待定系数法

【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨

锦元数学工作室 编辑

在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。

比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x 2-3=（1-A ）·x 2＋Bx ＋C ，求A ，B ，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A ，B ，C 的值。这里的A ，B ，C 就是有待于确定的系数。

代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx ，将（2，﹣从而求得正比例函数解析式。这里的k 就是有待于确定的系数。 代入所求，从而使问题获解。b 2=k a 3=，则a=3k b=2k ，，

；

在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。

一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据

右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答

案。

典型例题：

例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】

A ．9

B ．－9

C ．±9

D ．±3 【答案】A 。

【考点】待定系数法思想的应用。

【分析】设()22x 6x k=x+A ++，则222x 6x k=x 2Ax A ++++， ∴22A=6A=3k=9A =k ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩

。故选A 。 练习题：

1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】

A ．64

B ．48

C ．32

D ．16

2.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。

3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

4.（2011湖北荆州3分）将代数式2x 4x 1+-化成2(x p)q ++的形式为【 】

A.2(x 2)3-+

B.2(x 2)4+-

C.2(x 2)5+-

D.2(x 4)4++ 二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

典型例题：

例：（2012四川凉山4分）已知

b 5a 13=，则a b a b -+的值是【 】 A ．23 B ．32 C ．94 D ．49

【答案】D 。

【考点】比例的性质。

【分析】∵b 5a 13=，∴设b 5k a 13==，则b=5k ， a=13k ，把a ，b 的值代入a b a b

-+，得， a b 13k 5k 8k 4===a b 13k 5k 18k 9

--++。故选D 。 练习题：

1.（2012北京市5分）已知a b =023

≠，求代数式5a 2b (a 2)(a+2b)(a 2b)b ⋅--－的值。 2.（2011四川巴中3分）若

a 22a

b 3=-，则b a = ▲ 。 三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别

对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：

x 3－6x 2+11x －6，223x 5xy 2y x 9y 4+-++-，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。

典型例题：

例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2x x 2+-＝ ▲ 。

【答案】（x －1）（x ＋2）。

【考点】因式分解。

【分析】设()()2x x 2x A x B +-=++，

∵()()()2x A x B x A B x A B ++=+++⋅，A B=1A B=2+⎧⎨⋅-⎩，解得A=1B=2-⎧⎨⎩或A=2B=1

⎧⎨-⎩，

∴()()2x x 2=x 1x 2+--+。

〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗

例2：分解因式：223x 5xy 2y x 9y 4+-++- ▲ 。

【答案】()()3x y 4x 2y 1-++-。

【考点】因式分解。

【分析】∵()()223x 5xy 2y 3x y x 2y +-=-+，

∴可设()()223x 5xy 2y x 9y 43x y a x 2y b +-++-=-+++。

∵()()()223x y a x 2y b 3x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab -+++=+-+++-+， ∴()22223x 5xy 2y x 9y 43x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab +-++-=+-+++-+。

比较两边系数，得a 3b=12a b=9ab=4+⎧⎪-⎨⎪-⎩

①②③。

联立①，②得a=4，b =－1。代入③式适合。