均值定理不等式练习题
均值不等式应用专题
均值不等式应用专题1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤，即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤，即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1、求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项1、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二： 分离、换元2、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
3、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧三：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。
均值不等式
1 1． 2006 江西文、理）若不等式 x + ax +1≥0 对一切 x ∈ 0， 成立，则a 的最小值 江西文、 （ 2 5 0 − 为（ ） Ａ． Ｂ．−2 Ｃ． Ｄ．−3 2
2
2.（2000 全国，7）若 a＞b＞1，P＝ lg a ⋅ lg b ， （ 全国， ） ＞ ＞ ， ＝ Q＝ （lga＋lgb） ＝ lg（ ＝ ，R＝ （ ＋ ） ， A.R＜P＜Q ＜ ＜
1 2
D． D． 1
2
4.（ 4. （ 08 辽宁卷 4 ） 已知 0 < a <1 ， x = loga 2 + loga 3 ， y = loga 5 ，
z = loga 21 − loga 3 ，则（
） C． y > x > z D． z > x > y
A． x > y > z
B． z > y > x
10 n 10 + n + 0.1n 2 = + +1 ≥ 3 = n n 10
当
10 n ,即n = 10时, y有最小值 有最小值3. 即 时 有最小值 = n 10
因此,使用 年报废最合算 年平均费为3万元 因此 使用10年报废最合算 年平均费为 万元 使用 年报废最合算,年平均费为 万元.
如图,为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为2 的无盖长 为处理含某种杂质的污水,要制造一底宽为 练习 如图 为处理含某种杂质的污水 要制造一底宽为 m的无盖长 方体沉淀箱污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设箱体的长度为a 孔流入,经沉淀后从 孔流出,设箱体的长度为 方体沉淀箱污水从 孔流入 经沉淀后从 孔流出 设箱体的长度为 m,高度为 m,已知流出的水中 设杂质的质量分数与 的乘积 成 高度为b 已知流出的水中 设杂质的质量分数与a,b的乘积 已知流出的水中,设杂质的质量分数与 的乘积ab成 高度为 反比,现有制箱材料 现有制箱材料60m2,问a,b各为多少时 经沉淀后流出的水中 该 各为多少时,经沉淀后流出的水中 反比 现有制箱材料 问 各为多少时 经沉淀后流出的水中,该 杂质的质量分数最小. 杂质的质量分数最小
3..基本不等式-均值不等式
1 5、求函数 y = x + 的值域. x 解: 1 1 (1)当x > 0时, x + ≥ 2 x ⋅ = 2 x x 1 + (2)当x < 0时,− x,− ∈ R , x 1 1 − x − ≥ 2 (− x) ⋅ (− ) = 2 x x 1 ∴ x + ≤ −2 ∴ y ∈ (−∞,−2] ∪ [2,+∞). x
3 ( x > 2) ， ２．已知函数 f ( x) = x + x−2 求函数的最小值． 求函数的最小值．
解：
用均值不等式求最值，必须满足“定值” 用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件． 个条件．
4 π 3 求 数 =sin α + 函 y 其 α∈ 0 ] 中 （， sin α 2 的 小 。 最 值 4 4 解 y =sin α + ： ≥ 2 sin α • sin α sin α = 4,∴ 数 最 值 4 函 的 小 为。
a + b ≥ 2
概念
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 如果ａ、ｂ都是正数， ａ、ｂ都是正数
a+b 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。 称为ａ、ｂ 几何平均数。 ａ、ｂ的 算术平均数，
均值定理可以描述为： 均值定理可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 算术平均数不小于 它们的几何平均数 它们的几何平均数
a+b ≥ ab 2
重要不等式
a, b ∈ R ，那么 2 2 a + b ≥ 2ab 时取“ （当且仅当 a = b 时取“=”
定理１ 定理１：如果 号）．
高三数学均值定理的应用试题答案及解析
高三数学均值定理的应用试题答案及解析1.函数y＝ (x>－1)的图象最低点的坐标为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(1,1)D．(0,2)【答案】D【解析】y＝＝x＋1＋≥2，当x＋1＝，即x＝0时，y最小值为2，故选D项．2.如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）在(2，)或(8，＋∞)内（2）AM＝6，AN＝4时，S＝24.min【解析】解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，∴S＝ (y>2)．由>32，得2<y<，或y>8，∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内．(2)当y>2时，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，当且仅当y－2＝，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S＝24.min3.已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【答案】（1）1 （2）2【解析】解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.4.已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于() A．1B．2C．2D．2【答案】B【解析】由两条直线垂直的充要条件可得(－)·＝－1，解得a＝，所以ab＝·b＝＝b＋.因为b>0，所以b＋≥2＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号．5.函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_______.【答案】【解析】由已知．函数的图象恒过定点A，所以有，即.所以，，当且仅当且时，的最小值为.【考点】对数函数的图象和性质，基本不等式的应用.6.已知x>0，y>0，求证：.【答案】见解析【解析】原不等式等价于(x＋y)2≥4xy，即(x－y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．7.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为．【答案】2【解析】由已知可得，则，此时当且仅当时取等号，则，当且仅当时，有．【考点】1.基本不等式的应用;2.函数的最值8.设a,b是两个实数，且a≠b，①②，③。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之羊若含玉创作一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）0>ab ，则2≥+a bb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技能： 技能一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.解：因450x -<，所以首先要“调剂”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调剂项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 技能二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值. 解析：由知，，应用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可. 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8. 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可应用均值不等式求最大值.变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技能三： 分别例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.解析一：本题看似无法运用均值不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分别.当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.技能四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分别求最值.当,即t=时,4259y t t ≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）. 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子离开或将分母换元后将式子离开再应用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值.技能五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应联合函数()af x x x=+的单调性.例：求函数224y x =+的值域.24(2)x t t +=≥，则224y x +2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，斟酌单调性.因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 演习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y 的最大值.；3．203x <<，求函数y .条件求最值2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，并且b a33⋅定值，因此斟酌应用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+ba b a当b a33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值技能六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，不然就会出错..2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值.错解：0,0x y >>，且191x y+=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y=，在19x y +≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误.因此，在应用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的需要步调，并且是磨练转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式： （1）若+∈R y x ,且12=+yx ，求y x 11+的最小值(2)已知+∈Ry x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x+的最小值技能七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最大值.剖析：因条件和结论分别是二次和一次，故采取公式ab ≤a 2＋b 22 . 同时还应化简1＋y2 中y 2前面的系数为 12 ， x1＋y2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别算作两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2＝34 即x 1＋y2 ＝2 ·x12 ＋y 22 ≤34 2技能八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.剖析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不克不及一步到位求出最值，斟酌用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行.法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t·16t ＝8∴ab ≤18 ∴y ≥118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥2 2 ab ∴ 30－ab ≥2 2 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考核不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算才能；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的规模，症结是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的规模. a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值.2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.技能九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简略3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件挨近.W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式: 求函数15()22y x =<<的最大值. 解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =评注：本题将解析式双方平方结构出“和为定值”，为应用均值不等式创造了条件.总之，我们应用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技能，积极创造条件应用均值不等式. 应用二：应用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 1）正数a ，b ，c 知足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭剖析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a -+-==≥.同理11b -≥，11c -上述三个不等式双方均为正，分别相乘，得111221118ac aba b c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13a b c ===时取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y xk kx ky ∴++= 10312k k ∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是.剖析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P.。
均值不等式
练 习 ： ( 1 ) 已 知 x 0, 求 函 数 f ( x ) x
( 2 ) 若 a 0, 则 当 a _ _ _ _ 时 ， a 4 9 a
1 x
的最大值
有 最 小 值 ___
(3)设0 x 1, 则函数y x(1 x)的最大值是 ____
例4.(1)设x 1, x
12 (4) x, y都为正数,f(x)＝ 2 y 4, 的最大值． 1.(1)若 x<0，求 且x x ＋3x 则xy有最__值是 ____ .
对应x, y的值是 ____________ .
1 1 (2)已知 0＜x＜2，求 y＝2x(1－2x)的最大值． 1 1 ◎已知 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，求 ＋ 的最小值． 5. x y x2 6. (3)已知 x＞1，求 y＝ 的最小值． x－1
练1.解决以下问题 :
(1)已知直角三角形的面积等于５０，两条直角边 各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多 少？
(2)用２０cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 应当怎样折？ ( )做一个体积为３２m ，高为２m的长方体纸盒 ３ ，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
3
例 3 .求 函 数 f ( x )
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
练习：
1 .若 x 0, 则 y 3 x
2 .若 x 3， 则 y x
2 x
1
有 最 __ 值 为 ___, 此 时 x ___ .
有 最 __ 值 为 ___ ， 此 时 x ___ .
高中均值不等式讲解及习题
2：已知 x 0, y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值。
xy
错．解．：
x
0, y
0 ，且 1
x
9 1，
y
xy
19 xy
xy
9 2 2 xy 12
故
xy
x y min 12 。
错因：解法中两次连用均值不等式， 在 x y 2 xy 等号成立条件是 x
y ，在 1 9
9 2
等号成立条件是 1
(t 1)2 7(t 1）+10 t 2 5t 4
4
y
=
t
5
t
t
t
当
,即 t=
时, y 2 t 4 5 9 （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。
t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化
为 y mg(x) A B( A 0, B 0) ，g(x) 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例 1：求下列函数的值域
（
1）y＝
3
x
2＋
1 2x
2
1 （ 2 ）y＝ x＋ x
解：（1）y＝
3x
2＋
1 2x
x
3. 若 ab 0 ，则 a b 2 (当且仅当 a b 时取“ = ”）
ba
1 时取“ = ”）
若 ab 0 ，则 a b 2即 a b 2或 a b -2 ( 当且仅当 a b 时取“ = ”）
均值不等式
【方法小结】 (1)解应用题时，一定要注意变 量的实际意义，即其取值范围，这对最优化问 题起着关键作用． (2)在求函数的最值时，除应用均值不等式外， 有时会出现均值不等式取不到等号的情形，此 时要利用函数的单调性求解．
方法感悟 方法技巧 1．合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆 与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值， 必要时出现积为定值或和为定值(如例2)． 2．当多次使用均值不等式时，一定要注意每次 是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条 件的一致性，否则就会出错，因此在利用均值 不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅 是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有 误的一种方法．
失误防范
a＋b 应用均值不等式 ab≤ 时要注意的问题 2 (1)注意不等式成立的条件 a>0，b>0. (2)均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和 将“积式”转化为“和式”的放缩功能， 在证明或 求最值时，要注意这种转化思想．
考向瞭望·把脉高考
考情分析
通过对近几年高考试题的统计和分析可以发现，本 节主要考查利用均值不等式求函数的最值．若单纯 考查均值不等式，一般难度不大，通常出现在选择 题和填空题中；若考查均值不等式的变形，即通过 对代数式进行拆、添项或配凑因式，构造出均值不 等式的形式再进行求解，难度就会提升．对均值不 等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作 为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题． 预测2012年高考仍将以求函数的最值为主要考点， 重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．
【思路分析】 利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求 证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条 件． 【证明】 a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2 ＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd. 故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2， 且c2＝d2，ab＝cd. 【名师点评】 证明不等式时要注意灵活变形， 多次利用均值不等式时，注意每次等号是否都成 立，同时也要注意应用均值不等式的变形形式．