济南天桥区2022—2023 学年第一学期九年级期末测试数学试题(含答案)
山东省济南市天桥区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1.下列几何体中，主视图是三角形的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可．【详解】解：A 、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B 、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C 、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D 、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；故选C ．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图．2.点()1,3M 在反比例函数k y x =的图像上，则k 的值为（ ） A. 1-B. 3C. 3-D. 13【答案】B【解析】【分析】 把点M 代入反比例函数k y x=中，即可解得K 的值. 【详解】解：∵点()1,3M 在反比例函数k y x=的图像上， ∴31k =，解得k=3. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.3.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为()A. 12B.34C.13D.23【答案】B【解析】【分析】直接利用概率公式求解；【详解】解：从袋中摸出一个球是红球的概率33 314 ==+；故选B．【点睛】考查了概率的公式，解题的关键是牢记概率的的求法．4.抛物线y=（x+1）2+2的顶点（）A. （﹣1，2）B. （2，1）C. （1，2）D. （﹣1，﹣2）【答案】A【解析】【分析】由抛物线顶点坐标公式[]y=a（x﹣h）2+k中顶点坐标为（h，k）]进行求解．【详解】解：∵y=（x+1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，2），故选A．【点睛】考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．5.如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若AB1BC2=，则EFDF=（）A. 13B.12C.23D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到DEEF=ABBC=12，根据比例性质得DFEF=32，于是得到EFDF=23．【详解】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC=12，∴DFEF=32，∴EFDF=23．故选C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为（）A. 35B.45C.13D.43【答案】D【解析】【分析】由三角函数定义即可得出答案．【详解】如图所示：由图可得：AD =3，CD =4，∴tan A 43CD AD ==． 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形．构造直角三角形是解答本题的关键．7.如图，BC 是O e 的直径，A ，D 是O e 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A. 20︒B. 70︒C. 30︒D. 90︒【答案】A【解析】【分析】 连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O e 直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．8.若一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A. 2B. 2±C. 8±D. ±【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆=，即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，∴24120m ∆=-⨯⨯=，解得：m =±故选择：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值. 9.如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm ，已知臂长60cm ，则电线杆的高度为（ ∥A. 2.4mB. 24mC. 0.6mD. 6m【答案】D【解析】 试题解析：作AN ⊥EF 于N ，交BC 于M∥∵BC∥EF∥∴AM⊥BC于M∥∴△ABC∽△AEF∥∴BC AM EF AN＝∥∵AM=0.6∥AN=30∥BC=0.12∥∴EF=•0.12300.6BC ANAM⨯==6m∥故选D∥10.关于反比例函数2yx=，下列说法不正确的是（）A. 函数图象分别位于第一、第三象限B. 当x＞0时，y随x的增大而减小C. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2D. 函数图象经过点（1，2）【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C进行判断．【详解】A．k=2＞0，则双曲线2yx=的两支分别位于第一、第三象限，所以A选项的说法正确；B．当x＞0时，y随着x的增大而减小，所以B选项的说法正确；C．若x1＜0，x2＞0，则y2＞y1，所以C选项的说法错误；D．把x=1代入2yx=得y=2，则点（1，2）在2yx=的图象上，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数kyx=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．11.某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AEDADAE=，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．∵AB⊥BC，EF∥BC，∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．∵∠AEF=143°，∴∠AED=37°．在Rt△ADE中，∵sin∠AEDADAE=，AE=1.2米，∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．12.如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，-1），C （2，2），抛物线y =ax 2（a ≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A 1a ≤- 或 2a ≥B. 10a -≤< 或 02a <≤C. 10a -≤< 或112a <≤ D. 122a ≤≤ 【答案】B【解析】试题解析：如图所示：分两种情况进行讨论：.当0a >时，抛物线2y ax =经过点()1,2A 时，2,a =抛物线的开口最小，a 取得最大值2.抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：0 2.a <≤当0a <时，抛物线2y ax =经过点()1,1B -时，1,a =-抛物线的开口最小，a 取得最小值 1.-抛物线2y ax =经过△ABC 区域（包括边界），a 的取值范围是：10.a -≤<故选B.点睛：二次函数()20,y ax bx c a =++≠ 二次项系数a 决定了抛物线开口的方向和开口的大小， 0,a >开口向上，0,a <开口向下.a 的绝对值越大，开口越小.二．填空题（共6小题）13.已知二次函数y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大．【解析】【分析】根据二次函数的增减性可求得答案【详解】∵二次函数y=x 2的对称轴是y 轴，开口方向向上，∴当y 随x 的增大而增大∥故答案为增大.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.14.如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是_____．【答案】16．【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4BC=4×4=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解答本题的关键．15.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______．【答案】30【解析】【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．【详解】解：根据题意得9n∥30%∥解得n∥30∥所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为30∥【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．16.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且43OEEA=，则FGBC=______∥【答案】4 7【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】Q四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE4 EA3=∥OE4 OA7∴=∥则FG OE4 BC OA7==∥故答案为4 7∥【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.17.如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，若这个等边三角形的边长为3，那么勒洛三角形（曲边三角形）的周长为_____．【答案】3π．【解析】【分析】利用弧长公式计算．【详解】曲边三角形的周长=3603180π⨯⨯⨯=3π．故答案为：3π．【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：l 180n R π⋅⋅=(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R )．也考查了等边三角形的性质． 18.已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过G 作GE ⊥AD 于点E ，若AB ＝2，且∠1＝∠2，则下列结论中一定成立的是_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）．∥DF ⊥AB ；∥CG ＝2GA ；∥CG ＝DF +GE ；∥S 四边形BFGC ﹣1．【答案】∥∥∥【解析】【分析】①由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD =∠2，得出AG =GD ，AE =ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG =∠AEG =90°，即可得出①正确；②由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD =BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC =∠1=∠2=30°，由AC =2AB •cos ∠BAC ，AG AF cos BAC =∠，求出AC ，AG ，即可得出②正确；③由勾股定理求出DF =GE =tan ∠2•ED 求出GE ，即可得出③正确；④由S 四边形BFGC =S △ABC ﹣S △AGF 求出数值，即可得出④不正确．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠F AG =∠EAG ，AB =AD ，BC ∥AD ，∴∠1=∠GAD ．∵∠1=∠2，∴∠GAD =∠2，∴AG =GD ．∵GE ⊥AD ，∴GE 垂直平分AD ，∴AE =ED ．∵F为边AB的中点，∴AF=AE，在△AFG和△AEG中，∵AF AEFAG EAG AG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG≌△AEG(SAS)，∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，∴①正确；连接BD交AC于点O．∵DF⊥AB，F为边AB的中点，∴AF12=AB=1，AD=BD．∵AB=AD，∴AD=BD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAC=∠1=∠2=30°，∴AC=2AO=2AB•cos∠BAC=2×2=，AGAFcos BAC===∠，∴CG=AC﹣AG=，∴CG=2GA，∴②正确；∵GE垂直平分AD，∴ED12=AD=1，由勾股定理得：DF ===GE =tan ∠2•ED =tan30°×1=，∴DF +GE 33===CG ， ∴③正确； ∵∠BAC =∠1=30°，∴△ABC 的边AC 上的高等于AB 的一半，即为1，FG 12=AG =，S 四边形BFGC =S △ABC ﹣S △AGF 12=⨯112-⨯1== ∴④不正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．三．解答题（共9小题）19.计算：|﹣1|+2sin30°﹣（π﹣3.14）0+（12）﹣1 【答案】3【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【详解】原式=1+212⨯-1+2=3． 【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AE，交CD于点F，求证：AB：CE＝BE：CF．【答案】详见解析【解析】【分析】证明△AEB∽△EFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．【详解】∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，∴∠AEB=∠EFC，∴△AEB∽△EFC，∴AB BE CE CF=，即AB：CE=BE：CF【点睛】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．21.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.【答案】【解析】【分析】要求AB和BC，由已知∠B、∠C为特殊角，故可构造直角三角形来辅助求解.过点A作AD⊥BC于D，首先在Rt△ACD中求出CD和AD，然后在Rt△ABD中求出BD和AB，从而BC=BD+DC可求.【详解】解：作三角形的高AD.在Rt △ACD 中,∠ACD=45°,AC=2,∴在Rt △ABD 中,∠，∴BD= 30AD tan =︒AB= 30AD sin =︒∴.故答案为,【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值.22.某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m 的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m ，满足条件的花园面积能达到120m 2吗？若能，求出此时BC 的值；若不能，说明理由．【答案】花园的面积能达到120m 2，此时BC 的值为12m ．【解析】【分析】设AB =xm ，则BC =(32﹣2x )m ，根据矩形的面积公式结合花园面积为120m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，结合墙的长度可确定x 的值，进而可得出BC 的长度．【详解】设AB =xm ，则BC =(32﹣2x )m ，依题意，得：x (32﹣2x )=120，整理，得：x 2﹣16x +60=0，解得：x 1=6，x 2=10．∵32﹣2x ≤16，∴x ≥8，∴x =10，32﹣2x =12．答：花园的面积能达到120m 2，此时BC 的值为12m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 23.在一个不透明的布袋里装有4个标有1∥2∥3∥4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x ，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y ，这样确定了点M 的坐标()x,y()1画树状图列表，写出点M 所有可能的坐标；()2求点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率．【答案】()1见解析；()124∥ 【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找出点(x∥y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】()1画树状图得：共有12种等可能的结果()1,2∥()1,3∥()1,4∥()2,1∥()2,3∥()2,4∥()3,1∥()3,2∥()3,4∥()4,1∥()4,2∥()4,3∥()2Q 在所有12种等可能结果中，在函数y x 1=+的图象上的有()1,2∥()2,3∥()3,4这3种结果， ∴点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率为31124=∥ 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图，CD 是∥O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上．（1）求证：∠A ＝∠BDC ；（2）若BD AD ＝23，AC ＝3，求CD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）要证明∠A =∠BDC ，只要求出∠ODC =∠BDA 即可，根据题目中条件，不难得到∠ODC =∠BDA =90°，∠ODB =∠OBD ，从而可以证明结论成立；（2）要求CD 的长，只要证明△CDB ∽△CAD 即可，然后根据23BD AD =，AC =3，即可求得CD 的长． 【详解】（1）连接OD ．∵CD 是⊙O 的切线，点C 在直径AB 的延长线上，∴∠ODC =90°，∠BDA =90°，OB =OD ，∴∠ODB +∠BDC =90°，∠OBD +∠A =90°，∠ODB =∠OBD ，∴∠A =∠BDC ；（2）∵∠DCB =∠ACD ，∠BDC =∠DAC ，∴△CDB ∽△CAD ， ∴BD CD DA CA=， ∵23BD AD =，AC =3， ∴233CD =， ∴CD =2，即CD 的长是2．的【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y x b =-+的图像与函数k y x=(x ＜0)的图像相交于点A (﹣1，6)，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，△ODC 与△OAC 的面积比为2：3．（1）k ＝ ，b ＝ ；（2）求点D 的坐标；（3）若将△ODC 绕点O 逆时针旋转，得到△OD′C′，其中点D ′落在x 轴负半轴上，判断点C′是否落在函数k y x=(x ＜0)的图像上，并说明理由．【答案】（1）65-，；（2）点D 的坐标为()14，；（3）点C '不在函数6y x=-的图像上.理由见解析. 【解析】【分析】 （1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x+b 可求出b 的值；将A （﹣1，6）代入y ＝k x可求出k 的值； （2）过点D 作DM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A 作AN ⊥x 轴，垂足为N ，由△ODC 与△OAC 的面积比为2：3，可推出23DM AN =，由点A 的坐标可知AN ＝6，进一步求出DM ＝4，即为点D 的纵坐标，把y ＝4代入y ＝﹣x+5中，可求出点D 坐标；（3）过点C'作C'G ⊥x 轴，垂足为G ，由题意可知，OD'＝OD =由旋转可知S △ODC＝S △OD'C'，可求出C'G ，在Rt △OC'G 中，通过勾股定理求出OG 的长度，即可写出点C'的坐标，将其坐标代入y ＝﹣6x 可知没有落在函数y ＝k x（x ＜0）的图象上． 【详解】（1）将A （﹣1，6）代入y ＝﹣x+b∥∥6=-(-1)+b,∥∥b=5；将A （﹣1，6）代入y ＝k x ,得6＝1k -，解得k=-6 故答案为65-，； （2）如图1，过点D 用DM x ⊥轴，垂足为M ，过点A 作AN x ⊥轴，垂足为N . 因为122132ODC OAC OC DM S S OC AN ∆∆⋅==⋅， 所以23DM AN =. 又因为点A 的坐标为()16-，，所以6AN =， 所以4DM =，即点D 的纵坐标为4.把4y =代入5y x =-+中得1x =.所以点D 的坐标为()14，.（3）由题意可知，OD OD '===如图2，经过点C '作C G x '⊥轴，垂足为G ，因为ODC ODC S S '=V V ，所以OC DM OD C G ''⋅=⋅，即54G '⨯=，所以C G '= 在Rt OC G 'V中，因为OG ===，所以点C '的坐标为⎛ ⎝.因为6⎛≠- ⎝，所以点C '不在函数6y x =-的图像上.【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．26.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 是BC 边上一点，且BD ＝CD ，G 是BC 边上的一动点，GE ∥AD 分别交直线AC ，AB 于F ，E 两点．（1）AD ＝ ；（2）如图1，当GF ＝1时，求GE AD的值； （3）如图2，随点G 位置的改变，FG +EG 是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．【答案】（1）AD （2）105；（3）FG +EG 是一个定值，为． 【解析】【分析】 （1）先由勾股定理求出BC 的长，再由直角三角形斜边中线的性质可求出AD 的长；（2）先证FG =CG =1，通过BD =CD 12=BC =AD =BG 的长，再证△BGE ∽△BDA ，利用相似三角形的性质可求出GE AD的值；（3）由（2）知FG =CG ，再证EG =BG ，即可证FG +EG =BC【详解】（1）∵∠BAC =90°，且BD =CD ，∴AD 12=BC ．∵BC ==∴AD 12=⨯=（2）如图1．∵GF ∥AD ，∴∠CFG =∠CAD ．∵BD =CD 12=BC =AD = ∴∠CAD =∠C ，∴∠CFG =∠C ，∴CG =FG =1，∴BG 1．∵AD ∥GE ，∴△BGE ∽△BDA ，∴105EG BG AD BD ===； （3）如图2，随点G 位置的改变，FG +EG 是一个定值．理由如下：∵AD 12=BC =BD ， ∴∠B =∠BAD ．∵AD ∥EG ，∴∠BAD =∠E ，∴∠B =∠E ，∴EG=BG，由（2）知，GF=GC，∴EG+FG=BG+CG=BC，∴FG+EG是一个定值，为【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．27.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2+6x+5；(2)①S△PBC的最大值为278；②存在，点P的坐标为P(﹣32，﹣74)或(0，5)．【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求出二次函数解析式；(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y＝x+1，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，利用三角形面积公式求出最大值即可；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，求出线段BC的中点坐标为(﹣52，﹣32)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，求出直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，、联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝1 2x﹣1…⑤，联立⑤和y＝x2+6x+5并解得：x＝﹣32，即可求出P点；当点P(P′)在直线BC上方时，根据∠PBC＝∠BCD求出BP′∥CD，求出直线BP′的表达式为：y＝2x+5，联立y＝x2+6x+5和y＝2x+5，求出x，即可求出P.【详解】解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：25550 16453a ba b-+=⎧⎨-+=-⎩，解得：16 ab=⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C(﹣1，0)；(2)①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G(t，t+1)，则点P(t，t2+6t+5)，S△PBC＝12PG(x C﹣x B)＝32(t+1﹣t2﹣6t﹣5)＝﹣32t2﹣152t﹣6，∵-32＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣52时，其最大值为278；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为(﹣52，﹣32)，过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点(﹣52，﹣32)代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H(﹣2，﹣2)，同理可得直线BH的表达式为：y＝12x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣32或﹣4(舍去﹣4)，故点P(﹣32，﹣74)；当点P(P′)在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4(舍去﹣4)，故点P(0，5)；故点P的坐标为P(﹣32，﹣74)或(0，5)．【点睛】本题考查是二次函数，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 的。
2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷1.下列四个几何体中，左视图为圆的是()A. B. C. D.2.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点P(3,2)，则下列各点在这个函数图象上的是()A. (−3,−2)B. (3,−2)C. (2,−3)D. (−2,3)3.不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是()A. 13B. 23C. 29D. 494.下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对边相等且平行5.如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB=60°，则∠ACB等于()A. 25°B. 30°C. 45°D. 60°6.如图，在△ABC中，∠A=90°，若AB=8，AC=6，则sin C的值为()A. 43B. 34C. 35D. 457.已知抛物线y=−(x−1)2+2，则下列是该抛物线对称轴的是()A. 直线x=−1B. 直线x=1C. 直线x=−2D. 直线x=28.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()A. √5B. 4√3C. 4√5D. 209.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB=3m，BC=7m，则建筑物CD的高是()A. 3.5mB. 4mC. 4.5mD. 5m10.原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图)，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为()A. (30+2x)(20+2x)=1200B. (30+x)(20+x)=1200C. (30−2x)(20−2x)=600D. (30+x)(20+x)=60011.如图，点P为反比例函数y=2上的一个动点，作PD⊥x轴于x点D，如果△POD的面积为m，则一次函数y=−mx−1的图象为()A.B.C.D.12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；②a−b+c>1；③abc>0；④4a−2b+c<0.正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 413.一元二次方程x2−4x=0的解是______．14.圆内接正十边形中心角的度数为______度．15.若点(−2,y1)和(√3,y2)在函数y=x2的图象上，则y1______y2(填“>”、“<”或“=”)．16.某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD=20米，则立柱BC的高为______米．(结果保留根号)17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为______(结果保留π)．18.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△.在以上4个结论中，其中一定成立GDE∽BEF；④S△BEF=725的是______(把所有正确结论的序号都填在横线上))−1−20210−√4．19.计算：4sin30°+(1220.解方程：x2−6x+5=0(配方法)21.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE=BF．22.共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AD=4，cos∠CAB=2，求AB的长．324.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？25.如图，一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=k的图象相交于A(2,8)，B(8,2)两点，x连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．(1)求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；(2)当y1<y2，时，直接写出自变量x的取值范围为______ ；S△AOB时，请直接写出点P的坐标为______ ．(3)点P是x轴上一点，当S△PAC=4526.(1)如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．填空：①请写出图1中的一对全等三角形：______；②线段AD，BE之间的数量关系为______；③∠AFB的度数为______．(2)如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，AB=5，AE=3，当点B在线段ED的延长线上时，求线段BD和CE的长度．x2+bx+c过点C(0,2)，交x轴于点A(−6,0)和点B，抛27.如图，已知抛物线y=−16物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．(1)求抛物线的表达式：(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，直接写出点M坐标；(3)点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处，求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，故选：D．四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．2.【答案】A(k≠0)的图象经过点P(3,2)，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k=3×2=6．A、−3×(−2)=6；B、3×(−2)=−6；C、2×(−3)=−6；D、−2×3=−6．故选：A．由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3.【答案】B【解析】解：∵一个不透明的布袋中装有1个红球和2个白球，∴共有1+2=3个，∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为2；3故选：B．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.【答案】C【解析】解：A.因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B.因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C.因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D.因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．5.【答案】B【解析】解：∵AB⏜=AB⏜，∴∠ACB=12∠AOB，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，故选：B．根据圆周角定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=√AB2+AC2=√62+82=10，所以sinC=ABBC =810=45，故选：D．根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数得出答案．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2+2，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，故选：B．根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理解答．根据菱形的性质和勾股定理解答即可．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，∴AB=√22+12=√5，∵四边形ABCD是菱形，∴菱形的周长为4√5．故选：C．9.【答案】D【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB//DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC =BECD，∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m，∴AC=AB+BC=10m，∴310=1.5DC，解得，DC=5，即建筑物CD的高是5m，故选：D．根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】A【解析】解：依题意，得(30+2x)(20+2x)−30×20=30×20，即(30+2x)(20+2x)=1200．故选：A．由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及一元二次方程的一般式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵PD⊥x轴于点D，S△POD=m，∴m=|2|=1，2∴一次函数为：y=−x−1，∵k<0，b=−1，∴一次函数图象经过二、三、四象限，故D选项符合题意．故选：D．由反比例函数的比例系数k的几何意义求出m的值，再结合一次函数图象与系数的关系判断图象．本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义和一次函数图象与系数之间的关系“k< 0，b<0，一次函数图象经过二三四象限”．12.【答案】C【解析】解：∵函数开口方向向下，a<0，=−1，∵对称轴为x=−1，则−b2a∴b=2a<0，∵与y轴交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc>0，故③正确；当x=−1时，y=a−b+c>1，即a−b+c>1，故②正确；当x=1时，y=a+b+c<0，故①正确；由抛物线的对称性可知，当x=−2与x=0时y值相同，此时y=4a−2b+c>0，故④错误．综上，正确的个数有三个．故选：C．该函数开口方向向下，则a<0，由对称轴可知，b=2a<0，与y轴交点在y轴正半轴，则c>0，再根据一些特殊点，比如x=1，x=0，顶点等进行判断即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；当|a|越大时，抛物线开口越小，反之，则越大；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)．13.【答案】x1=0，x2=4【解析】解：由原方程，得x(x−4)=0，解得x1=0，x2=4．故答案是：x1=0，x2=4．通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．14.【答案】36=36°，【解析】解：正十边形中心角的度数=360°10故答案为：36．根据正多边形的中心角的定义解决问题即可．本题考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】>【解析】解：由函数y=x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴，∵点(−2,y1)到y轴的距离比点(√3,y2)到y轴的距离远，∴y1>y2，故答案为>．可先求二次函数y=x2的对称轴为y轴，根据两点到y轴的距离的大小即可判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16.【答案】10√3【解析】解：∵∠BDC=60°，∠A=30°，∴∠ABD=60°−30°=30°，∴∠ABD=∠A，∴BD=AD=20(米)，，在Rt△BDC中，sin∠BDC=BCBD则BC=BD⋅sin∠BDC=10√3(米)，故答案为：10√3．根据三角形的外角性质求出∠ABD，根据等腰三角形的判定定理求出BD，根据正弦的定义计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17.【答案】52π−4【解析】解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=12π×4+12π×1−4×2÷2=52π−4．图中阴影部分的面积为两个半圆的面积−三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积−三角形的面积．18.【答案】①②④【解析】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12−x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：(x+6)2=62+(12−x)2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=12×6×8=24，S△BEF=EFEG⋅S△GBE=610×24=725，④正确；故答案为：①，②，④．根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．+2−1−219.【答案】解：原式=4×12=2+2−1−2=1．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、算术平方根、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：由原方程移项，得x2−6x=−5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32.得x2−6x+32=−5+32，即(x−3)2=4，∴x=3±2，∴原方程的解是：x1=5，x2=1．【解析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，AD//BC，∴∠EDO=∠FBO，在△DOE和△BOF中，{∠EDO=∠FBO DO=BO∠EOD=∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴DE=BF．【解析】利用平行四边形的性质得出BO=DO，AD//BC，进而得出∠EDO=∠FBO，再利用ASA求出△DOE≌△BOF即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．22.【答案】14【解析】解：(1)∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，故答案为：14；(2)画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=212=16．(1)根据概率公式直接得出答案；(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】(1)证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴∠DAC=∠ACO，∴AD//OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线；(2)解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∴cos∠CAD=cos∠CAB=23，在Rt△ACD中，AD=4，∴ADAC =23，∴AC=6，在Rt△ABC中，ACAB =23，∴AB=9．【解析】(1)连接OC.只要证明OC⊥DE即可解决问题；(2)连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定．24.【答案】解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000(1+x)2=24200解得x 1=−2(舍去)，x 2=0.1=10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．(2)24200(1+0.1)=26620(个)．答：预计4月份平均日产量为26620个．【解析】(1)根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；(2)结合(1)按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量．本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．25.【答案】x >8或0<x <2 P(3,0)或P(−3,0)【解析】解：(1)将A(2,8)，B(8,2)代入y =ax +b得{2a +b =88a +b =2， 解得{a =−1b =10， ∴一次函数为y =−x +10，将A(2,8)代入y 2=k x 得8=k 2，解得k =16，∴反比例函数的解析式为y =16x ；(2)由图象可知，当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围为：x >8或0<x <2， 故答案为x >8或0<x <2；(3)由题意可知OA =OC ，∴S △APC =2S △AOP ，把y =0代入y 1=−x +10得，0=−x +10，解得x =10，∴D(10,0)，∴S △AOB =S △AOD −S △BOD =12×10×8−12×10×2=30，∵S △PAC =45S △AOB =45×30=24，∴2S △AOP =24，∴2×12OP ×y A =24，即2×12OP ×8=24，∴OP=3，∴P(3,0)或P(−3,0)，故答案为P(3,0)或P(−3,0)．(1)由待定系数法即可得到结论；(2)根据图象中的信息即可得到结论；(3)先求得D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD−S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC=45S△AOB=24，根据中心对称的性质得出OA=OC，即可得到S△APC=2S△AOP，从而得到2×12OP×8=24，求得OP，即可求得P的坐标．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．26.【答案】△CAD≌△CBE AD=BE60°【解析】(1)如图1，∵△ABC和△DEC均为等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ABC和△DEC中，{CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CBE+∠F=∠CAD+∠ACB，∴∠F=∠ACB=60°，故答案为：①△ABC≌△DEC；②AD=BE；③60°；(2)∠AFB=45°，AD=√2BE.理由如下：如图2，∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，∴ACCB =CDCE=√2，∠ACB=∠DCE=45°，∴∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE，即：∠ACD=∠BCE，∵ACCB =CDCE，∴△ACD∽△BCE，∴∠CAD=∠CBE，ADBE =ACCB=√2，∴AD=√2BE，∵∠CAD+∠ACB=∠CBE+∠AFB，∴∠AFB=∠ACB=45°；(3)如图3，∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，AB=5，AE=3，∴BE=√AB2−AE2=√52−32=4，DEAE=tan∠DAE=tan30°=√33，∴DE=√33AE=√33×3=√3，∴BD=BE−DE=4−√3，∵∠BAC=∠DAE=30°，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵AEAD =ACAB=cos30°，∴AEAC =ADAB，∴△BAD∽△CAE，∴CEBD =ACAB=cos30°=√32，∴CE=√32BD=√32×(4−√3)=2√3−32．(1)根据△ABC和△DEC均为等边三角形，运用等边三角形性质证明△ABC≌△DEC，再利用全等三角形性质即可得到答案；(2)先根据△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，证明△ACD∽△BCE，可得∠CAD=∠CBE，ADBE =ACCB=√2，即可得到结论；(3)先利用勾股定理求得BE，再应用三角函数定义可求得DE，由BD=BE−DE即可求得BD，再证明△BAD∽△CAE，应用相似三角形性质即可求出CE．本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质，特殊角三角函数值，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．27.【答案】解：(1)把点A、C代入解析式得：{2=c0=−16×(−6)2−6b+c，解得{b=−23c=2，∴y=−16x2−23x+2；(2)∵y=−16x2−23x+2=−16(x+2)2+83，∴抛物线的对称轴为x=−2，设M(−2,y)，若ME=MC，则y2=22+(y−2)2，解得y=2，∴M(−2,2)，若MC=EC，则22+22=22+(y−2)2，解得y=0(舍)或y=4，∴M(−2,4)，若ME=CE，则y2=22+22，解得y=−2√2或y=2√2，∴M(−2,−2√2)或M(−2,2√2)，综上，M的坐标为(−2,2)或(−2,4)或(−2,−2√2)或M(−2,2√2)；(3)作P′H//x轴交ED的延长线与H，作PK⊥x轴于点K，∵OE=OC=2，∴∠OEC=∠CED=45°，又∵∠CEP′=∠CEP ，∴∠P′EH =∠PEK ，在△PKE 和△P′HE 中，{∠PKE =∠P′HE ∠PEK =∠P′EH EP =EP′，∴△PKE≌△P′HE(AAS)，∴PK =P′H ，KE =EH ，设P(x,−16x 2−23x +2)，则P′(−16x 2−23x,x +2)，∵A(−6,0)，D(−2,83)，∴直线AD 的解析式为y =23x +4，∴x +2=23(−16x 2−23x)+4， 解得x =−13−√2412或x =−13+√2412，∴点P 的横坐标为−13−√2412或−13+√2412． 【解析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)先设出点M 的坐标，然后分ME =MC 、ME =CE 、MC =CE 三种情况讨论即可；(3)先设出点P 的坐标，作辅助线构造△P′HE≌△PKE ，然后表示出点P′的坐标，代入直线AD 的解析式，即可求出P 的横坐标．本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求出抛物线的解析式，从而求出顶点的坐标和x 轴的交点，当出现对称问题时，一般考虑全等三角形．。
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是()A.B.C.D.2.已知，则的值为()A. B. C. D.3.已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是()A. B. C. D.4.抛物线的顶点坐标是()A. B. C. D.5.在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有()A.10个B.11个C.12个D.13个6.如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为()A.1B.C.D.7.如图，C，D是上直径AB两侧的两点，设，则()A.B.C.D.8.如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，则木杆AB在x轴上的投影长为()A.3B.5C.6D.79.一次函数与反比例函数为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是()A. B.C. D.10.已知二次函数其中x是自变量，当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为()A. B.C.或D.或二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若是锐角，，则______度．12.如图，与位似，点O为位似中心，已知OA：3，的面积为2，则的面积为______.13.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，若的面积等于3，则k的值为______.14.如图抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为______.15.如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得，恰好都经过圆心O，折C痕为AB，BC，则阴影部分的面积为______16.如图，，，以AC为斜边在AC的右侧作，其中，当BD长度最大时，点D到BC的距离是______.三、解答题：本题共10小题，共86分。
2022-2023学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图所示的几何体中，主视图与左视图均是三角形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），那么k是（）A．7B．10C．12D．﹣123．（4分）若＝，则下列式子正确的是（）A．＝7B．＝C．＝4D．＝4．（4分）已知：如图，AB∥CD∥EF，BD：DF＝3：5，AC＝6，则CE＝（）A．8B．9C．10D．115．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（）A．y＝（x﹣1）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+2）2+6D．y＝（x﹣4）2+6 6．（4分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．7．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．140°8．（4分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．19．（4分）如图，在矩形ABCD中，，BC＝1，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．（4分）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线y＝ax（x﹣4）+m（a≠0）与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左侧），MN＝2，线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有6个整点，求a的取值范围．则（）A．3≤a＜4B．﹣4＜a≤﹣3C．﹣4＜a≤﹣3或3≤a＜4D．﹣4＜a＜﹣3或3≤a＜4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是．12．（4分）如图，点P（a，5）在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于H，tan∠POH ＝，则k的值为．13．（4分）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交，若∠ACD＝60°，则∠BAD的大小是．14．（4分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、O、D都在格点上，点O是△ABO和△DCO的位似中心，则△ABO与△DCO的周长比为．15．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图，以下结论：①abc＞0；②当x＝﹣1时，函数有最大值；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3；④2a+b＝0．其中正确的有个．16．（4分）如图，已知正方形ABCD，延长AB至点E使BE＝AB，连接CE，DE，DE与BC交于点N，取CE得中点F，连接BF，AF，AF交于BC于点M，交DE于点O，则下列结论：①DN＝EN；②OA＝4OF；③tan∠CED＝；④4S四边形BEFM＝11S△CMF．其中正确的结论有（填序号）．三、解答题（共86分.）17．（6分）计算：．18．（6分）利用标杆在太阳光下的影子测量一棵树的高度．如图标杆CD＝1.6米，BC＝10米，CE＝2米．B、C、E在一条直线上，DC⊥BE，AB⊥BE，求出这棵树的高度AB．19．（6分）如图，用一段长为20m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长12cm．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．问：当AB长为多少米时，所围成的花圃ABCD面积最大？最大面积是多少？20．（8分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件，市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大．21．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“阳”、“过”、“阳”、“康”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“康”的概率为；（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字一个是“阳”一个是“康”的概率P．22．（8分）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．（2）求旗杆的AC高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB 的延长线与⊙O交于点E．（1）求证：∠ABE＝2∠A；（2）tan A＝，BD＝2，求BE的长．24．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y 轴上，顶点B的坐标为（8，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点E，与矩形的边BC，BA分别交于点F，G，设直线FG的函数表达式为y＝ax+b．（1）求k，a，b的值；（2）利用图象，直接写出当ax+b≤时x的取值范围；（3）若点P在矩形的边OA上，且△PFG为等腰三角形，直接点P的坐标．25．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．点D是△ABC所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接AD、BE．（1）如图1，当α＝60°时，线段BE与AD的数量关系是；直线BE与AD相交所成的锐角的度数是．（2）如图2，当α＝90°时，①（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；②当BE∥AC，AB＝8，AD＝时，请直接写出△DCE的面积．26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan ∠PCQ＝2时，请直接写出点P的横坐标．2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
2022-2023学年第一学期九年级期末考试题—数学参考答案(1)
2022—2023学年第一学期九年级数学期末考试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1-10．BDDCD AABBC二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.11．x1＝4，x2＝﹣312．2：313．4914．28°15．6三、解答题（一）:本大题共3小题，每小题8分，共24分.16．解：方程整理得：x2+2x﹣4＝0，…………..1分这里a＝1，b＝2，c＝﹣4，…………..2分∵Δ＝22﹣4×1×（﹣4）＝4+16＝20＞0，…………..4分∴x=−2±2√52=−1±√5，…………..7分解得：x1＝﹣1+√5，x2＝﹣1−√5．…………..8分17．解：四边形AEDF是菱形。
…………..1分理由：∵EF垂直平分AD交AB于E，∴AE＝ED，AF＝FD，AO＝DO，…………..3分∵DE∥AC，∴∠FAD＝∠EDA，…………..4分在△EDO和△FAO中{∠FAO=∠EDO AO=DO∠AOF=∠EOD，∴△EDO≌△FAO（ASA），…………..6分∴AF＝ED，∴AE＝AF＝ED＝DF，…………..7分∴四边形AEDF是菱形．…………..8分20222023学年第一学期九年级期末考试题—数学参考答案第1页（共7页）20222023学年第一学期九年级期末考试题—数学参考答案 第2页（共7页）18．解：由已知可得：∠AEB ＝∠CED ， …………..1分又∵∠ABE ＝∠CDE ＝90°， ∴△ABE ∽△CDE ， …………..3分∴AB CD =BE DE ，即1.5CD=158，…………..5分 解得：CD ＝87，…………..6分∴87÷2.9＝30（层）， 答：这栋楼房有30层．…………..8分四、解答题（二）:本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．（1）证明：∵Δ＝（k +6）2﹣4（3k +9）＝k 2≥0， ∴方程总有两个实数根．…………..4分（2）解：当x ＝4时，原方程为：16﹣4（k +6）+3k +9＝0， 解得k ＝1，…………..5分当k ＝1时，原方程为x 2﹣7x +12＝0， ∴x 1＝3，x 2＝4．…………..6分由三角形的三边关系，可知3、4、4能围成等腰三角形， ∴k ＝1符合题意；…………..7分当Δ＝k 2＝0时，k=0，原方程为x 2﹣6x +9＝0，解得：x 1＝x 2＝3． 由三角形的三边关系，可知3、3、4能围成等腰三角形， ∴k ＝0符合题意．…………..8分 综上所述：k 的值为1或0． …………..9分 20．解：（1） 120，99；…………..2分（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360°=18（名）， 则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名）， 补全条形统计图如下：20222023学年第一学期九年级期末考试题—数学参考答案 第3页（共7页）…………..5分（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A 、B 、C 、D 、E ， 画树状图如下：…………..7分共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．…………..9分21．解：（1）如图1，FO=6.65-1.65=5m AC=BD=12m CO=DE=18-12=6m ∵∠GAO ＝∠FCO ＝α, ∴CF ∥AG …………..2分∴GF FO=AC CO即GF 5=126解得GF =10m ∴条幅GF 的长度为10m.…………..4分(2)设经过t 秒后，以F 、C 、O 为顶点的三角形与△GAO 相似。
2022-2023学年度第一学期九年级数学期末检测
2022-2023学年度第一学期九年级期末检测数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣2 2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，﹣4）绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）3．（3分）下列不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是（）A．该函数图象经过点（﹣1，1）B．该函数图象位于第二、四象限C．y的值随着x值的增大而增大D．该函数图象关于原点成中心对称5．（3分）在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．2x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110×26．（3分）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连接AB，AE，DE，CF，下列三角形中，外心是点O的是（）A．△ABF B．△ACF C．△ADE D．△AEF7.（3分）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成，其中第1个图共有3个小正方形，第2个图共有8个小正方形，第3个图共有15个小正方形，第4个图共有24个小正方形，，照此规律排列下去，则第个8图中小正方形的个数是（）A. 48B. 63C. 80D. 998．（3分）如图，DE∥BC，则下列比例式正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9.（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s10．（3分）（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分。
2022-2023学年山东省济南市市中区九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2022-2023学年山东省济南市市中区初三数学第一学期期末试卷一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示的几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．2．如果32a b =，那么a bb+等于( ) A ．43B ．12C ．52 D ．533．已知反比例函数ky x=图象经过点(2,3)，则下列点中不在此函数图象上的是( ) A ．(3,2)B ．(1,6)C ．(1,6)-D ．(2,3)--4．如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为( ) A ．2(2)1y x =+-B ．2(2)1y x =--C ．2(2)1y x =++D ．2(2)1y x =-+5．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A ．25B ．20C ．15D ．106．如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ACB ∠值为( )A B C ．35D ．457．如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB ∆的OA 边上一点，:1:2AC OC =，过C 作//CD OB 交AB 于点D ，2CD =，则B 点的纵坐标为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，点A ，B ，C 均在O 上，若120ACB ∠=︒，则α∠的度数为( )A ．120︒B ．130︒C ．100︒D ．110︒9．一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是( ) A ．B ． C ． D ．10．函数2|23|y x mx =+-，当01x 时，函数图象上的点到x 轴的距离不超过4，则m 的取值范围( ) A ．03mB ．13m -C ．04mD ．14m -二．填空题（共24分，6小题，每小题4分） 11．已知α为锐角，且1sin 2α=，则α= 度． 12．如图，已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象交于点(1,3)A -，(4,2)B ．如图所示，则能使12y y <成立的x 的取值范围是 ．13．如图，在直角坐标系中，OAB ∆的顶点为(0,0)O ，(3,2)A ，(2,0)B ．以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB∆的位似比为13的位似图形OCD ∆，则点C 的坐标为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，M 为y 轴正半轴上一点，过点M 的直线//l x 轴，l 分别与反比例函数k y x =和3y x=的图象交于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则k 的值为 ．15．如图．将扇形AOB 翻折，使点A 与圆心O 重合，展开后折痕所在直线l 与AB 交于点C ，连接AC ．若6OA =，则图中阴影部分的面积是 ．16．如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 点沿线段AD 由A 向D 运动（到D 停止运动），F 点沿线段CB 由C 向B 运动（到B 停止运动），两点同时出发，速度相同，连结EF ，作BP EF ⊥于P 点，则在整个运动过程中P 点的运动轨迹长为 ．三．解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算：2023|3|tan 45(1)2sin60-+︒+--︒．18．如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点，BCD BAC ∠=∠．若1AD =，3BD =，求边BC 的长．19．如图，小明同学在晚上由路灯B 走向路灯A ，当他行到Q 处时发现，他在路灯A 下的影长为3米，且恰好位于路灯B 的正下方，接着他又走了6米到P 处（即6PQ =米），此时他在路灯B 下的影子恰好位于路灯A 的正下方（已知小明身高1.6米，路灯B 高8米） （1）小明站在Q 处在路灯A 下的影子是线段 ； （2）计算小明站在P 处在路灯B 下的影长．20．“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”，常用来描绘济南的风景名胜．周末妈妈计划带哥哥和弟弟出去玩，他们打算从A ．千佛山、B ．大明湖、C ．趵突泉、D ．五龙潭，四个景点中选择游玩地点． （1）弟弟选择“C ．趵突泉”景点的概率是 ；（2）请利用树状图或表格求弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率．21．某学校教学楼（甲楼）的顶部E 和大门A 之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A 距甲楼的距离AB 是40m ，在A 处测得甲楼顶部E 处的仰角是37︒． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（2）若小颖在甲楼楼底C 处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G 处的仰角为60︒，爬到甲楼楼顶F 处测得乙楼楼顶G 处的仰角为30︒，求乙楼的高度DG ．(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈22．如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，过D 作O 的切线交AB 的延长线于E ，交BC 于F ．（1）求证：DF BC ⊥；（2）已知6DE =，3BE =，求O 的半径．23．已知：如图ABC ∆是边长为8的等边三角形，B 与原点重合，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，速度为每秒1个单位长度，PQ 交AC 于D ．运动时间为t 秒，(06)t << （1）写出点A 的坐标 ； （2）当PQ OA ⊥时，求t 的值；（3）若PCQ ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x b =-+的图象与反比例函数(0)ky x x=<的图象相交于点(1,6)A -，并与x 轴交于点C ．点D 是线段AC 上一点，ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3． （1）k = ，b = ；D 的坐标 ；（2）点P 为直线AC 在第一象限部分上一点，连结OP ，将OP 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OP '，若点P '在反比例函数上，求出点P 坐标；（3）点Q 为y 轴上一点，若ODA ODQ S S ∆∆=，求出点Q 的坐标．25．（1）如图1，Rt ABC ∆与Rt ADE ∆，点D 在AB 上，点E 在AC 上，90ADE ABC ∠=∠=︒，12AB AD BC DE ==，则DEAE= ，BD CE = ； （2）如图2，在（1）的条件下，Rt ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定角度(0)BAC αα︒<<∠，连接BD ，CE ．BDCE的值是否发生改变？若不变请给出证明，若改变请求出新的比值．（3）拓展：如图3，矩形ABCD ，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG ，且A B C E B C E F ==，4AB =，连接BE ，BF ，求2BE BF +的最小值．26．如图，抛物线212y x bx c =-++的图象经过点C ，交x 轴于点(1,0)A -、(4B ，0)(A 点在B 点左侧），顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F ，过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，求矩形PQEF 的周长最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使45BMC ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．解：从左边看，是一个矩形，矩形内部有一条横向的实线． 故选：B ． 2．解：32a b =， ∴32522a b b ++==， 故选：C ．3．解：反比例函数ky x=图象经过点(2,3)， 236k ∴=⨯=．A 、326⨯=，在反比例函数图象上，不符合题意；B 、166⨯=，在反比例函数图象上，不符合题意；C 、166-⨯=-，不在反比例函数图象上，符合题意；D 、2(3)6-⨯-=，在反比例函数图象上，不符合题意．故选：C ．4．解：原抛物线的顶点为(0,0)，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为(2,1)--． 可设新抛物线的解析式为：23()y x h k =--+，代入得：2(2)1y x =+-，化成一般形式得：2365y x x =---． 故选：A ．5．解：设白球个数为x 个，摸到红色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴50.25x=+， 解得：20x =，即袋中的白球大约有20个； 故选：B ．6．解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，4AH =，3CH =，5AC ∴， 3cos 5CH ACB AC ∴∠==， 故选：C ．7．解：//CD OB ， ∴AC CDAO OB =， :1:2AC OC =，∴13AC AO =， 2CD =，∴213OB =， 解得：6OB =，B ∴点的纵坐标为6， 故选：C ．8．解：在优弧AB 上任意找一点D ，连接AD ，BD ．18060D ACB ∠=︒-∠=︒， 2120AOB D ∴∠=∠=︒，故选：A ．9．解：分两种情况：（1）当0a >，时，一次函数1y ax =+的图象过第一、二、三象限，反比例函数ay x=-图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当0a <，时，一次函数1y ax =+的图象过第一、二、四象限，反比例函数ay x=-图象在第一、三象限，故B 选项正确． 故选：B ．10．解：由题意得222|23||()3|y x mx x m m =+-=+--，抛物线对称轴为直线x m =-， 当01x 时，函数图象上的点到x 轴的距离不超过4， ①当01m -，即10m -时，2|3|4m --， 解得：11m -，10m ∴-；②当0m -<，或1m ->，即0m >或1m <-时，|123|4m +-， 解得：13m -，03m ∴<；综上，m 的取值范围为13m -， 故选：B ．二．填空题（共24分，6小题，每小题4分） 11．解：1sin302︒=，30α∴=︒． 12．解：两函数图象的交点坐标为(1,3)A -，(4,2)B ， ∴能使12y y <成立的x 的取值范围是14x -<<．故答案为：14x -<<．13．解：以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB ∆的位似比为13的位似图形OCD ∆，(3,2)A ，∴点C 的坐标为1(3()3⨯-，12())3⨯-，即2(1,)3--，故答案为：2(1,)3--．14．解：直线//l x 轴， AM y ∴⊥轴，BM y ⊥轴， 1||2AOM S k ∆∴=，13 1.52BOM S ∆=⨯=， 2AOB S ∆=， 0.5AOM S ∆∴=，||1k ∴=，0k <， 1k ∴=-，故答案为：1-．15．解：由翻折的性质可知，12AD OD OA ==，AC OC =，在Rt COD ∆中，132OD OC ==，30OCD ∴∠=︒，903060AOC ∴∠=︒-︒=︒，CD ∴=AOC AOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形 2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-故答案为：6π-16．解：连接BD ，交EF 于点O ，如图，由题意得：AE CF =． 四边形ABCD 为正方形， AD BC ∴=，//AD BC ．EDO FBO ∴∠=∠，DEO BFO ∠=∠，AD AE BC CF -=-，DE BF ∴=．在DEO ∆和BFO ∆中，DEO BFO DE BFEDO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OD OB ∴=，OE OF =．O ∴为正方形ABCD 的中心．正方形ABCD 中，4AB =，4BC CD AC ∴===，DB ∴=BO ∴=BP EF ⊥，90BPO ∴∠=︒，∴在整个运动过程中点P 对B ，O 张开的角度为90︒，∴整个运动过程中P 点的运动轨迹为以OB 为直径的半圆，∴整个运动过程中P点的运动轨迹12⨯=，．三．解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解：原式3112=+--3= 18．证明：BCD BAC ∠=∠，B B ∠=∠，ABC CBD ∴∆∆∽， ∴BC AB BD CB=， 2BC AB BD ∴=⋅．1AD =，3BD =，4AB ∴=，BC ∴=19．解：（1）小明站在Q 处在路灯A 下的影子是线段QD ，故答案为：QD ；（2）//PE BD ，CEP CBD ∴∆∆∽， ∴PE PC BD CD =， ∴1.6863PC PC =++， 94PC ∴=， 答：小明站在P 处在路灯B 下的影长为94． 20．解：（1）弟弟选择“C ．趵突泉”景点的概率是14， 故答案为：14； （2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中弟弟和哥哥两人选择的景点相同的结果有4种，∴弟弟和哥哥两人选择的景点相同的概率为41164=． 21．解：（1）过点F 作FM GD ⊥，交GD 于M ，在Rt ABE ∆中，tan3740tan3730()BE AB m =⋅︒=⋅︒≈，4050()cos37AE m =≈︒， 则甲楼的高度约为30m ，彩旗的长度约为50m ；（2）过点F 作FM GD ⊥，交GD 于M ，在Rt GMF ∆中，tan30GM FM =⋅︒，在Rt GDC ∆中，tan60DG CD =⋅︒，设甲乙两楼之间的距离为x m ，FM CD x ==m ，根据题意得：tan60tan3030x x ︒-︒=，解得：x =，45DG m ∴==．则乙楼的高度DG 为45m ．22．（1）证明：连接OD ，DE 是O 的切线，OD DE ∴⊥，BA BC =，A C ∴∠=∠，OA OD =，A ODA ∴∠=∠，ODA C ∴∠=∠，//OD BC ∴，DF BC ∴⊥；（2）解：设O 的半径为r ，在Rt ODE ∆中，222OD DE OE +=，即2226(3)r r +=+，解得： 4.5r =，即O 的半径为4.5．23．解：（1）过点A 作AE OC ⊥于点E ，如图：ABC ∆是等边三角形，142OE OA ∴==，AE =∴点A 的坐标为(4，；故答案为：(4，；（2）根据题意得：AP CQ t ==，8OP t ∴=-，8OQ t =+，PQ OA ⊥，60AOC ∠=︒，30PQO ∴∠=︒，12OP OQ ∴=，即18(8)2t t -=+， 解得83t =， t ∴的值为83； （3）过点P 作PF OC ⊥于点F ，如图：8OP t =-，30OPE ∠=︒，82t OF -∴=，PF ==22114)22S CQ PF t t ∴=⨯=⨯=+=-+∴当4t =时，PCQ ∆的面积最大，S 的最大值为24．解：（1）把点(1,6)A -代入(0)k y x x=<得：6k =-， 把点(1,6)A -代入y x b =-+可得：5b =，如图所示：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，DF x ⊥轴于点F ，则//AE DF ， ∴DF DC AE AC=， ODC ∆与OAC ∆的面积比为2:3， ∴23DC AC =， ∴23DF AE =，即263DF =， 4DF ∴=，当54x -+=时，1x =，∴点D 的坐标为(1,4)，故答案为：6-，5，(1,4)；（2）如图所示：过点P 作PN x ⊥轴于点N ，过点P '作P M x '⊥轴于点M ，由（1）可得点C 的坐标为(5,0)设点(,5)P m m -+，且05m <<，则可得：5PN m =-+，ON m =，由旋转性质可得：90POP '∠=︒，OP OP '=，90PON P OM '∴∠+∠=︒，PN x ⊥轴，P M x '⊥轴，90P MO ONP '∴∠=∠=︒，90MP O P OM ''∴∠+∠=︒，MP O PON '∴∠=∠，在△P MO '和ONP ∆中，P MO ONP MP O PON OP OP '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△()P MO ONP AAS '≅∆，P M ON m '∴==，5OM PN m ==-+，(5,)P m m '∴-点P '在反比例函数上，(5)6m m ∴-=-，解得：12m =，23m =，∴点P 的坐标为：(2,3)或(3,2)；（3）根据（2）可知，点C 的坐标为(5,0)，5OC ∴=，11522ODA OAC ODC A D S S S OC y OC y ∆∆∆∴=-=⋅⋅-⋅⋅=， 设点Q 的坐标为(0,)a ，||OQ a ∴=，5ODA ODQ S S ∆∆==， ∴152D OQ x ⋅⋅=，即||10a =， 10a ∴=或10-，∴点Q 的坐标为(0,10)或(0,10)-．25．解：（1）90ADE ABC ∠=∠=︒，12AB AD BC DE ==， //DE BC ∴，2DE AD =，AE ∴=，∴DE AE == //DE BC ，∴BD AD CE AE ===，； （2）BD CE的值不发生改变，证明如下： 90ADE ABC ∠=∠=︒，12AB AD BC DE ==， ADE ABC ∴∆∆∽， ∴AE AD AC AB=， BAC DAE ∠=∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠∆∽，∴BD AD CE AE == （3）AB CE BC EF ==，4AB =，BC ∴==，EF ，2CF CE ∴=，如图3，连接CF ，作FBI FCE ∆∆∽，连接IE ，延长IE 交BC 的延长线于L ，过I 作IM AD ⊥，交DA 的延长线于M ，BFI CFE ∴∠=∠，CF EF BF IF =，12IB CE BF CF ==， EFI CFB ∴∠=∠，CF BF EF IF =，12IB BF =， FEI FCB ∴∆∆∽，∴IE EF BC CF ==，FIE FBC ∠=∠，6IE ∴==， 作平行四边形1IEI B ，作点1I 关于AD 的对称点2I ，连接1I E ，2I E ，12I I 交BC 于N ，16IE BI ∴==，1IB I E =，12I E I E =，12212BE BF BE IB BE EI BE EI BI ∴+=+=+=+， FIE FBC ∠=∠，IEF BEL ∠=∠，L IFE ∴∠=∠，1//IE BI ，1L I BC ∴∠=∠，又190BNI FEC ∠=∠=︒，1BNI FEC ∴∆∆∽，∴1BN EF BI CF =，1112NI CE BI CF ==，1BN ∴==11132NI BI ==， 122(34)14I I ∴=⨯+=，214311NI ∴=-=，2BI ∴=，12BE BF ∴+的最小值为 2BE BF ∴+的最小值12()2BE BF =+= （3）方法二：如图4，以BC 为斜边构造Rt BCK ∆，90BKC ∠=︒，60BCK ∠=︒，过K 作KH BC ⊥于点H ，KG AB ⊥于点G ，连接CF 、EK ，则BCK FCE ∆∆∽，ECK FCB ∴∆∆∽，12EK BF ∴=， 作点B 关于AD 的对称点B '，连接B K '，则BE EK +的最小值为B K '，其中，HK BC ⊥，KG AB ⊥，3HK =，GK BH ==B K '∴=此时，122()2()2BE BF BE BF BE EK +=+=+=即2BE BF +的最小值为26．解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =--，则2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++；（2）由抛物线的表达式知，点(0,2)C ， 设直线BC 的表达式为：2y kx =+，将点B 的坐标代入上式得：042k =+， 解得：12k =-， 则直线BC 的表达式为：122y x =-+， 设点213(,2)22P x x x -++，则点1(,2)2Q x x -+， 则221311(2)(2)22222PQ x x x x x =-++--+=-+， 则矩形PQEF 的周长2222246PF PQ x x x x x =+=-+=-+， 10-<，故矩形PQEF 的周长有最大值， 当3x =时，矩形PQEF 的周长有最大值为9；（3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为32x =，设点M 的坐标为3(2，)t ， ①当点M 在BC 上方时，作BCM ∆的外接圆R ，连接RB 、RC ， 过点R 作RH y ⊥轴于点H ，过点B 作BG HR ⊥交HR 的延长线于点G ，设点(,)R m n ，45BMC ∠=︒，90CRB ∴∠=︒，90GRB HRC ∠+∠=︒，90GRB RBG ∠+∠=︒， HRC RBG ∴∠=∠，90G RHC ∠=∠=︒，RB RC =，()BGR RHC AAS ∴∆≅∆，BG RH ∴=且GR HC =，即m n =且42m n -=-，解得：3m n ==，第21页（共21页）即点(3,3)R ；RM RC =，则22223(3)(3)(30)(32)2t -+-=-+-，解得：3t =+，即点M的纵坐标为3②当点()R R '在BC 下方时， 由图象的对称性得，点(1,1)R '-， 由R C R M '='得：22223(1)(1)(10)(12)2t -+--=-+--，解得：1t =--，即点M的纵坐标为1--；综上，点M的纵坐标为：1--或3+。
2022-2023学年度九年级数学上学期期末质量监测(含答案)
2022-2023学年度九年级数学上学期期末质量监测（含答案）一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列汽车的标识是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4 3．平面直角坐标系内与点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，1）4．下列事件中是必然事件的是（）A．任意一个三角形的外角和等于180°B．一个数与它的相反数的和是0C．明天会下雨D．正月十五雪打灯5．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．30°C．60°D．50°6．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（）A ．16B ．15C ．13D ．127．如果在二次函数的表达式y ＝2x 2+bx +c 中，b ＞0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ） A ．0.63（1+x ）＝0.68 B ．0.63（1+2x ）2＝0.68 C ．0.63（1+2x ）＝0.68D ．0.63（1+x ）2＝0.689．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转55°得到△ADE ，若∠E ＝70°且AD ⊥BC 于点F ，则∠BAC 的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°10．如图，已知抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝kx +m 交于A （﹣3，y 1），B （1，y 2）两点，则关于x 的不等式ax 2+c ≥﹣x +m 的解集是（ ）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤l D．﹣1≤x≤3二、填空题（每题3分，共18分）11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的解析式．12．若一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值．13．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，点C是半圆O上的点，若∠CAB＝4∠CBA，点D ̂上任意一点，则∠BDC的度数为度．是BC14．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：则当x＝0时，y的值为．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1…y＝ax2+bx+c…﹣13﹣3353…15．一副直角三角板位置如图所示，∠A＝45°，∠M＝30°，若O为AC中点，CD＝1，AE＝3，连接DE，则DE的长为．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠CAD＝∠BCD＝45°，AC＝4√2cm，则△ABD 的周长为cm．三、解答题（共102分）17．解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x．18．我市在创建家卫生文明城市的过程中，赵明和李亮积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：①清理类岗位：清理花坛卫生死角：清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传：交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．（1）赵明从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率是；（2）若赵明和李亮各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣6x+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求方程的根．20．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．21．如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若OB＝2，求弧CD的长．22．如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．23．元旦期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小张：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？24．若△ABC，△ADE为等腰三角形，AC＝BC，AD＝DE，将△ADE绕点A旋转，连接BE，F为BE中点，连接CF，DF．（1）若∠ACB＝∠ADE＝90°，如图1，试探究DF与CF的关系并证明；（2）若∠ACB＝60°，∠ADE＝120°，如图2，请直接写出CF与DF的关系．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）．（1）求a的值；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；②连结BC，求BC的最小值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）11．y=x 2-2（答案不唯一） 12．1 13．108 14．－3 15 16． 8三、解答题 (注：如有其它解法，请参照本答案酌情给分) 17．解：(4)28x x xx 2+4x -2=0 …………3分x=-42± …………6分 解得， x 1=-2+，x 2=-2-…………8分18.解：解：（1）赵明同学选择清理类岗位的概率为； …………3分 （2）根据题意画树状图如下：…………7分共有16种等可能的结果数，赵明和李亮恰好选择同一岗位的结果数为4，所以他们恰好选择同一岗位的概率．…………10分19.解：（1）由题△=（-6）2-4×5m ＞0 且m ≠0 …………3分 所以 m ＜95，且m ≠0 …………5分 （2）∵m ＜95，且m ≠0 ，m 为正整数 ∴m=1 …………6分 方程为x 2﹣6x +5＝0（x-5）（x-1）=0x 1=5，x 2=1 …………10分20. 解：设道路的宽为xm …………1分2142=41164=根据题意，列方程（30-x）（20-x）=551 …………6分解得：x1=1，x2=49（不合题意舍去）…………9分答：道路的宽为1m …………10分21.解：（1）连接OD，∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，∴∠AOB＝60°，又∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，…………2分又∵OB＝OD，AO＝AO，∴△AOB≅△AOD（SAS），…………5分∴∠ADO＝∠ABO＝90°，…………6分又∵点D在⊙O上，∴AD是⊙O的切线；…………7分（2）由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，∠COD＝60°，根据弧长公式可得，弧CD的长=6022=1803…………12分22.解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，…………2分将点O（0，0）代入函数表达式，解得：a＝﹣14，…………4分∴二次函数的表达式为y＝﹣14（x﹣4）2+4，即y＝﹣14x2+2x（0≤x≤8）；…………6分（2）工人不会碰到头，理由如下：…………7分∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2＝1，…………8分∴将＝1代入y＝﹣14x2+2x，解得：y＝74＝1.75，…………10分∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头…………12分23. 解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，…………1分（38﹣x﹣22）（160+x3×120）＝3640，…………6分整理得x2﹣12x+27＝0，∴x＝3或x＝9．…………10分∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9，∴售价为38﹣9＝29元．…………11分答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．…………12分24.（1）答：DF=CF且DF⊥CF …………2分证明：延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于点N，∵BF=EF ，CF=FM，∠BFC=∠EFM∴△BFC≌△EFM …………4分∴EM=BC=AC，∠FME=∠FCB∴BC∥EM∴∠N=∠MEN在四边形ACND中，∠ACB=∠ADE=90°∴∠N + ∠CAD=360°-（∠ACB+∠ADE）=180°又∵∠MEN+∠MED=180°∴∠MED=∠CAD又AD=DE，EM=AC∴△MED≌△CAD …………8分∴DM=DC , ∠MDE=∠CDA∴∠MDC=∠NDC+∠MDE=∠NDC+∠CDA=∠ADE=90°∴△DCM为等腰直角三角形∵点F是CM中点∴DF=12CM=CF，DF⊥CF …………11分（2）DF⊥CF且CF=…………14分【证明思路：延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，易证△BFC≌△EFM再证明△MED≌△CAD证得△DCM为等腰三角形，且顶角为120° ∴DF⊥CF且CF=】25.解：（1）∵抛物线2y=ax+x经过点A（3，4）令x=3，代入2y=ax+x，则4=a×32+3，∴a=19；…………4分（2）①如图：由对称性可知OA=OC，AP=CP，∵AP∥OC，∴∠1=∠2，又∵∠AOP=∠2，∴∠AOP=∠1，∴AP=AO，∵A（3，4），∴AO=5，∴AP=5，…………6分∴P1（8，4），同理可得P2（﹣2，4），…………8分∴OP的表达式为y=-2x或y=12x．…………10分②如图：∵OA=OC∴点C在以O为圆心，OA长为半径作⊙O上，连接BO，交⊙O于点C 此时BC的值最小∵B（-12，4），∴OB=…………12分∴BC的最小值为5．…………14分第25题图第25题图。
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2022-2023学年第一学期九年级期末测试数学试题注意事项：本试题分选择题和非选择题两部分。
本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
将答案填涂在答题卡上，答案写在试卷上无效。
第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.一元二次方程x2－x=0的根是（）A.x=1B.x=0C.x1=0，x2=1D.x1=0，x2=﹣12.下列几何体的左视图为（）A. B. C. D.3.已知反比例函数y=﹣2x，下列各点中，在此函数图象上的点的是（）A.（－1，1）B.（2，－1）C.（1，2）D.（2，2）4．在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则n的值大约为（）A.16B.18C.20D.245.若两个相似三角形的对应中线比是1:3，则它们的周长比是（）A.1:2B.1:3C.1:6D.1:96.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.邻边相等D.对角线互相垂直7.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（）A.34B.53C.43D.35（第7题图）（第8题图）（第9题图）8.如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，反比例函数y＝k（k≠0，x＞0）的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（）A.3B.4C.6D.89.如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是2√3，则图中阴影部分的面积是（）A.2πB.6πC.√33πD．√3π10.已知二次函数y=x2－2ax＋7，当x≤3时，函数值y随x增大而减小，且对于1≤x≤2相应的函数值y，总满足|y|≥2，则实数a的取值范围是（）A.a≥134B.a≤94C.a≤3D.a≥5第Ⅱ卷（非选择题共110分）二.填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.若ab =53，则aa－b= ．12.若反比例函数y=m－1x的图象在一、三象限，则m的取值范围为．13.如图，△ABC与△A’B’C’是位似图形，则△ABC与△A’B’C’的位似比为．（第13题图）（第14题图）（第16题图）14.如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，∠ABC=25°，则∠OAC的度数是．15.将抛物线y=﹣2x2+4x－2向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为．16.有一块直角三角形的纸片Rt△ABC，∠C=90°，如图方式裁剪，可以剪下4个全等的长3cm，宽1cm的矩形，那么，Rt△ABC的边BC的长是．三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.(本小题满分6分)计算：|﹣2|+√3tan60°－(12)﹣1－（+2023）0.18.(本小题满分6分)解方程：x（x－3）=2（x－3）．19.(本小题满分6分)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．20.(本小题满分8分)一个不透明的口袋中有3个质地和大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．(1)求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是；(2)请用树状图或列表法，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD 升起时，OD 与底盘OC 夹角为α，液压杆AB 与底盘OC 夹角为β；已知：液压杆AB=3m ，当α= 37°，β= 53°时， （1）求液压杆顶端B 到底盘OC 的距离BE 的长； （2）求AO 的长．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43）．22.(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，与AB 相交于点E ．(1)求证：AD 是∠BAC 的平分线； (2)若BE=2，BD=4，求AE 的长．疫情期间要建一个隔离区，隔离区的一边靠墙（墙AB长为4.4m），另外三边用围栏围成，围栏总长10m，求隔离区CD边和DE边的长分别是多少？如果设边CD的长为xm．（1）填空：隔离区DE边的长为m（用含x的代数式表示）；（2）如果隔离区面积为12m2，请你列出方程，求出隔离区CD边和DE边的长；（3）请求出此隔离区的最大面积．24.(本小题满分10分)交于点A（2，n）和点B（﹣4，﹣2），过点A作如图，直线y＝ax+b与双曲线y=kxAC⊥x轴，垂足为C．(1)求直线y＝ax+b和双曲线y=k的解析式；x(2)连接BC，求△ABC的面积．(3)在x轴上找一点P，使|PA－PB|的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．25.（本小题满分12分）有共同顶点的△ABC与△ADE中，CA=CB，EA=ED，且∠ACB=∠AED=α，连接BD，CE，线段BD，CE相交于点H．(1)如图①，当α=60°时，BDCE的值是，∠BHC的度数是；(2)如图②，当α=90°时，求BDCE的值和∠BHC的度数，并说明理由；(3)如果α=90°，ACAE =2，当点H与△ADE的顶点重合时，请直接写出BDDE的值．26．(本小题满分12分)已知：抛物线y=ax2＋bx＋4与x轴相交于A(－2，0)，B(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC，点M为坐标平面内一点且横坐标为m．（1）求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；（2）如图，当点M为抛物线上第一象限内的点时，连接MB，MC①求△MBC面积的最大值；②过点M作MN⊥BC垂足为N，当△MCN∽△ABC时，请求出点M的坐标．（备用图）答案解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.一元二次方程x2－x=0的根是（ C ）A.x=1B.x=0C.x1=0，x2=1D.x1=0，x2=﹣12.下列几何体的左视图为（ D ）A. B. C. D.3.已知反比例函数y=﹣2x，下列各点中，在此函数图象上的点的是（ B ）A.（－1，1）B.（2，－1）C.（1，2）D.（2，2）4．在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则n的值大约为（ C ）A.16B.18C.20D.245.若两个相似三角形的对应中线比是1:3，则它们的周长比是（ B ）A.1:2B.1:3C.1:6D.1:96.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ A ）A.对角线相等B.对角线互相平分C.邻边相等D.对角线互相垂直7.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（ D ）A.34B.53C.43D.35（第7题图）（第8题图）（第9题图）8.如图，在平面直角坐标系中，一块污渍遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分矩形网格，已知每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象恰好经过2个格点A，B，那么k的值是（ C ）A.3B.4C.6D.89.如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是2√3，则图中阴影部分的面积是（ A ）A.2πB.6πC.√3πD．√3π10.已知二次函数y=x2－2ax＋7，当x≤3时，函数值y随x增大而减小，且对于1≤x≤2相应的函数值y，总满足|y|≥2，则实数a的取值范围是（ D ）A.a≥134B.a≤94C.a≤3D.a≥5第Ⅱ卷（非选择题共110分）二.填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11.若ab =53，则aa－b= 52．12.若反比例函数y=m－1x的图象在一、三象限，则m的取值范围为m＞1 ．13.如图，△ABC与△A’B’C’是位似图形，则△ABC与△A’B’C’的位似比为2:3 ．（第13题图）（第14题图）（第16题图）14.如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，∠ABC=25°，则∠OAC的度数是65°．15.将抛物线y=﹣2x2+4x－2向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为（3，3）．16.有一块直角三角形的纸片Rt△ABC，∠C=90°，如图方式裁剪，可以剪下4个全等的长3cm，宽1cm的矩形，那么，Rt△ABC的边BC的长是58√1339．三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.(本小题满分6分)计算：|﹣2|+√3tan60°－(12)﹣1－（+2023）0.解原式=2+3－2－1=218.(本小题满分6分)解方程：x（x－3）=2（x－3）．解：（x－2）（x－3）=0x1=2，x2=319.(本小题满分6分)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠D＝∠B，DC＝BC．∵CE＝CF，∴DC－CF＝BC－CE．∴DF＝BE．∴△ADF≌△ABE．∴AE＝AF．20.(本小题满分8分)一个不透明的口袋中有3个质地和大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．(1)求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是；(2)请用树状图或列表法，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．（1）解：13（2）依题意，列表如下，共有9种等可能结果，其中摸出球上的数字的积为奇数有4种可能，．∴摸出球上的数字的积为奇数的概率为4921.(本小题满分8分)如图是某种云梯车的示意图，云梯OD 升起时，OD 与底盘OC 夹角为α，液压杆AB 与底盘OC 夹角为β；已知：液压杆AB=3m ，当α= 37°，β= 53°时， （1）求液压杆顶端B 到底盘OC 的距离BE 的长； （2）求AO 的长．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43）．21．解：(1)在Rt △ABE 中， ∵sin β=BEAB ，AB=3m ，β=53° ∴45=BE3 ∴BE=125，(2)在Rt △ABE 中，∵tan β=BE AE ，BE=125，β= 53° ∴43=125AE ∴AE=95，在Rt △OBE 中，∵tan α=BE OE ，BE=125，α=37° ∴34=125OE ∴OE=165， ∴AO=75，如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AB相交于点E．(1)求证：AD是∠BAC的平分线；(2)若BE=2，BD=4，求AE的长．（1）证明：连接OD；∵⊙O与BC相切于点D∴OD⊥BC∴∠ODB＝90°∵∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C∴OD∥AC∴∠ODA＝∠DAC∵OD=OA∴∠ODA＝∠OAD∴∠OAD＝∠DAC∴AD是∠BAC的平分线；（2）解：∵∠C＝90°∴在Rt△BOD中BD2+OD2=BO2;∵BE=2，BD=4，设圆的半径为r，∴r2+42=（r+2）2解得：r=3，∴圆的半径为3疫情期间要建一个隔离区，隔离区的一边靠墙（墙AB 长为4.4m ），另外三边用围栏围成，围栏总长10m ，求隔离区CD 边和DE 边的长分别是多少？如果设边CD 的长为xm ．（1）填空：隔离区DE 边的长为 m （用含x 的代数式表示）；（2）如果隔离区面积为12m 2，请你列出方程，求出隔离区CD 边和DE 边的长；（3）请求出此隔离区的最大面积．解：（1）（10﹣2x ）；（2）x （10﹣2x ）＝12，解得：x 1＝2，x 2＝3因为10﹣2x ≤4.4，所以2x ≥5.6，故x ≥2.8．所以x ＝3，则DE ＝10﹣6＝4答：CD 边和DE 边的长分别为3m ，4m ．…………………………7分（3）设：面积为S ；则S=x （10﹣2x ）=﹣2x 2+10x=﹣2（x －52）2+252∵{10－2x ＞010－2x ≤4.4 ∴解得：2.8≤x ＜5∵当x ＞2.5时，S 随x 的增大而减少，∴当x=2.8时面积最大，最大面积为：S=2.8×（10﹣2×2.8）=12.32m 2.答：最大面积为12.32m 2．如图，直线y＝ax+b与双曲线y=kx交于点A（2，n）和点B（﹣4，﹣2），过点A作AC⊥x轴，垂足为C．(1)求直线y＝ax+b和双曲线y=kx的解析式；(2)连接BC，求△ABC的面积．(3)在x轴上找一点P，使|PA－PB|的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．24．（1）解：把点B（﹣4，﹣2）代入y=kx得：﹣2=k﹣4∴k=8，∴双曲线的解析式为y=8x，把点A（2，n）代入y=8x得，n=4，∴A（2，4），把A（2，4），B（-4，-2）代入y=ax+b得{2a+b=4﹣4a+b=﹣2解得：{a=1 b=2，∴直线的解析式为y=x+2；（2）解：∵A（2，4），AC⊥x轴，垂足为C ∴点C的坐标为（2，0），∴AC=4∵B（﹣4，﹣2），作BD⊥x轴，∴BD=6∴△ABD的面积=12×4×6=12．（3）解：点P的坐标为（﹣10，0）25.（本小题满分12分）有共同顶点的△ABC与△ADE中，CA=CB，EA=ED，且∠ACB=∠AED=α，连接BD，CE，线段BD，CE相交于点H．(1)如图①，当α=60°时，BDCE的值是，∠BHC的度数是；(2)如图②，当α=90°时，求BDCE的值和∠BHC的度数，并说明理由；(3)如果α=90°，ACAE =2，当点H与△ADE的顶点重合时，请直接写出BDDE的值．（1）①1；②60°（2）证明：∵CA=CB，且∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB=√AC2+BC2=√2AC同理，∴∠EAD＝∠ADE＝45°，AD=√AE2+DE2=√2AE∴∠EAC＝∠DAB，且ADAE =ABAC=√2，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE =ABAC=√2．∴∠ACE＝∠ABD，设BD交AC于点F∴∠AFB＝∠CFH，∴∠CHF＝∠CAB＝45°，（3）BDDE=√6或3√2或√7+1，26．(本小题满分12分)已知：抛物线y=ax2＋bx＋4与x轴相交于A(－2，0)，B(8，0)两点，与y轴相交于点C，（1）求抛物线的表达式并直接写出点C 的坐标；（2）如图，当点M 为抛物线上第一象限内的点时，连接MB ，MC①求△MBC 面积的最大值；②过点M 作MN ⊥BC 垂足为N ，当△MCN ∽△ABC 时，请求出点M 的坐标．（备用图）解：（1）∵抛物线y=ax 2＋bx ＋4与x 轴交于A(﹣2,0)，B(8,0)两点，代入 得{4a －2b +4=064a +8b +4=0 解得：{a =﹣14b =32抛物线的表达式为；y=﹣14x 2＋32x ＋4 且C(0,4)（2）过M 作ME ∥y 轴交BC 于点E ，设BC 的解析式为y=kx+b ，将B (8,0)和C(0,4)代入得，{8k +b =0b =4， 解得{k =﹣12b =4，∴y=﹣12x+4， 设M （m ，﹣14m 2＋32m ＋4），则E （m ，﹣12m+4），∴ME=﹣14m 2＋32m ＋4－（﹣12m+4）=﹣14m 2＋2m ，·∴S △DCB =12×8ME=﹣m 2＋8m ，·当m=4时，S 取最大值，最大值为16．（3）∵A(-2,0)，B(8,0)，C(0,4)∴AC=2√5，BC=4√5，AB=10；∴△ABC 为直角三角形且∠ACB=90°∴为使△MCN ∽△ABC ，只需∠MCB ＝∠ABC 即可∴MC ∥AB ，∴点P 的纵坐标为4．则﹣14x 2＋32x ＋4=4，解得：x=0(舍)或x=6，即M(6,4)。