二元一次方程八年级

1 认识二元一次方程组1．二元一次方程(1)二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的概念，是说明一个方程是否为二元一次方程的理论依据，是研究二元一次方程组相关知识的基础．(2)二元一次方程必须满足以下四个条件：①是一个方程；②含有两个未知数；③所含未知数的项的次数都是1；④含有未知数的式子都是整式．【例1－1】 以下方程中，是二元一次方程的是( )． A ．7x －y ＝2z B ．xy ＝1C ．3x ＋2y ＝0D ．y ＝1x【例1－2】 已知方程x m ＋1＋y 2n －3＝－9是二元一次方程，求m ，n .2．二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数．(1)二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组；(2)方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一数量．【例2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，4x －1＝y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，y ＋z ＝3 C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝x 2＋y ，x －y ＝20D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，y ＝0 3．二元一次方程的解适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．一般地二元一次方程的解有无数个，例如x ＋y ＝2中，由于x ，y 只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．通常求二元一次方程的解的方法是：先用含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，如求二元一次方程2x －y ＝2的解，可先将其变形为y ＝2x －2，然后给出x 的一个值，就能对应地求出一个y 的值，这样得到的每一对x 与y 的对应值都是这个二元一次方程的解．由于二元一次方程中含有两个未知数，所以二元一次方程的一个解包含两个值，若把这两个未知数的值代入二元一次方程，则适合该方程．在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的一个值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此，二元一次方程有无数个解．【例3－1】 下列各组数： (1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2； (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6. 其中是方程4x ＋y ＝10的解的有( )．A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组【例3－2】 写出二元一次方程3x ＋y ＝9的所有正整数解．4．二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 我们常见的二元一次方程组有两种：(1)两个二元一次方程组成的二元一次方程组；(2)一个一元一次方程和一个二元一次方程组成的方程组．无论哪一种情形，方程组的解都指组成方程组的两个方程的公共解，一般常见的二元一次方程组有唯一解．但有个别方程组有无数多个解，如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＋y ＝2. (1)检验某一对数值是否是某个二元一次方程组的解的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每一个方程中，只有当这对数值满足所有的方程时，才能说它是方程组的解，若这对数值不满足其中一个方程，则它不是方程组的解．(2)二元一次方程组的解一定是方程组中的任何一个方程的解，而二元一次方程的解不一定是方程组的解． 【例4】 已知下列四对数值：①⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝43；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. (1)哪几对是方程2x －y ＝5的解？ (2)哪几对是方程x ＋3y ＝6的解？(3)哪几对是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝5，x ＋3y ＝6的解？5．正确理解二元一次方程与二元一次方程组的概念 (1)掌握二元一次方程的概念要注意以下三点： ①方程中含有两个未知数；②未知数的指数都是1.这里的指数为1指的是不含两个未知数乘积形式的单个未知数的指数； ③当方程中出现分数形式时，分母中不能含有未知数． (2)二元一次方程组包括三层含义：①方程组中相同的未知数在各个方程中所表示的意义相同；②方程组中一共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数； ③方程组中未知数的次数都是1次．【例5－1】 若方程(2m －6)x |n |－1＋(n ＋2)ym 2－8＝1是二元一次方程，则m ＝__________，n ＝__________.【例5－2】 下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －3z ＝7 B.⎩⎪⎨⎪⎧3x －xy ＝1，4x －5y ＝－2C.⎩⎨⎧x2＝－9，x 2＋y 3＝14D.⎩⎨⎧x ＋y2＝1，1x －y ＝－16．正确理解二元一次方程的解与二元一次方程组的解的概念(1)一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．任何一个二元一次方程的解都是一对数值，它有无数个解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是二元一次方程x ＋y ＝3的一个解．而单独的x ＝1或y ＝2不是方程x ＋y ＝3的解，只有把它们组合在一起，才可称为二元一次方程x ＋y ＝3的一个解．(2)理解“二元一次方程组的解”时应注意如下两点：①二元一次方程组的解是一对数．②要特别注意“公共解”，即这对数值必须满足方程组中的每一个方程．【例6－1】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( )．A ．1B ．3C ．－3D ．－1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－0.5是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －b ＝y ，5x －2a ＝2y 的解，求a ，b 的值．2 求解二元一次方程组1．用代入消元法解二元一次方程组(1)代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．(2)代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y ，用含x 的代数式表示出来，得y ＝ax ＋b .②代入：将y ＝ax ＋b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程． ③解元：解所得的一元一次方程，求出x 的值．④求值：把求得的x 的值代入y ＝ax ＋b 中，求出y 的值，从而得到方程组的解． ⑤把求得的x ，y 的值联立起来就是方程组的解．代入消元法是通过代入将“二元”变为“一元”的，体现了“转化”的思想方法．对于一般形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错，选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去．这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了．总之，用代入消元法解二元一次方程组时，一定要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易，这样不但避免错误，还能提高运算速度．【例1－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，2x ＋3y ＝7. ①②【例1－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝3，3x －8y ＝10.2．用加减消元法解二元一次方程组 (1)加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．(2)加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必须注意，在方程两边同乘以某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．【例2－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝4，①2x ＋5y ＝1.②【例2－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1， x ＋3y ＝4.①②3．灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组本节的重点是灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组，特别是在实际情景中的应用，难点是需变形的二元一次方程组的求解问题．【例3－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 4＝1，0.3x ＋0.4y ＝1.6.【例3－2】 解方程组：⎩⎨⎧y －2＝x －26－x －y 2，2x ＝x ＋2y 3＋2.4．换元法解二元一次方程组换元消元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，使复杂问题简单化，使问题变得容易处理．换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元法要注意变量之间的等价性，消元的实质是由繁到简、由难到易、由多(元)到少(元)的转化方法．【例4】 解方程组：⎩⎨⎧x ＋y 2＋x －y3＝13，x ＋y 3－x －y4＝3.5．整体思想解二元一次方程组整体思想：利用整体代入法或整体加减法解二元一次方程组可避繁就简、减少错误、简化运算． 如解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －2＝0， ①2x －3y ＋57＋2y ＝9.②通过观察两个方程都有2x －3y ，于是考虑整体代入②即可．由①得2x －3y ＝2，③ 把③代入②，得 2＋57＋2y ＝9.解得y ＝4. 把y ＝4代入①得2x －3×4－2＝0，解得x ＝7.故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4.【例5】 解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧6(x －y )－7(x ＋y )＝21，2(x －y )－5(x ＋y )＝－1.1.填空题(1)用代入法解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+46365y x y x 最为简单的方法是将_________式中的_________表示为_________，再代入_________式.(2)若方程3x －13y =－12的解也是x －3y =2的解，则x =_________,y =_________. (3)已知3b +2a =17,2a －b =－7,则a 2+b 2+4ab =_________. (4)已知｜4x －2y －3｜+(x +2y －7)2=0,则(x －y )2=_________.2.选择题(1)若方程组⎩⎨⎧-=-=+a y x y x 3962的解是一对相同的数，则a 的值为A.3B.4C.5D.6① ②。