北师大版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)
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北师大版八年级上册数学轴对称解答题专题练习(解析版)
一、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是BC延长线上的一点,且BD=DE.点G是线段BC的中点,连结AG,交BD于点F,过点D作DH⊥BC,垂足为H.
(1)求证:△DCE为等腰三角形;
(2)若∠CDE=22.5°,DC=2,求GH的长;
(3)探究线段CE,GH的数量关系并用等式表示,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(22
;(3)CE=2GH,理由见解析.
【解析】【分析】
(1)根据题意可得∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,,由BD=DE,可得∠DBC=∠E=
1 2∠ACB,根据三角形的外角性质可得∠CDE=
1
2
∠ACB=∠E,可证△DCE为等腰三角
形;
(2)根据题意可得CH=DH=1,△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性质可得BG=GC,2+1,即可求GH的值;
(3)CE=2GH,根据等腰三角形的性可得BG=GC,BH=HE,可得GH=GC﹣HC=GC﹣
(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,即CE=2GH
【详解】
证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,
∵BD=DE,
∴∠DBC=∠E=1
2
∠ACB,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=1
2
∠ACB=∠E,
∴CD=CE,
∴△DCE是等腰三角形
(2)
∵∠CDE=22.5°,CD=CE2,
∴∠DCH=45°,且DH⊥BC,
∴∠HDC=∠DCH=45°
∴DH=CH,
∵DH2+CH2=DC2=2,
∴DH=CH=1,
∵∠ABC=∠DCH=45°
∴△ABC是等腰直角三角形,
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC,AG=GC=BG,
∵BD=DE,DH⊥BC
∴BH=HE2+1
∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1
∴GH=
2 2
(3)CE=2GH
理由如下:∵AB=CA,点G是BC的中点,∴BG=GC,
∵BD=DE,DH⊥BC,
∴BH=HE,
∵GH=GC﹣HC=GC﹣(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,
∴CE=2GH
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了角平分线的性质,等腰三角形的性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
2.如图,在ABC
△中,已知AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE AC
=,延长BE交AC于点F,求证:AF EF
=.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
延长AD到点G,使得AD DG
=,连接BG
,结合D是BC的中点,易证△ADC和
△GDB全等,利用全等三角形性质以及等量代换,得到△AEF中的两个角相等,再根据等角对等边证得AE=EF.
【详解】
如图,延长AD到点G,延长AD到点G,使得AD DG
=,连接BG.
∵AD是BC边上的中线,
∴DC DB
=.
在ADC和GDB
△中,
AD DG
ADC GDB
DC DB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
(对顶角相等),
∴ADC≌GDB
△(SAS).
∴CAD G
∠=∠,BG AC
=.
又BE AC
=,
∴BE BG
=.
∴BED G
∠=∠.
∵BED AEF
∠=∠
∴AEF CAD ∠=∠,即AEF FAE ∠=∠
∴AF EF =.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
3.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点.
(1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;
(2)如图2,若点A 的坐标为()
23,0-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时,整式2253m n +-的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ∆,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-3)EN=
12
(EM-ON),证明见详解. 【解析】
【分析】 (1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;
(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ≅,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-3-
(3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ≅,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12
(EM-ON).