高等数学第一章函数与极限试题
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高等数学第一章函数与极限试题
1. 选择题
1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，
则必有
（A） F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
（C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
（D） F(x)是单调函数f(x)是单调函数
2．设函数则
Δy = sin(+Δx)-sin x = . ∵ ，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0），再由x的任意性知正弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。
58. 解 注意f (x)是分段函数，且点两侧f表达式不一致。
解法1 ∵f (0 - 0) =， f (0 + 0) =， ∴ . 又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = x在点x = 0处连续（图1—19）。 解法2 ∵， ∴ 函数在点左连续； 又∵ ， ∴ 函数在点右连续，所以函数在点连续。
）
A.0；
B.；
C. ；
D.16．
二. 填空题
11．极限=
.
12. =_______________.
13. 若在点连续，则=_______________；
14. ___________；
15. _________________；
16. 若函数，则它的间断点是___________________
59. 函数= 是否在点连续？
60. 求极限 .
答案：
一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法
找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且
当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过
来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.
40.
41. 42.
43. = 44.
45. 46.
47.
49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点
51. 间断，但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点 52. 证明：x0∈(－∞,＋∞)
因为 ，f(x0)=x02
所以
f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99 31 . 解： 32. 解： 33 . 解：
34 . 解： 35 . 解：⑴
因为 ， 所以 函数在指定点的极限不存在。 ⑵ 因为， 所以 函数在指定点的极限 36 . 37 . 38 . 39 .
（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
Βιβλιοθήκη Baidu
（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点
（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
（D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.
3．设(x)=，x≠0,1,则[]= ( )
A） 1－x B） C） D） x
9D
10
解 原式.
▌
注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中 若对分子的每项作等价替换，则
错误！
原式.
二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 16. 17 . 18. 19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量
由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为
｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）
29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字 母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同 一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，
20 . ① 函数y = f (x) 在点x0有定义；
② x→x0 时极限存在； ③ 极限值与函数值相等，即
三. 计算题 21 . 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
【详解】 = ==
22. (x)=3lnx+1 x＞0
23. 24. 25. 26. ; 27. 3 28. 解：由x＋2≥０解得x≥-2
4．下列各式正确的是 ( )
A） =1 B） =e
C） =-e D） =e
5．已知，则( )。
A.1；
B.；
C.；
6．极限：( )
D.。
A.1；
B.；
C.；
D.
7．极限：=（
）
A.1；
B.；
C.0；
D.2．
8．极限：=（
）
A.0；
B.；
C；
D.2．
9. 极限：=（
）
A.0；
B.；
C.2；
D. ．
10．极限: =（
17. 绝对值函数
其定义域是
,值域是
18. 符号函数
其定义域是 ，值域是三个点的集合
19. 无穷小量是 20. 函数在点x0 连续，要求函数y = f (x) 满足的三个条件是
三. 计算题
21.求 22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求(3－x); 24.求(); 25.求 26. 已知，求的值； 27. 计算极限 28.求它的定义域。
，x＝０
51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
，x＝０
52. 证明f(x)＝x2是连续函数
53.
54.
55. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根
56.
57. 试证正弦函数 y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。
58. 函数f (x) = x = 在点x = 0处是否连续？
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
且 ，所以x=0为第二类间断点；
，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).
【评注】 应特别注意：， 从而，
3C
4A
5C
6
7A
8
∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = . （有理化法）
36.
37.
38.
39. 求当x→∞时，下列函数的极限
40. 求当x→∞时，下列函数的极限41.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48. 研究函数在指定点的连续性
x0＝0 49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 ,x＝1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
因此，函数f(x)＝x2是连续函数。
53.
54. 55 . 证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，
则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0
根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，
则x＝ξ就是方程的根。
56. 原式 57. 证 x (-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量
方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=,
排除(D); 故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考
查过.
请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?
2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。
∵， ∴ 在点x = 0处连续
60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t ) ，当x→0时，t→0,
∴ 原式. 特别地，，这表明x→0时，x ex - 1.
29. 判断下列函数是否为同一函数：
⑴ f(x)＝sin2x＋cos2x g(x)＝1
⑵
⑶
⑷
⑸ y＝ax2
s＝at2
30. 已知函数 f(x)＝x2-1，
求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)
31. 求
32. 求
33. 求
34. 求
35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴
⑵
1. 选择题
1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，
则必有
（A） F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
（C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
（D） F(x)是单调函数f(x)是单调函数
2．设函数则
Δy = sin(+Δx)-sin x = . ∵ ，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0），再由x的任意性知正弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。
58. 解 注意f (x)是分段函数，且点两侧f表达式不一致。
解法1 ∵f (0 - 0) =， f (0 + 0) =， ∴ . 又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = x在点x = 0处连续（图1—19）。 解法2 ∵， ∴ 函数在点左连续； 又∵ ， ∴ 函数在点右连续，所以函数在点连续。
）
A.0；
B.；
C. ；
D.16．
二. 填空题
11．极限=
.
12. =_______________.
13. 若在点连续，则=_______________；
14. ___________；
15. _________________；
16. 若函数，则它的间断点是___________________
59. 函数= 是否在点连续？
60. 求极限 .
答案：
一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法
找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且
当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过
来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.
40.
41. 42.
43. = 44.
45. 46.
47.
49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点
51. 间断，但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点 52. 证明：x0∈(－∞,＋∞)
因为 ，f(x0)=x02
所以
f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99 31 . 解： 32. 解： 33 . 解：
34 . 解： 35 . 解：⑴
因为 ， 所以 函数在指定点的极限不存在。 ⑵ 因为， 所以 函数在指定点的极限 36 . 37 . 38 . 39 .
（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
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（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点
（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
（D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.
3．设(x)=，x≠0,1,则[]= ( )
A） 1－x B） C） D） x
9D
10
解 原式.
▌
注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中 若对分子的每项作等价替换，则
错误！
原式.
二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 16. 17 . 18. 19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量
由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为
｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）
29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字 母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同 一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，
20 . ① 函数y = f (x) 在点x0有定义；
② x→x0 时极限存在； ③ 极限值与函数值相等，即
三. 计算题 21 . 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
【详解】 = ==
22. (x)=3lnx+1 x＞0
23. 24. 25. 26. ; 27. 3 28. 解：由x＋2≥０解得x≥-2
4．下列各式正确的是 ( )
A） =1 B） =e
C） =-e D） =e
5．已知，则( )。
A.1；
B.；
C.；
6．极限：( )
D.。
A.1；
B.；
C.；
D.
7．极限：=（
）
A.1；
B.；
C.0；
D.2．
8．极限：=（
）
A.0；
B.；
C；
D.2．
9. 极限：=（
）
A.0；
B.；
C.2；
D. ．
10．极限: =（
17. 绝对值函数
其定义域是
,值域是
18. 符号函数
其定义域是 ，值域是三个点的集合
19. 无穷小量是 20. 函数在点x0 连续，要求函数y = f (x) 满足的三个条件是
三. 计算题
21.求 22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求(3－x); 24.求(); 25.求 26. 已知，求的值； 27. 计算极限 28.求它的定义域。
，x＝０
51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
，x＝０
52. 证明f(x)＝x2是连续函数
53.
54.
55. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根
56.
57. 试证正弦函数 y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。
58. 函数f (x) = x = 在点x = 0处是否连续？
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
且 ，所以x=0为第二类间断点；
，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).
【评注】 应特别注意：， 从而，
3C
4A
5C
6
7A
8
∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = . （有理化法）
36.
37.
38.
39. 求当x→∞时，下列函数的极限
40. 求当x→∞时，下列函数的极限41.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48. 研究函数在指定点的连续性
x0＝0 49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 ,x＝1 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
因此，函数f(x)＝x2是连续函数。
53.
54. 55 . 证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，
则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0
根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，
则x＝ξ就是方程的根。
56. 原式 57. 证 x (-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量
方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=,
排除(D); 故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考
查过.
请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?
2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。
∵， ∴ 在点x = 0处连续
60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t ) ，当x→0时，t→0,
∴ 原式. 特别地，，这表明x→0时，x ex - 1.
29. 判断下列函数是否为同一函数：
⑴ f(x)＝sin2x＋cos2x g(x)＝1
⑵
⑶
⑷
⑸ y＝ax2
s＝at2
30. 已知函数 f(x)＝x2-1，
求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)
31. 求
32. 求
33. 求
34. 求
35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴
⑵