简单的幂函数过关练习题(有答案)
幂函数中档题(含答案)
3.3 幂函数中档题一．选择题（共4小题）1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是．三．解答题（共13小题）6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取值范围．7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．11．函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．14．已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．15．已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．16．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．3.3 幂函数中档题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2015•吉安一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴函数g（x）=+f（x）=+=+，当x∈[，3]时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=+=，∴函数g（x）在x∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目．2．（2015秋•庄河市期末）已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题．3．（2015秋•九江校级期中）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．4．（2014•西湖区校级学业考试）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】函数的单调性，对a、b、、，区分大小，即可找出选项．【解答】解：因为函数在（0，+∞）上是增函数，又，故选C．【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较，是基础题．二．填空题（共1小题）5．（2016春•厦门校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q （x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是②③．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．三．解答题（共13小题）6．（2016春•宜春校级期末）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值范围为[0，1]【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．7．（2016春•江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目．8．（2015秋•资阳期末）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义能求出a．（Ⅱ）函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点，y=g（x﹣1）=，推导出1﹣lg2＜a＜1，x1∈（1，2），x2∈（2，3），由此能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2．（2分）（Ⅱ）方程化为g（x﹣1）=1﹣a，由题有函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．（3分）y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），5分所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，（7分）由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即．（11分）所以的取值范围为（2﹣lg2，2）．（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9．（2015秋•长沙校级期中）．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）0.7＜（lna）0.6；②当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；③当a＞e时，lna＞1，（lna）0.7＞（lna）0.6．【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用．10．（2014秋•旌阳区校级月考）已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）上为减函数，∴，解得m=﹣，∴g（x）=；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=，∴设f（x）=log a x（a＞0且a≠1），∴log a（﹣m+1）+log a（﹣m﹣1）=，即log a（m2﹣1）=log a2=，解得a=4，∴f（x）=log4x；（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），且f（x）=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴，解得；即＜a＜2，∴实数a的取值范围是（，2）．【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．11．（2013秋•大姚县校级期末）函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；∴a=0，∴f（x）=；（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；∴==；∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．12．（2011•福建模拟）如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论【分析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'求出f （a）的值，直接法求g（a）=AC•BB′．（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）﹣g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′，则f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'===（），g（a）=S△A′BC′=AC•BB′=BB′=，==，∴f（a）＜g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想．13．（2011秋•高安市校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．【分析】（1）幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．（2）再根据幂函数y=xα的单调性，求满足的a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值范围为【点评】幂函数y=xα，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．14．（2010秋•如东县期末）已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．【分析】（1）设y=x a，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式．（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（﹣x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4﹣2x），分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．【解答】解：（1）设y=x a，代入，得a=﹣1，∴．（2）定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），又，∴f（x）为奇函数．单调区间（﹣∞，0），（0，+∞）（3）由f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0得f（3x+2）＞﹣f（2x﹣4），即f（3x+2）＞f（4﹣2x），①当3x+2＞0，4﹣2x＞0时，∴，②当3x+2＜0，4﹣2x＜0时，，x无解，③当3x+2与4﹣2x异号时，，x＞2，综上所述，或x＞2．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式．15．（2010秋•盐城校级期末）已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出α，据α＞0，幂函数单调递增．（2）求出函数的解析式，根据0＜a＜1时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的范围．【解答】解：（1）∵幂函数的图象过点（27，3），∴3=27α∴，∴故函数在（﹣∞，+∞）上是单调增函数（2）y=g（x+3）=log a（x+3）∵0＜a＜1，∴y=log a（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减所以当x=﹣2时y取得最大值0，当x=﹣1时y取得最小值log a2∵|y|≤2∴﹣log a2≤2【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式．16．（2007秋•虹口区校级期末）已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【分析】（1）因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有，m﹣1=1，函数f（x）=（m ﹣1）才是幂函数，据此得出m．然后再证明其是奇函数；（2）根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）有f（x）为幂函数，得m﹣1=1，∴M=2，∴f（x）=，（x≠0），∴g（x）=，由g（﹣x）=（﹣x）+=﹣（），∴函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数；（2）设任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴g（x1）﹣g（x2）=（=，由x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，得：x1﹣x2＞4，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性，属于基础题．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．【分析】（1）由幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．可得﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解出即可得出．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，依题意，c＞[﹣（x+1）2+3]max．【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解得m=1，∴f（x）=x4．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3≤3．∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，∴c＞[﹣（x+1）2+3]max=3，当且仅当x=﹣1时取等号．∴实数c的取值范围是c＞3．【点评】本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高中数学幂函数练习题(附答案)
高中数学幂函数练习题（附答案）
高中数学幂函数练习题（附答案）数学必修1(苏教版)
2.4 幂函数
我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y＝x，y＝x2，y＝x－1等)“底数为自变量，指数为常数”是否为同一类型，性质是否有区别？”
基础巩固
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋)上单调递减的函数是()
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
答案：A
2．
右图所示的是函数y＝ (m，nN*且m，n互质)的图象，则() A．m，n是奇数且mn1
B．m是偶数，n是奇数，且mn1
C．m是偶数，n是奇数，且mn1
D．m，n是偶数，且mn1
解析：由图象知y＝为偶函数，且m、n互质，m是偶数，n 是奇数，又由y＝与y＝x图象的位置知mn1.
答案：C。
高中数学：幂函数练习及答案
高中数学：幂函数练习及答案幂函数的概念1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.32.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或13.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2求幂函数的解析式4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16,4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.幂函数的定义域和值域6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④比较幂值的大小8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a幂函数的图像10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4,1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α113.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤幂函数的性质14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数15.函数f（x）＝在[－1,1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－417.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0,0），（1,1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.幂函数的综合应用20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2,4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.答案1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或1【答案】B【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.综上知，m＝1.3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2【答案】D【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，解得m＝2或－1，且m＞－1，即m＝2.故选D.4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x【答案】B【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，故选B.5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），∴16α＝4，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（）＝＝.故选C.6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）【答案】D【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④【答案】A【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.故选A.8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<【答案】D【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b<a<c，故选C.10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称.又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α1【答案】D【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<，∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D.13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤【答案】D【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y ＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”.14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数【答案】D【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数【答案】A【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数.因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数，所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数，综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数.16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－4【答案】C【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C.17.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数【答案】C【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误，故选C.18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.【答案】[0，＋∞）【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2α，解得α＝，∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3.又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，又∵m∈N*，∴m＝1，3.当m＝1或m＝3时，有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1.又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减，∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a或a＋1<0<3－2a，解得≤a＜或a＜－1.故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）.20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2）<f（3），因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1<k<2.因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.当k＝0时，f（x）＝x2，当k＝1时，f（x）＝x2，综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2.（2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x＝－mx2＋（2m－1）x＋1，由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为x ＝，当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以或解得m ＝＋，满足题意.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2，4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x ）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.【答案】（1）函数f1（x ）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝－2不属于集合A.f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数.（2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1）＝6·（）x （－）<0，∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立.11/11。
幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案
幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 幂函数f(x)的图象过点(3, √3)，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=3xB.f(x)=x3C.f(x)=x 12 D.f(x)=(12)x2. 已知幂函数f(x)＝x a的图象过点(2, 4)，则这个函数的解析式为（）A.f(x)＝x2B.f(x)＝x 12 C.f(x)＝2x D.f(x)＝x√23. 函数f(x)=(x−1)α（α为常数）的图象均过点（）A.(1, 0)B.(0, 1)C.(1, 1)D.(2, 1)4. 已知函数f(x)=(a2−a−1)x1a−2是幂函数，则a=( )A.1B.−1C.−1或2D.1或−25. 函数y=(m2−m+1)x m2−2m−3是幂函数，且f(−x)=f(x)，则实数m的值为（）A.0或1B.1C.0D.1±√726. 下列函数为幂函数的是（）A.y=x2−1B.y=2x +1 C.y=1xD.y=−x3−x7. 已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−m−2的图象不经过原点，则m=()A.1B.2C.1或2D.38. 若幂函数y=f(x)的图象过点(4, 2)，则f(12)=()A.√2B.2√2C.√22D.29. 幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A.y=f(x)的定义域为RB.y=f(x)是减函数C.f(4)=2√2D.f(0)=010. 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|−2x在R上有3个零点；③√x−1(x−2)≥0的解集为[2, +∞)；④当n≤0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交；其中正确的命题是（）A.①②④B.①②③④C.②④D.①②③11. 已知点P(2, √22)在幂函数f(x)的图象上，则f(9)=________．12. 幂函数f(x)=xα的图像经过点(12++,2)，则f(16)=________．13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则它的解析式为________．14. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(4, 2)，则f(100)=________．15. 已知幂函数过(12，√22)，则f(16)=________．16. 若幂函数f(x)的图象经过点(2, √2)，则该函数的表达式f(x)=________．17. 幂函数y=1x2−m−m2在第二象限内为减函数，则m的最大负整数值为________．18. 函数f(x)=(m2−m−1)x m是幂函数，且对区间(0, +∞)上任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)成立，则实数m的值是________ ．19. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(12，√22)，则log2f(2)的值是________．20. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(12，√22)，则log2f(2)的值为________．21. 己知幂函数y=x m2−2m−3(m∈N∗)为偶函数，且在(0, +∞)是减函数，求m的取值集合．22. 已知f(x)=(m2+2m)x m2+m−1，当m取什么值时，（1）f(x)是幂函数；（2）f(x)是正比例函数（3）f(x)是反比例函数．23. 证明：函数f(x)=x 23在[0, +∞)上是增函数．24. 已知幂函数f(x)的图象经过点(3, 19)(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0, +∞)上的单调性，并用定义证明．25. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)（1）求函数的解析式．（2）求函数的定义域与值域．（3）判断函数单调性，并证明你的结论．26. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．27. 已知幂函数g(x)=(m2−2)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，已知f(x)是对数函数且f(−m+1)+f(−m−1)=12．(1)求g(x)，f(x)的解析式；(2)若实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，求实数a的取值范围．28. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(12,√2)．(1)求实数α的值；(2)求证：f(x)在区间(0, +∞)内是减函数．29. 已知幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且y=x（m−2）(m∈Z)的图象关于y轴对称，求m的值．30. 设P表示幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．31. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(4, 2)．（1）求f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，判断它的奇偶性、单调性，并指出它的值城．32. 已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)x m−2在(0, +∞)上单调递减．（1）求f(x)的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝m，求3a +2b的最小值．33. 已知幂函数f(x)＝x m的图象过(2, √2)．(Ⅰ)求m的值与函数f(x)的定义域；(Ⅱ)已知g(x)=12x−1+12+lg1−x1+x+m，求g(m)+g(−m)的值．34. 已知幂函数f(x)的图象经过点(2,14)．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0, +∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．35. 已知点(12, 16)在幂函数y=f(x)的图象上．（1）求f(x)的解析式；（2）写出f(x)的单调区间；（3）求不等式f(2x−1)<f(x)的解集．36. 已知幂函数y=f(x)的图象过点．（1）求函数f(x)的解析式（2）记g(x)=f(x)+x，判断g(x)在(1, +∞)上的单调性，并证明之．+2n−3是幂函数，求m、n的值．37. 已知y=(m2+2m−2)1x m2−138. 已知幂函数f(x)=x（2−k）（1+k）(k∈Z)，且f(x)在(0, +∞)上单调递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；（2）试判断是否存在正数q，使函数g(x)=1−qf(x)+(2q−1)x在区间[−1, 2]上的]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．值域为[−4, 17839. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k (Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)当x∈[1, 2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．40. 已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈(0, +∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．参考答案与试题解析幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数f(x)的解析式，由图象过点(3, √3)，求出解析式来．【解答】解：设幂函数f(x)=x a，其图象过点(3, √3)，∴3a=√3；，解得a=12∴f(x)=x12．故选：C．2.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入函数f(x)的解析式，求出a的值即可．【解答】由幂函数f(x)＝x a的图象过点(2, 4)，则2a＝4，解得a＝2，所以函数的解析式为f(x)＝x2．3.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点，说明此点的函数值与参数α无关，利用1α=1这个结论．【解答】解：∵函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点，∴此点的函数值与参数α无关，∵1α=1，∴x=2时，(x−1)α=1，∴f(2)=1，∴函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点(2, 1)．故选D．4.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题主要考查幂函数的基本概念，通过基本定义要求即可【解答】解：因为f(x)=(a2−a−1)x1a−2为幂函数，所以{a2−a−1=1，a−2≠0，⇒a=−1.故选B.5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用已知条件直接推出m的范围，利用函数的奇偶性确定m的值．【解答】解：因为函数y=(m2−m+1)x m2−2m−3是幂函数，所以m2−m+1=1，解得m=1或m=0．因为f(−x)=f(x)，所以函数是偶函数，当m=0时，幂函数为y=x−3．函数表示奇函数，当m=1时y=x−4．函数是偶函数．故选B．6.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义即可判断出．【解答】解：根据幂函数的定义可知：y=x−2=1x2是幂函数．故选C．7.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的概念可得m 2−3m +3=1，可解得m ，结合函数图象不经过原点，即可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−2为幂函数，且函数图象不经过原点， ∴ m 2−3m +3=1， ∴ m =1或m =2．当m =1时，f(x)=x −2，其图象不经过原点，符合题意； 当m =2时，f(x)=x 0，其图象不经过原点，也符合题意； 故选C ． 8. 【答案】 C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数f(x)=x α，根据y =f(x)的图象过点(4, 2)，可得 4α=2，解得 α的值，可得函数解析式 从而求出f(12)的值． 【解答】解：∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(4, 2)，设 f(x)=x α，∴ 4α=2，解得 α=12． ∴ f(x)=x 12． ∴ f(12)=(12)12=√12=√22， 故选C ． 9.【答案】 D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设出幂函数的解析式，根据幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，得到方程求出指数的值，即可得到函数的解析式，然后判断选项即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为y =x a ， ∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)， ∴ √2=2a ， 解得a =12，∴ f(x)=√x ．函数定义域不是R ，A 不正确； 函数是增函数，所以B 不正确； f(4)=2，所以C 不正确． F(0)=0，所以D 正确． 故选：D ． 10.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数的定义对①进行判断；根据函数零点的求法，我们将问题转化为两个基本函数图象交点个数判断后，可以得到②的真假；根据不等式的√x−1(x−2)≥0的解集对③进行判断；根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0对④进行判断即可．【解答】解：：①y=1与幂函数y=x0的定义域不同，故y=1不是幂函数；②在同一平面坐标系中画出y=2x与函数y=|x+2|的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数y=|x+2|−2x在R上有3个零点正确；③√x−1(x−2)≥0的解集为[2, +∞)∪{1}，故不正确；④根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交，正确．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】13【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】先设出函数的解析式，利用待定系数法求出函数的表达式，代入求值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：f(x)=xα，)在幂函数f(x)的图象上，点P(2, √22=2−12，则2α=√22∴α=−1，2∴f(9)=9−12=1，3故答案为：1．312.【答案】 4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 将点(122)代入求得a ，再求函数值即可．【解答】 将(12√2)代入f (x )=x a得α=12 ，则f (x )=x 12 ，则f (16)=1612=4故答案为：413. 【答案】f(x)=√x 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】利用幂函数的定义即可求出． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α，∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，∴ √2=2α，∴ α=12． ∴ f(x)=x 12=√x ． 故答案为f(x)=√x ． 14.【答案】 10【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】根据条件，求出a 的值，进行求解即可． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(4, 2)， ∴ f(4)=4a =2，则a =12，即f(x)=x 12=√x ， 则f(100)=√100=10， 故答案为：10 15.【答案】 4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数为f(x)=x a ，由幂函数过(12，√22)，得到f(x)=x 12，由此能求出f(16)．【解答】解：设幂函数为f(x)=x a ， ∴ 幂函数过(12，√22)， ∴ (12)a =√22，解得a =12，∴ f(x)=x 12， ∴ f(16)=1612=4． 故答案为：4．16. 【答案】√x【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】用待定系数法，设出幂函数f(x)的解析式，由图象经过点(2, √2)，求出α的值即可． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α(α∈R)， ∵ 它的图象经过点(2, √2)， ∴ 2α=√2， 解得：α=12； ∴ f(x)=x 12=√x ． 故答案为：√x ． 17.【答案】 −3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 幂函数y =1x 2−m−m2在第二象限内为减函数，可得2−m −m 2<0，解出即可．【解答】解：∵ 幂函数y =1x 2−m−m2在第二象限内为减函数，∴ 2−m −m 2<0， 解得m >1或m <−2，∴ m 的最大负整数值为−3． 此时y =x 4． 故答案为：−3． 18.【答案】 2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】求出函数f (x )的单调性，再根据f (x )是幂函数求出m 的值即可． 【解答】 解：：对区间(0,+∞)上任意两个不相等的实数x 1 x 2不等式x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)恒成立， ：不等式等价为(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0恒成立， 即函数f (x )是定义域上的增函数，由函数f (x )=(m 2−m −1)x m 是幂函数，得：m 2−m −1=1，解得：m =2可km =−1 又函数f (x )是定义域上的增函数， 故m =2，故答案为：2． 19. 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可设幂函数y =f(x)=x α，由题意可求得α的值，从而可得f(2)，可得答案． 【解答】解：设幂函数y =f(x)=x α， ∵ 其图象过点(12，√22)， ∴ f(12)=(12)α=√22， ∴ α=12．∴ f(2)=212=√2， ∴ log 2f(2)=log 2212=12.故答案为：12．20. 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可设幂函数y =f(x)=x α，由题意可求得α的值，从而可得f(2)，可得答案． 【解答】解：设幂函数y =f(x)=x α，∵ 其图象过点(12，√22)， ∴ f(12)=(12)α=√22， ∴ α=12．∴ f(2)=212=√2， ∴ log 2f(2)=log 2212=12.故答案为：12．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21. 【答案】解：∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数， 且在区间(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3， ∵ m ∈N ∗，∴ m =0，1或2， 又∵ 函数为偶函数， ∴ m 2−2m −3为偶数， ∴ m 2−2m 为奇数， ∴ m =1． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)为(0, +∞)上递减，推知m 2−2m −3<0，解得−1<m <3因为m 为整数故m =0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m 2−2m −3为偶数，进而推知m 2−2m 为奇数，进而推知m 的值． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数， 且在区间(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3， ∵ m ∈N ∗，∴ m =0，1或2， 又∵ 函数为偶函数， ∴ m 2−2m −3为偶数， ∴ m 2−2m 为奇数， ∴ m =1． 22.【答案】 解：（1）若f(x)是幂函数，则m 2+2m =1 解得：−1±√2所以当m =−1±√2时，f(x)是幂函数（2） 若f(x)是正比例函，则{m 2+m −1=1m 2+3m ≠0解得m =1 所以当m =1时，f(x)是正比例函（3） 若f(x)是反比例函数，则{m 2+m −1=−1m 2+3m ≠0，解得m =−1 所以当m =−1时，f(x)是反比例函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）直接利用f(x)是幂函数得到方程求出m 值即可； （2）f(x)是正比例函数，列出不等式组求解即可． （3）利用f(x)是反比例函数，列出不等式组求解即可． 【解答】 解：（1）若f(x)是幂函数，则m 2+2m =1 解得：−1±√2所以当m =−1±√2时，f(x)是幂函数（2） 若f(x)是正比例函，则{m 2+m −1=1m 2+3m ≠0解得m =1 所以当m =1时，f(x)是正比例函（3） 若f(x)是反比例函数，则{m 2+m −1=−1m 2+3m ≠0，解得m =−1 所以当m =−1时，f(x)是反比例函数． 23. 【答案】证明：∵ 函数f(x)=x 23，x ∈[0, +∞)， ∴ f′(x)=23x−13=3√x3>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可以利用函数的导数大于0，则函数是增函数，进行证明． 【解答】证明：∵ 函数f(x)=x 23，x ∈[0, +∞)， ∴ f′(x)=23x −13=3√x3>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数． 24. 【答案】解：(1)设幂函数f(x)=x α，其图象过点(3, 19)， ∴ 3α=19.解得α=−2，∴f(x)=x−2.(2)函数f(x)=x−2=1x2，在(0, +∞)上是单调减函数. 证明如下：任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=(x2−x1)(x1+x2)x12x22>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上的是单调减函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(1)设幂函数f(x)=xα，利用图象过点(3, 19)求出α的值，即得解析式；(2)函数f(x)在(0, +∞)上是单调减函数，利用单调性定义即可证明．【解答】解：(1)设幂函数f(x)=xα，其图象过点(3, 19)，∴3α=19.解得α=−2，∴f(x)=x−2.(2)函数f(x)=x−2=1x2，在(0, +∞)上是单调减函数.证明如下：任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=(x2−x1)(x1+x2)x12x22>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上的是单调减函数．25.【答案】解：（1）由题意可设f(x)=xα，又函数图象过定点(2, √2)，∴2α=√2，∴α=12，∴f(x)=√x，（2）由函数f(x)=√x可知定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)，（3）f(x)为增函数，理由如下设x1，x2∈[0, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=12√x+√x<0，∴f(x)为增函数．【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，（2）由解析式直接求出定义域和值域，（3）利用函数的单调性的定义证明即可．【解答】，解：（1）由题意可设f(x)=xα，又函数图象过定点(2, √2)，∴2α=√2，∴α=12∴f(x)=√x，（2）由函数f(x)=√x可知定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)，（3）f(x)为增函数，理由如下<0，设x1，x2∈[0, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=12√x+√x∴f(x)为增函数．26.【答案】解：幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，即−1<m<3且m2−2m−3为奇数，∴m=0或2，∴y=x−3，其图象为：【考点】函数的图象变换幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意知，m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，解此不等式组可得m的值．【解答】解：幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，即−1<m<3且m2−2m−3为奇数，∴m=0或2，∴y=x−3，其图象为：27.【答案】解：(1)∵ 幂函数g(x)=(m 2−2)x m (m ∈R )在(0, +∞)上为减函数，∴ {m 2−2=1m <0， 解得m =−√3， ∴ g(x)=x −√3；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)， ∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12， 即log a (m 2−1)=log a 2=12，解得a =4，∴ f(x)=log 4x .(2)∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)， 且f(x)=log 4x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>0，5−a >0，2a −1<5−a ，解得{a >12，a <5，a <2，即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据题意，求出m 的值，得出g(x)的解析式，再求出f(x)的解析式； （2）根据题意，利用f(x)的单调性，列出不等式组，求出实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ 幂函数g(x)=(m 2−2)x m (m ∈R )在(0, +∞)上为减函数，∴ {m 2−2=1m <0，解得m =−√3， ∴ g(x)=x −√3；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)， ∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12，即log a (m 2−1)=log a 2=12， 解得a =4，∴ f(x)=log 4x .(2)∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)， 且f(x)=log 4x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>0，5−a >0，2a −1<5−a ，解得{a >12，a <5，a <2，即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．28.【答案】解：(1)设幂函数的解析式为y =x a ， 又∵ 幂函数的图象经过点A(12, √2)．∴ √2=12a， 解得a =−12. (2)由(1)得y =x −12，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)=x 1−12−x 2−12=√x 1√x 2 =√x −√x √x x =21√x x (√x +√x )>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)=x −12在区间(0,+∞)上是减函数. 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的判断与证明【解析】（1）由于已知函数为幂函数，我们可以使用待定系数法进行求解，设出幂函数的解析式，再由幂函数的图象经过点A(12, √2)，构造关于a 的方程，解方程即可得到实数α的值；（2）根据（1）中所求的函数的解析式，我们求出函数的导函数的解析式，分析x ∈(0, +∞)时，导函数值的符号，即可得到结论． 【解答】解：(1)设幂函数的解析式为y =x a ， 又∵ 幂函数的图象经过点A(12, √2)． ∴ √2=12a， 解得a =−12.(2)由(1)得y =x −12，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0， ∴ f(x 1)−f(x 2)=x 1−12−x 2−12=√x 1√x 2 =√x 2√x 1√x 1x 2=21√x x (√x +√x )>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)=x −12在区间(0,+∞)上是减函数. 29.【答案】解：∵幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x、y轴没有公共点，∴m−6<0，且2−m<0，解得2<m<6，∴m的可能取值为3，4，5，又∵y=x（m−2）的图象关于y轴对称，∴y=x（m−2）为偶函数，即m−2为偶数，∴m=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由已知条件推导出m−6<0，且2−m<0，m−2为偶数，由此能求出m的值．【解答】解：∵幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x、y轴没有公共点，∴m−6<0，且2−m<0，解得2<m<6，∴m的可能取值为3，4，5，又∵y=x（m−2）的图象关于y轴对称，∴y=x（m−2）为偶函数，即m−2为偶数，∴m=4．30.【答案】解：（1）∵幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数，∴c2−5c+6>0，即P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，又不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立，∴c<0或c>1，即Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，∴P∩Q=(−∞, 0)∪(1, 2)∪(3, +∞)．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）由已知得P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，由此能求出P∩Q．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．（答案不唯一）【解答】解：（1）∵幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数，∴c2−5c+6>0，即P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，又不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立，∴c<0或c>1，即Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，∴P∩Q=(−∞, 0)∪(1, 2)∪(3, +∞)．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．31.【答案】解：（1）设幂函数y=f(x)=x a，其图象过点(4, 2)，∴4a=2，，解得a=12∴f(x)=x12=√x(x≥0)；（2）画出f(x)的图象，如图所示：f(x)=√x(x≥0)的定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数；函数图象从左向右上升，是增函数；图象落在y轴以及上方，值域是[0, +∞)．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）利用待定系数法求出函数f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，结合图象得出f(x)的奇偶性与单调性和值域．【解答】解：（1）设幂函数y=f(x)=x a，其图象过点(4, 2)，∴4a=2，，解得a=12∴f(x)=x12=√x(x≥0)；（2）画出f(x)的图象，如图所示：f(x)=√x(x≥0)的定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数；函数图象从左向右上升，是增函数；图象落在y轴以及上方，值域是[0, +∞)．32.【答案】解：(1)因为f (x )=(m 2−4m +4)x m−2是幂函数， 所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3． 又f (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以m =1，故f (x )=1x ．(2)由(1)可知2a +3b =1， 则3a +2b =(2a +3b )(3a +2b )=12+4a b+9b a≥24，当且仅当a =14，b =16时取等号．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，能求出f(x)．（2）由2a +3b ＝1，a ，b 都是正数，利用基本不等式的性质能求出的最小值．【解答】解：(1)因为f (x )=(m 2−4m +4)x m−2是幂函数， 所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3． 又f (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以m =1，故f (x )=1x ．(2)由(1)可知2a +3b =1， 则3a +2b =(2a +3b )(3a +2b )=12+4a b+9b a≥24，当且仅当a =14，b =16时取等号． 33. 【答案】（1）幂函数f(x)＝x m 的图象过(2,√2)， 即2m =√2，解得m =12；∴ f(x)=√x ，函数的定义域为[0, +∞)； （2）设ℎ(x)=12x −1+12+lg 1−x 1+x，则g(x)＝ℎ(x)+m ；∴ ℎ(x)+ℎ(−x)=12x −1+12+lg 1−x1+x +12−x −1+12+lg 1+x1−x ＝(12x −1+12−x −1+1)+(lg 1−x1+x +lg 1+x1−x ) ＝(12x −1+2x1−2x )+lg 1 ＝0；∴ℎ(x)为奇函数，则ℎ(m)+ℎ(−m)＝0，∴g(m)+g(−m)＝ℎ(m)+m+ℎ(−m)+m＝2m＝（1）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(Ⅰ)根据幂函数f(x)的图象过点A求得m的值，再写出f(x)的解析式与定义域；(Ⅱ)设ℎ(x)=12x−1+12+lg1−x1+x，用定义判断ℎ(x)为奇函数，再求g(m)+g(−m)的值．【解答】（1）幂函数f(x)＝x m的图象过(2,√2)，即2m=√2，解得m=12；∴f(x)=√x，函数的定义域为[0, +∞)；（2）设ℎ(x)=12x−1+12+lg1−x1+x，则g(x)＝ℎ(x)+m；∴ℎ(x)+ℎ(−x)=12x−1+12+lg1−x1+x+12−x−1+12+lg1+x1−x＝(12x−1+12−x−1+1)+(lg1−x1+x+lg1+x1−x)＝(12x−1+2x1−2x)+lg1＝0；∴ℎ(x)为奇函数，则ℎ(m)+ℎ(−m)＝0，∴g(m)+g(−m)＝ℎ(m)+m+ℎ(−m)+m＝2m＝（1）34.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)是幂函数，则设f(x)=xα（α是常数），∵f(x)的图象过点(2,14)，∴f(2)=2α=14=2−2，∴α=−23，故f(x)=x−2，即f(x)=1x(x≠0)；(Ⅱ)f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．证明如下：设x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=x22−x12x12⋅x22=(x2+x1)⋅⋅(x2−x1)x12⋅x22，∵0<x1<x2∈(0, +∞)，∴x2−x1>0，x1+x2>0,x12⋅x22>0，∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f (x )=x a （α是常数），根据f (x )的图象过点(2,14) ，列出关于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）设x 1,x 2∈(0,+∞) ，且x 1<x 2 ，作差f (x 1)−f (x 2)化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案． 【解答】 此题暂无解答 35. 【答案】解：（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上， 可得(12)α=16=(12)−4，解得α=−4，∴ 函数的解析式为f(x)=x −4．（2）∵ f(x)=1x 4，它在(0, +∞)上是减函数，在(−∞, 0)上是增函数， 故函数的减区间为(0, +∞)，增区间为(−∞, 0)．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0， 求得x >43或x <13，故不等式的解集为(43, +∞)∪(−∞, 13)．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上，求得α的值，可得函数的解析式为f(x)．（2）由函数的解析式f(x)=1x 4，求得函数的减区间．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0，由此求得它的解集． 【解答】解：（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上， 可得(12)α=16=(12)−4，解得α=−4，∴ 函数的解析式为f(x)=x −4．（2）∵ f(x)=1x 4，它在(0, +∞)上是减函数，在(−∞, 0)上是增函数， 故函数的减区间为(0, +∞)，增区间为(−∞, 0)．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0， 求得x >43或x <13，故不等式的解集为(43, +∞)∪(−∞, 13)．36.【答案】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(,)，得=a，a=−1∴y=f(x)=x−1解：g(x)=f(x)+x=x+函数在区间(1, +∞)上是增函数，证明：任取x1、x2使得x1>x2>1，都有由x1>x2>1得，x1−x2>0，x1x2>0，x1x2−1>0，于是g(x1)−g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，所以，函数在区间(1, +∞)上是增函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间(1,+∞)上为增函数，理由为：在区间(1,+∞)上任取x1>x2>1，求出f(x1)−f(x2)，通分后，根据设出的x1>x2>1，判定其差大于0，即f(x1)>f(x2)，从而得到函数为增函数．【解答】此题暂无解答37.【答案】解：∵f(x)是幂函数∴m2+2m−2=1，且m2−1≠0，且2n−3=0．解得m=−3，n=32．所以m=−3，n=32．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义：系数为1用常数为0，列出方程求出m、n值即可．【解答】解：∵f(x)是幂函数∴m2+2m−2=1，且m2−1≠0，且2n−3=0．解得m=−3，n=32．所以m=−3，n=32．38.【答案】解：因为幂函数f(x)=x（2−k）（1−k）在(0, +∞)上单调递增，所以(2−k)(1+k)>0，故−1<k <2．又因为k ∈Z ，故k =0，或k =1，所以f(x)=x 2 解：由(1)知g(x)=−qx 2+(2q −1)x +1， 假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线， 其对称轴为x =2q−12q=1−12q<1，因而，函数g(x)在[−1, 2]上的最小值只能在x =−1或x =2处取得又g(2)=−4q +4q −2+1=−1≠−4，从而必有g(−1)=2−3q =−4 解得q =2，此时，g(x)=−2x 2+3x +1，其对称轴x =34∈[−1, 2] ∴ g(x)在[−1, 2]上的最大值为g(34)=−2×(34)2+3×34+1=178符合题意【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）由f(2)<（3）知幂函数在(0,+∞)上为增函数，故(2−k )(1+k )>0，解出k 即可．（2）写出lg (x )的解析式:9(x )=−qx 2+(2−1)x +1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可． 【解答】 此题暂无解答 39.【答案】(Ⅰ)依题意得：(m −1)2=1，⇒m =0或m =2， 当m =2时，f(x)=x −2在(0, +∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴ m =0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x 2，当x ∈[1, 2)时，f(x)∈[1, 4)，即A =[1, 4)，当x ∈[1, 2)时，g(x)∈[2−k, 4−k)，即B =[2−k, 4−k)， 若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则{2−k ≥14−k ≤4 ，即{k ≤1k ≥0， 解得：0≤k ≤1． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质求出m 检验即可，(Ⅱ)结合集合的关系进行求解． 【解答】(Ⅰ)依题意得：(m −1)2=1，⇒m =0或m =2， 当m =2时，f(x)=x −2在(0, +∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴ m =0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x 2，当x ∈[1, 2)时，f(x)∈[1, 4)，即A =[1, 4)，当x ∈[1, 2)时，g(x)∈[2−k, 4−k)，即B =[2−k, 4−k)， 若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则{2−k ≥14−k ≤4 ，即{k ≤1k ≥0 ， 解得：0≤k ≤1． 40.【答案】解：∵ f(x)是幂函数 ∴ m 2−m −1=1，… ∴ m =−1或m =2，…∴ f(x)=x −3或f(x)=x 3，…∵ f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，不合题意，舍，… f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数．… ∴ f(x)=x 3．… 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由已知得m 2−m −1=1，从而f(x)=x −3或f(x)=x 3，由f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数，能求出f(x)=x 3． 【解答】解：∵ f(x)是幂函数 ∴ m 2−m −1=1，… ∴ m =−1或m =2，…∴ f(x)=x −3或f(x)=x 3，…∵ f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，不合题意，舍，… f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数．… ∴ f(x)=x 3．…。
简单的幂函数习题举例
简单的幂函数习题举例题组一：幂函数的概念例1：下列函数是幂函数的是：．①()2xf x =．②2()3f x x =．③2()f x x =-．④()f x x π=．⑤3()(1)f x x =-．⑥21()f x x =2．已知2212()(2)m m f x m xm --=+,当m 取何值时,〔1()f x 是幂函数；〔2()f x 是正比例函数〔3()f x 是反比例函数 1．下列函数中是幂函数的是〔 ①31y x =②m y ax =〔,a m 为非零常数,且1a ≠； ③145y x x =+④n y x = ⑤3(6)y x =-⑥28y x =⑦2y x x =+⑧1y =A ．①②③⑧B ．①④C ．③④⑤⑥D ．②④⑦参考答案：B2．在函数y=,32y x =,21y x =+,3(1)y x =+中,幂函数的个数为〔 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4参考答案：A3．已知2121(23)(22)m y n m x m -=+-+-⋅是幂函数,求,m n 的值。
参考答案：33,2m n =-= 4．已知函数f <x >＝<m 2＋2m >·xm 2＋m －1,m 为何值时,f <x >是：<1>正比例函数；<2>反比例函数；<3>二次函数；<4>幂函数？解：<1>若f <x >为正比例函数,则错误!⇒m ＝1；<2>若f <x >为反比例函数,则错误!⇒m ＝－1；<3>若f <x >为二次函数,则错误!⇒m ＝错误!；<4>若f <x >为幂函数,则m 2＋2m ＝1,∴m ＝－1±错误!.5．下列函数中是幂函数的是<>A ．y ＝3x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x －1＋1D ．y ＝x 3.14[答案] D题组二：函数奇偶性的判断。
幂函数练习题
幂函数练习题幂函数练习题幂函数是数学中一种常见且重要的函数类型，它的形式为f(x) = ax^n，其中a和n是实数，且a不等于0。
幂函数在实际问题中有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、经济学中的成本函数等等。
为了更好地理解和掌握幂函数，下面将给出一些幂函数的练习题。
1. 给定函数f(x) = 2x^3，求f(2)的值。
解析：将x代入函数f(x)中，得到f(2) = 2 * 2^3 = 2 * 8 = 16。
2. 已知函数g(x) = 4x^2，求g(-1)的值。
解析：将x代入函数g(x)中，得到g(-1) = 4 * (-1)^2 = 4 * 1 = 4。
3. 若函数h(x) = 3x^4，求h(0)的值。
解析：将x代入函数h(x)中，得到h(0) = 3 * 0^4 = 3 * 0 = 0。
4. 给定函数k(x) = 5x^2，求k(3)的值。
解析：将x代入函数k(x)中，得到k(3) = 5 * 3^2 = 5 * 9 = 45。
通过以上的练习题，我们可以看到幂函数的计算方法其实并不复杂。
只需要将给定的x代入函数中，并按照幂函数的定义进行计算即可。
幂函数的特点是在变量x的幂次上有着明显的影响，不同的幂次会导致函数图像的变化。
除了计算幂函数的值，我们还可以通过观察幂函数的图像来了解其性质。
例如，当幂函数的幂次为正数时，函数的图像呈现出递增的趋势；当幂次为负数时，函数的图像则呈现出递减的趋势。
这是因为正数的幂次会使函数的值逐渐增大，而负数的幂次则会使函数的值逐渐减小。
此外，当幂次为偶数时，函数的图像会关于y轴对称；当幂次为奇数时，函数的图像则不对称。
这是因为偶数次幂的函数具有正负对称性，而奇数次幂的函数则没有这种对称性。
幂函数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以利用幂函数来描述物体的运动规律；在经济学中，幂函数可以用来描述成本函数、收益函数等。
掌握幂函数的性质和应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
初中数学幂函数的练习题
初中数学幂函数的练习题1. 问题描述：小明正在学习幂函数，他需要完成一些相关的练习题。
请帮助小明解决以下数学问题。
2. 练习题一：已知函数f(x) = 2^x，求f(3)的值。
解答：将x = 3代入函数f(x) = 2^x中，得到f(3) = 2^3 = 8。
答案：f(3) = 8。
3. 练习题二：已知函数g(x) = (1/2)^x，求g(4)的值。
解答：将x = 4代入函数g(x) = (1/2)^x中，得到g(4) = (1/2)^4 = 1/16。
答案：g(4) = 1/16。
4. 练习题三：已知函数h(x) = (-3)^x，求h(2)的值。
解答：将x = 2代入函数h(x) = (-3)^x中，得到h(2) = (-3)^2 = 9。
答案：h(2) = 9。
5. 练习题四：已知函数j(x) = (-2)^x，求j(3)的值。
解答：将x = 3代入函数j(x) = (-2)^x中，得到j(3) = (-2)^3 = -8。
答案：j(3) = -8。
6. 练习题五：已知函数k(x) = 4^x，求k(0)的值。
解答：将x = 0代入函数k(x) = 4^x中，得到k(0) = 4^0 = 1。
答案：k(0) = 1。
7. 练习题六：已知函数m(x) = (-1/3)^x，求m(1)的值。
解答：将x = 1代入函数m(x) = (-1/3)^x中，得到m(1) = (-1/3)^1 = -1/3。
答案：m(1) = -1/3。
8. 练习题七：已知函数n(x) = (-5)^x，求n(0)的值。
解答：将x = 0代入函数n(x) = (-5)^x中，得到n(0) = (-5)^0 = 1。
答案：n(0) = 1。
9. 练习题八：已知函数p(x) = 0.5^x，求p(0)的值。
解答：将x = 0代入函数p(x) = 0.5^x中，得到p(0) = 0.5^0 = 1。
答案：p(0) = 1。
幂函数练习题
。 精选资料，欢迎下载 课时作业13 简单的幂函数 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．幂函数y＝f(x)经过点(2，2)，则f(9)为( )
A．81 B.13
C.181 D．3 【解析】 设f(x)＝xα，由题意得2＝2α， ∴α＝12.
∴f(x)＝x12，∴f(9)＝912＝3，故选D. 【答案】 D 2．在下列四个图形中，y＝x－12的图像大致是( )
【解析】 函数y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D. 【答案】 D 3．定义在R上的偶函数f(x)在x>0上是增函数，则( ) A．f(3)B．f(－π)C．f(3)D．f(－4)【解析】 因为f(x)在实数集R上是偶函数， 所以f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)． 而3所以f(3)。 精选资料，欢迎下载 即f(3)【答案】 C 4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( ) A．1 B．2 C．1或2 D．3 【解析】 ∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A. 【答案】 A 5．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( ) A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2) C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3) 【解析】 因为函数y＝f(x＋2)为偶函数， 令g(x)＝f(x＋2)， 所以g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)， 所以f(x＋2)＝f(2－x)， 所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称， 又因为函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的， 所以在(－∞，2)上为减少的，利用距对称轴x＝2的远近可知，f(0)>f(1)，f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简单的幂函数过关练习题(有答案)篇一：幂函数练习题2(含)幂函数练习题21．下列幂函数为偶函数的是( ) 3A．y＝x2 B．y＝xC．y＝x2D．y＝x－1 2．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( ) A．5－a＜5a＜0.5aB．5a＜0.5a＜5－a C．0.5a＜5－a＜5aD．5a＜5－a＜0.5a1α3．设α∈{－1,1，3}，则使函数y＝x的定义域为R，且为奇函数的所有α值为( )2A．1,3B．－1,1 C．－1,3D．－1,1,3114．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－2n (－3)n，则n＝________.1．函数y＝(x＋4)的递减区间是( ) A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞) C．(4，＋∞)D．(－∞，4)12．幂函数的图象过点(2，4)，则它的单调递增区间是( ) A．(0，＋∞)B．[0，＋∞) C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)3．给出四个说法：①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0. 其中正确的说法个数是( ) A．1 B．2 C．3D．41114．设α∈{－2，－1，－232，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A．1 B．2 C．3D．45．使(3－2x－x)4有意义的x的取值范围是( )A．RB．x≠1且x≠3 C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞16．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝( )A．2 B．3 C．4D．517．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，2)的图象恒过点________．8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．2－1232－13121709．把33，52(52(6按从小到大的顺序排列____________________． 10．求函数y＝(x－1)3的单调区间．11．已知(m＋4)2(3－2m)2m的取值范围．12．已知幂函数y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )1－－－21－12A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x3112．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象．已知α取－2，－222四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )1111A．－2，－222B．2，2，－2，－21111C．－2，－2,2，2 D．2，2，－2，－23．以下关于函数y＝xα当α＝0时的图象的说法正确的是( ) A．一条直线B．一条射线 C．除点(0,1)以外的一条直线D．以上皆错14．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)2的定义域为________．21．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，则f(4)的值为( )11A．16 B.16 C.2D．22．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是( ) A．y＝x3B．y＝x2 C．y＝x323－151D．y＝x4－33．已知幂函数的图象y＝xm2－2m－3(m∈Z，x≠0)与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，则m为( )A．－1或1B．－1,1或3 C．1或3D．3 4．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数④幂函数y＝xα，当α 0时，在第一象限内，随x的增大而减小 A．①②B．③④ C．②③D．①④5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6．幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件( )A．α＞1B．0＜α＜1 C．α＞0D．α＞0且α≠17．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________． 8．设x ∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________． 9．如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，则aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为________．10．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？12．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．参考答案1．解析：选C.y＝x，定义域为R，f(－x)＝f(x)＝x.112．解析：选B.5－a＝(5a，因为a＜0时y＝xa单调递减，且5＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.3．解析：选A.在函数y＝x，y＝x，y＝x2y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3.111n1n4．解析：∵－2 －3，且(－2) (－3)，∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1或n＝2.答案：－1或21．解析：选A.y＝(x＋4)开口向上，关于x＝－4对称，在(－∞，－4)递减． 2．解析：选C.2－12211幂函数为y＝x－2＝x13．解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－2(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.14．解析：选A.∵f(x)＝x为奇函数，∴α＝－1，31,3. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.315．解析：选C.(3－2x－x2)－44?3－2x－x?∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，解得－3＜x＜1.6．解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.7．解析：当x－1＝1，即x＝2时，无论α取何值，均有1α＝1，∴函数y ＝(x－1)α恒过点(2,1)．答案：(2,1)8．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．答案：α＜0702－120312119．解析：6＝1，(3)3＞(3)＝1，(52＜1，(521，∵y＝x2 2131702－12131702－1∴52＜52(6＜33答案：(5)2＜(5)2＜(6)＜(3)32211－－10．解：y＝(x－1)3＝，定义域为x≠1.令t＝x－1，则y＝t3t≠0?x－1?3?x －1?α为偶函数．22－因为α＝－3＜0，所以y＝t3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t＝x－1单调递增，故y＝(x－1)3在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．11．解：∵y＝x2(0，＋∞)，且为减函数．－－21?m＋4＞0∴原不等式化为?3－2m＞0?m＋4＞3－2m1313，解得－3m＜2∴m的取值范围是(－32．12．解：由幂函数的性质可知m2＋2m－3＜0?(m－1)(m＋3)＜0?－3＜m＜1，又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0. 当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵－3＜0，∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴y＝x－3是奇函数．当m＝－1时，y＝x－4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．11－4∵f(－x)＝(－x)－4＝x＝f(x)， ?－x?x∴函数y＝x－4是偶函数．∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数，又∵y＝x－4是偶函数，－∴y＝x4在(－∞，0)上是增函数．31．解析：选D.y＝x3x，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．22．解析：选B.当x＝2时，22＞22－22－2，即C1：y＝x，C2：y＝x2C3：y ＝x2C4：y＝x－2.－112113．解析：选C.∵y＝x0，可知x≠0，∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去(0,1)点．?1－x≠04．解析：?，∴x 1.?1－x≥0答案：(－∞，1)篇二：2021数学幂函数练习题2021高中数学幂函数复习重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数y?x,y?x,y?x,y?知识梳理：1. 幂函数的基本形式是y?x?，其中x是自变量，?是常数.要求掌握y?x，y?x2，y?x3，y?x1/2，y?x?1这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，如下：（1）当??0时，图象过定点；在(0,??)上是函数.（2）当??0时，图象过定点；在(0,??)上是函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y?x?的图象，在第一象限内，直线x?1的右侧，图象由下至上，指数y轴和直线x?1之间，图象由上至下，指数?诊断练习：，则f(4)的值等于1．如果幂函数f(x)?x?的图象经过点2．函数y＝（x－2x）252231x1,y?x2的图像，了解他们的变化情况．－12的定义域是3．函数y＝x的单调递减区间为4．函数y＝x12－m－m2在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_______ _．范例分析：例1比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2?232?23，（－107），1.123?43；（3）3.8，3.9，（－1.8）；（4）3，5.25351.41.5例2已知幂函数y?xm?6(m?Z)与y?x2?m(m?Z)的图象都与x、y轴都没有公共点，且 y?xm?2(m?Z)的图象关于y轴对称，求m的值．例3幂函数f(x)?(t?t?1)x37?3t?2t25是偶函数，且在(0,??)上为增函数，求函数解析式.反馈练习：11．幂函数y?f(x)的图象过点(4,)，则f(8)的值为 .22．比较下列各组数的大小： (a?2) a； (5?a)5； 0.40.50.50.4.232?23?233．幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是．a4．设x∈(0, 1)，幂函数y＝x的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是． 5．函数y＝x4在区间上是减函数．6．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3, 27),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2),(1)求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x) g(x)的解集.?3巩固练习1．用“”或””连结下列各式：0.32 0.32 0.34， 0.8?0.4 0.6?0.4． 0.60.50.512322．函数y?(x?1)?(4?x)3．y?xa4．已知2??的定义域是?4a?95x3是偶函数，且在(0,??)是减函数，则整数a的值是. ，x的取值范围为2x35．若幂函数y?xa的图象在0 x 1时位于直线y=x的下方，则实数a的取值范围是6．若幂函数f(x)与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，且函数g(x) 的图象经过,则f(x)的表达式为7. 函数f(x)?x?2的对称中心是，在区间是函数（填x?3“增、减”）8．比较下列各组中两个值的大小与1.6(2)0.6与0.7(3)3.5与5.3(4)0.18?0.3与0.15?0.39．若(a?2)10．已知函数y＝－2x－x2．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．?1335351.31.3?23?23?(3?2a)?13，求a的取值范围。