平面直角坐标系中的基本公式

∴AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b，
BA＝x1－x2＝(a＋b)－(a－b)＝2b.
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例3 判断下列命题的真假：
(假) 1.单位向量都相等； (真) 2.起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等；
(假) 3.若
ab
则
ab
；
(真)
4.若
a
b,
b
c，则
a
c
；
小结：
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4. 求函数 y＝ x2＋1＋ x2－4x＋8的最小值． 解 ∵函数的解析式可化为
y＝ x2＋1＋ x2－4x＋8
＝ x－02＋0－12＋ x－22＋0－22.
令 A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)， 则问题转化为在 x 轴上求一点 P(x,0)， 使得|PA|＋|PB|取最小值． ∵A 关于 x 轴的对称点为 A′(0，－1)， ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝ 2－02＋2＋12 ＝ 4＋9＝ 13. 即函数 y＝ x2＋1＋ x2－4x＋8的最小值为 13.
设是数轴上的任意一个向量，如图，
O是原点，点A的坐标为 x 1 ，
点B的坐标为 x 2 ，则
AB
o x1 x2
x
OB=OA+AB,或
A
B
AB=OB-OA
x1 o
x2
x
依轴上点的坐标定义，OB= x 2 , OA= x 1 ,有：
AB= x 2 - x 1
用d(A,B)表示A,B两点的距离，根据这个公式 可以得到，数轴上两点A,B的距离公式是
当AB不平行于坐标轴， 也不在坐标轴上时，从 点A 和点B分别向x轴， y轴作垂线
AA 1,AA 2和 B B 1,B B 2,
垂 足 分 别 为
y
B2
A
A2
A1
O
B
C x
B1
A1(x1,0), A2(0,y1),B1(x2,0),B2(0,y2) 其 中 直 线 BB1和 AA2 相 交 于 点 C
5. 数轴上的公式
在数轴上，如果点A作一次位移到点B， 接则着 位又移点uAuCuBr 再叫作做一位次移位uAuBu移r 与到位点移CuB，uCur 的和，
记作 uuur uuu r uuu r ACABBC,
则对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系：
AC=AB+BC
如何用向量的起点和终点坐标来计算向量的坐标？
向比量较的大模小是的.可有以大进小行|大ar小|比| br较| 的;向量是不能
二、平面直角坐标系中的基本公式
1、两点间的距离公式
(1)原点O (0,0)与任意一点A(x，y)之间的距离
y
A(x，y) 当A 不在坐标轴上时，
d(O,A) x2y2
O
x A1 x
当A 在坐标轴上时，公式也成立
（2）任意两点A（x1,y1)，B（x2,y2)之间的距离公式
例 1 、 已 知 A ( 2 ,- 4 ) ,B ( - 2 ,3 ) ,求 d ( A ,B ) .
解：x1 2,x2 2,y1 4,y2 3, xx2 x1 224, yy2 y1 3(4)7 d(A,B)= x2 y2 (4)2 72 65.
例 2、 已 知 点 A (1,2),B (3,4),C (5,0), 求 证 A B C 是 等 腰 三 角 形 。
＝ x2＋6x＋25， d(P，B)＝ x－22＋0－ 32
＝ x2－4x＋7， 由 d(P，A)＝d(P，B)，
即 x2＋6x＋25＝ x2－4x＋7，
化故简P得点的x＝坐－标95为，－95，0，
d(P，A)＝ 2020/4/22
－3＋952＋42＝2
109 5.
3．已知平面内平行四边形的三个顶点 A(－2,1)、B(－1,3)、
oA
B( a ,0 ) x
AC 2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以AC 2 BD2 2( AB2 AD2 ).
2、中点公式.
已 知 A (x 1,y1),B (x 2 ,y2 ),设 点 M (x ,y)是
解析几何简介
解析几何是数学中最基本的学科之一,也是科学 技术中最基本的数学工具之一.十七世纪初,法国 数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产生 的必要和可能.他们通过把坐标系引入几何图形中, 将几何的基本元素—“点”,与代数的基本研究对 象—“数”对应起来,从而将几何问题转化为代数 问题,将曲线或曲面转化为方程、函数进行解决。 由于变量数学的引进，大大地推动了微积分的发 展，使整个数学学科有了重大进步，那次解析几 何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃.
综上所述，A、B 两点重合，或 A 点位于 B 点右侧．
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例 2 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说 明哪一个点位于另一个点的右侧)： (1)A(－1.5)，B(－3)；(2)A(a)，B(a2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)． 解 (1)∵－1.5>－3， ∴A(－1.5)位于 B(－3)的右侧． (2)∵a2＋1－a＝a－122＋34≥34>0， ∴a2＋1>a，∴B(a2＋1)位于 A(a)的右侧． (3)当 x≥0 时，|x|＝x， 则 A(|x|)和 B(x)为同一个点． 当 x<0 时，|x|>x， 则 A(|x|)位于 B(x)的右侧．
线 段 AB的 中 点 .过 点 A,B,M分 别 向
B
x轴 、 y轴 作 垂 线 AA1,AA 2, BB1, BB2,
B2
M M 1,M M 2,垂 足 分 别 为
. M 2 M
A1(x1,0), A 2 (0, y1), B1 (x 2 ,0 ),B 2 (0 ,y 2 ),
A
A 2
M 1(x ,0 ),M 2 (0 ,y)
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式仍然成立。
求两点间距离的步骤：
（1）给两点的坐标赋值：
x 1 ? ,y 1 ? ,x 2 ? ,y 2 ? ;
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，
即
xx 2 x 1 , y = y 2y 1 ;
（3）计算 d x2 y2
（4）给出两点的距离d.
1.判断一个量是否为向量：就是要判断该量既有___大__小__
又__有__方_向___.
2.向量的表示:可用_有__向__线__段__或_字__母___表示.
3.两个特殊向量:零向量是指_长__度__为___0的向量;单位向量 是指_长__度__为__1__的向量.
4.相等向量:两相等向量的方向__相__同___长度__相__等____. 5.向量能不能比较大小?
d（A,B）=ӀABӀ=Ӏ x 2 - x 1 Ӏ
例 3 (1)已知 A、B、C 是数轴上任意三点． 若 AB＝5，CB＝3，求 AC；
(1)解 ∵AC＝AB＋BC， ∴AC＝AB－CB＝5－3＝2.
(2)解
(2) 已知数轴上 A、B 两点的坐标分别为 x1＝a＋b， x2＝a－b，求 AB、BA. ∵A 点的坐标是 x1＝a＋b，B 点的坐标是 x2＝a－b，
证明：取A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立
平面直角坐标系xoy，依据平行四边形的 y
性质可设点A,B,C,D的坐标为 A (0,0),B(a,0),C(b,c),D(b-a,c).
(b-a,c) (b ,c )
D
C
所以 AB2 =a2, AD2 (b a)2 c2, AC 2 b2 c2, BD2 (b 2a)2 c2,
一、数轴上的基本公式
复习：
(1)数轴的概念
象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线 叫做数轴 。
(2)数轴上的点和实数的对应
N
M
数轴上的点和实数一一对应
如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x, 记作P(x). 例如：数轴上的点M的坐标为3，记作M(3),
点N的坐标为-2，记作N(-2).
例 1 (1)如果点 P(x)位于点 M(－2)，N(3)之间，求 x 的取值 范围； (2)试确定点 A(x2＋x＋1)与 B34的位置关系． 解 (1)由题意可得，点 M(－2)位于点 N(3)的左侧， 而 P 点位于两点之间，应满足－2<x<3. (2)∵x2＋x＋1＝x＋122＋34， ∴当 x＝－12时，A、B 两点重合； 当 x≠－12时，x2＋x＋1>34，∴A 点位于 B 点右侧．
2
2
AO 1
M1
B1
中点公式
例4、已知YABCD的三个顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),
求顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，
所 以 它 们 的 坐 标 也 相 同 ， 设 点 D的 坐 标 为 （ x,y） ,
则
x 2 3 5 1
2
2
y2 02 1
2
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1. 向量的定义
位移：如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向 或负向移动到另一点B,则说点在轴上作了一 次位移.点不动则说点作了零位移。
位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫 做位移向量，简称向量。
2.向量的表示
A◦
◦B
从点Ａ到点Ｂ的向量，记作：AB ,
点Ａ叫做向量的起点，点Ｂ叫做向量的 终点．
2
得 x0
y4
所 以 点 D的 坐 标 为 （ 0， 4） ， 即 D（ 0， 4）
课后作业：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．已知两点 A(a，b)，B(c，d)，且 a2＋b2－ c2＋d2＝0，
则
( D)
A．原点一定是线段 AB 的中点
B．A、B 一定都与原点重合
C．原点一定在线段 AB 上但不是中点
D．以上结论都不正确 解析 由 a2＋b2－ c2＋d2＝0， 得： a2＋b2＝ c2＋d2，
的绝对值等于向量的长度。
2.两个特殊向量：
零向量: 表示：
长 度为零的向量(没有确定方向). 0 , | 0|0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
4.相等的向量
数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．
uuur uuur ABCD,
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
－２
－１
０
１
２
注：相等的向量，它们的坐标相等； 反之，如果数轴上两个向量的坐标相等， 则这两个向量相等。
AO 1
M1
B1
因 为 M是 线 段 AB的 中 点 ，
所
以
点
M
和
1
点
M
分
2
别
是
A1B 1和 A 2 B 2的 中 点 ， 即
B
B2
A1M 1 M 1B1, A2M 2 M 2 B 2.
. M
M
2
所 以 x x1 x2 x, y y1 y2 y A
A 2
.即
x x1 x2 , y y1 y2
证明：因为d(A,B) (31)2 (42)2 8 d(A,C) (51)2 (02)2 20 d(B,C) (53)2 (04)2 20
所以AC=BC, 又可验证A,B,C不共线，所以ABC是等腰三角形。
例 3 、 已 知 Y A B C D ， 求 证 ： A C 2 + B D 2 = 2 ( A B 2 + A D 2 ) .
线段ＡＢ的长叫做向量 AB 的长度，
记作ӀAB Ӏ
3.向量的坐标
一般地，我们用实数表示数轴上的一个向量， 这个实数就叫做向量的坐标或数量。
uuur
例如，图uBuAur中的的坐向标量为A B-3可用正数3表示；反之，
A
B
注：向量
uuur AB
的坐标，在本书中用AB表示。
如图AB=3,BA=-3
注意1：轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的 绝对值为线段AB的长度， 即向量坐标
即 d(O，A)＝d(O，B)．
所以 A、B 到原点 O 的距离相等，
故选项 A、B、C 都错，故选 D.
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2. 已知点 A(－3,4)，B(2， 3)，试在 x 轴上找一点 P，使得
d(P，A)＝d(P，B)，并求出 d(P，A)． 解 设 P(x,0)，由题意得 d(P，A)＝ x＋32＋0－42
y
在直角ACB中，
B2
B
AC A1B1 x2 x1 BC A2B2 y2 y1 由勾股定理得：
A
A2
A1
O
C
x
B1
AB 2 AC 2 + BC 2 x2 x1 2 + y2 y1 2 由此得到计算A(x1,y1),B(x2,y2 )两点之间的距离公式
d(A,B)= (x2 x1)2 ( y2 y1)2
C(3，4)，求第四个顶点 D 的坐标．
解 分以下三种情况(如图所示)． (1)构成▱ABCD1(以 AC 为对角线)． 设 D1(x1，y1)， AC 的中点坐标为12，52，其也为 BD1 的中点坐标， ∴12＝－12＋x1，52＝3＋2 y1. ∴x1＝2，y1＝2，即 D1(2,2)．
(2)以 BC 为对角线构成▱ACD2B，同理得 D2(4,6)． (3)以 AB 为对角线构成▱ACBD3，同理得 D3(－6,0)．