各种四边形判定定理及性质

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四边形及相似形

四边形及相似形一、教学内容四边形及相似形（一）四边形 1. 多边形在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 多边形的性质：（1）n 边形的内角和等于()n -2180·°；（2）任意多边形的外角和等于360°； ※（3）n 边形的对角线的条数等于123n n ()-. 2. 四边形的分类四边形平行四边形一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形正方形梯形一般梯形特殊梯形等腰梯形直角梯形其它四边形⎧⎨⎩⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3. 平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：（1）两组对边分别平行且相等；（2）两组对角分别相等；（3）两条对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 平行四边形的判定：（1）根据平行四边形的定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4. 矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）两条对角线相等；（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它有两条对称轴，即过每组对边中点的直线.矩形的判定：（1）根据矩形的定义判定；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形.5.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边都相等；（3）两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线.菱形的判定：（1）根据菱形的定义判定；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.6.正方形有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形.7.梯形及等腰梯形连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形的性质：（1）同一底上的两角相等；（2）两条对角线相等.等腰梯形的判定：（1）依据等腰梯形的定义判定；（2）同一底上两角相等的梯形是等腰梯形.※（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.8.中心对称与中心对称图形把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称.这个点叫做对称中心.两个图形关于点对称也称中心对称.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；由中心对称的性质可以认识中心对称图形的性质.9.平行线等分线段定理及其推论.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.10.简单平面图形的面积（1）三角形的面积公式等底等高的两个三角形等积；等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比；等底的两个三角形的面积比等于相应高的比.（2）平行四边形的面积等于一边与这边上的高的积.（3）矩形的面积等于两条邻边的乘积.（4）菱形的面积等于一边与这边上的高的积，也等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半.（6）梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半；或等于梯形中位线与高的积.（7）多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和.11.几何作图（1）作一图形关于某一点的对称图形；（2）任意等分已知线段；（3）依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形.（二）相似形比例线段：1.成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比.如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a、b、c、d叫做成比例线段，记作abcda b c d==或：：，其中a c、叫做比的前项，b、d叫做比的后项，b、c叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项.若abbc=，则称b是a、c的比例中项.2.比例的性质成比例的数具有下面的性质：（1）基本性质：a b c d ad bc =⇔=；（2）反比性质：a b c d b a dc=⇔=；（3）更比性质：a b c d a c b d d b ca=⇔==或；（4）合比性质：a b c d a b b c d d =⇔±=±；（5）等比性质：a b a b a b ab k k112233====…，k 为正整数，且b b b b k 1230++++≠…，⇒++++++=a a a b b b a b k k 121211…….3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.4. 平行线分线段成比例定理推论的逆定理：如果一条直线截三角线两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角线的第三边.5. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 相似三角形：1. 相似三角形2. 三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）（1）平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即“两角对应相等，两三角形相似”.（3）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”.（4）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即“三边对应成比例，两三角形相似”.对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 3. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 4. 直角三角形中的成比例线段在Rt ABC C CD AD D ∆中，°，于，∠=⊥90则（1）∆∆∆∆∆∆ADC ACB BDC BCA ADC CDB ~~~、、；（2）CD AD DB 2=·；（注：用时要证明.）（3）AC AD AB BC BD BA 22==·，·；（注：用时要证明.）（4）CD AB AC BC ··=※5. 相似多边形（注：“人教社”新教材删去.）如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等；（2）相似多边形的对应边成比例；（3）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（4）相似多边形周长的比等于相似比；（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方；（6）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.例1. 如图所示，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 边上的点，且BE=DF ，EF 交AC 于点O .求证：AC 、EF 互相平分于O 点.A F DOB E C例2. 如图所示，在△ABC 中，∠=BCA 90°，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，∠=∠CDF A .（1）求证：四边形DECF 是平行四边形；（2）若sin A =35，四边形EBFD 的周长为22，求DE 的长. AE DB C F例3. 如图所示，矩形ABCD 中，AB AD ==34，，P 是AD 上的动点，PE AC E ⊥于，PF BD F ⊥于，试问PE PF +的值是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.A P DF EB C解：PE PF +的值为定值125矩形中，，同理ABCD AB AD AC BD DAC PE AP CD AC PE AP PF PDPE PF AP PD ==∴==∠===∴==∴+=+=⨯=34535353535354125sin () 例4. 如图所示，在等边△ABC 中，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD 为边作等边三角形ADE .求证：（1）∆∆ACD CBF ≅；（2）四边形CDEF 为平行四边形.AF EB D C证明：（1）∵△ABC 为等边三角形∴=∠=∠==∴≅AC CB ACD CBF CD BFACD CBF，°又60 ∆∆（2） ∆∆ACD CBF ≅∴=∠=∠CD CF CAD BCF ，∵△AED 为等边三角形∴∠==∴=∠+=∠=∠+∠=∠+∴∠=∠∴ADE AD DE FC DEEDB BDA CAD ACD BCF EDB BCF ED FC ED FC606060°，且°°////∴四边形CDEF 为平行四边形.例5. 如图所示，已知菱形ABCD 中，对角线AC m BC n ==，，边长BC a =，BC 边上的高AE h =，菱形面积=S ，若S m ==12010，，求a ，h 及sin ∠ABC .AB O D EC略解： S mn 菱=12∴=⋅⋅=120121024nn 解得：在Rt △AOB 中，AO=5，BO=12 由勾股定理可得：AB=13，即a=13S ah h h Rt AEB AEB ABC AE AB h a 菱在中，°=∴=⋅∴=∠=∴∠====1201312013901201313120169∆sin说明：此例强调了菱形的两个面积公式的互相转化，强调了菱形中的线段与角之间的内在联系.例6. 如图所示，在矩形纸片ABCD 的AB 边上取一点E ，使BE ：EA=5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长.A F D EB C解：由已知，∆∆BEC FEC ≅，可得EF EB =∠=∠=EFC B 90°设BE x EF x AE x AF x CD BA x ======55348，则，，，∠=∠=∠=-∠=∠⎧⎨⎩A D AFE CFD DCF9090°° ∴~∴====∆∆AEF DFCDF AE DC AF DF AE DC AF x xxx ，··3846 ∴==+=BC AD x x x 4610在Rt EBC EB BC EC ∆中， 222+=()∴+==∴==()()51015532430222x x x AB BC 解得：，例7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AB//CD ，中位线EF=7cm ，对角线AC BD ⊥，∠=BDC 30°，求梯形的面积.B AE FC D分析：欲求此梯形的面积，只要求它的高.作AH CD H AK BD ⊥于，作，//交CD 延长线于K .由已知可得∠==+=+==K CK CD DK CD AB EF cm 30214°，，CA AK ⊥则AC cm =7，而∠=CAH 30°∴===AH cm S EF AH cm ABCD72349232梯形·B AE FC HD K说明：在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法.已知梯形对角线垂直时，常过梯形一顶点平移一条对角线.例8. 如图1所示，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点OA DOF E GB C图1（1）在AC 上取一点E ，作AG BE ⊥于G ，AG 交BD 于F ，求证：OE OF =；（2）若在AC 的延长线上取一点E ，作AG ⊥直线BE 于G ，交DB 延长线于F （如图2所示），这时结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请作图并给出证明，如果不成立，请说明理由.A DOB C图2分析：（1）欲证OE=OF ，只要证∆∆BOE AOF ≅.因为四边形ABCD 为正方形所以∠=∠==∠=-∠=∠AOB BOE AO BO AFO FAO BEO 9090°，，°由此可证出∆∆AOF BOE ≅ 可得OE OF =.（2）若E 点在AC 的延长线上，OE OF =这个结论仍能成立.也可由∆∆BOE AOF≅例9. 已知：a b c d a c ==-=136，，求b d -. 解：由已知a b c d =--=13再由等比性质得a c b d --=13即b d a c -=-=318()例10. 已知：a b c a b c a b c ：：：：，且，求：=+-=+-23526222的值. 解：设a b ck 235===，则a k b k c k ===235、、 264356a b c k k k +-=∴+-=解得：k =3∴+-=+-=-=-a b c k k k k 2222222492512108例11. 如图所示，BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，求GH 的长.AE D G HB C解：∵BD 、CE 分别是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点∴==∴==∴==⨯=AG AB AH AC GH BCGH BC AG AB GH BC 3434343486// 想一想：如图所示，若连结ED ，如何求GH ？AE D G HB C例12. 如图所示，△ABC 中，AD 是角平分线，求证：BD DC ABAC=. A1 2B D C分析：为了构造平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，可视C 点为△ABD 的BD 边延长线上一点.作CE//AB ，交AD 延长线于E ，则BD DC ABEC=，∠=∠1E . 又 ∠=∠12∴∠=∠2E ，得AC EC =，推出BD DC ABAC=. A1 2B D CE说明：此题介绍了三角形内角平分线的一个性质，即“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.”例13. 如图所示，△ABC 中，BD 是角平分线，DE//AB ，AB=5，BE=3，求BC 的值.AD 3B E C1 2解： DE AB //∴∠=∠~13，且∆∆CDE CAB BD ABC DE BE CDE CAB DE AB CE CB CE CE EC BC 平分，，，即解得：∠∴∠=∠∴∠=∠∴==~∴=+==∴=122333354575∆∆.. 例14. 如图所示，在△ABC 中，∠=⊥BAC AD BC D 90°，于，E 为AC 边中点，ED 、AB 的延长线交于点F .求证：（1）AB ：AC=BD ：AD ；（2）∆∆FAD FDB ~；（3）AB AC DF AF ：：=.FBDA E C分析：（1）由∆∆ADB CDA AB AC BDAD~=，可得（2）因∠F 是△FAD 和△FDB 的公共角，欲证∆∆FAD FDB ~，只要证∠=∠FDB FAD .这可由Rt ABC ∆中，AD BC ⊥、E 是AC 的中点推出，即∠=∠=∠=∠FAD C CDE FDB（3）由（2）中的∆∆FAD FDB ~，得FD FA BDDA=由（1）中的AB AC BD DA =，可推出AB AC DFAF=. 说明：对于待证的四条成比例线段，首先要看它们所在的两个三角形能否相似，如果不能相似，需通过“中间比”进行等量代换.利用两组角对应相等，是证明两个三角形相似首选的基本方法.例15. 如图所示，已知∆ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF BA //，BF 交AD 于P ，交AC 于E 点求证：BP PE PF 2=·.AF E PB D C分析：为了把共线的三条线段BP 、PE 、PF 转化为不共线的，可利用等腰三角形是轴对称图形这一性质.连结PC ，因为AD 是等腰△ABC 底边上的中线，所以它也垂直平分BC ，可推出PC=PB 、∠=∠ACP ABP . 由CF//BA ，又可得到∠=∠F ABP 所以∠=∠F PCE ，而∠=∠FPC CPE 立即推出∆∆FPC CPE ~，从而PF PC PC PE=，即BP PC PE PF 22==· AF E PB D C例16. 如图所示，△ABC 中，AD BC D DE AB E DF AC F ⊥⊥⊥于，于，于，求证：∠=∠AFE B .AEFB D C分析：欲证∠=∠AFE B ，只要证∆∆AFE ABC ~.而∠BAC 是这两个三角形的公共角，只需证AE AC AFAB=. 在Rt ABD ∆中， DE AB ADB ⊥∠=，°90 则∆∆ADE ABD ~.∴=AD AE AB 2·同理可证：AD AF AC 2=· 可得AE AB AF AC ··= 即AE AC AFAB=，从而问题解决. 例17. 如图所示，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），使三角尺的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E .探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC 相似？并证明你的结论； ②当点P 位于CD 的中点时，你找到的三角形与△BPC 的周长比是多少？A DPB C解：可分成三种情形分别作答：（1）如图1所示，若另一条直角边与AD 交于点E ，则∆∆PDE BCP ~.A E D 1 P 3 2B C图1证明： ∠+∠=∠+∠=13902390°，°∴∠=∠∠=∠=∴~1290又°PDE BCP PDE BCP∆∆当点P 位于CD 的中点时，如图2所示，则PD BC =12. A E D PB C图2又 ∆∆PDE BCP ~∴△PDE 与△BCP 的周长比是1：2.（2）如图3所示，若另一条直角边与BC 的延长线交于点E ，同理可证∆∆PCE BCP ~或∆∆BPE BCP ~.A DPB C E图3当点P 位于CD 的中点时，如图4所示，△PCE 与△BCP 的周长比是1：2；A DPB C E图4由于PE PC ：：=52，因此△BPE 与△BCP 的周长比是52：.（3）如图5所示，若另一条直角边与BA 的延长线交于E 点，同理可证：∆∆EPB BCP ~.EA D PB C图5当点P 位于CD 的中点时，如图6所示，由于BP PC ：：=51，因此△EPB 与△BCP 的周长比为51：.EA D PB C图6说明：根据需要对研究对象进行分类，然后对划分的每一类分别求解，综合后即得问题的答案.在复习中要充分重视“分类讨论”这一数学思想方法的运用.解答问题时，要考虑到可能出现的各种情况.为此，请想一想下面这个问题应怎么解？已知：矩形ABCD 中，M 是BC 的三等分点，若tan ∠==AMB MC 434，，求D 点到AM 的距离.【模拟试题】（答题时间：80分钟）【自我检测1】一、填空题1. 两条对角线互相平分的四边形是____________________；2. 两条对角线_________________的四边形是菱形；3. 两条对角线_________________的四边形是矩形；4. 两条对角线_________________的四边形是正方形；5. 顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是_________________；6. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是_____________；7. 顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是_________________；8. 四边形四个内角的比是1：2：3：4，那么这四个角的度数分别是___________；9. 一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是______________； 10. 平行四边形两邻边长分别为6cm 和8cm ，夹角为60°，它的面积为_________cm 2； 11. 一个平行四边形被分成面积为S S S S 1234、、、的四个小平行四边形（如图所示），当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S S 14·与S S 23·的大小关系为_____；CS 1 S 3A B S 2 S 4 D12. 如图所示，△ABC 中有菱形AMPN ，如果AM MB =12，则BPBC=____________. AMNB P C13. 矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所交锐角的度数为_________；【自我检测2】一、判断题（1）有一个锐角相等的两个Rt △相似.（）（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）（3）顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似.（）（4）一个等腰三角形的两边和另一个等腰三角形的两边成比例，则这两个三角形相似.（）（5）两边长分别是3、4的Rt △ABC 与两边长分别是6、8的Rt △DEF 相似.（）（6）斜边和一条直角边分别是2和3的Rt ABC ∆与斜边和一条直角边长分别是23和3的Rt DEF ∆相似.（）二、填空题（1）如图所示，已知∠=∠12，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是_____________________.A1D 2B E C※（2）在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点.以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图所示的5×5的方格纸中，作以A、B、C为顶点的格点三角形和△OAB相似（相似比不能为1），则C点的坐标是________________.yBO A x※（3）如图所示，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，若在此网格内画出一个与△ABC相似且面积最大的三角形，则∆A B C的面积是111___________.ABCA36°，BD平分∠ABC，则（4）如图所示，△ABC中，若AB=AC，∠=AD=______=_______，∆ABC~__________，AD2=___________.当AC=10时，BC=__________.ADB C（5）如图所示，△ABC中，∠=⊥ABC BD AC D 90°，于，则∆ADB ∽_______∽______，AD ：_______=________：BC ，AB 2=_________，AD·DC=________，AC DC ·=____________，AC·BD=___________.若AD=5，BC=6，则CD=_______.CDA B（6）已知：如图所示，△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且∠1=∠2=∠3，则图中有_________对相似三角形.AD 1 E2B C3三、解答题1. 如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交BC 于F .求证：BC·CD=CF·AE .D CFA B E2. 如图所示，Rt △ABC 中，∠C=90°，DEFG 是△ABC 的内接正方形.求证：EF 2=AE·FB .CD GA E F B3.如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F.求证：AE：ED=2AF：FB.AFEB D C4.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F.求证：CD2=DE·DF.FCEA D B5.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE.F为AE上一点，且∠BFE=∠C.（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长.（计算结果可含根号）A BFD E C6.如图所示，延长正方形ABCD的AB边至E，连结EC、DE，DE交BC于F，FM//BE 交EC于M，求证：FB=FM.D CF MA B E7.正方形ABCD中，边长AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足.（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.8.如图所示，菱形ABCD中，E、M分别是AB、CD边的中点，F是BC上一点，且BF：FC=1：3.（1）求EF：AM；（2）若菱形ABCD的面积为S，求△EBF的面积.A DEMB F C【试题答案】【自我检测1】一、填空题1. 平行四边形2. 互相垂直平分3. 互相平分且相等4. 互相垂直平分且相等5. 平行四边形6. 矩形7. 菱形8. 36°、72°、108°、144°9. 十10. 24311. S S S S 1423··=12. 2313. 80°【自我检测2】一、判断题（1）√（2）× （3）√ （4）× （5）× （6）√二、填空题（1）∠=∠B D 或∠=∠C AED 或AB AD AC AE ：：=；（2）（4，4）或（5，2）（3）∆A B C 111的面积是5（平方单位）；（4）BD 、BC ，△BCD ，DC·AC ，555-；（5）△BDC 、△ABC ，AB 、DB ，AD·AC ，BD 2，BC 2，AB·BC ，4；（6）4对.三、解答题1. 提示：由∆∆DCF EAD ~ 得DC AE CF AD=，而AD BC =，可推出BC CD CF AE ··= 2. 提示：由∆∆AED GFB ~ 得AE DE GF FB =，即AE FB DE GF ··= 而EF DE GF ==，可得EF AE FB 2=·. 3. 提示：过D 点作DK//BA ，交EC 于K4. 提示：证∆∆DCE DFC ~5. （1）略；（2）AE =833；（3）BF =323 6. 提示：由已知可得FM DC EF ED FB DA FB DC ===，推出FM FB = 7. （1）略；（2）S 145=（平方单位），S S S S ABCD ABE 21115=--=正方形∆（平方单位） 8. 提示：（1）先证∆∆EBF ADM ~ 得EF AM ：：=12；（2）116S .。

四边形

n边形的对角线：共有n（n－3）/2条。边形的对角线：共有n /2条。说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计说明：利用上述公式可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。多边形内角和定理：边形内角和等于（n 多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2） 180° 180°。多边形内角和定理的推论：多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于 360° 360°。说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。
2、正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 ①正方形的四个角都是直角； ②四条边都相等； ③正方形的对角线相等且互相垂直平分； ④每一条对角线平分一组对角； ⑤正方形是轴对称图形，有四条对称轴，它们是对角线所在直线和对边中点所在直线，同时又是中心对称图形，对称中心是对角线交点
1、菱形的定理
性质定理1 性质定理1 菱形的四条边都相等性质定理2 性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角面积=对角线乘积的一半，即S=（面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b） ÷2 判定定理1 判定定理1 四边都相等的四边形是菱形判定定理2 判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
1、正方形的定理
正方形性质定理1 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。正方形性质定理2 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形判定定理1 正方形判定定理1：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形判定定理2 正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。

平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
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二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。——杜鲁门·卡波特
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二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特
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二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德
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三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
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三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
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三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
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二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
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二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
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二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
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二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约·奥赖利
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三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名
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三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆

初中数学课件-八年级数学平行四边形及其性质和判定定理教学课件

如图，l1 // l2, AB, CD是夹在l1与l2之间的平行线段. AB 与CD相等吗？请说明理由.
Ａ
C
l1 证明:
∵ l1 ∥ l2,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
Ｂ
l2 ∴AB=CD. D
夹在两条平行线间的平行线段相等。
如图，l1 // l2, AB, CD是夹在l1与l2之间的平行线段. AB 与CD相等吗？请说明理由.
Ａ
C
l1 证明:
∵ l1 ∥ l2,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
l2 ∴AB=CD.
Ｂ
D
夹在两条平行线间的平行线段相等。
如图，l1 // l2, AB⊥l1，CD⊥l2. EF与GH 相等吗？请说明理由.
EG
l1
l2 F H
夹在两条平行线间的垂线段相等。垂线段EF的长度就是平行线l1、l2之间的距离
1
D
3
∴∠1=∠2, ∠3=∠4 .
4
B
又∵AD=BC(平行四边形的对边相等).
O 2 C
∴⊿AOD≌⊿COB（ASA）
∴OA=OC,OB=OD.
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
在 ABCD中， OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）
哪几种形状是平行四边形？你发现平行四边形有哪些性质？
平行四边形性质
两组对边分别相等两组对角分别相等
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
求证：∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA.
AB＝CD，BC＝DA.

平行四边形的判定定理

平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：对边平行且对角线相等。

在数学中，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。

方法一：利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以先利用对边平行的性质进行判断。

步骤：1.检查边AB和边CD是否平行。

2.检查边BC和边AD是否平行。

如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法二：利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以利用对角线相等的性质进行判断。

步骤：1.计算对角线AC的长度。

2.计算对角线BD的长度。

如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法三：利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，还可以利用对边比例相等的性质进行判断。

步骤：1.计算边AB与边CD的长度比（AB/CD）。

2.计算边BC与边AD的长度比（BC/AD）。

如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比，即AB/CD = BC/AD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。

方法四：利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，也可以利用四个角的性质进行判断。

步骤：1.检查角A与角C是否相等。

2.检查角B与角D是否相等。

如果角A与角C相等，并且角B与角D相等，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

总结通过以上四种方法，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。

可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定，以便快速准确地得出结论。

请注意，以上的判定定理仅适用于四边形，其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。

在实际应用中，合理选择合适的方法，结合几何定理，可以更好地解决相关问题。

希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。

平行四边形的判定定理

什么结论?
B
C
判定定理1:
A
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB＝CD,AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.
大家齐动手
• 将两根细木条AC、BD的中心重叠,用小钉绞
合在一起,用橡皮筋连接木条的顶点,做成
一个四边形ABCD,转动两根木条,它一直是
一个平行四边形吗?为什么?
(2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
作业布置：
1.课本第91页第5题.
2.继续探一探：你还能想出其他的平行四边行的判定方法吗？
板书设计
1、定义 2、性质 3、判定定理1 4、判定定理2
定理1的证明
例题
B
C
∴ AD∥BC .（同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的
四边形是平行四边形)
请ห้องสมุดไป่ตู้谈一谈
学习了本节课你有哪些收获？
1.知识：平行四边形的判定方法
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(定义) 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
从对角线来判定两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从角来判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2.方法：
(1)解决一个数学问题,常要通过“动手实践”---“ 猜想”---“验证猜想(证明)”---“得出结论”.
(2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
2.方法：
(1)解决一个数学问题,常要通过“动手实践”---“ 猜想”---“验证猜想(证明)”---“得出结论”.
互相平行的线段？

平行四边形全等的判定定理

平行四边形全等的判定定理平行四边形全等的判定定理是一个在几何学中非常重要且有指导意义的定理。

它不仅可以帮助我们判断两个平行四边形是否全等，还可以在解决实际问题时提供指导。

下面将详细介绍这个定理。

首先，让我们回顾一下平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它的特点是两边两对角线相等，而且对角线相交的内角相互补。

平行四边形的全等性质意味着当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，这两个平行四边形是全等的。

定理表述如下：如果两个平行四边形的对应边相等且对应角相等，则这两个平行四边形是全等的。

定理的证明可以通过使用平行四边形的定义以及其他几何性质来完成。

首先，我们可以使用平行四边形的定义来证明对应边相等。

根据定义，平行四边形的两对边是平行的，因此它们长度相等。

因此，如果两个平行四边形的对应边相等，那么它们具备了全等的第一条特征。

接下来，我们需要证明对应角相等。

根据平行四边形的定义，它的两对角线相等。

当两个平行四边形的两对角线相等时，它们对应的角也相等。

这可以通过使用角的补角性质来证明。

两个平行四边形具有相等的对角线，所以它们的内角必然相等。

因此，当两个平行四边形的对应角相等，它们符合全等的第二条特征。

综上所述，当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，它们是全等的。

这个定理对我们解决几何问题非常有指导意义。

在解决问题时，我们可以根据这个定理来判断两个平行四边形是否全等，从而得出问题的答案。

例如，我们可以利用这个定理来求解实际问题。

假设我们需要寻找一个与已知平行四边形全等的平行四边形。

我们可以通过观察已知平行四边形的边长和内角来寻找合适的构造。

根据定理，我们可以在平面上绘制一个与已知平行四边形的对应边相等且对应角相等的平行四边形。

这个新绘制的平行四边形与已知平行四边形就是全等的。

总而言之，平行四边形全等的判定定理是一个非常有用的几何定理。

它帮助我们判断两个平行四边形是否全等，并在解决实际问题时提供指导。

平行四边形的定义,性质与判定

平行四边形的定义、性质及判定
一
1.两组对边平行的四边形是平行四边形.
2.性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.对称性：平行四边形是中心对称图形.
二
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分 .
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三
1.平行四边形定义：在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。

2.平行四边形判定定理：两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

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四边形的性质和判定
一、平行四边形的性质和判定
（一）平行四边形性质：
1、平行四边形的两组对边平行且相等
2、平行四边形的两组对角相等,邻角互补
3、平行四边形的两条对角线互相平分
4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
（二）平行四边形的判定：
1、两组对边分别平行
2、两组对边分别相等
3、一组对边平行且相等
4、两条对角线互相平分5 两组对角分别相等以上五个条件均可判定一个四边形是平行四边形，都是平行四边形的判定定理。

二、菱形的性质和判定：
（一）菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等,邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角．
5、菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点也是轴对称图形，对称轴是两条对角线
（二）菱形的判定
三、矩形的性质和判定
（一）矩形的性质
1、从边看，矩形对边平行且相等。

2、从角看，矩形四个角都是直角。

3、从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。

4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
（二）矩形判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形
2.有三个角是直角的四边形是矩形
四、正方形的性质和判定
（一）正方形的性质
1、四边相等，四个角是直角
2、对角线相等、相互平分、相互垂直
3、既是中心对称图形又是轴对称图形
（二）正方形的判定
1、有一个角是直角的菱形是正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形
3、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
4、对角线相等的菱形是正方形
5、对角线相互垂直的矩形是正方形。