待定系数法在数列中的应用
待定系数法
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
待定系数法在高考递推数列中的应用 (1)
待定系数法在高考递推数列题中的应用模型1：a n ＋1=pa n ＋q （其中p 、q 均为常数，（pq （p －1）≠0）） [解法]（待定系数法）：把原递推公式转化为：a n ＋1－λ=p(a n －λ)其中λ=pq-1，再用换元法令b n =a n －λ，则有b n ＋1=pb n ，从而数列{b n }为等比数列，于是由a n =b n ＋λ可求出数列a n 的通项公式。
例1：已知数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1。
求a n 。
解：令a n ＋1＋λ=2(a n ＋λ)即a n ＋1=2a n ＋λ ∴λ=1从而a n ＋1＋1=2 (a n ＋1)，令b n = a n ＋1 则b 1=a 1＋1=2且1111++=++n n n n a a b b =2 故数列{b n }是以b 1=2为首项，以2为公比的等数列。
则b n =2×2n －1=2n ∴a n =2n －1练习1、（06重庆文）在数列{a n }中，若a 1=1，a n ＋1=2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n =练习2、一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有 只羊。
模型2：a n ＋1= pa n ＋r ·q n （其中p 、q 、r 均为常数，（p ·q ·r ·(p －1)·(q －1)≠0））[解法]一般来说，要先在原递推公式两边同除以q n ＋1，得q r q a q p q a n n n n +=++·11，再令b n =nn q a从而化为b n ＋1=qr b q p n +·，此即为模型1，可用模型1待定系数法解之。
例2：已知数列{a n }中，a 1=65，a n ＋1=31a n ＋(21)n ＋1，求a n 。
数列求通项待定系数法
数列求通项待定系数法摘要：一、引言二、数列求通项的概念三、待定系数法的原理四、使用待定系数法求解数列通项五、总结正文：一、引言在数学中，数列是一个具有特定规律的数字序列。
了解数列的通项公式有助于我们更好地把握数列的性质和规律。
待定系数法是一种常用的求解数列通项的方法，本文将对其进行详细介绍。
二、数列求通项的概念数列求通项是指找到一个公式，能够表示数列中任意一项与它的位置之间的关系。
通常用an 表示数列的第n 项，而通项公式则表示为an = f(n)。
三、待定系数法的原理待定系数法是一种求解数列通项的方法，主要思想是在已知数列的前几项情况下，设定一个通项公式，并求解待定系数，使得该公式满足已知的数列项。
待定系数法通常分为两步：1.设定一个通项公式an = a1 * r^(n-1) + b1 * r^(n-2) + ...+ k1 * r^0，其中a1、b1、...、k1 为待定系数，r 为公比。
2.利用已知的数列项，列出关于待定系数的方程组，求解该方程组，得到待定系数的值。
四、使用待定系数法求解数列通项假设我们有一个数列：1, 3, 5, 7, 9，我们可以使用待定系数法求解该数列的通项。
1.设定通项公式an = a1 * 2^(n-1) + b1 * 2^(n-2) + ...+ k1 * 2^0。
2.利用已知的数列项，列出关于待定系数的方程组：a1 * 2^0 + b1 * 2^(-1) + ...+ k1 * 2^(-4) = 1a1 * 2^1 + b1 * 2^0 + ...+ k1 * 2^(-3) = 3a1 * 2^2 + b1 * 2^1 + ...+ k1 * 2^(-2) = 5a1 * 2^3 + b1 * 2^2 + ...+ k1 * 2^(-1) = 7a1 * 2^4 + b1 * 2^3 + ...+ k1 * 2^0 = 93.求解方程组，得到待定系数的值。
4.根据求解得到的待定系数，得到数列的通项公式。
用待定系数法求解递推数列的通项公式
用待定系数法求解递推数列的通项公式
1待定系数法概述
待定系数法（待实例后，又称勒让德法）是一种求解递推数列通项公式的数学方法。
它以建立恰当的通项公式和找出隐含其中的待定系数为任务来处理数学问题。
因此，它属于一种推广了线性代数知识的计算方法，能够解决较为复杂的数列序列求解问题。
2基本步骤
第一步：准备递推数列，也就是给足够的项，然后依此保持一定的规律，确定n的范围，比如n的取值从0开始，一直到n-1；
第二步：将所有系数都放回到等式左边，将等号右边的数字转化为系数，并写作公式的右边：
第三步：用矩阵解法求解。
假设A=（aij），B=（bi）是m方系数矩阵和m向量，其中i、j可取从1到m，那么求解相应线性代数方程组AX=B，则X=AB-1；
第四步：最后将得到的X中所有的数给出，即得出该递推数列的通项公式。
3示例及应用
以下例子来说明如何使用待定系数法求解递推数列的通项公式：例如：求数列an的通项公式
由给定的递推关系an=an-1-1，可得a0=1
根据待定系数法求解，设an=a0xn：
a0xn=a0x(n-1)-1
化简成：xn-xn-1=-1
可以得出答案：an=a0(xn+1)=a0[(1/2)(-1)n+1]
它最简之形式便是an=1+[(-1/2)n]
待定系数法广泛用于建模和求解相关数列问题，也可用于研究不同类型的递推关系，如定组成规律、数值递推关系、数学表达式和函数表达式等。
有时可以用来解决具有特殊条件的复杂系统，比如比较整数组的格局，或者计算连续随机变量的概率分布等。
待定系数法求数列通项公式
待定系数法求数列通项公式数列是在数学中经常出现的一种序列，它是按照一定规律依次排列的一组数。
数列可以通过给定前几项来确定它的通项公式，通项公式则能够给出数列中任意一项的值。
待定系数法就是一种用于求解数列通项公式的数学方法。
1.假设通项公式的形式：首先通过观察数列的特征，猜测通项公式的形式。
通项公式可以是多项式、指数函数、三角函数等。
2.求解未知系数：将通项公式中的未知系数设为待定系数，用已知条件代入通项公式，得到一组方程。
通过求解这组方程，我们可以确定待定系数的值。
3.验证通项公式：将求得的待定系数代入到通项公式中，验证该公式是否能够满足数列的所有已知条件。
如果满足条件，那么该通项公式即为数列的通项公式；如果不满足条件，则需要重新调整通项公式的形式或求解更多的未知系数。
下面我们以一个具体的例子来演示待定系数法的应用过程。
例题：已知数列的前几项依次为2、5、10、17、26...求数列的通项公式。
解：1. 假设通项公式的形式：我们观察数列的前几项，发现每一项与前一项之间的差都是递增的。
这种差的递增规律，提示我们可以假设通项公式为一个多项式来表达。
假设通项公式为An = an^2 + bn + c，其中a、b、c为待定系数。
2.求解未知系数：将已知条件代入通项公式，得到一组方程。
代入An = an^2 + bn + c中的已知条件：当n=1时，A1=a+b+c=2；当n=2时，A2=4a+2b+c=5；当n=3时，A3=9a+3b+c=10；解这组方程可以得到a=1，b=0，c=13.验证通项公式：将求得的待定系数代入到通项公式中，验证是否满足数列的所有已知条件。
将a=1，b=0，c=1代入通项公式An = an^2 + bn + c中：当n=1时，A1=1+0+1=2，符合；当n=2时，A2=4+0+1=5，符合；当n=3时，A3=9+0+1=10，符合。
因此，通项公式为An=n^2+1，可以得到数列的通项公式。
用待定系数法求递推数列的通项公式
用待定系数法求递推数列的通项公式待定系数法是求递推数列通项公式的一种常用方法。
该方法基于递推数列的特点，通过设定合适的待定系数，将通项公式表示成由待定系数组成的表达式，并经过递推关系的逐步化简，最终求解出待定系数的值，从而得到递推数列的通项公式。
下面将详细介绍待定系数法的求解步骤。
首先，我们假设递推数列的通项公式为An=f(n)，其中An表示数列的第n项。
为了方便计算，我们通常假设数列的递推关系为线性关系，即数列的第n项可以通过前面若干项的线性组合来表示。
接下来，我们使用待定系数法的基本步骤来求解递推数列的通项公式。
第一步：确定待定系数的个数根据递推数列的递推关系，确定待定系数的个数。
一般来说，待定系数的个数等于递推数列递推关系中的最高指数。
例如，如果递推关系中的最高指数为k，那么待定系数的个数就是k+1、通过确定待定系数的个数，我们可以知道通项公式中所需的待定系数个数。
第二步：设定待定系数设定待定系数的具体值。
通常情况下，我们设定待定系数为a0、a1、a2等。
第三步：根据递推关系列出方程根据递推数列的递推关系，使用已设定的待定系数列出方程。
将递推数列的递推关系代入通项公式中，得到包含待定系数的方程。
第四步：递推计算根据前面列出的方程，逐步计算数列的各项，并同时计算待定系数的值。
通过从1到k的递推计算，可以求解出待定系数的值。
第五步：得到通项公式将求得的待定系数的值代入到第一步所确定的通项公式中，即可得到递推数列的通项公式。
通过以上五个步骤，可以使用待定系数法求解递推数列的通项公式。
在实际应用中，待定系数法可以广泛应用于求解各种类型的递推数列，无论是等差数列、等比数列还是其他类型的数列。
总结起来，待定系数法是求解递推数列通项公式的一种常用方法。
通过设定待定系数、列出方程、递推计算和得到通项公式的步骤，我们可以求解出递推数列的通项公式。
待定系数法在数列的研究和应用中有着重要的地位，通过手动计算或使用计算机软件进行数值计算，可以求解出复杂的递推数列的通项公式。
待定系数法求数列通项公式(可编辑
待定系数法求数列通项公式(可编辑下面，我将以一个具体的例子来说明待定系数法的具体步骤。
假设我们已知数列的前几项为：1,3,5,7,9,...我们需要找出满足这些已知项的数列通项公式。
首先，我们要观察数列的递推关系。
在本例中，我们可以发现数列的每一项都是前一项加上2，因此可以得到递推关系：An=An-1+2，其中An 表示数列的第n项。
然后，我们用未知系数来表示数列的通项公式。
假设数列的通项公式为An = an^2 + bn + c，其中an、bn和c是待定系数。
我们要确定这些待定系数的值，使得公式能够满足已知的前几项。
接下来，我们将已知项代入数列通项公式，并带入递推关系中。
对于本例，我们将前四项代入：A1=a(1)^2+b(1)+c=1A2=a(2)^2+b(2)+c=3A3=a(3)^2+b(3)+c=5A4=a(4)^2+b(4)+c=7上面的等式可以简化为：a+b+c=14a+2b+c=39a+3b+c=516a+4b+c=7现在，我们可以通过解这个线性方程组来确定未知系数的值。
使用待定系数法的第一步是通过消元法将这个线性方程组转化为上三角或下三角形式，这样方程的解就能够通过回代法求得。
但是这里我们之求a、b和c的值，而不需要求解方程组的解。
因此，为了简化求解过程，我们可以采用另一种更简单的方法。
我们可以通过观察等式两边的系数来发现一个规律。
在本例中，我们可以发现左边的系数分别是1,4,9,16，是一个公差为3的等差数列，而右边的常数项分别是1,3,5,7，也是一个等差数列。
因此，我们可以假设左边系数的递推公式为n^2，且右边常数项的递推公式为2n-1、即a=n^2，b=2n-1，c为常数项。
将这些规律代入等式中，我们可以得到三个等式：n^2+(2n-1)+c=14n^2+(2(2n-1))+c=39n^2+(2(2n-1))+c=5将等式进行再次简化：n^2+2n+(c-1)=14n^2+4n+(c-3)=39n^2+4n+(c-5)=5由于等式是成立的，所以左边的式子和右边的常数项应该是相等的。
用待定系数法求数列的通项公式
用待定系数法求数列的通项公式给出数列的递推公式求数列通项公式，常用到待定系数法，就是设法在原递推式中增添适当的项，进而把它转化为一个等比数列的递推公式，这种方法应用广泛，易于掌握。
现举例说明。
（其中,,,p q r s 为常数）题型一：1n n a pa q +=+型例1 在数列}{n a 中，11=a ，831+=+n n a a ，求数列的通项公式。
分析：为使原递推式两端项数相同，并能满足同一对应关系，可知应在左端添加常数项，故需设待定系数x ，将原递推式恒等变形。
解：∵831+=+n n a a ∴ x a x a n n ++=++831 ∴)38(31x a x a n n ++=++，应使1n a x ++与83n x a ++满足同一函数()n f n a λ=+的对应关系，以便化为等比数列求解。
可令83x x +=，所以4x =，∴143(4)n n a a ++=+。
∴数列{4}n a +是首项145a +=，公比为3的等比数列。
故1453n n a -+=⋅ ∴1534n n a -=⋅+。
掌握了这个基本思想，我们就可以用同样的方法做下面的几个例题。
题型二：1n n a pa rn s +=++型 与11n n n a pa r q s ++=+⋅+型。
例2．在数列}{n a 中，已知1117,5234n n n a a a ++==+⋅-，求数列}{n a 的通项公式。
分析：为使原递推式两端的项数相同，并满足同一种对应关系，在左端应添加含23n +的项和常数项，故需设两个待定系数,x y ，将原式恒等变形。
解：115234n n n a a ++=+⋅- ∴2121352334n n n n n a x y a x y ++++++=+⋅++- 即：211(23)435[3]55n n n n x y a x y a ++++-++=+⋅+，应使该等式两侧满足同一函数1()3n n f n a λμ+=+⋅+的对应关系，以便求解，可令(23)4,55x y x y +-==，∴1,1x y ==，∴211315(31)n n n n a a +++++=++，于是数列1{31}n n a ++-是首项为15，公比为5的等比数列。
巧用待定系数法求an +1 =pan +q 型递推数列通项公式
纵观近年的高考试题可以发现,求形如a n+1=pan+q()p≠0，q≠1的递推数列的通项公式问题出现的频率越来越高，这类题目恰恰是很多同学常常丢分的题目.而待定系数法是解答此类问题的有力“武器”.本文将结合实例来探讨一下用待定系数法求a n+1=pan+q型递推数列的通项公式的思路.用待定系数法求形如a n+1=pa n+q()p≠0，q≠1递推数列的通项公式，需先引入一个待定系数k,使an+1+k=p()a n+k,将其化简可得a n+1=pa n+()p-1k，然后将这个式子与原数列递推式对比可以求得k=qp-1，于是便构造出一个形如{}an+qp-1的等比数列.通过计算可求得该数列的首项为a1+q p-1，公比为p.那么我们就可以运用等比数列的通项公式来求出{}an+qp-1的通项公式,进而得到原数列的通项公式a n=æèçöø÷a1+q p-1p n-1-q p-1.例1.已知数列{}a n中a1=2，a n+1=(2-1)(a n+2)，n∈N.求数列的通项公式.解:设a n+1+t=()2-1()a n+t，将其展开可得()2-2t=2()2-1，由a n+1=()2-1()a n+2得t=-2，则a n+1-2=()2-1()a n-2，所以数列{}an-2是首项为2-2，公比为2-1的等比数列，故a n-2=2()2-1n，所以a n=2()2-1n+2，即{}a n的通项公式为a n=2éëêùûú()2-1n+1.通过引入待定系数t,便构造出首项为2-2，公比为2-1的等比数列,根据等比数列的通项公式便可求出原数列的通项公式.例2.在数列{}a n中，a1=3，a n+1=2a2n()n∈N*，求数列{}a n的通项公式.解:在a n+1=2a2n的两边取对数可得lg a n+1=lg2a2n，即lg a n+1=2lg a n+lg2.令b n=lg a n，则b n+1=2b n+lg2.设b n+1+t=2()b n+t，则t=lg2，可得b n+1+lg2=2()b n+lg2，所以数列{}b n+lg2是首项为lg3+lg2，公比为2的等比数列，所以b n+lg2=()lg3+lg22n-1，即b n=()lg6∙2n-1-lg2，所以lg an=lg62n-1-lg2=lg62n-12，即a n=62n-12.由a n+1=Aa m n()A>0，an>0，m为常数递推式求数列的通项公式,我们需先将递推式变形,即在递推式两边取对数,以便将指数m消去，把递推式转化为an+1=pa n+q的形式,再引入一个待定系数，将其构造成一个新的等比数列的通项，借助等比数列的通项公式求得结果.例3.在数列{}a n中，a1=2，a n=4a n-1+2n，求数列{}a n的通项公式.解:在a n=4a n-1+2n的两边同除以2n,可得an2n=2a n-12n-1+1，令b n=2b n-1+1,则b n+1+1=2()b n-1+1,则{}b n+1是以b1+1=a12+1=2为首项，以2为公比的等比数列.所以b n+1=2∙2n-1=2n，所以b n=2n-1，即a n2n=2n-1，所以a n=4n-2n.对于形如a n+1=pa n+q n()p≠1，q≠0的数列递推式，在求其通项公式时,我们需将q n转化,可以在等式两边同时除以q n，再令b n=a n+1q n，这样便构造出等比数列{}b n+1,求得数列{}b n+1的通项公式，便能快速求得数列{}a n的通项公式.用待定系数法求a n+1=pa n+q型递推数列的通项公式的关键是通过引入待定系数,构造出等比数列.当出现较为复杂的数列递推式时,我们要先将递推式进行适当的变形,如取对数、取倒数等，将其转化为an+1=pa n+q的形式，然后用待定系数法来解题.（作者单位：江苏省无锡市第三高级中学）巧用待定系数法求a n+1=pa n+q孙成成学考方略50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
待定系数法数列求通项
待定系数法数列求通项
待定系数法是数学中常用的一种方法，用于求解一些常数值。
在数列的求通项中，特别是对于一些比较复杂的数列，使用待定系数法能够更加方便、快捷地得出结果。
要使用待定系数法求数列的通项，需要按照以下步骤进行：
第一步：根据已知的数列，列出前几项数值，并观察数列的规律和特征。
第二步：假设数列的通项是等式形式，其中有一些未知常数。
这些未知常数即为待定系数。
第三步：利用前几项数值代入等式，构成若干个方程，进而用待定系数解出这些方程。
第四步：将求得的待定系数，带于原假设的等式中，即可得到数列的通项。
例如，对于数列1，3，6，10，15...，可以假设其通项为an=an-1+n，其中n为待定系数。
接着，带入前几项数值，可以得到：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10...等四个方程。
这时，利用待定系数求解，可以得出n=2。
最后，将求得的n带入原假设的等式中，即可得出数列的通项为an=an-1+2。
待定系数法虽然看似简单，但对于一些复杂的数列，也需要较高的数学素养和丰富的数学知识。
需要我们使用多种方法和技巧，如递
推公式法、等差数列、矩阵法等等，才能得出正确的结果。
在进行计
算的过程中，还需要注意算式的变形和运算的组合，保证计算的正确
性和有效性。
总之，待定系数法是数学中应用广泛的一种方法，能够在求解数
列的通项中起到重要的作用。
我们需要深入学习并灵活运用这种方法，从而更好地解决数学中的问题。
同时，在运用待定系数法时，也要善
于观察数列规律，灵活掌握多种计算技巧，才能得出正确的结果。
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待定系数法在数列中的应用
待定系数法是一种常用的数学方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
这里谈谈利用待定系数法解决数列中已知递推关系式求通项的一些解法，供大家参考：
一、形如d ca a n n +=+1的数列求通项，可以通过()x a c x a n n +=++1的形式，利用待定系数法求出x 的值，转化为公比是c 的等比数列求解。
例3．已知数列{}n a 满足23,111+==+n n a a a ，求通项n a ；
解：∵231+=+n n a a ,∴设()x a x a n n +=++31，则1=x
∴()1311+=++n n a a
∴{}1+n a 是公比为3的等比数列，首项是211=+a
∴1321-⋅=+n n a
∴()*,1321N n a n n ∈-⋅=-
二、形如n n n d m ca a ⋅+=+1的数列求通项，当d c ≠时，可以通过
()n n n n d x a c d x a ⋅+=⋅+++11的形式，利用待定系数法求出x 的值，转化为公比是c 的等比数列求解；当d c =时，转化为等差数列求解。
例2． ①已知数列{}n a 满足n n n a a a 23,111+==+，求通项n a ；
∵n n n a a 231+=+
∴设()n n n n x a x a 232
11⋅+=⋅+++，则1=x ∴()
n n n n a a 23211+=+++， {}
n n a 2+是公比为3的等比数列，首项是3211=+a ∴n n n n a 33321=⋅=+-
∴()*,23N n a n n n ∈-=∴
②已知数列{}n a 满足n n n a a a 243,111⋅+==+，求通项n a ；
∵n n n a a 2431⋅+=+
∴设()n n n n x a x a 232
11⋅+=⋅+++，则4=x ∴()
n n n n a a 2432411⋅+=⋅+++，92411=⋅+a {}
n n a 24⋅+∴是公比为3的等比数列，首项是92411=⋅+a ，
∴1133924+-=⋅=⋅+n n n n a
∴()*,2431N n a n n n ∈⋅-=+∴
③已知数列{}n a 满足n n n a a a 33,111+==+，求通项n a ；
∵n n n a a 331+=+ ∴313
311+=++n n n n a a ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是公差为31的等差数列，首项是31 ∴
33n a n n = ∴13-⋅=n n n a
三、形如e dn ca a n n ++=+1的数列求通项，可以通过()y xn a c y n x a n n ++=++++)1(1的形式，利用待定系数法求出x 、y 的值，转化为公比是c 的等比数列求解。
例3．已知数列{}n a 满足n a a a n n 23,111+==+，求通项n a ；
解：∵n a a n n 231+=+
∴设()y n x a y n x a n n +⋅+=++⋅++3)1(1，则⎪⎩
⎪⎨⎧==211y x ∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=++++21321)1(1n a n a n n ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧
++21n a n 是公比为3的等比数列，首项是2
52111=++a
∴132
521-⋅=+
+n n n a ∴213251--⋅=-n a n n 。
四、形如11-++=n n n qa pa a 的数列求通项，可以通过()11-++=+n n n n xa a y xa a 的形式，利
用待定系数法求出x 、y 的值，转化为n n n z ya a +=+1的数列求解问题。
例4、已知数列{}n a 满足()2,32,2,51121≥+===-+n a a a a a n n n ，求通项n a ； （见课本必修5第69也复习参考题B 组第6题）
解法一：,3211-++=n n n a a a
()11-++=+∴n n n n xa a y xa a 设
则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧==-1
33132
y x y x xy x y 或 ()113-++=+∴n n n n a a a a
{}1-+∴n n a a 是公比为3的等比数列，721=+a a
1137--⋅=+∴n n n a a
令()11313-++-=+n n n n x a x a ，与1137--⋅=+∴n n n a a 对照可得x=47- ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅--=⋅--+113471347n n n n a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⋅-∴-1347n n a 是公比为-1的等比数列，首项是413471=-a ()1114
13347---⋅=⋅-∴n n n a ()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法二：同上得：1137--⋅=+n n n a a ∴973313
11=⋅+--n n n n a a ∴设⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+--x a x a n n n n 113313与973313
11=⋅+--n n n n a a 对照可得：127-=x
∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=---12733112
7311n n n n a a ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-1273n n a 是公比为31-的等比数列，121312731=-a 。
131********-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=-n n n a ()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴--。
解法三：同解法一得：()n n n n a a a a 33112--=-+++ ∴{}n n a a 31-+是公比为-1的等比数列，13312-=-a a ∴()n
n n a a 11331-⋅=-+ ∴()n
n n a a 11331-⋅+=+ ∴设()()()n n n n x a x a 13111-⋅+=-⋅+++与()n n n a a 11331-⋅+=+对照可得：413=x ∴(){}n n x a 1-⋅+是公比为3的等比数列，∴4
74131=-a ∴()134
71-⋅=-⋅+n n
n x a ()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法四：同解法三得：()n
n n a a 11331-⋅=-+ ∴()()1313111
=-⋅+-++n n n n a a
∴设()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=+-++x a x a n n n n 1311
1
与()()1313111=-⋅+-++n n n n a a 对照可得413=x ∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=+-++4131341311
1
n n n n a a ∴()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-4131n n a 是公比为-3的等比数列，()47413111-=+-a ∴()()13474131--⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+-n n n
a
()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法五：同解法三得：()n n n a a 11331-⋅=-+
同解法一得n n n a a 371⋅=++
()⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-⋅=-++②
①..............................37.................113311n n n n n n a a a a ②-①得：()11371134--⋅+-⋅=∴n n n a
()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 例5． 已知βα、是方程02=++q px x 的两个根，,,221q p a p a -==
()2,11≥+=-+n qa pa a n n n ,求通项n a 。
解：βαβα⋅=+=q p ,
()111--+⋅++=+=n n n n n a a qa pa a αββα
()11-+⋅-=⋅-n n n n a a a a αβα
{}1-⋅-n n a a α是公比为β的等比数列，首项是 ()()22
212βαββααβαα=-+-+=--=⋅-q p p a a ∴n n n n a a βββα=⋅=⋅---221…………………….① 又()11-+⋅-=⋅-n n n n a a a a βαβ
同理可得：n n n a a αβ=⋅--1……………………②
当βα=时，n n n a a αα=⋅--1
111=---n n n n
a a αα，n n n n
n a n a αα⋅=∴=∴,
当βα≠时，由①②得 ：β
αβα--=++1
1n n n a
综上，⎪⎩
⎪⎨⎧≠--=⋅=++βαβαβαβαα,,,11n n n n n a
说明：本例和例4基本相同，请读者自己考虑其它解法。