初中数学培优题库试题4附答案

初中数学培优题库试题4附答案

第Ⅰ卷(选择题共36分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)

1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( )

A．4 B．5

C．6 D．7

2．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝

50°，则∠2＝( )

A．20° B．30°

C．40° D．50°

3．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是( )

A．6＜L＜15 B．6＜L＜16

C．11＜L＜13 D．10＜L＜16

4．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定

△ABC≌△ADC的是( )

A ．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC

C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°

5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位

置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，

CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( )

A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m

6．如图，?ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则

△CDE的周长是( )

A．6 B．8

C．10 D．12

7．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形

ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为

( )

A．5 5 B．10 5

C．10 3 D．15 3

8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，

DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )

A.1

3 B.2－ 1 C ．2－ 3 D.1

4

9．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于( )

A.35

B.5

3 C.73 D.54

10．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12 11．如图，点

E ，点

F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，

BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H.若AF DF ＝2，则HF

BG

的值为

( )

A.23

B.712

C.12

D.512 12.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连接AP 并延长AP 交CD 于F 点，连接CP 并延长CP 交AD 于Q 点．给出以下结论：

①四边形AECF 为平行四边形； ②∠PBA＝∠APQ； ③△FPC 为等腰三角形； ④△APB≌△EPC.

其中正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第Ⅱ卷(非选择题 共84分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 13．下列命题是真命题的序号为______．

①对角线相等的四边形是矩形；

②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③任意多边形的内角和为360°；

④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

14．如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，

当无人机飞行至C

处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为

30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A，B间的距离为_________米(结果保留根号)．

15.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．

16．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________．

17．如图，直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA 分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n－1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n－1，用S1，S2，S3，…，S n－1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n－1P n－2P n－1的面积，则S1＋S2＋S3＋…＋S n－1＝________．

三、解答题(本大题共7个小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

18．(本题满分7分)

如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．

19．(本题满分7分)

如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于

点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)若AD＝3，AB＝5，求

AF

AG

的值．

20．(本题满分8分)

随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军

委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻．如

图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°

的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方

向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，

问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？(参考数据：2

≈1.414，3≈1.732，结果精确到1海里)．

21．(本题满分9分)

如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.

(1)求证：?ABCD是菱形；

(2)若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面积．

22．(本题满分10分)

如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．

(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；

(2)求斜坡CD的长度．23．(本题满分11分) 如图，在△ABC中，BC＞

AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.

(1)如图1，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F.

①求证：FA＝DE；

②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论；

(2)如图2，当∠ACB＝120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

24．(本题满分12分)

如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为点E ，GF⊥CD，垂足为点F. (1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AG

BE 的值为________；

(2)探究与证明：

将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：

正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3

所示，延长CG 交AD 于点H.若AG ＝6，GH ＝22，则BC ＝________．

参考答案

1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.C

7.B

8.A

9.B 10.D 11.B 12.B

13．④ 14.100＋100 3 15.6017 16.6

5或3

17.14－1

4n

18．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.

在△ABC 和△DEF 中，????

?AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，

∴△ABC≌△DEF(SSS )． (2)解：由(1)可知∠F＝∠ACB. ∵∠A＝55°，∠B＝88°，

∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°.

19．(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°. ∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB. ∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.

(2)解：由(1)可知△ADE∽△ABC，∴AD AB ＝AE AC ＝3

5.

∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC，

∴△EAF∽△CAG，∴AF AG ＝AE AC ，∴AF AG ＝3

5

.

20．解：在△APC 中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC ＝PC. ∵AP＝400海里，

∴由勾股定理知AP 2＝AC 2＋PC 2＝2PC 2，即4002＝2PC 2， ∴PC＝2002海里．

又∵在直角△BPC 中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°， ∴PB＝

PC

cos 60°

＝2PC ＝4002≈566(海里)．

答：此时巡逻舰与观测点P 的距离PB 约为566海里． 21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°. ∵BE＝DF ，∴△AEB≌△AFD， ∴AB＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)解：如图，连接BD 交AC 于点O.

∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6， ∴AC⊥BD，

AO ＝OC ＝12AC ＝1

2

×6＝3.

∵AB＝5，AO＝3，

∴BO ＝AB2－AO2＝52－32＝4，∴BD＝2BO＝8，

∴S平行四边形ABCD＝1

2

AC·BD＝24.

22．解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，

则AC＝AB

tan60°

＝60

3

＝203(米)．

答：坡底C点到大楼距离AC的值是203米．

(2)如图，过点D作DF⊥AB于点F.设CD＝2x，则DE＝x，CE＝3x. 在Rt△BDF中，

∵∠BDF＝45°，

∴BF＝DF，

∴60－x＝203＋3x，

∴x＝403－60，

答：CD的长为(803－120)米．

23．(1)①证明：∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°.∵∠ACB＝90°，

∴∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，

∴∠FCA＝∠DCE.

∵∠FAC＝90°＋∠B，∠CED＝90°＋∠B，

∴∠FAC＝∠CED.

∵AC＝EC，∴△AFC≌△EDC，

∴FA＝DE.

②解：DE＋AD＝2CH.

(2)解：AD＋DE＝23CH.理由如下：

如图，连接CD，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于点F. ∵∠FCA＋∠ACD＝

∠ACD＋∠BCD，

∴∠FCA＝∠BCD.

∵∠EDA＝60°，∴∠EDB＝120°.

∵∠FAC＝120°＋∠B，∠DEC＝120°＋∠B，

∴∠FAC＝∠DEC.

∵AC＝EC，∴△FAC≌△DEC，

∴AF＝DE，FC＝DC.

∵CH⊥FD，

∴FH＝HD ，∠FCH＝∠HCD＝60°. 在Rt △CHD 中，tan 60°＝DH

CH ，

∴DH＝3CH.

∵AD＋DE ＝AD ＋AF ＝2DH ＝23CH ， 即AD ＋DE ＝23CH.

24．(1)①证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°. ∵GE⊥BC，GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CF G ＝∠ECF＝90°，

∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°， ∴EG＝EC ，

∴四边形CEGF 是正方形． ②解： 2

提示：由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°， ∴

CG

CE

＝2，GE∥AB， ∴AG BE ＝CG

CE

＝ 2. (2)解：AG ＝2BE.理由如下： 如图，连接CG ，

由旋转性质知∠BCE＝∠ACG ＝α. 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，

CE CG ＝cos 45°＝22，CB CA ＝cos 45°＝22， ∴

CG CE ＝CA

CB

＝2，∴△ACG∽△BCE， ∴AG BE ＝CA

CB

＝2， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG ＝2BE. (3)解：3 5

提示：∵∠CEF＝45°，点B ，E ，F 三点共线， ∴∠BEC＝135°.

∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°， ∴∠AGH＝∠CAH＝45°.

∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA， ∴AG AC ＝GH AH ＝AH CH

. 设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC ＝2a ， 则由AG AC ＝GH AH 得62a

＝22AH ，

∴AH＝23

a ，

则DH ＝AD －AH ＝13a ，CH ＝CD 2＋DH 2

＝103a ，

∴AG AC ＝AH CH 得6

2a ＝23

a 10

3a ， 解得a ＝35，即BC ＝3 5.