球 O 的表面积 S=4πR2=4π
故选 A
点睛：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，确定球心，求出球半径是解题的关键
8、C
【解析】由零点存在性定理即可得出选项.
【详解】由函数 f x ex 2x 5为连续函数，
是（） A. 4
C. 3
B. 3 4
D. 4 3
8．在下列区间中，函数 f（x）＝ex+
B.（0，1）
C.（1，2）
D.（2，3）
9．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由
四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 BE 2EF ，则 EF （）
17．如图，在 Rt ACB 中，斜边 AB 2 ， BC 1，在以 AB 为直径的半圆上有一点 D （不含端点）， DAB ，
设△ABD 的面积 S1 ， △ACD 的面积 S2 .
（1）若 S1 S2 ，求；
（2）令 S S1 S2 ，求 S 的最大值及此时的 .
18．已知
π 2
垂直于平面与平面的交线 ,则 l PA,l PB, 所以 l 平面

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．4.（填空题，0分）设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a=3，则b=___ ．5.（填空题，0分）函数y=x2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．6.（填空题，0分）不等式log2x+2x＜2的解集为 ___ ．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（-1）的值为___ ．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f （ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．12.（填空题，0分）设f（x）=x-1，g（x）=- 4x ，若存在x1，x2，…，x n∈[ 14，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n-1）+g（x n）=g（x1）+g（x2）+…+g（x n-1）+f（x n）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=016.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件17.（问答题，0分）设m为实数，f（x）=（m2-m-1）x-2m，已知幂函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞x13的x的取值范围．18.（问答题，0分）设f（x）=2x+a•2-x，其中a∈R．（1）若函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入aa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每（单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．f(b)=2f(a+b2（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x实数k的取值范围．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．【正确答案】：[1]{1，3}【解析】：利用补集定义直接求解．【解答】：解：∵全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，2}，∴ A ={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】：本题考查了补集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-3，2）【解析】：把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式组{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，求出解集即可．【解答】：解：不等式2−xx+3＞0可化为{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，解得-3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式（组），求出解集即可，是基础题．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥-2且x≠1}【解析】：由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】：解：由题意，要使函数有意义，则 {x −1≠0x +2≥0，解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．【点评】：本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．4.（填空题，0分）设a ＞0且a≠1，b ＞0，若log a b•log 5a=3，则b=___ ．【正确答案】：[1]125【解析】：利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【解答】：解：∵log a b•log 5a=3，∴ lgb lga • lga lg5 =3，∴ lgb lg5 =3，∴lgb=3lg5=lg125，∴b=125，故答案为：125．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则及换底公式的应用，属于基础题．5.（填空题，0分）函数y=x 2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．【正确答案】：[1]- √x +1 ，x∈（-1，+∞）【解析】：由y=x 2-1，x∈（-∞，0）知y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，得其反函数．【解答】：解：由y=x²-1，x∈（-∞，0），可得y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，可得其反函数为y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．故答案为：y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．【点评】：本题考查反函数的定义，属于基础题．6.（填空题，0分）不等式log 2x+2x ＜2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：可设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞），判断f（x）的单调性，求出f（x）的零点，从而求出不等式的解集．【解答】：解：由题意，设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞）；则f（x）在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f（1）=log21+2-2=0，所以f（x）在定义域（0，+∞）有唯一的零点是1，所以f（x）＜0的解集为（0，1），即不等式log2x+2x＜2的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的应用问题，是基础题．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-1）∪（0，+∞）【解析】：直接利用指数函数的性质的应用求出结果、【解答】：解：由于2x∈（0，+∞），故2x-1∈（-1，0）∪（0，+∞）；12x−1∈(−∞，−1)∪(0，+∞)．故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：指数函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（-∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】：解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=-x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（-∞，0）递增，∴f（x）=-x2+m＜m，函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．【正确答案】：[1]e-x-1【解析】：根据题意，由已知可得将函数y=e x的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度，可得函数f（x）的解析式．【解答】：解：根据题意，函数y=2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=e-x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y=e-（x+1）=e-x-1，即f（x）=e-x-1，故答案为：e-x-1．【点评】：本题考查函数解析式的计算，涉及函数图象的平移变换规律，属于基础题．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（-1）转化为f（-1）=-f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】：解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=-1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，∴f（-1）=-f（1）=-（2+2-1）=-3，故答案为：-3．【点评】：本题考查了奇函数的结论：f（0）=0的灵活应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（-1）转化到已知条件上求解．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由题意可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即x-3≤ax+1≤3-x ，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a 的取值范围．【解答】：解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，由f （ax+1）≤f （2）对于任意x∈[1，2]恒成立，可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即-2≤ax+1≤2在x∈[1，2]恒成立，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，由y=- 3x 在x∈[1，2]上单调递增，可得y 的最大值为- 32 ；y= 1x 在x∈[1，2]上单调递减，可得y 的最小值为 12 ，则- 32 ≤a≤ 12 ，即实数a 的取值范围是[- 32 ， 12 ]．故答案为：[- 32 ， 12 ]．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设f （x ）=x-1，g （x ）=- 4x ，若存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：把已知等式变形，可得f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立，利用基本不等式求得f （x n ）-g （x n ）≥3，可得f （x n ）-g （x n ）≥3（n-1），由x n 的范围求得f （x n ）-g （x n ）∈[3， 654 ]，问题转化为3（n-1）≤ 654 ，由此即可求得正整数n 的最大值．【解答】：解：由题意知，存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，即f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立．而f （x n ）-g （x n ）= x n −1+4x n ≥2√x n •4x n −1=3 ，当且仅当x n =2∈[ 14 ，4]时等号成立，又f（x1）-g（x1）+f（x2）-g（x2）+…+f（x n-1）-g（x n-1）=f（x n）-g（x n），∴f（x n）-g（x n）≥3（n-1），而x n∈[ 14，4]，即f（x n）-g（x n）∈[3，654]．∴仅需3（n-1）≤ 654成立即可，有n ≤7712，故正整数n的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解【正确答案】：C【解析】：利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即可得到结论．【解答】：解：因为函数y=f（x）有反函数为y=f-1（x），所以y=f（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0∈I，设f（0）=a∈R，由函数定义知a有唯一值，故f-1（a）=0只有一实数a，若0∉I，f（0）无意义，故不存在x，使得f-1（x）=0，故方程f-1（x）=0无解，综上：f-1（x）=0至多有一个实数解，故选：C．【点评】：本题考查反函数的定义，考查分类讨论思想，属于基础题．14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab【正确答案】：C【解析】：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】：解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为1ab2＜1a2b⇔a＜b，故当a＜b时一定有1ab2＜1a2b；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；故选：C．【点评】：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【正确答案】：B【解析】：画满足条件的函数图象排除不正确的选项【解答】：解：首先，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故A错误，B正确；其次，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＜0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，所以D错误，故选：B．【点评】：本题主要考查函数零点存在定理，画函数的图象研究函数的性质是常见的方法，突出说明数形结合思想的重要性．16.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件【正确答案】：A【解析】：先由命题q1成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p成立，再由命题q2成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p成立，即得结果．【解答】：解：命题q1成立，即y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）=0，故取a=x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）=f（x0）=0，f （x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A ．【点评】：本题考查充分条件与必要条件，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.（问答题，0分）设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，已知幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【正确答案】：【解析】：利用幂函数的定义和性质列方程组，求出m=-1．从而f （x ）=x 2，由此能求出满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【解答】：解：设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，∵幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，∴ {m 2−m −1=1，−2m ＞0，解得m=-1． ∴f （x ）=x 2，∵f （x ）＞ x 13 ，∴ x 2＞x 13，∴当x ＞0时，x ＞1；当x ＜0时，成立，∴满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查幂函数的运算，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，0分）设f （x ）=2x +a•2-x ，其中a∈R ．（1）若函数y=f （x ）的图像关于原点成中心对称图形，求a 的值；（2）若函数y=f （x ）在（-∞，2]上是严格减函数，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可知f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），从而可求得a的值；（2）由题意可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，从而可得2x1• 2x2＜a恒成立，求出2x1• 2x2的最大值，即可求解a的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），即2-x+a•2x=-2x-a•2-x，即（a+1）（2x+2-x）=0，因为2x+2-x＞0，解得a=-1．（2）函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，所以对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，）＞0恒成立，即f（x1）-f（x2）=（2x1 - 2x2）（1- a2x12x2＜0恒成立，即2x1• 2x2＜a恒成立，由2x1 - 2x2＜0，知1- a2x12x2由于当x1＜x2≤2时，（2x1• 2x2）max＜16，所以a≥16，即a的取值范围是[16，+∞）．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据对数函数，指数函数的图象与性质求出A，B，再由子集的定义即可求解；（2）先得到2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，再求出g（x）=-x2+5x-3在1＜x＜3上的值域即可，【解答】：解：（1）A={x|y=f（x）}={x|y=lg（2a-x）}={x|x＜2a}，B={y|y=-2x，x≤0}={y|-1≤y＜0}，又B⊆A，∴2a≥0，∴a≥0，∴a的取值范围为[0，+∞）．（2）由C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}，得2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，设g（x）=-x2+5x-3，对称轴x= 52，则g（x）在（1，52）上单调递增，在（52，3）上单调递减，且g（52）= 134，g（1）=1，g（3）=3，若直线y=2a与函数g（x）=-x2+5x-3在（1，3）上恰有两个交点时，则3＜2a＜134，∴ 32＜a＜138．∴a的取值范围为（32，138）．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，也考查了集合的运算问题，二次函数求值域问题，属于中档题．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a （单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【正确答案】：【解析】：（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴ f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5万元．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，故f(x)=−14x+4√2x+250(20≤x≤180)．令t=√x∈[2√5，6√5]，则f(x)=−14t2+4√2t+250=−14(t−8√2)2+282，当t=8√2，即x=128时，f（x）max=282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．【点评】：本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)= f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用反证法思想，假设y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，由已知条件得关于a，b的方程组，求解a，b的值，得到f（a）或f（b）=0，与已知矛盾；（2）对k分类讨论函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)的单调性，可得只有当k＞0时符合题意，再由f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0运算得到a，b，k三者间的关系，结合题意得到关于a的不等式，进一步求得k的取值范围．【解答】：解：（1）若y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a−1)2=(b−1)2=2(a+b2−1)2，∴ {a2−b2−2a+2b=0a2−b2−2ab+4b−2=0，两式相减得-2a+2ab+2b-4b+2=0，即ab-a-b+1=0．∴（b-1）（a-1）=0，则b=1或a=1，与f（a）=f（b）≠0矛盾，故y1=(x−1)2，x∈R不是“P函数”；（2）y2=|2x−k|，x∈(0，n)是“P函数”．① 若k≤0，则2x −k＞0，则y2=|2x−k|=2x−k在x∈（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）=f（b），不合题意；② 若k＞0，∵g（x）= 2x −k，x∈（0，n）单调递减，且g（2k）=0，故x∈（0，2k ）时，f（x）=| 2x−k |单调递减，x∈（2k，+∞）时，f（x）=| 2x−k |单调递增，故a∈（0，2k ），b∈（2k，+∞），∴f（a）= 2a −k =f（b）=k- 2b=2f（a+b2），则k= 1a+1b，∴f（a）= 2a −1a−1b=1a−1b，则2f（a+b2）=2| 4a+b−k |=2| 4a+b−(1a+1b) |．若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1a−1b，则8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2-4ab=0，得a=3b，不合题意；若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1b−1a，则8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2-4ab=0，得b=3a，故k= 1a +1b=43a，2k=3a2，a= 43k．由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）=f（3a）=2f（2a），且4≤3a＜5，故4≤ k4＜5，得45＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（45，1]．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性及其应用，考查逻辑思维能力及推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．。

2021-2022学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷

2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）已知全集U=R，A={x|x＜0}，则∁U A=___ ．2.（填空题，3分）函数y= √2x+1 + √3−4x的定义域为___ ．3.（填空题，3分）不等式|x|-1＜0的解集是 ___ ．4.（填空题，3分）已知关于x的不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，则b的值为 ___ ．5.（填空题，3分）若3x=2，则log29-log38用含x的代数式表示为 ___ ．6.（填空题，3分）不等式5x−2≤1的解集是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊂C⊆B 的集合C的个数为 ___ 个．8.（填空题，3分）函数y=2- √−x2+4x的值域是___ ．9.（填空题，3分）已知函数f(x)={(1−a)x，x≤1a x，x＞1（a＞0且a≠1）在x∈R上有最大值，那么实数a的取值范围为 ___ ．10.（填空题，3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．11.（填空题，3分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）= {1，x∈Q0，x∈∁R Q，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：其中真命题的有 ___ ．① 对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；② 对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③ 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④ 若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}．12.（填空题，3分）已知函数f(x)=ax+bx，若存在两相异实数m，n使f（m）=f（n）=c，且a+4b+c=0，则|m-n|的最小值为 ___ ．13.（单选题，4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A. 1a ＞1bB. 1a−b ＞ 1a C.|a|＞|b| D.a 2＞b 214.（单选题，4分）若x 1、x 2是方程2x 2+6x+3=0的两个根，则 x 2x 1+x1x 2=（）A. −12B.2C.4D.815.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0 ，则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点个数为（） A.1 B.2 C.3 D.416.（单选题，4分）对于函数y=f （x ），若存在x 0，使f （x 0）=-f （-x 0），则称点（x 0，f （x 0））与点（-x 0，-f （-x 0））是函数f （x ）的一对“隐对称点”．若函数 f (x )={x 2+2x ，x ＜0mx +2，x ≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A. [2−2√2，0)B. (−∞，2−2√2]C. (−∞，2+2√2]D. (0，2+2√2]17.（问答题，6分）已知正数x 、y 满足x+2y=1，求 1x + 1y 的最小值，并求出 1x + 1y 取到最小值时x ，y 的值．18.（问答题，10分）已知非空集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}，集合B={x|x 2-4x+3＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求A∩B ；（Ⅱ）命题p ：x∈A ，命题q ：x∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．19.（问答题，10分）已知函数g(√x+2)=x+2√x+1．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f(x)=g(x)−2xx，若存在x∈[2，3]使f（x）-kx≤0成立，求实数k的取值范围．20.（问答题，10分）随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y与每日研发经费x（单位：亿元）有关，其公式为y=3x2x2+mx+2(x＞0)．（1）若m=0时，华为市场占有率超过23，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（保留小数点后两位）（2）若-1＜m＜1时，华为市场占有率的最大值为45，求常数m的值．21.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+bx2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(1)=15．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；（3）设g（x）=kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-1，2]，使得f （x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围．2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）已知全集U=R ，A={x|x ＜0}，则∁U A=___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥0}【解析】：由已知结合补集的运算性质，即可直接求解．【解答】：解：因为U=R ，A={x|x ＜0}，所以∁U A={x|x≥0}．故答案为：{x|x≥0}．【点评】：本题主要考查了补集的运算，属于基础题．2.（填空题，3分）函数y= √2x +1 + √3−4x 的定义域为___ ．【正确答案】：[1][ −12，34 ]【解析】：由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】：解：由 {2x +1≥03−4x ≥0，解得 −12≤x ≤34 ．∴函数y= √2x +1 + √3−4x 的定义域为[ −12，34 ]．故答案为：[ −12，34]．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 3.（填空题，3分）不等式|x|-1＜0的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（-1，1）【解析】：由题意利用绝对值的意义，求得x 的范围．【解答】：解：不等式|x|-1＜0，即|x|＜1，∴-1＜x ＜1，故不等式的解集为（-1，1），故答案为：（-1，1）．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．4.（填空题，3分）已知关于x 的不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，则b 的值为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据不等式与对应方程的关系，再利用根与系数的关系即可求出b 的值．【解答】：解：因为不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以1和b 是方程ax 2-3x+2=0的实数解，且b ＞1，由根与系数的关系，知 {1+b =3a1×b =2a ，解得a=1，b=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题． 5.（填空题，3分）若3x =2，则log 29-log 38用含x 的代数式表示为 ___ ．【正确答案】：[1] 2x−3x【解析】：由3x =2，得到x=log 32，再由log 29-log 38=2log 23-3log 32，求出结果即可．【解答】：解：若3x =2，则x=log 32，所以log 29-log 38=2log 23-3log 32= 2x −3x ．故答案为： 2x−3x ．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.（填空题，3分）不等式5x−2≤1 的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）∪[7，+∞）【解析】：根据分式不等式的解法进行求解即可．【解答】：解：不等式等价为 {x −2＞05≤x −2 或 {x −2＜0x ∈R ，得 {x ＞2x ≥7 或x ＜2，得x≥7或x ＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪[7，+∞），故答案为：（-∞，2）∪[7，+∞）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为不等式组是解决本题的关键，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊂C⊆B的集合C的个数为 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：本题考查集合的包含关系，先将A，B化简，再有A⊂C⊆B，从元素数由少到多写出即可．【解答】：解：集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R }={1，2}，B={x|0＜x＜6，x∈N }={1，2，3，4，5}，∵A⊂C，∴1∈C，2∈C，又∵C⊆B∴集合C可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．共7个．故答案为：7．【点评】：本题考查了集合的子集、真子集关系，注意集合A，B的代表元素和范围，属于基础题．8.（填空题，3分）函数y=2- √−x2+4x的值域是___ ．【正确答案】：[1][0，2]【解析】：值域问题应先确定定义域[0，4]，此题对根号下二次函数进行配方，利用对称轴与区间的位置关系求出最值进而确定值域【解答】：解：定义域应满足：-x2+4x≥0，即0≤x≤4，y=2−√−x2+4x = 2−√−(x−2)2+4所以当x=2时，y min=0，当x=0或4时，y max=2所以函数的值域为[0，2]，故答案为[0，2]．【点评】：本题考查闭区间上复合函数函数的值域，先求得定义域后，再计算根号下二次函数的最值，进而确定复合函数的值域，属于中档题．9.（填空题，3分）已知函数f(x)={(1−a)x，x≤1a x，x＞1（a＞0且a≠1）在x∈R上有最大值，那么实数a的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，12]【解析】：由题意可得函数f（x）要有最大值，则函数在（-∞，1]上必须为单调递增函数，然后求出最大值，并比较端点值，由此即可求解．【解答】：解：由题意可得函数f（x）要有最大值，则函数在（-∞，1]上必须为单调递增函数，则1-a＞0，解得0＜a＜1，所以函数在（1，+∞）上为单调递增函数，则当x≤1时，f（x）max=f（1）=1-a，且1-a≥a，则a ≤12，所以实数a的取值范围为（0，12]，故答案为：（0，12]．【点评】：本题考查了分段函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．10.（填空题，3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] (13，23)【解析】：根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】：解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，∴ f(2x−1)＜f(13)等价为f（|2x-1|）＜f（13），即|2x-1|＜13，得- 13＜2x-1＜13，得13＜x＜23，即不等式的解集为（13，23），故答案为：（13，23）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，是基础题．11.（填空题，3分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）= {1，x∈Q0，x∈∁R Q，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：其中真命题的有 ___ ．① 对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；② 对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③ 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④ 若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}．【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据狄利克雷函数的定义逐一判断即可．【解答】：解：因为当x为有理数时，f（x）=1，f[f（x）]=f（1）=1；当x为无理数时，f （x）=0，f[f（x）]=f（0）=1，故对任意x∈R，都有f[f（x）]=1成立，所以① 正确；因为当x为有理数时，-x也是有理数，所以有f（x）=1，f（-x）=1，故有f（-x）=f（x）；因为当x为无理数时，-x也是无理数，所以有f（x）=0，f（-x）=0，故有f（-x）=f（x）；综上，对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），所以② 错误；当x1是有理数时，x1+x2也是有理数，所以f（x1+x2）=f（x1）=1；当x1是无理数时，x1+x2是无理数，所以f（x1+x2）=f（x1）=0；所以③ 正确；当a＜0时，f（x）＞a的解集为∅，当b＞1时，f（x）＜b的解集为∅，故有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}=∅，所以④ 正确；故答案为：① ③ ④ ．【点评】：本题考查了分段函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．12.（填空题，3分）已知函数f(x)=ax+bx，若存在两相异实数m，n使f（m）=f（n）=c，且a+4b+c=0，则|m-n|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：由题意，m，n是方程ax2-cx+b=0的两个不等实数根，利用根与系数的关系把|m-n|化为含有a，b的代数式，令t= ba，进一步转化为关于t的二次函数，再由配方法求最值．【解答】：解：由题意，当f（x）=ax+ bx=c，有ax2-cx+b=0（x≠0），∵f（m）=f（n）=c，∴m，n是方程ax2-cx+b=0的两个不等实数根，∴m+n= ca ，mn= ba，而|m-n|= √(m−n)2−4mn = √c2−4aba2，∵a+4b+c=0，即c=-4b-a，∴|m-n|= √16b2+4ab+a2a2 = √16(ba)2+4•ba+1，令t= ba ，则|m-n|= √16t2+4t+1 = √4(2t+14)2+34，则当t=- 18时，|m-n|的最小值为√32．故答案为：√32．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查一元二次方程根与系数的关系，训练了利用配方法求最值，是中档题．13.（单选题，4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A. 1a ＞1bB. 1a−b ＞1aC.|a|＞|b|D.a2＞b2【正确答案】：B【解析】：由于a＜b＜0，利用函数单调性可以比较大小．【解答】：解：∵a＜b＜0，f（x）= 1x 在（-∞，0）单调递减，所以1a＞1b成立；∵a＜b＜0，0＞a-b＞a，f（x）= 1x 在（-∞，0）单调递减，所以1a−b＜1a，故B不成立；∵f（x）=|x|在（-∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（-∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题．14.（单选题，4分）若x1、x2是方程2x2+6x+3=0的两个根，则x2x1+x1x2=（）A. −12 B.2C.4D.8【正确答案】：C【解析】：利用韦达定理，结合表达式化简求解即可．【解答】：解：x 1、x 2是方程2x 2+6x+3=0的两个根，可得x 1+x 2=-3，x 1x 2= 32 ，则 x 2x 1+x 1x 2= (x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2 = 9−2×3232=4．故选：C ．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 15.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0 ，则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：C【解析】：利用已知条件求出f （3-x ）的表达式，令f （3-x ）=1即可求得符合条件的x 的个数．【解答】：解：函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0，f （3-x ）= {x 2−8x +15，x ≥3|lg (3−x )|，x ＜3，当x ＜3时，令|lg （3-x ）|=1，解得x=-7或x= 2910 ，当x≥3时，令x²-8x+15=1，解得x=4+ √2 则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点共3个，故选：C ．【点评】：本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．16.（单选题，4分）对于函数y=f（x），若存在x0，使f（x0）=-f（-x0），则称点（x0，f （x0））与点（-x0，-f（-x0））是函数f（x）的一对“隐对称点”．若函数f(x)={x2+2x，x＜0mx+2，x≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（）A. [2−2√2，0)B. (−∞，2−2√2]C. (−∞，2+2√2]D. (0，2+2√2]【正确答案】：B【解析】：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，进而可解出．【解答】：解：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，设g（x）的图象与函数y=x2+2x，x＜0的图象关于原点对称，令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x，∴g（x）=-x2+2x，故原题义等价于方程mx+2=-x2+2x（x＞0）有零点，解得m=-x- 2x+2，又因-x- 2x +2≤−2√x×2x+2 =2-2 √2，当且仅当x= √2时取等号，∴m ∈(−∞，2−2√2]．故选：B．【点评】：本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于基础题．17.（问答题，6分）已知正数x、y满足x+2y=1，求1x + 1y的最小值，并求出1x+ 1y取到最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：根据题意，分析可得 1x + 1y =（ 1x + 1y ）（x+2y ）=3+ 2y x + x y ，利用基本不等式分析可得答案．【解答】：解：根据题意，x ＞0，y ＞0，且x+2y=1，则 1x + 1y =（ 1x + 1y ）（x+2y ）=3+ 2y x + x y ≥3+2 √2 ，（当且仅当 2y x = x y ，即x= √2 -1，y= 2−√22 时，等号成立）故当x= √2 -1，y=2−√22 时，（ 1x + 1y）min =3+2 √2 ．【点评】：本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．18.（问答题，10分）已知非空集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}，集合B={x|x 2-4x+3＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求A∩B ；（Ⅱ）命题p ：x∈A ，命题q ：x∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）把a=2代入集合A ，解得集合A ，B 对应不等式，求出A∩B 结果即可；（Ⅱ）若q 是p 的必要条件，则集合A⊆B ．对集合A 对应的不等式进行讨论，其解集的端点是 2a-1和a ，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A ，借助数轴列出A⊆B 时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a 的范围即可．【解答】：解：（I ）当a=2时，集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}={x|x 2-5x+6＜0}={x|2＜x ＜3}．集合B={x|x 2-4x+3＜0}={x|1＜x ＜3}．故A∩B={x|2＜x ＜3}．（Ⅱ）若q 是p 的必要条件，则集合A⊆B ．集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}={x|（x-a ）[x-（2a-1）]＜0}．① a ＜1时，a ＞2a-1，集合A={x|2a-1＜x ＜a}，要使A⊆B ，则 {a ≤32a −1≥1，解得1≤a≤3，因为a ＜1，故这种情况不成立．② 当a=1时，a=2a-1，集合A=∅，这与题目条件矛盾．③ 当a ＞1时，a ＜2a-1，集合A={x|a ＜x ＜2a-1}，要使A⊆B ，则 {2a −1≤3a ≥1，解得：1≤a≤2，因为a ＞1，故1＜a≤2．综上所述：实数a 的取值范围为（1，2]．【点评】：本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B 时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.（问答题，10分）已知函数 g(√x +2)=x +2√x +1 ．（1）求函数g （x ）的解析式；（2）设 f (x )=g (x )−2x x ，若存在x∈[2，3]使f （x ）-kx≤0成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用换元法或配凑法进行求解即可．（2）利用换元法进行转化，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．【解答】：解：（1）解法一：∵ g(√x +2)=x +2√x +1=(√x +1)2 ，∴g （x ）=（x-1）2．又 √x +2≥2 ，∴g （x ）=（x-1）2（x≥2）．解法二：令 t =√x +2 ，则x=（t-2）2．由于 √x ≥0 ，所以t≥2．代入原式有g （t ）=（t-2）2+2（t-2）+1=（t-1）2，所以g （x ）=（x-1）2（x≥2）．（2）∵ f (x )=g (x )−2x x ，∴ f (x )=x +1x−4 ． ∵存在x∈[2，3]使f （x ）-kx≤0成立，∴ k ≥(1x )2−4x +1 在x∈[2，3]时有解．令 t =1x ，由x∈[2，3]，得 t =1x ∈[13，12] ，设h （t ）=t 2-4t+1=（t-2）2-3．则函数h （t ）的图象的对称轴方程为t=2，∴当 t =12 时，函数h （t ）取得最小值- 34 ．∴k≥- 34 ，即k 的取值范围为[- 34 ，+∞）．【点评】：本题主要考查函数解析式的求解意见不等式恒成立问题，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．20.（问答题，10分）随着全球5G 网络技术的不断升温，中美两国5G 的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G 领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y 与每日研发经费x （单位：亿元）有关，其公式为 y =3x 2x 2+mx+2(x ＞0) ．（1）若m=0时，华为市场占有率超过 23 ，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（保留小数点后两位）（2）若-1＜m ＜1时，华为市场占有率的最大值为 45 ，求常数m 的值．【正确答案】：【解析】：（1）列出不等式，求解即可．（2）利用函数的解析式，结合基本不等式，转化求解即可．【解答】：解：（1）由已知得 3x 2x 2+2＞23 ，整理得4x 2-9x+4＜0，得 9−√178＜x ＜9+√178 ，将 √17≈4.2 代入得0.61＜x ＜1.64．∴每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；（2）依题意得 y =32(x+1x )+m ， ∵ x +1x ≥2⋅√x ⋅1x =2 ，当且仅当x=1时，取等号，∴ y =32(x+1x )+m ≤34+m =45 ， ∴ m =−14 ．【点评】：本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，是中档题．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，且 f (1)=15 ．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断f （x ）在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；（3）设g （x ）=kx 2+2kx+1（k≠0），若对任意的x 1∈[-2，2]，总存在x 2∈[-1，2]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1） f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数⇒f （0）= b a =0⇒b=0，由f （1）= 1a+1 = 15 可求得a ；（2）f （x ）在[-2，2]上单调递增，用定义证明，任取-2≤x 1＜x 2≤2，作差f （x 1）-f （x 2）后化积，分析符号，可证得结论成立；（3）依题意知，f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集，由（2）知：f （x ）∈[- 14 ， 14 ]，分k ＞0与k ＜0讨论，分析可求得实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，所以f （0）= b a =0⇒b=0；.......1分又f （1）= 1a+1 = 15 ⇒a=4.........................................2分所以 f (x )=x x 2+4 ，经检验，该函数为奇函数．.........3分（2）f （x ）在[-2，2]上单调递增，证明如下：任取-2≤x 1＜x 2≤2，f （x 1）-f （x 2）= x 1x 12+4 - x 2x 22+4 = x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4) = (x 1x 2−4)(x 2−x 1)(x 12+4)(x 22+4) ，其中x 1x 2-4＜0，x 2-x 1＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[-2，2]上单调递增．........7分（3）由于对任意的x 1∈[-2，2]，总存在x 2∈[-1，2]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，所以f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集..........................................8分而由（2）知：f （x ）∈[- 14 ， 14 ]，当k ＞0时，g （x ）在[-1.2]上递增，g （x ）∈[1-k ，8k+1]，所以 {1−k ≤−1414≤8k +1 ，即k≥ 54 ....................10分当k ＜0时，g （x ）在[-1.2]上递减，g （x ）∈[8k+1，1-k]，所以 {8k +1≤−1414≤1−k ，即k≤- 532 ．....................11分综上所述，k∈（-∞，- 532 ]∪[ 54 ，+∞）．....................12分【点评】：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数基本性质的综合应用，涉及分类讨论思想与转化与化归思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。

2022-2023学年上海市高一上册期末数学专项提升模拟试题(含解析)

2022-2023学年上海市高一上册期末数学专项提升模拟试题（含解析）一、填空题1．函数f (x )=2x -的定义域为___________.【答案】{1x x ≥且}2x ≠【解析】由分母不能为0和根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，解得即可.【详解】由题意得：1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得12x x ≥≠且，所以定义域为{1x x ≥且}2x ≠.故答案为：{1x x ≥且}2x ≠【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．2．不等式11x>的解集为________．【答案】(0,1)【分析】由题设可得10x x-<，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】由题设，1110x x x--=<，∴(1)0x x -<，解得01x <<，∴解集为(0,1).故答案为：(0,1)3．已知偶函数()()R y f x x =∈，当0x >时()1f x x =-，则()1f -=__________.【答案】0【分析】由条件可得()()11f f -=，然后可得答案.【详解】因为()y f x =是偶函数，当0x >时()1f x x =-，所以()()110f f -==，故答案为：0.4．函数2cos sin y x x =-的最小值为______【答案】【分析】直接利用辅助角公式即可求得最小值.【详解】()2cos sin y x x x ϕ=-=+，其中1πtan ,0,22ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，∴函数2cos sin y x x =-的最小值为当π2π,Z x k k ϕ+=+∈，即π2π,Z x k k ϕ=-+∈时取到最小值故答案为：5．已知全集U =R ，集合{}2,R x A yy x ==∈∣，则A =__________.【答案】{}0yy ≤∣【分析】求出集合中元素范围，再直接求补集即可.【详解】集合{}{}2,R 0x A yy x y y ==∈=>∣∣，全集U =R 则{}0A yy =≤∣故答案为：{}0yy ≤∣6．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________.【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-，则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++，故答案为：25-7．已知54x >，则1445x x +-的取值范围是__________.【答案】[)7,+∞【分析】1144554545x x x x +=-++--，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为54x >，所以450x ->，114455574545x x x x +=-++≥=--，当且仅当14545x x -=-即32x =时等号成立.故答案为：[)7,+∞.8．已知0πβ<<，若将角β的终边顺时针旋转2π3，所得的角的终边与角3β的终边重合.则角β=__________.【答案】2π3【分析】角β的终边顺时针旋转2π3得到2π3β-，根据终边相同的角的关系列出方程，根据0πβ<<求得β的值.【详解】角β的终边顺时针旋转2π3得到2π3β-，它与3β边重合，所以2π2π,Z 33k k ββ-+∈=，所以ππ,Z 3k k β-+∈=，又0πβ<<，所以只能令1k =，2π3β=.故答案为：2π39．已知幂函数()223Z n n y x n --=∈的图象与两坐标轴均无公共点，且其图象关于y 轴对称，则n 的值为__________.【答案】1±或3【分析】根据幂函数图象与y 轴无公共点可知2230n n --≤，然后再根据函数为偶函数可得答案.【详解】因为函数图象与y 轴无公共点，所以2230n n --≤，所以13n -≤≤，又因为Z n ∈，所以n 的值为1,0,1,2,3-，又因为函数图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，即函数223nn y x --=为偶函数，当0n =或2n =时，3y x -=为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不满足题意；当1n =-或3n =时，有0y x =，满足题意，当1n =时，4y x -=，满足题意，∴1n =±或3．故答案为：1±或310．已知π3πtan 2,tan 3,0,,π,22αβαβ⎛⎫⎛⎫==∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则αβ+=__________.【答案】7π4【分析】先求出αβ+的范围，然后利用两角和正切公式求出tan()αβ+的值，从而可求出αβ+.【详解】因为π3π0,,π,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π,2παβ+∈，因为tan 2,tan 3αβ==，所以tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，所以7π4αβ+=，故答案为：7π411．已知A 为锐角，()1lg 1cos ,lg 1cos A m n A ⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，则lgsin A 可用,m n 表示为__________.【答案】11lgsin 22A m n =-【分析】()2211lgsin lgsin lg 1cos 22A A A ==-，然后利用对数的运算法则可得答案.【详解】因为A 为锐角，sin 0A >，()()()221111lgsin lgsin lg 1cos lg 1cos lg 1cos 2222A A A A A ==-=++-()11111lg 1cos lg 221cos 22A m n A ⎛⎫=+-=- ⎪-⎝⎭，故答案为：11lgsin 22A m n =-.12．已知R a ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++->⎪=⎨-++≤⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是__________.【答案】2,33⎧-⎨⎩【分析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,∞+、(),0∞-上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+<≤⎨⎪⎪-++≤⎩，所以，函数()f x 在(],0∞-上单调递减，且()112f x a ≥+，当0x >时，()min 1212f x a a =+>+，所以()min 1122f x a a =+=，解得23a =，②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+<<-⎪⎪-++≤⎪⎩，当0x ≤时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x >时，()2f x a ≥+.22a a +> ，所以21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x aa x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-++≤⎪⎩，当0x ≤时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x >时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-Q，解得3a =--3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为2,33⎧-⎨⎩.故答案为：2,33⎧-⎨⎩.二、单选题13．如图中的图象所表示的函数的解析式为（）A ．31(02)2y x x =-≤≤B ．331(02)22y x x =--≤≤C ．31(02)2y x x =--≤≤D ．11(02)y x x =--≤≤【答案】B【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．【详解】当0≤x≤1时，设f （x ）=kx ，由图象过点（1，32），得k=32，所以此时f （x ）=32x ；当1≤x≤2时，设f （x ）=mx+n ，由图象过点（1，32），（2，0），得3202m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得3m 23n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以此时f （x ）=3-x 32+．函数表达式可转化为：y ＝3232-|x －1|(0≤x≤2)故答案为B【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．14．条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】直接根据必要非充分条件的概念结合三角函数的运算即可得结果.【详解】若sin sin x y =，则2π,Z x y k k =+∈或π2π,Z x y k k =-+∈；若x y =，则sin sin x y =显然成立，综上可得：条件甲：sin sin x y =是条件乙：x y =的必要非充分条件，故选：B.15．已知0x 是函数()12(0)xf x x x=->的零点，则（）A ．()02,3x ∈B ．()01,2x ∈C ．()00,1x ∈D ．()03,4x ∈【答案】C【分析】根据零点存在性定理可得答案.【详解】因为()12xf x x=-在()0,∞+是增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，()120,121102f f ⎛⎫=<=-=> ⎪⎝⎭，所以()00,1x ∈.故选：C16．角α是第四象限角，其终边与单位圆交点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，把角α顺时针旋转2π得角β，则角β终边与单位圆焦点P '的坐标为（）A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由三角函数的定义得到34sin ,cos ,552πααβα=-==-，再利用诱导公式求解.【详解】解：由题意知：34sin ,cos ,552πααβα=-==-，则4sin sin sin cos 225ππβααα⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3cos cos cos sin 225ππβααα⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以角β终边与单位圆焦点P '的坐标为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：B三、解答题17．已知函数()233log 2log 2f x x a x =--.(1)当12a =-时，求不等式()0f x ≤的解集；(2)当()1,27x ∈时，()3f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)(,1]-∞.【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合因式分解法进行求解即可；（2）利用换元法，结合常变量分离法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）当12a =-时，()233log log 2f x x x =+-，由()()()233333log log 20log 2log 102l 0og 1x x x x x x f +-≤⇒+-≤⇒-≤⇒≤≤213339x x -⇒≤≤⇒≤≤，所以不等式()0f x ≤的解集为1,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）令3log x t =，因为()1,27x ∈，所以(0,3)t ∈，()22322312f x t at t at ≥-⇒--≥-⇒+≥，因为(0,3)t ∈，所以由21122t at a t t+≥⇒≤+，因为(0,3)t ∈，所以12t t +≥=，当且仅当1t t =时取等号，即1t =时，取等号，因此当()1,27x ∈时，()3f x ≥-恒成立，只需221a a ≤⇒≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞.18．记函数()f x =A ，()g x =定义域为B .(1)求A ，B ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】(1){1A x x =<-或}2x ≥；当1a >-，()1,2B a a =-；当1a <-，()2,1B a a =-；(2)()[)1,11,3,2⎛⎤-∞---+∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）求解两个函数有意义的条件，根据不等式的解集得到定义域A ，B ；（2）若B A ⊆，由两个集合的范围分类讨论，列不等式求实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()f x =4201x x +-≥+，解得1x <-或2x ≥，所以函数()f x 的定义域{1A x x =<-或}2x ≥.函数()g x =()()120x a a x -+->，得()()120x a x a ⎡⎤---<⎣⎦，当1a >-，有12a a -<，不等式解得12a x a -<<；当1a <-，有12a a ->，不等式解得21a x a <<-；当1a =-，有122a a -==-，不等式无解.所以当1a >-，函数()g x 的定义域()1,2B a a =-；当1a <-，函数()g x 的定义域()2,1B a a =-；（2）若B A ⊆，当1a >-时，有21a ≤-或12a -≥，解得112a -<≤-或3a ≥；当1a <-时，有11a -≤-或22a ≥，解得1a <-.所以实数a 的取值范围为()[)1,11,3,2⎛⎤-∞---+∞ ⎥⎝⎦ 19．设sin cos P a b c θθ=++.(1)若2,1P a b c ====，求出满足条件的角θ的解集；(2)当1a b ==时，若存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在02πθ⎡⎤∈⎢⎣⎦，时均有解，求实数c 的取值范围.【答案】(1){|24x k πθπ+=或2,Z 42k k ππθπ⎫+=+∈⎬⎭(2)5,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由2,1P a b c ====，得sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由1a b ==得到cos 2sin 6t c c πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，求得t 的值域A ，根据题意，由[]2,2A ⊆-求解.【详解】（1）解：由2,1P a b c ====，得sin cos 1θθ+=，即sin 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2,Z 44k k ππθπ+=+∈或32,Z 44k k ππθπ+=+∈，则2,Z k k θπ=∈或2,Z 2k k πθπ=+∈，所以满足条件的角θ的解集是{|24x k πθπ+=或2,Z 42k k ππθπ⎫+=+∈⎬⎭；（2）当1a b ==时，cos 2sin 6t c c πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1,12t c c ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，因为存在[]2,2P ∈-使关于θ的方程sin cos P a b c θθ=++在02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时均有解，所以12212c c ⎧+≥-⎪⎨⎪+≤⎩，解得512c -≤≤，所以实数c 的取值范围是5,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.【答案】（1）0.110,(00.1)1,(0.1)16t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）0.6【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的0.25y <可求得结果【详解】（1）由图可知直线的斜率为1100.1k ==，所以图像中线段的方程为10(00.1)y t t =≤≤，因为点(0.1,1)在曲线116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭上，所以0.11116a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,(00.1)1,(0.1)16t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，即0.110.2516t -⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得0.6t >，所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室21．已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()f x =()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[；(2)4；(3)()12f x x=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t--++=-=+++-，()12241log 214t t t n f t t+-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x +=+，从而可求出()f x 的解析式.【详解】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为y =和y =[1,1]-上均为增函数，所以()f x =[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)f x f =-=，max ()(1)2f x f ===，所以()f x的值域为[；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t--++=-=+++-，()12241log 214t t t n f t t +-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t t t t-++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f f x f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()x f x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()12f x x ±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()f x =。

上海市徐汇区2021-2022学年高一上学期期末数学试题及答案

上海市徐汇区2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知{},0U R A x x ==<，则U A _________.2．函数y =____________．3．不等式10x -<的解集为___________4．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．5．若32x =，则23log 9log 8-用含x 的代数式表示为___________.6．不等式512x ≤-的解集是___________ 7．已知集合{}2320A xx x =-+=∣，{06,}B x x x N =<<∈∣，则满足条件A ⊂C B ⊆的集合C 的个数为_________个8．函数2y =________________．9．已知函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，那么实数a的取值范围为__________10．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是______.11．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若1,()0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，则称()f x 为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：其中真命题的有_________①．对任意x ∈R ，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦①．对任意x ∈R ，都有()()0f x f x -+=①．对任意1x R ∈，都存在2x ∈Q ，()121()f x x f x +=①．若0a <，1b >，则有(){}(){}|x f x a x f x b >=<12．已知函数()b f x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为________二、单选题13．若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．a b >D ．22a b > 14．若12x x 、是方程22630x x ++=的两个根，则2112x x x x +=( ) A ．12- B ．2 C ．4 D ．815．已知函数22,0()lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()31g x f x =--的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．416．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x ---是函数() f x 的一对“隐对称点”．若函数22,0 ()2,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A．[2-B．(,2-∞- C．(,2-∞+ D．(0,2+三、解答题17．已知正数x 、y 满足x +2y =1，求1x +1y 的最小值，并求出1x +1y 取到最小值时x 、y 的值.18．已知非空集合{}22|(31)20A x x a x a a =--+-<，集合{}2|430B x x x =-+<．（1）当2a =时，求A B ；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 19．已知函数)21=+g x (1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()2g x x f x x-=，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围． 20．随着全球5G 网络技术的不断升温，中美两国5G 的技术较量已进入白热化阶段.特朗普政府宣布将在5G 领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单.值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书.华为投资研究部表明：市场占有率y 与每日研发经费x （单位：亿元）有关，其公式为23(0)22x y x x mx =>++(1)若0m =时，华为市场占有率超过23，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿4.2≈，保留小数点后两位）(2)若11m -<<时，华为市场占有率的最大值为45，求常数m 的值. 21．已知函数()2x b f x x a +=+是定义在[]22-,上的奇函数，且()115f =．（1）求实数a ，b 的值；（2）判断()f x 在[]22-,上的单调性，并用定义证明；（3）设()()2210g x kx kx k =++≠，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．|0x x【解析】【分析】根据补集的定义计算即可【详解】因为{},0U R A x x ==<，故|0U A x x故答案为：|0x x2．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】由被开方数非负可求得答案【详解】由题意得210340x x +≥⎧⎨-≥⎩，得1324x -≤≤，所以函数的定义域为13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．(1,1)-【解析】【分析】直接利用绝对值的几何意义求解即可【详解】由10x -<，得1x <，解得11x -<<，所以不等式的解集为(1,1)-，故答案为：(1,1)-4．2【解析】【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：25．23x x-##23x x -+ 【解析】【分析】将指数式32x =化为对数式3log 2x =，再根据对数的运算性质可求出结果.【详解】因为32x =，所以3log 2x =，所以23log 9log 8-2323log 3log 2=-22log 3=33log 2-23x x=-. 故答案为：23x x- 6．(),2-∞[)7,+∞【解析】【分析】直接解分式不等式即可【详解】由512x ≤-，得5102x -≤-，5(2)02x x --≤-， 702x x -≤-，所以(7)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得2x <或7x ≥，所以不等式的解集为(),2-∞[)7,+∞，故答案为：(),2-∞[)7,+∞7．7【解析】【分析】化简集合A ，B ，根据条件A C B ⊂⊆确定集合C 的个数即可.【详解】因为{}2320{1,2}A xx x =-+==∣， {06,}{1,2,3,4,5}B x x x N =<<∈=∣,因为A C B ⊂⊆，所以1，2都是集合C 的元素，集合C 中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，所以集合C 为：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个.故答案为：78．[]0,2．【解析】【分析】先求出2044x x ≤-+≤，再利用不等式的性质逐步求出函数的值域得解.【详解】224(2)44x x x -+=--+≤，且240x x -+≥，∴2044x x ≤-+≤，∴02≤≤，∴20-≤，∴022≤，故函数2y =[]0,2．故答案为：[]0,29．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由于()f x 在x ∈R 上有最大值，所以可得当1x ≤时，函数要为增函数，当1x >时，函数为减函数，并且1a a -≥，从而可求出实数a 的取值范围【详解】因为函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，所以11001(1)1a a a a ->⎧⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，解得102a <≤，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10．1233x << 【解析】利用偶函数可得图象关于y 轴对称，结合单调性把()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭转化为1213x -<求解. 【详解】()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，①不等式等价为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ()f x 在区间[)0,+∞单调递增，1213x ∴-<，解得1233x <<. 故答案为：1233x <<. 【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.11．①①①【解析】【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定①、①；根据()11(0)f x f x +=，可判定①；根据()f x 的值域，可判定①.【详解】对于①中，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1f f x f ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1f f x f ==，所以①是真命题；对于①中，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112f x f x +-=+=，所以①是假命题；对于①中，显然当20x =时，对任意1x R ∈，都存在2x ∈Q ，()121()f x x f x +=，所以①是真命题；对于①中，由1,()0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，可得函数()f x 的值域为{}0,1，当0a <时，{|()}x f x a R >=，当1b >时，(){}|x f x b R <=，故(){}(){}|x f x a x f x b >=<，所以①为真命题.故答案为：①①①12【解析】【分析】由题意，m ，n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根，利用根与系数的关系把||m n -化为含有a ，b 的代数式，令b t a =，进一步转化为关于t 的二次函数，再由配方法求最值．【详解】解：由题意，当()b f x ax c x =+=，有20(0)ax cx b a -+=≠，()()f m f n c ==，m ∴，n 是方程20ax cx b -+=的两个不等实数根，c m n a ∴+=，b mn a =，而||m n -， 40a b c ++=，即4c b a =--，||m n ∴- 令b t a =，则||m n -== 则当18t =-时，||m n -13．B【解析】【分析】对于A,C,D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a b ab ab <<，即11a b >，所以A 成立；对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，故0a b ->->，所以||||a b >，所以C 成立；对于D ，若0a b <<，故0a b ->->，即22()()0a b ->->，则22a b >，所以D 成立；故选：B14．C【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数之间的关系即可求解.【详解】因为12x x 、是方程22630x x ++=的两个根，所以由根与系数之间的关系，123x x +=-，1232x x =，故22221121212121212()24x x x x x x x x x x x x x x ++-+===. 故选：C.15．C【解析】【分析】利用已知条件求出(3)f x -的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．【详解】函数22,0()||,0x x x f x lgx x ⎧+=⎨>⎩，∴2815,3(3)|(3)|,3x x x f x lg x x ⎧-+-=⎨-<⎩，则函数()(3)1g x f x =--的零点个数就是(3)y f x =-与1y =交点个数，如图可知，两个函数的图象有3个交点，函数()(3)1g x f x =--的零点个数为3．故选：C ．【点睛】本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．16．B【解析】【分析】由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程222(0)mx x x x +=-+>的零点问题，再结合基本不等式得出实数m 的取值范围．【详解】解：由隐对称点的定义可知函数()f x 图象上存在关于原点对称的点设()g x 的图象与函数22y x x =+，0x <的图象关于原点对称令0x >，则0x -<，22()()2()2f x x x x x ∴-=-+-=-2()2g x x x ∴=-+故原题义等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有零点，解得22m x x=--+又因为2222xx --+≤-=-，当且仅当x(,2m ∞∴∈--．故选：B ．17．x -1，y ，(1x +1y )min =3+ 【解析】【分析】已知x +2y =1，可以借助“1”的代换，让要求解的式子乘以“1”，化成一个乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式即可完成求解. 【详解】解： ① x >0，y >0，且x +2y =1， ① 1x +1y =(1x +1y )(x +2y )=3+2y x +x y≥3+(当且仅当2y x =x y ，即x ，y 时，等号成立)①当x ，y 时，(1x +1y )min =3+18．（1）{|23}x x << （2）(1,2] 【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解；（2）若q 是p 的必要条件，则集合A B ⊆，对集合A 对应的不等式，根据其解集的端点21a - 和a ，分1a <，1a =，1a >三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合A B ⊆时实数a 需满足的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}}{256023A x x x x x =-+<=<<，集合{}2|430{|13}B x x x x x =-+<=<<，所以由集合的交运算可得，{|23}A B x x ⋂=<<．（2）若q 是p 的必要条件，则集合A B ⊆，因为集合{}2|(31)20{|()[(21)]0}A x x a x a a x x a x a =--+-<=---<．①当1a <时，21a a >-，集合{|21}A x a x a =-<<，要使A B ⊆，则3211a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得13a ≤≤，因为1a <，故这种情况不成立；①当1a =时，21a a =-，集合A =∅，这与题目条件矛盾； ①当1a >时，21a a <-，集合{|21}A x a x a =<<-，要使A B ⊆，则2131a a -≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，因为1a >，故12a <≤，综上可知：实数a 的取值范围为(1,2]．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 19．(1)()()()212=-≥g x x x (2)3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）方法一、由完全平方公式和代换法可得所求解析式；方法二、运用换元法可得所求解析式，注意函数的定义域；（2）求得f （x ）的解析式，由题意可得2141⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭k x x 在[]2,3x ∈时有解．，由换元法和二次函数的最值求法，可得所求范围． (1)解法一：①))22121gx =+=-，①()()21g x x =-．22≥，①()()()212=-≥g x x x ．解法二：令2t =，则()22x t =-0≥，所以2t ≥．代入原式有()()()()2222211=-+-+=-g t t t t ，所以()()()212=-≥g x x x ． (2) ①()()2-=g x x f x x，①()14=+-f x x x ．①存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立， ①2141⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭k x x在[]2,3x ∈时有解．令1t x=，由[]2,3x ∈，得111,32t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，设()()224123=-+=--h t t t t ．则函数()h t 的图象的对称轴方程为2t =， ①当12t =时，函数()h t 取得最小值34-．①34k ≥-，即k 的取值范围为3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭．20．(1)0.61亿元到1.64亿元之间 (2)14m =-【解析】【分析】（1）由已知得232223x x >+，解出x 的值，即可的解；（2）依题意得312y x m x =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求出最大值，即可得出答案. (1)解：由已知得232223x x >+，整理得24940x x -+<x <，4.2≈代入得0.61 1.64x <<，∴每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；(2)解：依题意得312y x mx =⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 1122x x x x+⋅⋅=，当且仅当1x x =，即1x =时，取等号，3341452y m x mx ∴==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 14m ∴=-.21．（1）4a =，0b =；（2）()f x 在[]22-,上递增，证明见解析；（3）532k ≤-或54k ≥．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质可求得0b =,再由(1)f 的值，可求得4a =.（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数()f x 的值域为函数()g x 的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数k 的不等式，从而得解. 【详解】（1）依题意函数()2x b f x x a +=+是定义在[]2,2-上的奇函数，所以()00b f a==，所以0b = ()111415f a a ==⇒=+，所以()24xf x x =+，经检验，该函数为奇函数．故4a =，0b =.（2）()f x 在[]2,2-上递增，证明如下：任取1222x x -≤<≤，()()()()()()221221121222221212444444x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()2212212112211212122222221212124444444444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----+--===++++++其中1240x x -<，210x x ->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故()f x 在[]2,2-上递增．（3）由于对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，所以()f x 的值域为()g x 的值域的子集．而由（2）知：()11,44f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0k >时，()g x 在[]1,2-上递增，()[]1,81g x k k ∈-+，所以1141814k k ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，即54k ≥；当0k <时，()g x 在[]1,2-上递减，()[]81,1g x k k ∈+-，所以1814114k k⎧+≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即532k ≤-．综上所述，532k ≤-或54k ≥．故若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数k 的取值范围为：532k ≤-或54k ≥．。

2022-2023学年上海市高一上册12月质量抽测数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年上海市高一上册12月质量抽测数学模拟试题（含解析）一、填空题1．不等式301x x +≤-的解集为______.【答案】[3,1)-【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得31x -≤<,故答案为：[)3,1-.2．函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃3．函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点_________【答案】()2,4【分析】令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；【详解】解：因为函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)，令11x -=，解得2x =，所以()24log 14a f =+=，即函数()f x 恒过点()2,4；故答案为：()2,44．已知函数2()2,[0,3]f x x x x =-∈，则函数()f x 的值域为_______【答案】[1,3]-【分析】分析二次函数2()2f x x x =-在区间[0,3]上的单调性即可作答.【详解】二次函数2()2f x x x =-图象的对称轴为1x =，于是得()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，从而有min ()(1)1f x f ==-，而(0)0,(3)3f f ==，即max ()3f x =，所以函数()f x 的值域为[1,3]-.故答案为：[1,3]-5．若函数()211f x x +=-，则()2f =________.【答案】0【分析】令x=1代入即可求出结果.【详解】令1x =，则()()211110f f =+=-=.【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.6．函数12y x =-的单调减区间为______.【答案】(,2)-∞、(2,)+∞【解析】先求出函数12y x =-的定义域，再画出函数图像，结合图像即可求出函数12y x =-的单调递减区间.【详解】解：由12y x =-知2x ≠，即12y x =-的定义域为()(),22,-∞+∞ ，作出12y x =-的图像如图所示：由图可知：12y x =-的单调递减区间为(,2)-∞和(2,)+∞.故答案为：(,2)-∞、(2,)+∞.7．若0x >，0y >，且1x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】4【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由题设，知：()()22241111y x x y x x x y y y +=++=++≥+当且仅当12x y ==时等号成立.故答案为：4.8．已知函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，则实数m 的取值范围是______.【答案】1m ≤-【分析】根据函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限得到()00f ≥，解不等式求得m 的取值范围.【详解】由于函数()()2log f x x m =-的图像不经过第四象限，所以()00f ≥，即()22log 0log 1m -≥=，所以1,1m m -≥≤-.故填：1m ≤-.【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题.9．已知函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则实数b =_____.【答案】2【分析】因为函数()f x （[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+++（[,]x a b ∈）是偶函数，则其对称轴为y 轴，且0a b +=又因为该二次函数的对称轴为22a x +=-，所以2a =-，故2b =.故答案为：2【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32()21f x x x =+-，则当0x <时，()f x =________．【答案】3221x x -+【分析】根据函数是奇函数和0x >时的解析式求解答案.【详解】当0x <时，0x ->，则32()21f x x x -=-+-，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以32()21f x x x -=-+-，则32()21f x x x =-+.故答案为：3221x x -+11．已知函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[4,8)【分析】根据函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则每一段都是增函数且1x =左侧的函数值不大于右侧的函数值.【详解】函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，函数14024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[4,8)【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.12．设函数ln ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<<=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为________．【答案】4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先求出分段函数的解析式，然后作出函数图象，确认零点所在区间以及零点之间的关系，然后将转化为22222341x x x x +++关于2x 的函数，求出函数的值域即可.【详解】因为24x <<，则042x <-<，()()()4ln 4f x f x x =-=-作出函数图象，如图：不妨设1234x x x x <<<，由图象知()f x 关于直线2x =对称，所以14234x x x x +=+=，12ln ln x x -=，所以121=x x ，所以14322211,4,4x x x x x x ==-=-，所以()22222242222212321144x x x x x x x x ⎛⎫=++-+-+ ⎝+⎪⎭+22222112828x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()21,2x ∈，所以22152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭令2215,2,2t x t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以原式化为()252828,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，因为()h t 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()41202h t <<，即22222341x x x x +++的取值范围为4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.二、单选题13．若函数()y f x =的定义域为{22}M xx =-≤≤∣，值域为{02}N y y =≤≤∣，则函数()y f x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据函数的定义可以排除C 选项，根据定义域与值域的概念排除A ，D 选项.【详解】对于A 选项，当2(]0,x ∈时，没有对应的图像，不符合题意；对于B 选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C 选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D 选项，值域当中有的元素在集合M 中没有对应的实数，不符合题意.故选：B ．14．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．||a b>-D >【答案】B【解析】对于A ，C ，D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a b ab ab <<，即11a b >，所以A 成立；对于B ，若2a =-，1b =-，则11a b=--，112a =-，此时11a a b >-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，所以||||a b b >=-，所以C 成立；对于D ，因为0a b <<，所以0a b ->->>D 成立，故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.15．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.16．函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，则m 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】B 【分析】函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，即221mx x -+可取遍所有(0,)+∞的值，分0,0,0m m m =><三类讨论，结合图像即得解.【详解】函数()()23log 21f x mx x =-+的值域为R ，即221mx x -+可取遍所有(0,)+∞的值；（1）当0m =时：21y x =-+满足条件；（2）当0m >时：440110m m m ∆=-≥∴≤∴≥>；（3）当0m <时：不成立.综上：10m ≥≥.故选：B【点睛】本题考查了复合函数的值域问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{3A x x =≤-或}1x ≥-，{}21|B x m x m =<<-，且A B A ⋃=，求m 的取值范围．【答案】2m ≤-或1m ≥-【分析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，分别讨论B φ=和B φ≠两种情况然后求并集.【详解】解：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B φ=时，21m m ≥-，解得：1m ≥-；当B φ≠时，2113m m m <-⎧⎨-≤-⎩或2121m m m <-⎧⎨≥-⎩解得：2m ≤-或m φ∈所以2m ≤-或1m ≥-.18．利用定义法证明：函数2()1x f x x =-在(,1)-∞上是减函数.【答案】证明见解析【分析】根据单调性的定义证明即可.【详解】证明：设121x x <<则()()()()()21121212122221111x x x x f x f x x x x x --=-=----，121x x << ，210x x ∴->，110x -<，210x -<，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，所以函数2()1x f x x =-在(,1)-∞上是减函数.19．已知幂函数()()23633m f x m m x -=--是偶函数.(1)求()f x 的解析式；(2)求满足()()13f a f a ->+的a 的取值范围.【答案】(1)()6f x x=(2)(),1-∞-【分析】（1）根据幂函数得定义以及奇偶性求参数m ，即可得()f x 的解析式；（2）根据（1）中解析式列不等式求解即可.【详解】（1）解：由幂函数得2331m m --=，即2340m m --=，解得1m =-或4m =.当1m =-时，()9f x x -=，()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()()()99f x x x f x ---=-=-≠，不是偶函数，舍去，当4m =时，()6f x x =，x ∈R ，所以()()()66f x x x f x -=-==是偶函数，满足题意，所以()6f x x =.（2）解：因为()6f x x =，x ∈R 由()()13f a f a ->+，可得()()6613a a ->+所以()()2213a a ->+，即222169a a a a -+>++，解得88a <-，即1a <-所以满足()()13f a f a ->+的a 的取值范围为(),1-∞-.20．“十三五”以来，福清充分挖掘城市生态空间，建成并开放各类公园，打造“城在园中嵌，人在景中居”的融城风情，深受市民欢迎．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润y （单位：万元）与运转时间x （单位：年）的函数解析式为2129(11y x x x =-+-≤，且*N )x ∈．(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？【答案】(1)当这批机器运转第6年时，获得的利润最大，最大利润为27万元(2)3年【分析】（1）对已知的二次函数配方可求得结果；（2）设这批机器的年平均利润为L （x ），则()2129912(11,x x L x x x x x-+-==--+≤且*N )x ∈，然后利用基本不等式可得其最大值.【详解】（1）依题意，2129(11y x x x =-+-≤且*N )x ∈．所以()2627y x =--+当6x =时，取到最大值，最大值为27故当这批机器运转第6年时，获得的利润最大，最大利润为27万元（2）设这批机器的年平均利润为L （x ），则()2129912(11,x x L x x x x x-+-==--≤且*N )x ∈所以()912126L x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当9x x=，即3x =时等号成立当这批机器运转3年时，年平均利润最大，为6万元/年21．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称x 为()f x 的“稳定点”．若函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．(1)求证：A B ⊆；(2)若R b ∀∈，函数()21f x x bx c =+++总存在不动点，求实数c 的取值范围；(3)若()21f x ax =-，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2){}1c c ≤-(3)13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论即可；（2）问题转化成()2110x b x c +-++=有解，利用判别式即可而得到答案；（3）由A ≠∅可得21ax x -=有实根，14a ∴≥-，又A B ⊆，所以()2211a ax x --=，即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=.再由题中条件，即可得出结果【详解】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立，若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦，即t B ∈，从而A B ⊆，故A B ⊆成立；（2）原问题转化为R b ∀∈，()f x x =有解，∴21x bx c x +++=即()2110x b x c +-++=，则()()21410b c ∆=--+≥即()()2411c b +≤-恒成立，∴()()2min 4110c b +≤-=，∴1c ≤-，所以实数c 的取值范围为{}1c c ≤-；（3）A 中的元素是方程()f x x =即210ax x --=的实根，由A ≠∅，知0a =或0Δ140a a ≠⎧⎨=+≥⎩,解得14a ≥-，B 中元素是方程()2211a ax x --=即3422210a x a x x a --+-=的实根，由A B ⊆知方程含有一个因式21ax x --，即方程可化为：()()222110ax x a x ax a --+-+=，若A B =，则方程2210a x ax a +-+=①要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=②的根，若①没有实根，当0a =时，方程为10=，不成立，故此时没有实数根；当0a ≠时，()22410a a a ∆=--<，解得34a <，此时34a <且0a ≠；若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有22a x ax a =+，代入①有210ax +=，由此解得12x a =-，再代入②得111042a a +-=，解得34a =，综上，a 的取值范围为13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

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故答案为：（答案不唯一）
16、
【解析】消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值
【详解】
，
，
时，取到最大值，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；
（2） .
【解析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；
【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，
所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：
故选B
【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力
6、B
【解析】根据三角函数的定义进行求解即可.
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
9、C
【解析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值
【详解】∵ 是奇函数，∴ ，
又，∴ 是周期函数，周期为4
∴
故选：C
10、A
【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定.
【详解】因为命题，所以命题p的否定是，
故选：A.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【详解】因为角α的终边过点，
所以，
，
，
故选：B
7、D
【解析】直接代入，利用为奇函数的性质，得到整体的和为定值.
【详解】易知是奇函数，则
即的横坐标与纵坐标之和为定值2.
故选：D.
8、A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
14、
【解析】先利用指数函数的单调性得，再解一元二次不等式即可
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题
15、（答案不唯一）
【解析】首先利用新定义，再列举命题为假命题的一组数值，再根据定义，验证命题是假命题.
【详解】设，，
则，
而，
，故命题为假命题，
故依次可以为
15．已知表示这个数中最大的数．能够说明“对任意 ,都有 ”是假命题的一组整数的值依次可以为_____
16．已知，则的最大值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的点.
A. B.
C. D.
10．命题，则命题p的否定是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数 ______
12．设且，函数的图像恒过定点______
13．若在上恒成立，则k的取值范围是______.
14．不等式的解集是______
（1）证明：底面；
（2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值.
18．已知函数的图象关于原点对称
（1）求实数b的值；
（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的取值范围
19．计算下列各式的值：
（1）；
（2） .
20．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.1
C.2D.4
2．已知，若，则m的值为（）
A.1B.
C.2D.4
，
在上恒成立，
在上恒成立
（当且仅当x＝0时，取“＝”），则
∴实数k的取值范围为
19、（1）；（2）0.
【解析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】（1）
；
（2）
20、（1）；（2）4千克，505元.
3．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4．如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
5．如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
11、
【解析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.
【详解】，
理由如下：
为上的减函数，且，
为上的增函数，且，
，
故答案为：
12、
【解析】令指数为0即可求得函数图象所过的定点.
【详解】由题意，令，则函数的图象过定点（1,0）.
故答案为：（1,0）.
13、
【解析】首先参变分离得到在上恒成立，接着分段求出函数的最小值，最后给出k的取值范围即可.
⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为 .
详解】
.
（1），
递增区间满足：，
据此可得，单调递增区间为，
递减区间满足：，
据此可得，单调递减区间为 .
（2），，，
，
的值域为 .
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
A. B.
C. D.
6．已知角α的终边过点，则的值是（）
A. B.
C.0D. 或
7．已知函数（），对于给定的一个实数，点的坐标可能是（）
A.(2，1)B.(2，-2)
C.(2，-1)D.(2，0)
8．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（）
【详解】因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，，所以，
所以，
所以；
当时，，所以，
所以，
所以；
综上：k的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题是含参数的不等式恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可
【详解】解：（1）由题意得：，
（2）由（1）中
得
（i）当时，；
（ii）当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.
【详解】依题意，设，则有，解得，于得，
所以 .
故选：C
2、B
【解析】依题意可得，列方程解出
【详解】解：，，
故选：
3、C
【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的
4、B
【解析】斜率为，截距，故不过第二象限.
考点：直线方程.
5、B
【解析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；
（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.21、⑴ ，递Fra bibliotek区间，递减区间
⑵
【解析】整理函数的解析式可得： .
（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.
所以 .
18、（1）－1（2）
【解析】（1）由得出实数b的值，再验证奇偶性即可；
（2）由结合函数的单调性解不等式，结合基本不等式求解得出实数k的取值范围
【小问1详解】
∵函数的定义域为R，且为奇函数
，解得
经检验，当b＝－1时，为奇函数，满足题意
故实数b的值为－1
【小问2详解】
，
∴f(x)在R上单调递增
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？