均值定理不等式练习题

均值定理

一、选择题

1、R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是（）

A.6

B.42

C.22

D. 26

2、在下列函数中，最小值为2的是

A 、()0,55≠∈+=x R x x x y

B 、()101lg 1lg <<+=x x x y

C 、()R x y x x ∈+=-33

D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+=20sin 1sin πx x x y

3、设0>a ，0>b ，则下列不等式中不正确的是

A 、||222ab b a ≥+

B 、2≥+b a a b

C 、b a b a +<+411

D 、b a b a a b +≥+22

4、已知1,1>>y x ，且4lg lg =+y x ，那么y x lg lg 的最大值是

A 、2

B 、21

C 、4

D 、4

5、若0,0>>y x ，且202=+y x ，则y x lg lg +的最大值是

A 、50

B 、2

C 、5lg 1+

D 、1

6、已知0,0≥≥b a ，1032=+b a ，则b a 32+的最大值是

A 、10

B 、52

C 、5

D 、10 二、填空题

7、若0,0>>y x ，1=+y x ，则当=x ，=y 时，xy 有最大值。

8、若6log log 22=+b a ，则≥+b a 。

9、当0>x 时，()1

22+=

x x x f 的值域是。

10、设0,0≥≥b a ，且122

=+b a ，则12+b a 的最大值是。

11、函数16322++

=x x y 的最小值是。

12、函数()0213<+

=x x x y 的最大值是。

13、若0,0>>b a ，且1=+b a ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是。

14、函数)0(112>+++

=x x x x x y 的最小值是。

15、已知0,0>>y x ，且112=+y

x ，则y x +的最小值是。

均值不等式应用专题

均值不等式应用专题 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤，即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤，即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1、求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 1、已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。技巧二：分离、换元 2、求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 3、求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。技巧三：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。 4、求函数2 y =的值域。练习：求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 1、（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析 1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2 2 21a b a b +>-- B ．2 2a b a b +≥ C ． 2 a b +≥D ．2 2a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（） A ．2 a b a b +>>>B ．2 a b a b +>> C ．2a b a b +>>> D ．2 a b a b +>> > 3．下列不等式中正确的是（） A ．224a b ab +≥ B ．4 4a a +≥ C ．22 1242a a ++ ≥+ D ．224 4a a +≥ 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释． A ．如果a b >，b c >，那么a c > B ．如果0a b >>，那么22a b > C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立 D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）

A ．2 112a b a b +≤≤ + B ．2 1 12a b a b +≤≤ + C 2 112a b a b +≤≤≤+ D 2 112a b a b +≤≤+ 针对练习二均值不等式的简单应用 6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（） A ．1 2 B ．14 C ．18 D ． 116 7．已知0m >，0n > ，且0m n +-=，则mn 的最大值是（） A ．1 B C ．3 D ．5 8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值. A ．254 B ． 258 C ．52 D ．54 9．已知21a b -=，则139b a ⎛⎫ + ⎪⎝⎭ 的最小值为（） A ．4 B C ．D 10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（） A ．3 B ．6 C D 针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用 11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（） A ．114a b +≤、 B ≥ C ．221a b +≥ D ．221 4 ab a b +≥ 12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（） A ．22x y +有最小值4 B ．xy 有最小值1

均值不等式的应用(习题+答案)

) 均值不等式应用一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） [ 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x — 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， > 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+=

初中数学竞赛专题1-均值不等式的应用

初中数学竞赛专题1 均值不等式的应用基础概念 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）例题解析【例1】求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）【例2】求函数2 y =的值域。 (2)t t =≥，则2 y =1(2)t t t ==+≥ 因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52 y ≥。所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 。【例3】若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a 当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求 11x y +的最小值.并求x,y 的值【例4】已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。错解．．：0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭ 故 ()min 12x y += 。

(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)

基础篇一、单变量部分 1、求)0(1 >+ =x x x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1 <+=x x x y 最大值-2 3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12 1 4、（添项）求)2(2 4 >-+=x x x y 最小值6 5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2 6、（取倒数或除分子）求)0(1 2 >+= x x x y 最大值21 7、（换元法）求)1(132>-+= x x x x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4 2 二、多变量部分 1、（凑系数或消元法）已知 041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16 1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求 y x 9 4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式 1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是 ______),18[+∞_________ 2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习 1. 已知x>0，y>0，且 18 2=+y x 则xy 的最小值_______64_______ 2. )0(13 2 4>++=k k k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为_________ 4 2 3_________

均值不等式【高考题】

利用一、求最值之杨若古兰创作直接求例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】 2y LX A.3 B.7C .4D .922 例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xy A.2 B.3 C.1 D.122 练习1.若x >0，则x +2的最小值为. x 练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xy A.6 B.9 C.12D 15 练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】 A.2 B.3 C.6 D.9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abc A.5 B.6 C.7 D.8 凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R + ，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34 练习2.当02)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2 ⑴y -3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列， x , d ,y 成等比数列，则

均值不等式含答案(训练习题)

课时作业15 均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练 1．已知5x ＋3 y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1 【答案】 C 【解析】 ∵5x ＋3 y ＝1≥215xy ， ∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号． 2．函数f (x )＝x ＋4 x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值【答案】 D 【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4 x ＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －4x ＋3 ＝－1，当且仅当－x ＝－4 x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．

3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4 y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥5 4＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1 (x >－1)的最小值．【分析】对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】因为x >－1，所以x ＋1>0. 所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4 x ＋1 ＝(x ＋1)＋ 4 x ＋1 ＋5≥2(x ＋1)·4 x ＋1 ＋5＝9 当且仅当x ＋1＝4 x ＋1 ，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10 x ＋1(x >－1)，取得最小值为9. 【规律方法】形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c mx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝ mx ＋n ax 2＋bx ＋c (m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设 mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式 1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 ? * ? a?b2 22 a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ? 2 a?b2 注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”

均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域 y＝3x解：y＝3x＋ 11 y＝x＋xx 1 3x ＝∴值域为[，+∞） 2x 1 x· ＝2； x 1 x· =－2 x 1 ≥22x1 当x＞0时，y＝x＋≥x 11 当x＜0时， y＝x＋= －≤－2 xx ∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?

54 ，求函数y ?4x?2? 14x?5 的最大值。 1 解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54 ,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， ???2?3?1 ??3? 1? ???5?4x? 4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1. 当时，求y?x的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。 32 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x? ，求函数y?4x的最大值。 3 2 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2???? 222?? 当且仅当2x?3?2x,即x? 3 ?3? ??0,?时等号成立。?2? 技巧三：分离例3. 求y?

均值不等式练习题

一、选择题 1．若0≥x ，0≥y 且，那么2 32y x +的最小值为（??? ） A. 2 B. 43 C. 3 2 D. 0 2．设若的最小值 ( ) A. 2 B. 4 1 C. 4 D. 8 3．若c b a >>集合{|},{|}2 a b M x b x N x ab x a +=<< =<<，则集合M N I 等于（） A.{|}x b x ab << B.{|}x b x a << C.{}2a b x ab x +< D.{|}2 a b x x a +<< 4．对于函数 )(x f y =(I x ∈),)(x g y =(I x ∈),若对任意I x ∈,存在0x 使得)()(0x f x f ≥, )()(0x g x g ≥且)()(00x g x f =,则称)(x f ,)(x g 为“兄弟函数”,已知q px x x f +++=2)(, x x x x g 1)(2+-=定义在区间]2,21[上的“兄弟函数”,那么函数)(x f 在区间]2,2 1 [ A. 32 B. 2 C. 4 D.54 5．若0x >，则1 x x +的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6．若实数,x y 满足2 2 2330x y x y +-++=，则3x 的取值范围是（） A. [)2,+∞ B.()2,6 C.[]2,6 D.[]4,0- 7．设0,0a b >>，若1a b +=，则 11 a b +的最小值是（） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 8．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．1 D ．32

经典均值不等式练习题

均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。技巧2：分离配凑例求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。

技巧3：利用函数单调性例求函数2 y =的值域。技巧4：整体代换例已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。典型例题 1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是 2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd b a 2+的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0 对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5 D.[]4,4- 4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b 1的最小值是( ) A.1 B.5 C.42 D.3+22 5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 . 6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 . 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285 C.5 D.6

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一.均值不等式 2 2 1. （1）若a,b € R ，则 a 2 +b 2 >2ab （2）若a,b 亡 R ，则 a^ a b （当且仅当 a = b 时取 “二”） 2 （2）若a,b 壬R *，则a + b > 2（当且仅当a = b 时取“=”） x=1时取“=”）;若X c 0，则X + —仝2 （当且仅当x = —1时取 “=”） x 若XHO ，则x +- >2即x +->2或x +-<-2 （当且仅当a = b 时取“=” 3.若ab >0，贝y >2 （当且仅当a =b 时取“=”） b a a b a b a b —+ — >2即一 +— >2或一+— <-2 (当且仅当a=b 时取“=” b a b a 4.若a,b 忘R ，则（王^）2 2 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” . （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” （3）均值定理在求最值、应用一：求最值例1 :求下列函数的值域 2 步=V 6 •••值域为［76 ,+ m (2)当 x >0 时，y = X + 1 >2p x - X 1 当 X <0 时，y = x +- = —（— X — •••值域为（一s,— 2] U [2 , 2 . （1）若 a ,^R *，则宁鼻" £ a ⑶若a,b 壬R ，则ab 兰丨a +b i （当且仅当a = b 时取“=”） 1 3.若X A O ，则X +— > 2 （当且仅当 x 2 2 1 x)— 1 -=—2