平面直角坐标系中的基本公式与直线方程

数学必修二第二章第一、二节
平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 C 卷
一、选择题
1.设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围
是（ ）
2.若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是( )
A.3-
B. 1
C. 0或2
3
-
D. 1或3- 3.若直线l 的倾斜角α满足0150α︒︒≤<，且90α︒
≠，则它的斜率k 满足( )
A ．30k <≤
B ．3k >
C ．03k k ≥<或．3
0k k ≥<或
4.下列说法正确的是 （ ） A ．经过定点
()Px y 000
，的直线都可以用方程
()yy k xx -=-00
表示
B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y k x b =+表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程x a y
b +=1表示
D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P
，、，的直线都可以用方程
()()()()y y x xx x y y --=--121121表示
5.设两条直线的方程分别为00,x y a x y b ++=++=和已知,a b 是关于x 的方程
20x x c ++=的两个实数根，且0≤c ≤1
8
，则这两条直线之间距离的最大值和最小值
分别为( )
A.
212 B. 22212,221
2
6.若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12:70:50l x y l x y +-=+-=和上移动，则线段
AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．2 3
B ．3 3
C ．3 2
D ．4 2
7.对于平面直角坐标系内任意两点11(, )A x y ，22(, )B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：
2121(,)||||d A B x x y y =-+-．则下列说法正确．．
的个数是（ ） ①若()1,3A -，()1,0B ，则(,)5d A B =；
②若点C 在线段AB 上，则(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=； ③在ABC ∆中，一定有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +>；
④在平行四边形ABCD ，一定有(,)(,)(,)(,)d A B d A D d C B d C D +=+.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8.已知两定点A(-3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3x-4y ＋4＝0上，则PA ＋PB 的最小值为( )
A ．513
B ．362
C ．155
D ．5＋102
二、填空题
9.设直线L 过点A （2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L 的方程是_____________________
10.无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．
11.原点O 在直线L 上的射影为点H （-2，1），则直线L 的方程为_____________. 12.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ，0）和（0，b ），且a ，b ∈N*，则可作出的l 的个数为 条．
13.过点A （1，4）且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有 条．
14.如图，平面中两条直线l 1 和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若x , y 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x , y ）是点M 的“ 距离坐标 ” 。

已知常数．．p ≥0, q ≥0，给出下列三个命题： ①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；
②若pq=0, 且p+q ≠0，则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有2个； ③ 若pq ≠0则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有3个. 上述命题中，正确的有 . (填上所有正确结论对应的序号)
15.在平面直角坐标系中定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的交通距离为
()1212,d P Q x x y y =-+-。

若(),C x y 到点()()1,3,6,9A B 的交通距离相等，其中实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为 。

16.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=______________
三、解答题
17.已知直线l 过点()1,2P 为，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．
（1）当OP l ⊥时，求直线l 的方程；
（2）当OAB ∆面积最小时，求直线l 的方程并求出面积的最小值．
18.已知射线l 1：y=4x （x ≥0）和点P （6，4），试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．
19.如图，已知两条直线l 1:x-3y+12=0,l 2:3x+y-4=0，过定点P(-1，2)作一条直线l ，分别与l 1,l 2交于M 、N 两点，若P 点恰好是MN 的中点，求直线l 的方程.
20.一束光通过M(25，18)射入被x 轴反射到圆C ：x 2+(y-7)2
=25上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x 轴上反射点A 的活动范围.
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.D
5.D
6.C
7.C
8.A
9.3x-y-2=0
10.
11.
12.2
由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可得=1，
求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．
解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3
因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，
因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求
所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．
故答案为2．
本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．
13.2
直线的截距式方程．
探究型；分类讨论．
分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求．
解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，
代入A 的坐标得a=1+4=5． 直线方程为x+y=5．
所以过点A （1，4）且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有2条． 故答案为2．
本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题． 14.①② 15.)
5
21。

解析：由条件得1369x y x y -+-=-+-。

当1,9x y ≤≥时，无解； 当16,9x y ≤≤≥时，无解； 当6,9x y ≥≥时，无解；
当1,39x y ≤≤≤时，8.5y =，线段长为1。

当16,39x y ≤≤≤≤时，9.5x y +=，线段长为52 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =，线段长为4。

当1,3x y ≤≤时，无解。

当16,3x y ≤≤≤时，无解。

当6,3x y ≥≤时，无解。

综上所述，点C 的轨迹构成的线段的长之和为)
1524521+=。

16.3或-6
17.解：（1）由已知2OP k =,11
2
l op k k =-
=-， 由直线方程的点斜式可得直线l 的方程为()1
212
y x -=--， 所以直线l 的方程为250x y +-= （2）设直线l 的方程为
()10,0x y
a b a b
+=>>， 因为直线过()1,2P ，所以12
1a b
+=
∵ 122
12
a b ab
=
+≥ 8ab ≥，
当且仅当121121
2
a b
a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，即24a b =⎧⎨=⎩时，取得等号．
∴ 1
42
ABC S ab ∆=
≥ ，即面积的最小值为4 所以，直线l 的方程是124
x y
+=，即240x y +-= 18.解：设点Q 坐标为（a ，4a ），PQ 与
x 轴正半轴相交于M 点．
由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为：，
令，
∵a ＞1，∴
，
则
=，
当且仅当（a ﹣1）2
=1取等号．所以a=2时，Q 点坐标为（2，8）； PQ 直线方程为：x+y ﹣10=0．
19.参考答案：设所求直线l 的方程为： y=k(x+1)+2
由交点M 的横坐标x M =.
由
交点N 的横坐标x N =
∵P 为MN 的中点，
∴
.
所求直线l 的方程为x+2y-3=0.
20.参考答案：(1)M(25，18)关于x轴的对称点为M′(25，-18)依题意，反射线所在直线过(25，-18)，即.
即x+y-7=0.
(2)设反射线所在直线为y+18=k(x-25).
即kx-y-25k-18=0.。