流体力学与流体机械Ⅰ主要公式及方程
1 《流体力学与流体机械》(下)主要公式及方程式 1．流体力学常用准数： (1) 雷诺准数 luRe (2) 欧拉准数 2Euup (3) 牛顿准数 22NeluF
(4) 付鲁德准数 lgu2Fr (5) 马赫准数 auM (6) 斯特罗哈准数 luSt (7) 阿基米德准数 TTulg2Ar (8) 格拉晓夫准数23Grtlg (9) 韦伯准数 lu2We 2．气体等压比热和等容比热计算式：1pkRkC； 1vkRC 3．完全气体比焓定义式：TCRTepeip 4．完全气体状态方程式：TRp 状态方程微分式： TTppddd
5．完全气体等熵过程方程式：Cpk 等熵过程方程微分式： ddkpp 气体压力p、密度ρ和温度T之间的等熵关系：1kk12k1212)()(TTpp 6．气体熵增计算式：)]()ln[(lnln211kk121212p12ppTTRppRTTCss 7．热力学第一定律的能量方程式：weuzgpqeuzgp22222212111122 可压缩理想流体绝热流动能量方程式： 022221122iuiui 以温度和流速表述： 0p222p211p22TCuTCuTC 以温度和流速表述： 022221112121TRkkuTRkkuTRkk 2
以压力、密度和流速表述： 002222211112121pkkupkkupkk 以音速和流速表述： 121212022222121kaukauka 8．完全气体的音速公式：TRkpkpadd 9．理想流体一维稳定流动连续性方程式：CuAG 连续性方程微分式：0dddAAuu
10．欧拉运动方程的积分式：Cuzgp2d2 或简化为 Cup2d2 欧拉运动方程的微分式：0ddduuzgp 或简化为 0dduup
11．理想流体稳定流动的动量方程式： )()()(z1z2zy1y2yx1x2xuuQFuuQFuuQF 一维稳定流动动量方程微分式： 0ddxARuup 12．气体极限速度及临界速度计算式：120maxkTkRu； 120*kkRTu 13．流动参量与滞止参量间的关系：20211MkTT； 1kk20)211(Mkpp 1k120)211(Mk
； 2120)211(Mkaa
14．无因次速度Λ与马赫数M间的关系： 222)1()1(2kkM 15．流速的计算式： ])(1[12k1k00ppRTkku； 或 ])(1[12k1k000pppkku 无因次速度计算式： k1k00max)(11ppTTuu 3
16．质量流量的计算式： ])()[(12k1k0k2000pppppkkAG 1)2(k1k200)211(Mk
MpkAG
最大质量流量计算式：00*1)2(k1kmax)12(pkAkG 或 00*1)2(k1kmax)12(TPAkRkG 17．喷管出口马赫数计算式： ]1)[(12k1ke0eppkM 18．正激波在静止气体中传播速度计算式： 121212wppu 19．正激波后气流速度计算式： 211212)()(ppu 20．正激波前后速度关系式： 2*21auu 21．正激波前后马赫数间的关系式： )1(2)1(2212112121212122kMkMkkMkMkM 22．正激波前后气流参量比与波前M1数的关系式： 212121211
2)1(2)1(21121MkMkMkMk
11122112kkMkkpp ]1)1(2)[112()11(2121212MkMkkkkT
T
11)1(22112kkMkuu
1k1211kk21210102)1112(])1(2)1([kkMkkMk
Mk
pp
23．范诺流极限管长计算式： ])1(2)1(ln211[21212121maxMkMkkkMkMDL 4
24．范诺流参量变化关系式：2*)1(21MkkTT； 2122*])1(2)1([MkMkuu 2122
*])1()1(2[MkMk
； 212*])1(21[1MkkMpp
1)2(k1k2*00)1112(1MkkkMpp
25．瑞利流参量变化关系式：2*11Mkkpp； 222*)11(MkkMTT )11(122*kMkM
； )11(22*MkkMuu
]1)1(2[)11(2222*00kMkMkkMT
T
1kk22*00]1)1(2[11kMkMkkp
p
26．瑞利流能量方程式： 22222211uiqui 27．等温流能量方程式： 0201iqi 或 222221uqu 28．等温流压降计算式：)ln2(1212112221Dluupupp 等温流压降近似计算式：211211211MkDlpTRuDlpp 29．等温流质量流量计算式：)(16222152ppTRlDG 30．等温流极限管长计算式： )]ln(1[212121maxMkMkMkDL 31．等温流参量变化关系式：Mkuu； Mkpp1； TRu 32．等温流可能的最小压力： 11minMpkpp 33．紊流射流主要参量计算式： 段 名 参量名称 符 号 圆截面射流 平面射流 5
主 体 段
扩张(散)角 α atg4.32 atg44.22
射流半径或半宽度 R(B) )294.0(4.300RasRR 41.044.200BsaB
B
任意点速度 u 223m])(1[Rruu 22
3
m])(1[Byuu
中心速度 mu
294.0966.000m
Rsau
u
41.02.100m
Bsau
u
截面平均流速 u
294.019.000
Rsau
u
41.0492.000
Bsau
u
质量平均流速 u
294.0455.000
Rsau
u
41.0833.000
Bsauu
流 量 Q )294.0(2.200RsaQ
Q 41.02.100BsaQ
Q
起 始 段
起始段长度 sn a
Rs0n672.0
a
Bs0n03.1
喷口至极点距离 x0 aRx00294.0 a
Bx0041.0
核心收缩角 θ a49.1tg a97.0tg
截面平均流速 u
2
00
2000)(56.118.61)(32.176.01RsaRsaRsaRsauu
00
044.2143.01BsaBsauu
质量平均流速 u
2
000)(32.176.011RsaRsauu 0043.011Bsauu
流 量 Q 2000)(32.176.01RsaRsaQQ 0043.01BsaQQ
34．温差射流和浓差射流主要参量计算式： 段 名 参量名称 符 号 圆截面射流 平面射流
主 体 段
中心温差 ΔTm 294.0706.000m
RsaT
T
41.0032.100m
BsaT
T
质量平均温差 ΔT′ 294.0455.000
RsaT
T
41.0833.000
BsaT
T
中心浓差 Δcm 294.0706.000m
Rsac
c
41.0032.100m
Bsac
c
质量平均浓差 Δc′ 294.0455.000
Rsac
c
41.0833.000
Bsac
c
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
流体力学52个常用公式总结
流体力学常用公式总结1.液体的比重γ=ρg2.液体对水的密度比S=ρρwaterγ=Sγwater3.静水压强差ΔP=ρgh 4.剪应力和速度的关系τ=μdu dy5.三维的流速场的一般表达V=V(x,y,z,t)=u(x,y,z,t)i+v(x,y,z,t)j+w(x,y,z,t)k 6.三维的流线方程的一般形式dx u =dyv=dzw7.三维流场的加速度的一般形式8.三维流场的加速度的三个分量9.三维流场的连续性方程ðu ðx +ðvðy+ðwðz=010.流量的定义式11.流量的另一种表达AU=V→U=V A12.控制体内质量的变化律m=ρAU=ρV 13.控制体出入口进出质量守恒的方程ρ1A1U1=ρ2A2U2 14.雷诺数Re=ρUD μ15.伯努利方程的定义式P γ+v22g+Z=H16.理想条件下伯努利方程的形式P1γ+v122g+Z1=P2γ+v222g+Z217.考虑了损耗的伯努利方程P1γ1+v122g+z1=P2γ2+v222g+z2+H L18.一般情况下的伯努利方程P1γ1+v122g+z1+H p=P2γ2+v222g+z2+H t+H L19.系统动能变化率的一般式Q net+W net=dE sys dt19.系统功率的一般式Power=WΔt=F∙sΔt=F∙v=γQH=m gH20.一般情况下的伯努利方程的H p项H p=E pumpm g=Power pumpm g21.一般情况下的伯努利方程的H L项E loss=m gH L22.系统效率的一般式η=E out E in23.水泵的机械效率ηp=γQHPower→Power=γQHηp=PQηp24.水力发电机的机械效率ηt=Power→Power=γQH∙ηt=PQ∙ηt25.由动量守恒推导出的二向流体压力式F x=P1A1cosθ1−P2A2cosθ2+ρQ(v1cosθ1−v2cosθ2)−F y=P1A1sinθ1−P2A2sinθ2+ρQ(v1sinθ1−v2sinθ2) 26.由动量守恒推导出的流体压力的方向角α=tan−1(F y F x )27.喷气式飞机的理想模型F=ρ2Q2v2−ρ1Q1v1=m2v2−m1v1 28.由角动量定理的流体力矩T=r×ρQ(v2−v1)=ρQ[(r2×v2)−(r1×v1)] 29.力矩大小|T|=ρQ(r2v t2−r1v t1) 30.驱动力矩的功率Power=|T|ω31.斯托克斯方程的一般形式ρg−∇P+μ∇2V=ρDV Dt32.流体的旋度33.x方向的斯托克斯方程ρg x−ðPðx+μ(ð2uðx2+ð2uðy2+ð2uðz2)=ρ(dudt+ududx+vdudy+wdudz)34.二维平面流的连续性方程ðu ðx +ðvðy=035.二维平面的流函数u≡ðΨðy,v≡−ðΨðx36.极坐标下的二维平面流的连续性方程1 r ð(rv r)ðr+1rðvθðθ=037.极坐标下的二维平面的流函数v r=1rðΨðθ,vθ=−ðΨðr38.笛卡尔坐标系的势流方程ð2Φðx2+ð2Φðy2+ð2Φðz2=039.通过势流求极坐标的速度v r=ðΦðr,vθ=1rðΦðθ,v z=ðΦðz40.极坐标系的势流方程1 r ððr(rðΦðr)+1r2ð2Φðθ2+ð2Φðz2=041.通过势流求笛卡尔坐标系的速度u=ðΦðx,v=ðΦðy,w=ðΦðz42.笛卡尔坐标势流方程和流函数之间的互换u=ðΨðy,v=−ðΨðx⇔u=ðΦðx,v=ðΦðy43.极坐标势流方程和流函数之间的互换v r=1rðΨðθ,vθ=−ðψðr⇔v r=ðΦðr,vθ=1rðΦðθ44.马赫数M≡v a45.弗劳德数Fr≡v Lg46.欧拉数Eu≡ΔP ρv247.韦伯数We≡ρLv2σ48.管流在管壁上产生的剪应力τ=ΔPD 4L49.管流在管中的最大速度u max=R2dP 50.管内流量Q=ΔPπD4 51.管流的平均速度v avg=12u max52.管流速度关于半径的函数u(r)=14μ(ΔPL−ρg sinθ)(R2−r2)53.倾斜的管道的流量Q=πD4128μL(ΔP−ρgL sinθ)54.管道内流体的摩擦系数H f=f LDv avg22gf=f(Re)=64 Re。
流体力学3-3-4流体运动学
流体运动学的应用领域和发展趋势
能源
风力发电、水力发电等领域涉及到流体运动学的知识 ，用于提高能源转换效率和稳定性。
环境
流体运动学在气候变化研究、污染物扩散等领域有广 泛应用。
流体运动学的应用领域和发展趋势
1 2 3
跨学科融合
流体运动学与数学、物理、工程学等多个学科的 交叉融合，推动流体力学理论的创新与发展。
流体机械工作原理
泵的工作原理
通过叶轮旋转产生的离心力将流体吸入，在 叶轮出口处将流体以更高的压力排出。
风机的原理
利用叶轮旋转产生的空气动力学效应，将机 械能转换为空气的压力能和动能。
流体动力学在交通工程中的应用
要点一
车辆空气动力学
要点二
道路排水设计
车辆的外形设计、车速等都会影响空气对车辆的作用力， 进而影响车辆的行驶稳定性、燃油经济性等。
加强跨学科合作与交流是推动流体运动学发展的重要途径。
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流体力学3-3-4流体运动学
• 流体运动学概述 • 流体运动的分类与描述 • 流体运动的物理性质 • 流体动力学方程 • 流体运动的实例分析 • 总结与展望
01
流体运动学概述
流体运动学的定义与重要性
定义
流体运动学是研究流体运动的学科， 主要关注流体速度、方向和加速度等 物理量的变化规律。
重要性
层流与湍流
层流
流体在运动过程中，流层之间互不掺混，呈规则的层次流动 。
湍流
流体在运动过程中，流层之间相互掺混，流动呈现无规则的 紊乱状态。
定常流动与非定常流动
定常流动
流体在运动过程中，流场参数不随时 间变化而变化的流动。
非定常流动
流体力学
4.柏努利方程应用（讲解例题，重点）：
计算高位槽高度； 计算送料的压缩气体压力； 计算流体流速和流量； 确定输送设备的有效功率Ne=WWe
例题练习
如图所示，用泵将水从贮槽送至敞口高位槽，两槽液面均 恒定不变，输送管路尺寸为83×3.5mm，泵的进出口管道 上分别安装有真空表和压力表，压力表安装位置离贮槽的 水面高度H2为5m。当输水量为36m3/h时，进水管道全部阻 力损失为1.96J/kg，出水管道全部阻力损失为4.9J/kg，压 力表读数为2.452×105Pa，泵的效率为70%，水的密度为 1000kg/m3，试求： （1）两槽液面的高度差H为多少？ （2）泵所需的实际功率为多少kW？ H
所以
2．质量流速：单位时间内流体流经管道单位截面 积的质量， 即 所以
若为圆形管道，由流量和流速可确定管道的直径 d
u
Vs d2
4Vs d u
4
二、稳定流动和不稳定流动
稳定流动：在流动系统中，各固定截面上流体的流速、压强 、密度等有关物理量不随时间而变化，这种流动称为定态流 动或稳定流动。在不等径的管路中，流速也会变化？？ 不稳定流动：在流动系统中，各截面上流体的流速、压强、 密度等有关物理量随时间而变化，这种流动称为非定态流动 或不稳定流动。
测定压力
绝对压力
零压力、绝对真空
所以
真空度 = 大气压-绝对压力
例题1-4，1-5（学生讲解）
三、静力学基本方程
1.内容 描述静止流体内部压力（压强）变化规律的数学表达式。 推导：
p1
gz1
p2
gz2
p2 p1 g z1 z2 p p0 gh
2.使用条件：静止的同一种连续的流体；流体密度恒定。
流体力学相关方程表示式子
正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式子1: 算子∇的表示式为：123112233111e e e H q H q H q ∂∂∂∇=++∂∂∂2︒：散度A ∇ 的表示式为：()()()2311321231231211A H H A H H A H H A H H H q q q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∂∂∂∇+∂∂∂3︒：旋度A ∇⨯的表示式为：()()()()()()3322123231133222113133112121123331111231122331111H eH e H e A H A H A e H H H q q q H H qq H A H A H A H A H A e H A H A e H H q q H H q q ⎛⎫ ⎪⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪ ⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂∇⨯==-∂∂∂∂∂∂∂∂∂+-+-∂∂∂∂4︒：调和量∆的表达式：22313121231112223331H H H H H H H H H q H q q H q q H q φφφφφ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∆=∇=++∂∂∂∂∂∂5︒：说明：（1）：在柱面坐标系中：1H ρ=，H ϕρ=，1z H =（2）：在球面坐标系中：1r H =，H r θ=，sin H r ϕθ=柱坐标下的不可压缩流体的动量方程式1: 对流时间导数：()()()()()1z rV V V Vr r zθθ∂∂∂∇=++∂∂∂ 2︒：Laplace 算子：()()()()22222211r r r r r zθ⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∂∂∂∇=++∂∂∂∂ 3︒：动量方程：()()()2222222222rr r r r r r z z z zV V V V p V V g V t r r r r V V V V V p V V g V t rr r VpV V g V t z θθθθθθθθρρμθρρμθθρρμ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦∂∂∂+∇-=-+∇--∂∂∂∂∂∂+∇+=-+∇-+∂∂∂∂∂+∇=-+∇∂∂4︒：动量完全展开式：22222222222222222211211r r r r r z r r r r r r r r z V V V V V V V V t r r z r V V V V V V pg r r r r r z r r V V V V VV V V V tr r z rV V V V V pg r r r r z r θθθθθθθθθθθθθθθρθρμθθρθρμθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦∂∂∂∂+++-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++--∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++-∂∂∂∂∂22222222211r z z z z z z z z r z z V r V V V V V V V V V p V V g t r r z z r r r r z θθρρμθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=-++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂直角坐标下的流体的本构方程和动量守恒方程1: 本构方程：xy yx u v yx ττμ⎛⎫⎪⎝⎭∂∂==+∂∂ ，xz zx uw z x ττμ⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∂==+∂∂， yz zy v w z y ττμ⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∂==+∂∂ 2xx u divV x τλμ∂=+∂ ， 2yy v divV y τλμ∂=+∂ ， 2zz wdivV zτλμ∂=+∂2︒：动量守恒方程： ij D VF P D tρρτ=-∇+∇ yx xx zxx xy yy zyy yz xz zz z D u p F D t x x y zD v p F D t y x y zD w p F D t z x y zτττρρτττρρτττρρ∂∂∂∂=-+++∂∂∂∂∂∂∂∂=-+++∂∂∂∂∂∂∂∂=-+++∂∂∂∂ 将本构方程代入得：22x y z D u p u v u u wF V D t x x x y xy z z x D v p v u v w v F V D t y x x y y y z y z D w p uw F D t z x z ρρλμμμρρμλμμρρμ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∇++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+++∇+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂ 2w v w V x y yz z z μλμ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂+++∇+∂∂∂∂∂∂整理得：33x y z D u p u u u u v w F D t x x x y y z z x x y z D v p v v vu v w F D t y x x y y z zy x y z D w p F D t z μρρμμμμρρμμμρρ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-∂3w w w u v w x x y y z z z x y z μμμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂如果动力粘性系数μ认为是常数：则可简化以上N S -方程： ()213DV F p V V Dt μρρμ=-∇+∇+∇∇能量方程1: 直角坐标下：()()()()()()()()()()()()22p p p yx xy yy zy yz xx zx xz zz up vp w p D V T T T e q D t x c x y c y z c z x y z u v v v w u u w w xyzxyzxyzf Vλλλρρτττττττττρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+++---∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂+ 参考“计算流体力学入门”P71有：p p p xx yx zxxyyy zy xz yz zz D eT T T u v w q p D t x c x y c y z c z x y z u u u v v v w w wx y zx y z x y zλλλρρτττττττττ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂将本构方程代入得：2222222p p p D e T T T u v w q p D t x c x y c y z c z x y z u v w u v w u v u w v w xy z x y z y x z x z λλλρρλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2y ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭简化表示如下：()()22222222pD eq Tp V D t c u v w u v u w v w V x y z y x z x z y λρρφφλμ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭=+∇∇-∇+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2︒：柱坐标下不可压缩流体的能量方程：()()()D eq T p V T D tρρκφκφ=+∇∇-∇+=∇∇+ 又D e D T c D t D t νρρ= 于是有()()()2222222rr zz z rz r T c V T T t νθθθθρκμεεεεεε⎛⎫⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∂+∇=∇∇++++++∂ 其中()2222222rr zz z rz r θθθθφμεεεεεε⎡⎤⎣⎦=+++++ 式中： rrr V rε∂=∂ ， 1rV V r θθθεθ⎛⎫⎪⎝⎭∂=+∂ ，zzz V zε∂=∂ 1z z V V r z θθεθ∂∂=+∂∂ ， z r rz V V r zε∂∂=+∂∂ ， 1r r V V V r r θθθεθ⎛⎫⎪⎝⎭∂∂=-+∂∂粘性不可压缩流体的涡度输运方程1︒：三维问题 根据不可压缩流体动量守恒方程：2D V pF V D t υρ∇=-+∇ 即：()2V p V V F V t υρ∂∇+∇=-+∇∂ 由矢量恒等式：()()()()()A B A B A B B A B A ∇=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇ 得：()()()()()V V V V V V V V V V ∇=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇即：()()()212V V V V V V VV ω⎛⎫⎪⎝⎭∇=∇-⨯∇⨯=∇-⨯故有：2212V p V V F V t υρω⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∇+∇+⨯=-+∇∂------重点式子1对上式两端同时取旋度：()2p V F t υρωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∇+∇⨯⨯=∇⨯-∇⨯+∇∂ 若质量力F 有势 0F ∇⨯= 而()21p p ρρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭∇∇⨯=-∇⨯∇ 于是有：()()221V p t ωωρυωρ∂+∇⨯⨯=-∇⨯∇+∇∂-----重点式子2 若流体为正压性，即流体密度仅为压力的函数，则()210p ρρ∇⨯∇=又由矢量恒等式：()()()()()-∇⨯⨯=∇∇-∇+∇ B A B B A A B A A B得：()()()()()V V V V V ωωωωω-∇⨯⨯=∇∇-∇+∇ 其中：()0V ω=∇，对不可压缩流体()0V ω=∇故 ()()()V V V ωωω-∇⨯⨯=∇∇ 于是可以得到简化的涡度输运方程：()()2V V tωωωυω-∂+∇∇=∇∂ ------------重点式子3 陶老师《数值传热学》第二版 P ⋅323 式()840-可参考上式解释，要特别注意的是上式只适用于三维问题中。
流体力学基本概念和方程汇总
dv 1 f p 矢量形式： dt
11.5 理想流体的运动微分方程
若以当地加速度和迁移加速度表示方程组各 式左边的加速度，便得到
dvx v x v x v x 1 p vx vy vz fx dt x y z x dvy v y v y v y 1 p vx vy vz fy dt x y z y dvz v v v 1 p vx z v y z vz z f x dt x y z z
若控制体体积用CV表示，上式右 边第一项变为
N t t N A t N CV lim A vdv t 0 t t t CV
B A C
11.6 系统与控制体*
第二项变为
( dv)t t ( dv)t t N B t t NC t t B lim lim C t 0 t t t t 0
—不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称纳维斯托克斯方程，是不可压缩流体的最普遍的运动微 分方程。
11.4 纳维-斯托克斯方程*
（1）式加上不可压缩流体的连续方程
x y z 0 x y z
2
共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流 体运动问题中的四个未知数
x y z p
是在 t 时间内流出控制体内的流 体所具有的物理量，再除以 t ,就是单位时间 内流体所通过的控制表面上流出的这种物理量， 用面积分来表示，
B
( dv)t t
t 0
lim
( dv)t t
B
t
CS2
cos dA
CS2
n
《流体力学》课件
流体力学是在人类同自然界作斗争和在生产实践中逐步发展起来的。
古时中国有大禹治水疏通江河的传说；秦朝李冰父子带领劳动人民修建的都江堰，至今还在发挥着作用；大约与此同时，古罗马人建成了大规模的供水管道系统等等。
流体力学的萌芽：距今约2200年前，希腊学者阿基米德写的“论浮体”一文，他对静止时的液体力学性质作了第一次科学总结。
建立了包括物理浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理论，奠定了流体静力学的基础。
此后千余年间，流体力学没有重大发展。
15世纪，意大利达·芬奇的著作才谈到水波、管流、水力机械、鸟的飞翔原理等问题；17世纪，帕斯卡阐明了静止流体中压力的概念。
但流体力学尤其是流体动力学作为一门严密的科学，却是随着经典力学建立了速度、加速度，力、流场等概念，以及质量、动量、能量三个守恒定律的奠定之后才逐步形成的。
流体力学的主要发展：17世纪，力学奠基人牛顿（英）在名著《自然哲学的数学原理》（1687年）中讨论了在流体中运动的物体所受到的阻力，得到阻力与流体密度、物体迎流截面积以及运动速度的平方成正比的关系。
他针对粘性流体运动时的内摩擦力也提出了牛顿粘性定律。
使流体力学开始成为力学中的一个独立分支。
但是，牛顿还没有建立起流体动力学的理论基础，他提出的许多力学模型和结论同实际情形还有较大的差别。
之后，皮托（法）发明了测量流速的皮托管；达朗贝尔（法）对运动中船只的阻力进行了许多实验工作，证实了阻力同物体运动速度之间的平方关系；瑞士的欧拉采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到运动流体中，建立了欧拉方程，正确地用微分方程组描述了无粘流体的运动；伯努利（瑞士）从经典力学的能量守恒出发，研究供水管道中水的流动，精心地安排了实验并加以分析，得到了流体定常运动下的流速、压力、管道高程之间的关系——伯努利方程。
欧拉方程和伯努利方程的建立，是流体动力学作为一个分支学科建立的标志，从此开始了用微分方程和实验测量进行流体运动定量研究的阶段。
流体力学-第二章
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力 作用在dA面积上的液体总压力为 作用在 面积上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为A上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为 上的液体总压力为
作用在任意形状平面上的液体总压力大小， 作用在任意形状平面上的液体总压力大小，等于该平面的淹没 面积与其形心处静压强的乘积， 面积与其形心处静压强的乘积，而形心处的静压强就是整个受 压平面上的平均压强。 压平面上的平均压强。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。 总压力的方向垂直于平面，并指向平面。
ω
旋转
等压面方程
自由表面方程
第五节 一、图解法
作用在平面上的液体总压力来自液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面， 液体总压力的方向垂直于矩形平面，并指向平面，液体总压力的 作用线通过静压强分布图体积的重心。 作用线通过静压强分布图体积的重心。液体总压力作用线与矩形 平面相交的作用点D称为压力中心 称为压力中心。 平面相交的作用点 称为压力中心。
三、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 1. 流体静力学基本方程的物理意义
Z：单位重量流体从某一基准面算起所 ： 具有的位能，因为是对单位重量而言， 具有的位能，因为是对单位重量而言， 所以称单位位能。 所以称单位位能。
：单位重量流体所具有的压能，称 单位重量流体所具有的压能， 单位压能。 单位压能。
等压面方程
三、等压面 帕斯卡定 律 等压面方程 当流体质点沿等压面移动距离ds时 质量力所作的微功为零。 当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的微功为零。 ds 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 ds都不为零 因为质量力和位移ds都不为零，所以等压面和质量力正交。 这是等压面的一个重要特性。 这是等压面的一个重要特性。
流体力学与流体机械教材课后题答案
第一章 流体及其物理性质1-4.解： 由已知可知：△P=20000Pa%02.0d =ρρ由m=ρV 可得：dm=ρdV+Vd ρ，在压强变化时，质量没有变化， 则dm=0，即ρdV+Vd ρ=0，则Vd -d V=ρρ所以体积压缩系数8-10d dp 1d dp 1-=⨯==ρρκV V 1-5.解：由体积膨胀系数：VVT d d 1k =α可得： 34-k m 41.01555105d d =⨯⨯⨯=**=V T V α 所以说膨胀水箱的最小体积应该是0.41m 3。
第二章 流体静力学2-2.解：由gh ρ=V P 可得m 88.31880.928.14000g P h V =⨯==ρ 2-3解：如图所示：同种液体能够互相连通位于同一高度处是等压面，分析可知：a139h h g -h h g -gh h -h h g -gh gh P 2141143223B KP P P P B A A =+=-+++++=）（）（）（）（油水银油水银油水银油ρρρρρρρA Bh 1h 2油油水银油h 3h 4图2-32-11解：由题意可知：侧面BC 的总压力大小为：NAF 52110048.20.24.22.18.910008.38.9830gh gh ⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯+=）（）（水油ρρ 2-14解：真空表C 的读数是1.49×104Pa ，则自由液面在原来的基础上还要补充一段h ：m 52.180.910001049.1g Ph 4-=⨯⨯-==水ρ左侧水对闸门AB 的压力：N H H F 521c 100.1829.1829.12-h 8.91000A gh ⨯=⨯⨯+⨯⨯==）（水左ρ 左侧压力中心：m 14.3829.105.3829.1829.112105.3y bh 121h y xy y 23c 3c c c =⨯⨯⨯+=+=+=A A I D 左右侧油对闸门AB 的压力：N H F 42c 1025.2829.1829.128.9750A gh ⨯=⨯⨯⨯⨯==油右ρ 右侧压力中心：根据力矩平衡得：（假设作用于B 点力的方向向左）F 左×L 左= F 右×L 右+F B ×L可得：F B =39893.79N[其中L 左=y D 左—（H 1+h-H 2）] 2-15解：曲面ab 的压力: 水平方向分力：N F 6x c x 10225.11052/58.91000A gh ⨯=⨯⨯⨯⨯==ρ竖直方向分力：N B R V F 6p z 100.1S -L 21g g ⨯=⨯==∆）（ρρ则曲面所受合力：m2193.1829.12829.1829.1829.11212829.1y bh 121h y y y 23c 3c 'C 'c =⨯⨯⨯+=+=+=A A I XD ’右N F F F 62z 2x 1058.1⨯=+=合受力方向：225.10.1225.1tan z x ===F F θ 2-17解：曲面abcd 所受的静水压力：水平方向分力为：N A F 279305.10.12.1-4.28.91000gh x c x =⨯⨯⨯⨯==）（ρ 竖直方向分力为：NB R B R V F 5.698985.10.1434.25.10.18.9100043h g g 22P z =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯⨯==）（）（ππρρ则曲面所受合力为：N F F F 752722z 2x =+=合受力方向为：4.05.6989827930tan z x ===F F θ 2-19解：这道题关键是自由液面的选取：因为在C 点的绝对压强是196120Pa ，其相对压强是：m 67.98.910001001325.1-109612.1g a 55=⨯⨯⨯=-ρP P 作用于半球的总压力只有竖直方向的分力：NR R V F F 532p z 105.23421-2h -67.98.91000g ⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⨯⨯===ππρ）（第三章 流体运动学和动力学基础3-4解：由连续方程A 1V 1=A 2V 2可得：s m V d d V d d A V A V /5.0215.0442212221122212112=⨯====ππ所以说截面2-2处的平均流速为0.5m/s 。
流体力学流体静力学
增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
一般用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距
离，提升了测量精
度
l h
1
sin
流体力学
等角速转动液体平衡
非惯性系，相对静止问题
流体相对于运动坐标系静止，质点间无 相对运动，流体与器壁间也无相对运
动 相对静止平衡微分方程
f
1
p
0
流体力学
相对静止平衡微分方程
g
a
1
p
0
取 z 轴垂直向上，其分量形式为
流体力学
ax ay
1
1
p x p y
0 0
g
az
1
p z
0
等角速转动液体旳平衡1
1 p
ax
x
0
ay
1
p y
0
g
az
1
p z
0
z
流体力学
x
θ
ay
ax y ar
等角速转动液体旳平衡2
dp 2 xdx 2 ydy gdz
等压面
z 2 r2 C
加旳力矩大小设水密
度 = 1000kg / m3，
壁面倾斜角为60º
流体力学
平面上旳流体静压力－例题1
解：1) 闸门所受总压力