同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵及其运算

第2章矩阵及其运算[视频讲解]

2.1本章要点详解

本章要点

■矩阵的定义

■矩阵与线性变换

■矩阵的运算

■矩阵的转置与逆矩阵

■方阵的行列式

■矩阵分块法

重难点导学

一、矩阵

1．定义

由m ×n 个数a ij （i ＝1，2，…，m ；j ＝1，2,…，n ）排成的m 行n 列的数表

称为m 行n 列矩阵，简称m ×n 矩阵．记为

2．分类

（1）实矩阵

矩阵元素都为实数的矩阵．（2）复矩阵矩阵元素为复数的矩阵．

（3）行矩阵/列矩阵

又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．（4）n 阶方阵

行数与列数都等于n 的矩阵称为n 阶方阵．（5）零矩阵元素都是零的矩阵．

（6）对角矩阵对角线以外的元素都是0的方阵．

（7）单位矩阵

对角线上元素都为1的对角矩阵．3．同型矩阵与矩阵相等

（1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．

（2）两个矩阵()ij A a =与()ij B b =为同型矩阵，并且对应元素相等，即

(1,2,,;1,2,,)

ij ij a b i m j n === 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A ＝B ．

4．矩阵与线性变换

n 个变量12,,,n x x x 与m 个变量12,,,m y y y 之间的关系式

……………………11111221221122221122n n n n m m m mn n

y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++??=+++????=+++?表示一个从变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 线性变换，其中ij a 为常数．

提取ij a 得到一个矩阵

1112121

22211n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系．

二、矩阵的运算

1．矩阵的加法

（1）定义

设有两个m×n矩阵A＝（a ij）和B＝（b ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．

（2）运算规律

设A，B，C都是m×n矩阵，则

①A＋B＝B＋A；

②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；

③设矩阵A＝（a ij），记：－A＝（－a ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．

2．数与矩阵相乘

（1）定义

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为

（2）运算规律

设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则

①（λμ）A＝λ（μA）；

②（λ＋μ）A＝λA＋μA；

③λ（A＋B）＝λA＋λB．

3．矩阵与矩阵相乘

（1）定义

设A＝（a ij）是一个m×s矩阵，B＝（b ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c ij），其中

并把此乘积记为C＝AB．

（2）运算规律

①（AB）C＝A（BC）；

②λ（AB）＝（λA）B＝A（λB）（其中λ为数）；

③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；

④EA＝AE＝A；

⑤A k A l＝A k＋l，(A k)l=A kl．

（3）注意

①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．

②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．

③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．

④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X －Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．

三、矩阵的转置

1．定义

把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A T．

2．转置运算

（1）（A T）T＝A；

（2）（A＋B）T＝A T＋B T；

（3）（λA）T＝λA T；

（4）（AB）T＝B T A T．

3．对称矩阵

设A为n阶方阵，如果满足A T＝A，即a ij＝a ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．