待定系数法在初中数学解题中的应用1

初中数学题中的待定系数法

摘要：本文阐释了待定系数法的定义，归纳了待定系数法解题的一般步骤，然后通过几种典型例题剖析，展现待定系数法在初中各种数学问题中的应用。

关键字：待定系数法，函数解析式，因式分解，解方程

待定系数法广泛应用于中学数学解题中，是一种重要的解题方法，也是一种重要的数学思想.在初中数学中，待定系数法在初中阶段主要用于求函数的解析式，因式分解，解方程等。

1. 待定系数法的定义

待定系数法是对所给出的数学问题，根据已知条件和要求先设出问题的关系式（含待定的字母系数），然后利用已知条件列出以待定的字母系数为未知数的方程（组），再解方程（组）求出待定的字母系数，使问题获得解决的一种数学方法。

2. 待定系数法解题的一般步骤

待定系数法解题一般分三步：

（1） 根据数学问题的条件设出含有待定的字母系数的关系式；

（2） 根据已知条件列出以待定的字母为未知数的方程（组）；

（3） 解方程（组），确定待定的字母系数的值。

3. 几种常见案例

(1)待定系数法求函数解析式

初中数学主要有正比例函数(0)y kx k =≠，反比例函数()0k y k x

=≠，一次函数y =kx +b,二次函数2(0)y ax bx c a =++≠212((),()())y a x h k y a x x x x =-+=--这几种函数，期中k ,a,b,c ，h 都是待定系数，求函数的解析式问题大多通过将相关点的坐标代入相应的解析式构建方程（组），解方程求出待定系数使问题得于解决.

例1.已知一次函数过点（3,5）和（-4，-9），求这个一次函数的解析式。 分析：一次函数的解析式为y =kx +b 关键就是求出k ,b 的值。

解：设一次函数的解析式为y =kx +b

因为图像过点（3,5）和（-4，- 9）

3549

21k b k b x b +=⎧∴⎨-+=-⎩=⎧⎨=-⎩解得

所以，这个一次函数的解析式为21y x =-.

例2：二次函数的图象经过(1,15),(1,7),(0,7)A B C -三点，求这个函数的解析式． 分析：利用待定系数法求解.先设出二次函数的一般形式

2(0)y ax bx c a =++≠，由已知建立方程(组)，可求其待定的系数。

解：设这个函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．

依题意得：21527499

249.

a b c a a b c b C c y x x ++==⎧⎧⎪⎪-+==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩∴=++解得这个二次函数的解析式为

（2）待定系数法因式分解

待定系数法也是因式分解的一种重要方法,用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等.根据多项式恒成立的条件，对应系数相等建立方程（组），解出方程（组）从而确定待定系数，使得问题得到解决。

例3.如果多项式2(5)51x a a -++-能分解成两个一次因式(),()x b x c ++的积(b ,c 为整数)，求a 的值。

分析：由待定系数法得到 a,b,c 的方程，通过消元，分解因式解出a,b,c 的值。

例4：22

21387.x xy y x y --++-因式分解

分析：观察多项式中各项系数，确定因式的部分系数，设出不确定的系数，

222(5)51()()

(5)51()(5)(1)51(2)

(1)5(2)5()26

5()251

(5)(5)1

,51515151

4664

x a x a x b x c x a x a x b c x bc

b c a bc a bc b c bc b c b c b c b b or c c b b or c c -++-=++∴-++-=++++=-+⎧∴⎨=-⎩∴⨯+++=-∴+++=-∴++=-+=+=-⎧⎧∴⎨⎨+=-+=⎩⎩=-=-⎧⎧∴⎨⎨=-=-⎩ 解：设得：为整数

5() 5.

a b c ⎩∴=--+=

然后根据多项式恒等的条件列出方程组，解出方程组确定待定系数，从而达到因式分解的目的。

2222222221387=2)()

21387

=2(2)()21318772138721)(7).

x xy y x y x y a x y b x xy y x y x xy y a b x b a y ab

a b a b a b ab x xy y x y x y x y --++-++-+--++---+++-++=-⎧=-⎧⎪∴-=⎨⎨=⎩⎪=-⎩

∴--++-=+--+解：设（展开得：解得（

(3)待定系数法确定方程或解方程

待定系数也是解方程和确定方程的一种重要方法，在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化.

例5：已知一元二次方程的两根为3和5，求二次项系数为2的一元二次方程.

分析：可设出该二元一次方程220x bx c ++=然后根据两根列出方程组，解出方程组求出待定系数. 22203518305050

430

2-4300.

x bx c b c b c b c x x ++=-+=⎧∴⎨++=⎩=-⎧⎨=⎩∴+= 解：设该二元一次方程为，

该方程的两根为-和，，

解得所求的一元二次方程为

4. 小结

待定系数法是中学数学解题的一种重要数学思想方法，广泛运用于初中数学和高中数学解题中。学生在用待定系数法解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，列出以含有待定系数为未知数的方程（组），这是待定系数法解题的关键。解出方程（组），确定待定系数，使得问题得于解决。

5. 参考文献

①《初中数学新课标》中学数学课程教材研发中心编著/人民教育出版社.2010.5 ②《义务教育课程标准试验教科书》中学数学课程教材研发中心编著/人民教育出版社.2010.5

③《孙维刚导学初中数学》/孙维刚编著/教育科学出版社.1999.5

④《用待定系数法解题举例》/赵钦荣.2008.