五年级奥数---等积变换
奥数-等积变形
奥数-教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别课时学生姓名
授课主题三角形等积变形授课教师
教学目标理解和掌握三角形形状变化但是面积不变
教学
重难点
理解三角形形状变化但是面积不变
教学方法讲练结合
教学过程1、课程导入/错题讲解：
点
拨
教学过程2.知识点讲解
学
习
札
记
教学过程
3、例题分析：
1、如图所示三角形ABC，D为AC上一点，CD=2AD。
问：三角形ABC的面积是三角形
ADB的几倍？方法与技巧
2.如图平行四边形ABCD，E为AB中点，F为DB中点。
已知三角形BEF面积为4平方厘米，问：平行四边形ABCD面积是多少平方厘米？
教学过程4、随堂练习
小
提
本课小结
及下节预告。
小学奥数几何五大模型.pdf
（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A。
小学奥数五大模型详解，小升初必备，奥赛常考
小学奥数五大模型详解，小升初必备，奥赛常考
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
2、高相等的三角形，面积比等于它们的底之比；
3、底相等的三角形，面积比等于它们的高之比。
4、正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
5、一半模型，三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
二、共角定理（鸟头模型）
我们规定两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
这是一个关于任意四边形中面积和线段的关系(“蝴蝶定理”)：这个定理为我们提供了一个解决不规则四边形的面积问题的途
径．通过这个模型（或构造模型），可以将不规则四边形的面积与四边形内的三角形相联系在一起；也可以得到面积与相对应线段的比例关系。
四、相似模型
相似其实是初中的内容，相似三角形是指形状相同的三角形，小
学阶段我们通过面积相关知识得出与相似三角形部分定理如下：
1、相似三角形的对应线段成比例，并且这个比值等于相似比；
2、相似三角形的面积比等于它们相似比的平方，常用于这类型问题中直接计算面积。
五、燕尾定理
因为这个定理的图形像燕子而得名，这也是一个关于面积和线段
之间比例关系的定理
本文电子文档有需要的可以给我发私信“五大模型”。
五年级下册数学竞赛试题---14讲-图形-五大模型----全国通用(含答案)
五年下册奥数试题-图形-五大模型（一）姓名 得分【名师解析】一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型（共角定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如： 依次称之为A 字型鸟头、X 字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上。
则有：ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ⨯=⨯=⨯△△三、蝴蝶定理模型（风筝模型）（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型（沙漏模型）五、燕尾定理模型【例题精讲】例1、三角形ABC 中，BD 是DC 的2倍，AE 是EC 的3倍。
三角形DEC 的面积为3平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？EAD C B练习、在下图中，已知CF=2DF ，DE=EA ，△BCF 的面积为2，四边形BFDE 的面积为4，求△ABE 的面积。
FE DCB A例2、(1)在下图中，2AB BD AC CE ，，如果29ADE S cm ，求ABC S ？E D C BA练习、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．DEAB C例3、正方形ABCD 边长为6 厘米，BC CF AC AE 3131==，．三角形DEF 的面积为多少平方厘米？BD练习、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．SGFE D CB A例4、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩．问另一个长方形的面积是多少亩？练习、下图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影都分）长方形的面积。
小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转
小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．3、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
例题精讲【试题来源】【题目】三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。
小学奥数~三角形等积变形
小学奥数~三角形等积变形
如图一，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H，连接BD、GD、GH、。
已知AB＝4厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
题目解析：
连接DF、FC；
因为BD、CF分别为正方形ABCD和正方形ECGF对角线，所以BD//CF；
根据等高模型；
又因为三角形DHG与三角形DHF为同底等高三角形，所以面积相等；
同理，因为BD//CF；三角形BDF与三角形BDC为同底等高三角形，所以面积相等；
所以阴影面积为4×4÷2=8平方厘米。
知识点——三角形等积变形
三角形面积公式：底×高÷2
对于两个三角形，如果它们对应的底和高相等（如同底等高、等底等高），那么它们的面积也相等。
方法：三角形钉住其中两点，构造底边平行线，沿平行线移动另外一点，所得三角形面积相等。
（必要时可构造平行线)。
再战
如下图，有三个正方形并排安置，并且它们的顶点D、G、K三点恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB边长是8厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？。
5年级等积变形
等积变形有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。
同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一：。
思维探索例1：你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为AB的面积是多少？如果△AC的面积是,那么AAB的面积是多少?如图，已知是BC的中点，是C的中点，是AC的中点。
已知三角形的面积是平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？A思维探索例：（平行线间的等积变形）如下图，△和厶夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△和厶的面积关系是怎样的？结论拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等例：如图，在梯形中共有个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？即学即练如下图，在梯形A中，梯形A的面积是，AA的面积融会贯通例：如图，在直角三角形A中，D、E分别是A、A的中点，如果△AED的面积是即学即练如下图，在AA中，D、E是所在边的中点，如果AA的面积是,那么△DE的面积是多少？例：如图，A和DE都是长方形，A的长是厘米，的长是厘米。
那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？即学即练在边长为厘米的正方形中有一点，将点分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。
练习册知识导航一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（）等底等高的两个三角形面积相等；（）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行精彩文档如图, 是直角的直线上，这两个三角形面积相等；（）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
小学奥数——三角形的等积变形(附答案)
小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）3，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方跑如右圏，将EC边四尊分（EDJEPAFC詁玩）・连结AD、AL. AF.则△AED. “ADE、ZXAEF. AAF洋积.方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC等积.然后取AC AB中点E、F,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ADF △ BDF △DCE △ ADE等积.方法如右耳先将EC四等分，即BD=yBC,连结AD,再将AD三等分，即AE二EF = FD二扣，连结CE* CF,从而得到四个等积的三诵形,即公ABD< ACDF, △CEE △ACE等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.方法1 :如下左图，将BC边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E,连结AD AE,从而得到厶ABD△ ADE △ AEC的面积比为1 : 3 : 4.方法厶如上右图，先取EC中点D再取AE的+分点E,连结AD*DE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD其面积比为1 : 3 : 4.方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：4 +当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.证明：•••△DBC等底等高，••• S A ABC=S\ DBC又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOCS △DOC=^ DBC- S A BOC• S A AOB=S\ COD例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A'。
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第二十一讲等积变换
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加（或减少）同一个数,它们的差不变.前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位:厘米）重叠在一起,求阴影部分的面积。
解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.
直角梯形OEFC的上底为10—3=7(厘米）,面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
答：阴影部分的面积是17厘米2。
例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积.
解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50（厘米2)。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.
例题3：在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米,BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
解：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2.
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），
三角形ECB面积=36—18=18（厘米2），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2(厘米）。
答：ED的长2厘米。
例4：下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
解法一：连结B,E（见左下图）。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF 的面积之差。
所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3.
解法二：连结C，F（见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差.所求为4×（10—7）÷2—2×（10—7)÷2=3。
答：三角形BCO与三角形EFO的面积之差是3。
例题5：左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积.
解：连结AD(见右上图），三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等.
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等.根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8（厘米2）。
答：三角形ABC的面积是8厘米2。
练习
1、下左图中，已知BD长是10，DC长是15，E是AD的中点，如果三角形ABD的面积是100，三角形DEC的面积是多少?
2、上右图中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中
点,AE的长是ED的长的2倍，那么三角形CDE的面积是多少平方厘米?
3、如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几倍.
4、如图，三角形BDE的面积是54平方厘米,三角形ABC是平行四边形CDEF面积的3倍，求三角形ABC的面积。
5、下图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影
部分的面积是多少平方厘米。
6、如图，四边形ABCD中，E为AB的中点，F为CD
的中点。
如果四边形ABCD的面积是120平方厘米，求
四边形BEDF的面积是多少？
7、左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF,组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等,那么扇形所在的圆的面积是多少?
8、右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
9、左下图中,扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3。
44厘米2。
求直角梯形ABCD的面积。
（π=3。
14）
10、在右上图的三角形中,D，E分别是所在边的中点,求四边形ADFE 的面积。
11、下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
12、右上图中,CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。
13、如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，AE=ED，BD=BC，求阴影部分的面积和。