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人教版八年级数学上册 轴对称填空选择专题练习(解析版)

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人教版八年级上册数学 轴对称填空选择(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 轴对称填空选择(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 轴对称填空选择（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8 【解析】【分析】易证∠MEC ＝∠CFN ，∠MCE ＝∠CNF ．只需MC ＝NC ，就可得到△MEC 与△CFN 全等，然后只需根据点M 和点N 不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，不合题意舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△E DF的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∵DE=DG，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵DG=DM， DN⊥AC，∴MN=NG，∴△DMN≌△DNG，∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，∴S△DEF=12S△MDG=1212=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．4．在ABC中给定下面几组条件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，错误；③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_________；【答案】217【解析】【分析】首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC的长.【详解】作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,又∠DAB+∠ABD=90°,∴∠BAD=∠CBE,又AB=BC,∠ADB=∠BEC.∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得34在Rt△ABC中,根据勾股定理,得22342217+=⨯=AB CB故答案为17【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E 从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA ⊥AB ，垂足为点A ，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，∴ ∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB 和△EBD 都是Rt △，∵点E 运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB ，∴当BE=BA=12cm 或BE=AC=6cm 时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE 分别等于0cm 、6cm 、18cm 、24cm ，又∵点E 每秒钟移动3cm ，∴当点E 移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.7．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________【答案】33【解析】【分析】过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【详解】如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，1212DF DFCDF CDFCD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，又∵BD=6，∴BE=12×6÷cos30°33∴BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，故BF的长为23或43.故答案为：23或43.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．8．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.9．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE 上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=22，则DF=________.【答案】3.【解析】【分析】由题意可证的△ABF≌△ACE,可得△AEF为等腰直角三角形，取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四边形AGCE为平行四边形，可得FD的长.【详解】解：如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE为∠BAC与EAF的公共角∴∠BAF=∠CAE,∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE∴∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，∴∠ABF=∠ACE，在△ABF与△ACE中，有AB ACBAF CAEABF ACE=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE，∴AE=AF, △AEF为等腰直角三角形, 取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG,C是线段AF的垂直平分线上的点，易得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，AF=22∴AG=GE=CE=FG=2,又AG⊥BE,CE⊥BE,可得AG∥CE,∴四边形AGCE为平行四边形，∴GD=DE=1,∴DF=FG+GD=2+1=3.【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性强，需综合运用所学知识求解.10．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，BE＝CF.若∠A＝40°，则∠DEF的度数为____．【答案】70°【解析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，再根据SAS证得△BDE≌△CEF，得出∠BDE=∠CEF，运用三角形的外角性质得出∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，即可得出∠DEF=∠B=70°.点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题时，利用等腰三角形的性质和三角形全等的判定证得∠BDE=∠CEF，然后根据三角形外角的性质可求解.二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23AE AB =，则313DHCEDH SS =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC ，则EG=EF-GF=CD-FC=DF ；②由SAS 证明△EHF ≌△DHC 即可；③根据△EHF ≌△DHC ，得到∠HEF=∠HDC ，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若AE AB =23，则AE=2BE ，可以证明△EGH ≌△DFH ，则∠EHG=∠DHF 且EH=DH ，则∠DHE=90°，△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，设HM=x ，则DM=5x ，26x ，CD=6x ，则S △DHC =12×HM×CD=3x 2，S △EDH =12×DH 2=13x 2． 详解：①∵四边形ABCD 为正方形,EF ∥AD ，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°， ∴△CFG 为等腰直角三角形， ∴GF=FC ，∵EG=EF−GF ，DF=CD−FC ，∴EG=DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH=CH,∠GFH=12∠GFC=45°=∠HCD ， 在△EHF 和△DHC 中，EF=CD ；∠EFH=∠DCH ；FH=CH ，∴△EHF ≌△DHC(SAS)，故②正确；③∵△EHF ≌△DHC(已证)，∴∠HEF=∠HDC ，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵AE AB =23， ∴AE=2BE ，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD为等腰直角三角形，如图，过H点作HM⊥CD于M，设HM=x,则DM=5x,DH=26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2,S△EDH=12×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.12．如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D是射线BC 上任意一点，连接EC．下列结论：①△AEC△ADB；②EC⊥BC ；③以A、C、D、E为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB的周长为10524++;⑤当BD=32B时,ED=5AB；其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3 个 D．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△AEC≌△ADB，故①正确；∵△AEC≌△ADB，∴∠ACE=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴J IAO ECB=90°，∴EC⊥BC，故②正确； ∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422-=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=()()22322+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10BC =5AB ．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．13．已知OD 平分∠MON，点A 、B 、C 分别在OM 、OD 、ON 上(点A 、B 、C 都不与点O 重合)，且AB=BC, 则∠OAB 与∠BCO 的数量关系为（ ）A ．∠OAB+∠BCO=180°B ．∠OAB=∠BCOC ．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCOD ．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C 处在C 1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO ；当点C 处在C 2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.14．如图，在Rt△ABC 中，∠CBA=90°，∠CAB 的角平分线AP 和∠ACB 外角的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF -CG=CA ；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（ ）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD ≌△EAD ，故DC=DE ，③正确；④∵BF ⊥CG ，GD ⊥CF ，∴E 为△CGF 垂心，∴CH ⊥GF ，且△CDE 、△CHF 、△GHE 均为等腰直角三角形，∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+2CD ，故④错误；⑤如图：作ME ⊥CE 交CF 于点M ，则△CEM 为等腰直角三角形，从而CD=DM ，CM=2CD ，EM=EC ，∵∠MFE=∠CGE ，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF ≌△CEG （AAS ），∴GE=MF ，∴CF=CM+MF=2CD+GE ，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．15．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．16．已知等边△ABC 中，在射线BA 上有一点D ，连接CD ，并以CD 为边向上作等边△CDE ，连接BE 和AE ，试判断下列结论：①AE=BD ； ②AE 与AB 所夹锐夹角为60°；③当D 在线段AB 或BA 延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC ；④∠BCD=90°时，CE 2+AD 2=AC 2+DE 2 ，正确的序号有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE ，利用SAS 可证明△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC ，即可得CE 2+AD 2=AC 2+DE 2 ，④正确；当D 点在BA 延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD ≌△ACE 可得∠AEC=∠BDC ，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED ，即∠BDE-∠AED=2∠BDC ，当点D 在AB 上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD ，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握17．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A ．1324S S S S +=+B ．1234S S S S +=+C ．1423S S S S +=+D ．13S S =【答案】A【解析】【分析】作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题.【详解】四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p 到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a 、a 、b 、b 、c 、c 、d 、d,则S 1=a+d, S 2=a+b, S 3=b+c, S 4=c+d,∴S 1+S 3=a+b+c+d= S 2+S 4故选A【点睛】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.18．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA =，∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，在DAF △和ABH 中 ()AFD BHA DAF ABHAAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌ABH ．∴DF AH =．⑤正确：∵150CAD ︒∠=，AH CD ⊥，∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A ．①，②都正确B ．①，②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误【答案】A【解析】【分析】根据SSS即可推出△111A B C≅△222A B C，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C，△222A B C的周长相等，1122A B A B=，1122AC A C=，1122B C B C∴=，∴△111A B C≅△222()A B C SSS，∴①正确；②如图，延长11A B到1D，使1111B D B C=，，延长22A B到2D，使2222B D B C=，∴111111A D AB B C=+，222222A D AB B C=+，∵111122,A B C A B C△△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D=，在△111A B D和△222A B D中1122121122==A D A DA AA C A C=⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B D≅△222A B D（SAS）∴12=D D∠∠，∵1111B D B C=，2222B D B C=∴1111=D D C B∠∠，2222=D D C B∠∠，又∵1111111=A B C D D C B∠∠+∠，2222222=A B C D D C B∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D∠∠∠，在△111A B C和△222A B C中111222121122===A B C A B CA AA C A C∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．20．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP,∴∠COP=∠COE,即OC平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG．其中正确的是A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．【详解】解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD=CD.故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA.又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC.∴BF=AC；DF=AD.∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC.∴CE=AE=12 AC.又由(1)，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；故③正确；连接CG.∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG.∵CE=AE，∴AE<BG.故④错误.故选C.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.22．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 如图，连接AP,根据HL 判定△APR 和△APS 全等，即可说明①正确；由△APR 和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，得到∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出OP//AB ，即②正确；在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS.无法判断Rt △BRP 和Rt △QSP 是否全等；连接RS ，与AP 交于点D ，先证△ARD ≌△ASD ，即RD=SD ；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，PR =PS∴△APR ≌△APS∴AS =AR ，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB ，即②正确.在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS.无法判断Rt △BRP 和Rt △QSP 是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR ≌△APS∴AR =AS ，∠RAP=∠PAC∴AP 垂直平分RS ，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）A ．AB CD =B ．AD BC = C ．//AD BC D ．A C ∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.24．如图所示，点A 、B 分别是∠NOP 、∠MOP 平分线上的点，AB ⊥OP 于点E ，BC ⊥MN 于点C ，AD ⊥MN 于点D ，下列结论错误的是( )A ．AD ＋BC ＝ABB ．与∠CBO 互余的角有两个C ．∠AOB ＝90°D ．点O 是CD 的中点【答案】B【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD =AE ，BC =BE ，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB 的度数，再利用“HL ”证明Rt △AOD 和Rt △AOE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OD =OE ，同理可得OC =OE ，然后求出∠AOB =90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．25．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF 与△ABG 中AB AD B ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AG ＝AF ，∠FAD ＝∠GAB ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠FAE ＝∠GAE ，在△AEG 与△AEF 中AG AF FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△AEF （SAS ）∴EF ＝EG ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ＝4．故选：B ．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．26．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BE 和∠BAC 的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D ，过P 作PF ⊥AD 交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G ，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA ；③BD ﹣AH=AB ；④DG=AP+GH ，其中正确的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 ①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB ，再利用“角边角”证明△ABP 和△FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF ，AP=PF ；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP ，然后利用“角角边”证明△AHP 与△FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH ；④根据PF ⊥AD ，∠ACB=90°，可得AG ⊥DH ，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF ，然后求出DG=GH+AF ，有直角三角形斜边大于直角边，AF ＞AP ，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC ， ∠CAP=12（90°+∠ABC ）=45°+12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP ，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC ）-12∠ABC ， =180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC ， =45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP=∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP≌△FDP（AAS），∴DF=AH，∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，∴BD-AH=AB，故③小题正确；④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，∴AG⊥DH，∵AP=PF，PF⊥AD，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG，∵∠PAF=45°，AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，∵AF＞AP，∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF【答案】A【解析】【分析】通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．【详解】。

人教版八年级数学上册《轴对称》测试卷(含答案)

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人教版八年级数学上册《轴对称》测试卷（含答案）一、选择题(每小题3分,共30分)1.点A(m,3)与B(4,n)关于x轴对称,则m,n的值分别为( )A.4,3B.-4,-3C.-4,3D.4，-32.下列交通标志中,是轴对称图形的是( )3.下列轴对称图形中,对称轴最多的是( )A.线段B.等边三角形C.五角星D.圆4.下列三角形中,不是轴对称图形的是( )A.等腰直角三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.两内角分别是30°，120°的三角形D.两内角分别是30°,75°的三角形5.如图,ABCD 是矩形纸片，翻折∠B、∠D,使AD、BC 边与对角线AC重叠，且顶点B、D恰好落在同一点0上,折痕分别是CE、AF,则AE等于( )EBA.√3B.2C.1.5D.√26.到三角形三个顶点距离相等的点是( )A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点7.如图,在等腰梯形ABCD中,AD //BC,AB=CD,AC=BD,AC平分∠BCD,若∠ABC=72°,则图中等腰三角形共有( )A.8个B.6个C.4个D.2个8.如图,在△ABC 中,AB<AC,BC边的垂直平分线交BC于D,交AC 于E,连BE,AB=6cm，△ABE 的周长为14cm,则AC的长为( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm9.如图,已知AB=AC=BD,则∠1与∠2的关系是( )A.∠1=2∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°10.如图,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,AE⊥BD,交BC于E，下列说法:①AB=BE;②∠CAE=1∠C;③AD=CE;④CD=CE.其中正确的是( )2A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④二、填空题(每小题3分,共18分)11.已知点A(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称,则m=_________,n=__________.12.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是_______________度.13.在△ABC 中.①若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形;②若∠A=∠B=∠C,则△ABC 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有__个.14.如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=60°,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,OE // AB交BC于E,OF //AC交BC于F,若AB=1,则△OEF 的周长为_____________.15.如图,AD是等边△ABC底边上的中线,AC的垂直平分线交AC 于点E,交AD于点F ,若AD=9,则DF长为____.16.已知Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°.在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有________个.三、解答题(72分)17.(8分)如图,△ABC 中,点D是BC边的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BE=CF.求证:∠BAD=∠CAD.18.(8分)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB边上的点,BD,CE相交于点0,给出下列条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有的情形);(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.19.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(-3,-4),C(-1,-4).(1)求△ABC的面积;(2)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF,并写出D,E,F 的坐标.20.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分线AD交BC于D,过C作CN⊥AD交AD于H,交AB于N.(1) 求证:△ANC为等腰三角形;(2)试判断BN与CD的数量关系,并说明理由.21.(8分)已知如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,BC//x轴,点B的坐标是(一3,1).(1)写出顶点C的坐标;(2)作出△ABC 关于y轴对称的△A'B'C';(3)求以点A,B,B',A'为顶点的四边形的周长.22.(10 分)在△ABC 中,AB=CB.(1)若AC=AB,如图1,CM⊥AB 于点M,MN⊥AC 于点N,NP ⊥BC 于点P.若CP=2,则BP=_______;(2)若∠BAC=45°,如图2,CD平分∠ACB交AB于点D,过边AC上一点E作EF //CD,交AB于点F,AG是△AEF的高,探究高AG与边EF的数量关系;(3)若∠ABC=90°,点E是射线BC上的一个动点,作AF⊥AE且AF=AE,连CF交直线AB于点G.若BCCE =53，则AGBG=__________.23.(10分)图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°，点D 是△ABC内一点,DB=DC,∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点,AE=AB.(1)直接写出∠ADE 的度数___________;(2)求证:DE=AD+DC;(3)作BP 平分∠ABE,EF⊥BP,垂足为F(如图2),若EF=3,求BP 的长.24.(12分)如图1,A 是OB 的垂直平分线上的一点,P为y轴上一点，且∠OPB=∠OAB.(1)若∠AOB=60°,PB=4,求点P的坐标;(2)在(1)的条件下,求证:PA+PO=PB;(3)如图2,若点A是OB 的垂直平分线上的一点,已知A(2,5),∠OPB=∠OAB,求PO+PB 的值.参考答案：。

人教版八年级上册数学十三章 轴对称 单元训练题 (15)(含答案解析)

人教版八年级上册数学十三章 轴对称 单元训练题 (15)(含答案解析)

人教版八年级上册数学十三章轴对称单元训练题 (15)一、单选题1．在△ABC中，已知AB=AC，且一内角为100°，则这个等腰三角形底角的度数为A．100°B．50°C．40°D．30°2．坐标平面内一点A（1，2），O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形为等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，已知AB＝5，AD＝3，则DE的长为( )A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.84．如图，在△PAB中，∠A=∠B，D、E、F分别是边PA、PB、AB上的点，且AD=BF，BE=AF．若∠DFE=34°，则∠P的度数为（）A．112°B．120°C．146°D．150°5．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75︒方向上．轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60︒方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．50海里B．45海里C．35海里D．25海里6．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°7．若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为( )A．7 B．7或8 C．8 D．9或78．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列不正确的是（）A．BD＝CD B．∠DAB＝∠DAC C．当∠B＝60°时，AB＝2BD D．AD＝BC 9．点M（﹣5，2）关于x轴对称的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（5，﹣2）C．（5，2）D．（﹣5，2）10．下列轴对称图形中只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．11．将长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕，若∠ABC=35°,则∠DBE的度数为A．55°B．50°C．45°D．60°12．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( )A．B．C．D．二、填空题13．平面直角坐标系中，与点（4，-3）关于x轴对称的点是______．14．若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于x轴对称的点为_____．15．已知点P（m+1，5）与Q（4，n+2）关于x轴对称，则m-n=_________．16．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个．17．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中垂线分别交BC 、AB 于点D 、E ，若BC ＝7cm ，AC ＝4cm ，△ADC 的周长为_____cm ．18．如图，△ABC 申，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，若∠BAC=82︒，则∠BDC=____.三、解答题19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，2ABC C ∠=∠，BC 边的垂直平分线交AC 边于点D ，交BC 边于点BC ，连接BD ，求ADB ∠的度数.20．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，BD ⊥CD ，求∠C 的度数．21．已知射线AC 是MAN ∠的角平分线，60NAC ∠=︒，点B 是射线AN 上的点，连接BC .(1)如图1，当点D 在射线AM 上时，连接BD ，CD .若90ABC ADC ∠=∠=︒，则BCD ∆的形状是_____.(2)如图2，当点D 在射线AM 的反向延长线AG 上时，连接BD ，CD .若ABC ADC ∠=∠，则(1)中的结论是否成立？请说明理由.22．已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°.(1)探究应用1:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB 的中点F，连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是_________,并说明理由；(2)探究应用2:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD 为边作等边△ADE，连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是__________，并说明理由。

人教版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学轴对称解答题专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.2．再读教材:宽与长的比是5-1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB22AC BC+2212+55（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE ．∵AD =5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1． ∵BC =2，∴CD BC =51-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =15+=51-，∴矩形MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．长GH 51，宽HE =35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．3．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =. （1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF . 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长. 【详解】解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD = AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠；图1（2）解：在图2中，连接CEED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴== AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=- 同理12FN EF m ==，2124CF FG m ==-在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆BM CN ∴=BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+ 解得1m = 8CF ∴=图3故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =. 【点睛】本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.4．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ． （1）求∠CAM 的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：△ADC ≌△BEC ；（3）当动D 在直线．．AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断∠AOB 是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，由等式的性质就可以∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出△ACD ≌△BCE 而有∠CBE ＝∠CAD ＝30°而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出△ACD ≌△BCE 同样可以得出结论． 【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°． ∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 12=∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°． （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即11603022BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°． 由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°． ③当点D 在线段MA 的延长线上时． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD和△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．已知如图1，在ABC∆中，AC BC=，90ACB∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.（1）求证：AE CG=.（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ． 【详解】（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ． 又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°． 又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．在△AEC 和△CGB 中，∵CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE =CG ；（2）∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，∴∠CMA =∠BEC ．在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAM （AAS ），∴BE =CM ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．6．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAGOPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP，设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE解之即可． 【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：22221068AOAB BO ，∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BPAB 时，如图一所示：∴1064OP BP BO ，∴P 点的坐标是()4,0； 当AP AB =时，如图二所示：∴6OP BO∴P 点的坐标是()6,0；当AP BP =时，如图三所示：设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP +=即：22286x x解之得：73x = ∴P 点的坐标是7,03； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上， ∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'8OA OA ，'EAEA ∴'FAO FAO ，'FAE FAE ∴'EAG EAO 则有：'OPGEAO ∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，设BE x =，则有6AEx ，根据勾股定理，有： 22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x 解之得：425BEx 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．7．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n ，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n .【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.8．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN ＝3t ﹣24＝6解得t ＝10；④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图此时2t ＝12+6解得t ＝9；综上所述，点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.9．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==．（3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．【详解】（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．故答案为：25，115；（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．10．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.。

八年级上册数学 轴对称填空选择专题练习(解析版)

八年级上册数学 轴对称填空选择专题练习(解析版)

八年级上册数学 轴对称填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，点A ，D ，B ，C 分别在直线MN 和PQ 上，点E 在AB 上，AD ＋BC ＝7，AD ＝EB ，DE ＝EC ，则AB ＝_____．【答案】7 【解析】由MN ∥PQ ，AB ⊥PQ ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE ≌△BCE ，从而得出AE=BC ，则AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为：7.点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．2．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==．点E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）【答案】②③④【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.【详解】①如图1，过点C 作CM AB ⊥，过点D 作DN AB ⊥32,45A B AC BD ∠=∠===︒3CM AM DN BN ∴====4CE DF ==由勾股定理得：22227,7ME CE CM NF DF DN =-==-=37,37AE AM ME BF BN NF ∴=-=-=+=+AE BF ≠此时，ACE ∆和BDF ∆不全等②AF BE=AF EF BE EF∴+=+，即AE BF=又452,3AC DA B B∠=∠=︒==则由SAS定理可得，ACE BDF∆≅∆③CEB DFACEB C ADFA D B∠=∠⎧⎪∠=∠+∠⎨⎪∠=∠+∠⎩C AD B∴∠+∠=∠+∠又A B∠=∠C D∴∠=∠32AC BD==则由ASA定理可得，ACE BDF∆≅∆④由（1）知，当5CE DF==时，22224,4ME CE CM NF DF DN=-==-=此时，,,CE CA DF BDME AM NF BN>>⎧⎨>>⎩则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧又10AM BN ME AM BN NF AB++=++==则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示因此必有347AE BF==+=由SSS定理可得，ACE BDF∆≅∆故答案为：②③④.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.3．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.【答案】7【解析】试题解析：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD ，在△ABE 和△CAD 中，AB CA BAE ACD AE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CAD ；∴BE=AD ，∠CAD=∠ABE ；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ ⊥AD ，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt △BPQ 中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故答案为7.4．如图，△ABE ，△BCD 均为等边三角形，点A ，B ，C 在同一条直线上，连接AD ，EC ，AD 与EB 相交于点M ，BD 与EC 相交于点N ，下列说法正确的有：___________ ①AD=EC ；②BM=BN ；③MN ∥AC ；④EM=MB ．【答案】①②③【解析】∵△ABE ，△BCD 均为等边三角形，∴AB=BE ，BC=BD ，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC ，在△ABD 和△EBC 中AB BEABD EBCBD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中MAB NEBAB BEABE EBN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE 平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD ⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形∴FG=HC∵△ABF≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.6．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正确的有．【答案】①③④【解析】【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．【详解】解：在△ABE和△ACF中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM，即∠EAM=∠FAN，在△AEM和△AFN中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中，∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，则正确的选项有：①③④．故答案为①③④7．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_________；【答案】217【解析】【分析】首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC的长.【详解】作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,又∠DAB+∠ABD=90°,∴∠BAD=∠CBE,又AB=BC,∠ADB=∠BEC.∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得34在Rt△ABC中,根据勾股定理,得22342217+=⨯=AB CB故答案为17【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.8．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S四边形AEDF＝14AD2，其中正确结论是_____（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2，从而判定⑤的正误．【详解】解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，∵∠MDN＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF．在△AED与△CFD中，EAD CAD CDADE CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正确；又∵△ABD≌△ACD，∴△BDE≌△ADF．故③正确；∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，ED＝FD，∴BE+CF＝BE+AE＝AB2BD，∵EF2ED，BD＞ED，∴BE+CF＞EF．故④错误；∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2．故⑤错误．综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．9．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm，则DC=_______【答案】2cm【解析】试题解析：解：连接AD，∵ED是AB的垂直平分线，∴BD=AD=4c m，∴∠BAD=∠B=30°，∵∠C=90°，∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴∠DAC=60°-30°=30°，在Rt△ACD中，∴DC=12AD==12× 4=2c m．故答案为2c m．点睛：本题考查了线段垂直平分线，在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半，三角形内角和定理，主要考查学生运用性质进行计算的能力．10．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.【答案】6【解析】根据三角形全等的判定“AAS ”可得△ADC ≌△ABE ，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.故答案为：6.点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.12．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC 于点M 和N,再分别以M,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP 并延长交BC 于点D,则下列说法中正确的个数是( )①AD 平分∠BAC；②作图依据是S.A ．S ；③∠ADC=60°； ④点D 在AB 的垂直平分线上A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 ①根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的∠平分线；②根据作图的过程可以判定出AD 的依据；③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC 的度数； ④利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.解：如图所示，①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；故②错误；③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上.故④正确；故选C.“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.13．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线．．AD=4，则△ABC的面积．．为（）A．30B．48C．20D．24【答案】D【解析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE,因为D为BC的中点,所以DC=BD,在△ADC和△EDB中,AD EDADC EDBDC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ADC≌△EDB,所以BE=AC=10, ∠CAD＝∠E,又因为AE=2AD=8,AB=6,所以222AB AE BE=+,所以∠CAD＝∠E=90°,则11114646242222ABC ABD ADCS S S AD BE AD AC=+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=,所以故选D.14．如图，在ABC∆中，AC BC=，90ACB∠=︒，AE平分BAC∠交BC于点E，BD AE⊥于点D，DF AC⊥交AC的延长线于点F，连接CD，给出四个结论:①45ADC∠=︒;②12BD AE=;③AC CE AB+=;④2AB BC FC-=;其中正确的结论有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ， ∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ， ∴CD=AN=EN=12AE ，∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D15．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，∴AP BQ =．在ACP △和ABQ △中，60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．则AQC CPB ∠=∠．即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．∴60AMP B ∠=∠=︒．则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．∵APM ∠不一定等于60︒．∴AP AM ≠．∴BQ AM ≠．故①错误．设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t①当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；②当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．∴④正确.故选C.点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．16．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（）A．△ACF B．△ACEC．△ABD D．△CEF【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.【详解】在△ABC中，AB=22+=10，BC=2231+=2，AC=22，11A、在△ACF中，AF=22+=5≠10，5≠2，5≠22，则△ACF与△ABC不全21等，故不符合题意；B、在△ACE中，AE=3≠10，3≠2，3≠22，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意；C、在△ABD中，AB=AB，AD=2=BC，BD=22=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；D、在△CEF中，CF=3≠10，3≠2，3≠22，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】结论（1）正确，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA），同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）错误．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2；结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，故选C．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．19．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．【详解】试题分析：解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正确；∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴③正确；没有条件可证明△BRP≌△QSP，∴④错误；连接RS，∵PR=PS，∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴点P在∠BAC的角平分线上，∴PA平分∠BAC，∴①正确．故答案为①②③．故选A.点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF>EF D．FD∥BC【答案】B【解析】【分析】根据余角的性质得到∠C=∠ABE，∠EBC=∠BAC．根据SAS推出△ABF≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BF=DF，故A正确；由全等三角形的性质得到∠ABE=∠ADF，等量代换得到∠ADF=∠C，根据平行线的判定得到DF∥BC，故D正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF，等量代换得到BF＞EF；故C正确；根据平行线的性质得到∠EFD=∠EBC=∠BAC=2∠1，故B错误．【详解】∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE．同理：∠EBC=∠BAC．在△ABF与△ADF中，∵12AD ABAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△ADF，∴BF=DF，故A正确，∵△ABF≌△ADF，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ADF=∠C，∴DF∥BC，故D正确；∵∠FED=90°，∴DF＞EF，∴BF＞EF；故C正确；∵DF∥BC，∴∠EFD=∠EBC．∵∠EBC=∠BAC=∠BAC=2∠1，∴∠EFD=2∠1，故B错误．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF≌△ADF是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）A ．8对B ．7对C ．6对D ．5对【答案】B【解析】【分析】 易证△ABC 是关于AF 对称的图形，其中的小三角形也关于AF 对称，共可找出7对三角形.【详解】全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB证明①△AFB≌△AFC∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC 又∵1122ABC S AB CE AC BD == ∴CE=BD∴在Rt△BCE 和Rt△CBD 中BC BC CE BD=⎧⎨=⎩ ∴△BCE≌△C BD∴BE=CD，∴AE=AD在Rt△AEO 和Rt△ADO 中AE AD AO AO =⎧⎨=⎩∴△AEO≌△ADO∴∠EOD=∠DOA在△BAF 和△CAF 中AB AC BAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF≌△CAF，得证其余全等证明过程类似故选：B【点睛】本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备22．在和中，，高，则和的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．以上都不对【答案】C【解析】试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，∴∠C=∠C′；当∠C为钝角时，如图3所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠C=∠A′C′D′，∴∠C+∠A′C′B′=180°．故选C.23．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键24．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（）A．3 B．5 C．4 D．不确定【答案】C【解析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．故选：C．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．25．如图，ABC∆中，45ABC∠=，CD AB⊥于D，BE平分ABC∠，且BE AC⊥于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有( )个①BF AC=；②12AE BF=；③67.5A∠=；④DGF∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCES S=四边形四边形.A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】【分析】只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断⑤错误．【详解】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°−45°＝45°＝∠DBC，∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中BDF CDAA DFBBD CD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC，故①正确．∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确，∴BA ＝BC ，∵BE ⊥AC ，∴AE ＝EC ＝12AC ＝12BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°，∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°，∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°，∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°，∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，∴DG ＝DF ，故④正确．作GM ⊥AB 于M ．∵∠GBM ＝∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH ＝GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE ＝S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故⑤错误，∴①②③④正确，故选：B ．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．26．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由BF∥AC，AD是ABC的角平分线，BC平分ABF∠得∠ADB=90︒；利用AD平分∠CAB证得△ADC≌△ADB即可证得DB=DC；根据DE AC⊥证明△CDE≌△BDF得到DE DF=.【详解】∵DE AC⊥,BF∥AC,∴EF⊥BF，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD是ABC的角平分线，BC平分ABF∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒，∴∠ADB=90︒，即AD BC⊥，③正确；∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD=AD,∴△ADC≌△ADB,∴DB=DC，②正确；又∵∠CDE=∠BDF，∠CED=∠F，∴△CDE≌△BDF,∴DE=DF，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.27．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2种B．3种C．4种D．6种【答案】C【解析】【分析】①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．【详解】解：有①②，①③，②④，③④，共4种，①②，理由是：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；①③，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，∵∠OBC=∠OCB（已证），∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②④，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；③④，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOCBE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故选C．28．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】试题解析：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，{C CBFCD BDEDC BDF∠=∠=∠=∠，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．29．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE ；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC ．A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．①②③④【答案】A【解析】【分析】 根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC ；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC ，∴∠BAF=∠CAE ；在△AFB 与△AEC 中，AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFB ≌△AEC （SAS ），∴BF=CE ；∠ABF=∠ACE ，∴A 、F 、B 、C 四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．30．如图，AC ⊥BE 于点C ，DF ⊥BE 于点F ，且BC ＝EF ，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL ”来证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件应该是( )A．AC＝DE B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A【答案】B【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中，直角边BC＝EF，要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.故选：B.。

人教版八年级数学上学期期末复习：第13章《轴对称》填空题精选(含答案)

人教版八年级数学上学期期末复习：第13章《轴对称》填空题精选(含答案)

人教版八年级数学上学期期末复习：第13章《轴对称》填空题精选一．填空题（共30小题）1．（2020春•渝中区校级期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在P A、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为．2．（2020春•沙坪坝区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为．3．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝10，BC＝8，BD为∠ABC的平分线，点P 为线段BD上的一动点，过点P作线段AB的垂线，垂足为点M，连接AP，则PM+P A的最小值为．4．（2020春•沙坪坝区校级期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB 上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是．5．（2019秋•渝中区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于．6．（2019秋•渝中区校级期末）在平面直角坐标系中，若点A（a，b）与点B（1，﹣2）关于y轴对称，则a+b＝．7．（2019秋•巴南区期末）如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝．8．（2019秋•开州区期末）如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为10cm，则△ABC的周长是cm．9．（2019秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，DB和DC分别平分∠ABC和∠ACB，过D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝5，BE＝3，则线段CF的长为．10．（2019秋•江津区期末）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB＝DE，此时恰有∠ADE= 12∠ACB，则∠A的度数是．11．（2019秋•九龙坡区期末）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是．12．（2019秋•梁平区期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AB的中点，且AD＝4cm．F是AD上一动点，则BF+EF的最小值为cm．13．（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝7，则CE的长为．14．（2019秋•万州区期末）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝．15．（2019秋•长寿区期末）在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是．16．（2019秋•长寿区期末）等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长是．17．（2019春•南岸区期末）如图，在△ABC中，过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BD于点D、交∠ACB的平分线CE于点E．若BC＝7，DE＝9，则△ABC的周长为．18．（2018秋•南岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC三个顶点的横坐标分别乘以﹣1，而纵坐标保持不变，得到△A′B′C′，则△A′B′C′和△ABC关于对称（横线上填“x轴”、“y轴”或“原点”）．19．（2019春•渝中区校级期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CE为△ABC的中线，BD为AC边上的高，BF平分∠CBD交CE于点G，连接AG交BD于点M，若∠AFG＝63°，则∠AMB的度数为°．20．（2018秋•渝中区期末）如图，已知∠BAC＝65°，D为∠BAC内部一点，过D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，设点E、点F分别为AB、AC上的动点，当△DEF的周长最小时，∠EDF的度数为．21．（2018秋•合川区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，若BD＝3cm，则AD＝cm．22．（2018秋•渝北区期末）如图，∠ABC＝20°，点D，E分别在射线BC，BA上，且BD＝3，BE＝3，点M，N 分别是射线BA，BC上的动点，求DM+MN+NE的最小值为．23．（2018秋•巴南区期末）如图，BE、CD分别是等边△ABC的高和角平分线，点O是它们的交点，若∠BOC＝m°，则m＝．24．（2018秋•江北区期末）在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为．25．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、F在同一直线上，CD＝CE，DF＝DG，则∠F＝度．26．（2019春•南岸区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若AC＝12，则DE＝．27．（2019春•沙坪坝区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，BC＝17．D，P分别是线段AC，BC上的动点，则BD+DP的最小值是．28．（2019春•渝中区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线与AB所在直线相交所得的锐角为40°，∠C＝．29．（2019春•渝中区校级期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为．30．（2018秋•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）关于x轴对称点的坐标为．参考答案一．填空题（共30小题）1．【解答】解：∵∠ABC ＝80°，∴∠BMN +∠BNM ＝100°，∵M 、N 分别在P A 、PC 的中垂线上，∴MA ＝MP ，NP ＝NC ，∴∠MP A ＝∠MAP =12∠BMN ，∠NPC ＝∠NCP =12∠BNM ，∴∠MP A +∠NPC =12×100°＝50°，∴∠APC ＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130°．2．【解答】解：如图所示，作点M 关于BD 的对称点M '，连接PM '，则PM '＝PM ，BM ＝BM '＝1， ∴PN +PM ＝PN +PM '，当N ，P ，M '在同一直线上，且M 'N ⊥AC 时，PN +PM '的最小值等于垂线段M 'N 的长，此时，∵Rt △AM 'N 中，∠A ＝30°，∴M 'N =12AM '=12（6﹣1）=52，∴PM +PN 的最小值为52， 故答案为：52．3．【解答】解：如图，过点P 作PK ⊥BC 于K ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∵AB ＝AC ＝10，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝4，∴∠AHB ＝90°，∴AH =√AA 2−AA 2=√102−42=2√21，∵BD 平分∠ABC ，PM ⊥AB ，PK ⊥BC ，∴PM ＝PK ，∴P A +PM ＝P A +PK ≥AH ，∴P A +PM ≥2√21，∴P A +PM 的最小值为2√21．4．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝73°，∴∠EDB ＝23°，∵当△DEP 是以DE 为腰的等腰三角形，①当点P 在AB 上，∵DE ＝DP 1，∴∠DP 1E ＝∠AED ＝73°，∴∠EDP 1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，②当点P 在AC 上，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ，过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，∴DG ＝DH ，在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，{AA =AA 2AA =AA， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），∴∠AP 2D ＝∠AED ＝73°，∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠EDP 2＝134°，③当点P 在AC 上，同理证得Rt △DEG ≌Rt △DPH （HL ），∴∠EDG ＝∠P 3DH ，∴∠EDP 3＝∠GDH ＝180°﹣80°＝100°，④当点P 在AB 上，EP ＝ED 时，∠EDP =12（180°﹣73°）＝53.5°．故答案为：34°或53.5°或100°或134°．5．【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，∴BE＝AE＝6cm，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝30°，∴AC=12AE=12×6cm＝3cm，故答案为：3cm．6．【解答】解：∵点A（a，b）与点B（1，﹣2）关于y轴对称，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣3，故答案为：﹣3．7．【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCM，设∠ABD＝∠DBC＝x，∠ACD＝∠DCM＝y，∵∠A+∠ABC＝∠ACM，∴12∠A+12∠ABC=12∠ACM，即30°+x＝y，∵∠D+∠DBC＝∠DCM，∴∠D+x＝y，∴∠D＝30°，∵EFD与△EFH关于直线EF对称，∠BEH＝84°，∴∠DEG＝∠HEG=180°−84°2=48°，∴∠HFG＝n°＝∠DFG＝48°+30°＝78°则n＝78．故答案为：78．8．【解答】解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线，∴AD＝BD，AB＝2AE＝2×4＝8（cm），∵△ADC的周长为10cm，即AD+AC+CD＝BD+CD+AC＝BC+AC＝10cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+10＝18（cm）．故答案为：18．9．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴EF＝3+CF＝5，∴CF＝2，故答案为：2．10．【解答】解：设∠B＝x．∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠B＝x，∴∠ADE＝∠DEB+∠B＝2x，∴∠ACB＝2∠ADE＝4x．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝4x．在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴4x+x+4x＝180°，∴x＝20°．即∠B＝20°∴∠A＝4x＝80°故答案为：80°11．【解答】解：点P（1，﹣5）关于x轴对称点的点的坐标是：（1，5）．故答案为：（1，5）．12．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CE，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°，在△ADB 和△CEB 中，{∠AAA =∠AAAAAAA =AAAA AA =AA，∴△ADB ≌△CEB （AAS）， ∴CE ＝AD ＝4cm ，即BF +EF ＝4cm ．故答案为：4．13．【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BAD 和△CAE 中，{∠AAA =∠AAA AA =AAAA =AA ，∴△BAD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝CE ＝7，故答案为：7．14．【解答】解：连接CD ，BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF ＝DE ，∠F ＝∠DEB ＝90°，∠ADF ＝∠ADE ， ∴AE ＝AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD ＝BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，{AA =AA AA =AA， ∴Rt △CDF ≌Rt △BDE （HL ），∴BE ＝CF ，∴AB ＝AE +BE ＝AF +BE ＝AC +CF +BE ＝AC +2BE ， ∵AB ＝6，AC ＝3，∴BE ＝1.5．故答案为：1.5．15．【解答】解：线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，符合题意；直角的角平分线所在的直线就是对称轴，是轴对称图形，符合题意；等腰三角形底边中线所在的直线是对称轴，是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意．故成轴对称图形的是：线段、直角、等腰三角形．故答案为：线段、直角、等腰三角形．16．【解答】解：当等腰三角形的三边为：4、4、9时，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；当等腰三角形的三边为：4、9、9时，符合三角形三边关系，则三角形的周长为：4+9+9＝22．因此等腰三角形的周长为22．故填22．17．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E＝∠ECB，∠D＝∠DBC，∵CE平分∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ECB＝∠ACE，∠DBC＝∠ABD，∴∠E＝∠ACE，∠D＝∠ABD，∴AE＝AC，AB＝AD，∵AB+AC＝AD+AE＝DE＝9，BC＝7，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝DE+BC＝9+7＝16．故答案为16．18．【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于y轴对称．故答案为：y轴．19．【解答】解：∵BD为AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠BDF＝90°，∵∠AFG＝63°，∴∠DBF＝90°﹣63°＝27°，∵BF平分∠CBD交CE于点G，∴∠CBD＝2∠DBF＝54°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD＝36°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA=12（180°﹣36°）＝72°，∴∠ABD＝72°﹣54°＝18°，∴∠ABG＝27°+18°＝45°，∵CE为△ABC的中线，∴CE⊥AB，∴CE垂直平分AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA＝45°，∴∠AMB＝180°﹣45°﹣18°＝117°，故答案为：117．20．【解答】解：如图所示：延长DB和DC至M和N，使MB＝DB，NC＝DC，连接MN交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，此时△DEF的周长最小．∵DB⊥AB，DC⊥AC，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC＝65°，∴∠BDC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，∴∠M+∠N＝180°﹣115°＝65°根据对称性质可知：DE＝ME，DF＝NF，∴∠EDM＝∠M，∠FDN＝∠N，∴∠EDM+∠FDN＝65°，∴∠EDF＝∠BDC﹣（∠EDM+∠FDN）＝115°﹣65°＝50°．故答案为50°．21．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BCD＝60°，BD＝3cm，∴BC＝2CD，可得：BC2﹣CD2＝4CD2﹣CD2＝9，解得：CD=√3cm，∴BC＝2√3cm，∴AC=AA√3=2cm，∴AB＝4cm，∴AD＝4﹣3＝1cm．故答案为：122．【解答】解：如图所示：作点D关于AB的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB于点M、交BC于点N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：DB＝BG＝3，∠GBE＝∠DBE＝20°，BH＝BE＝3，∠HBD＝∠EBD＝20°，∴∠GBH＝60°，∴△BGH是等边三角形，∴GH＝GB＝HB＝3，∴DM+MN+NE的最小值为3．故答案为3．23．【解答】解：∵BE、CD分别是等边△ABC的高和角平分线，∴∠ODB＝90°，∠ABE＝30°，∴∠BOC＝∠ODB+∠DBE＝90°+30°＝120°，故答案为：12024．【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠A＝64°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣64°）÷2＝58°．②∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠BAC＝26°+90°＝116°∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣116°）÷2＝32°．故答案为：58°或32°．25．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝30°，∠FDG＝150°，∵DF＝DG，∴∠F＝15°．故答案为：15．26．【解答】解：连接BE，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠CBE＝90°，又∠C＝30°，∴BE=12EC，∴AE=12EC，∴AE=13AC＝4，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE=12AE＝2，故答案为：2．27．【解答】解：作B关于AC的对称点E，过E作EP⊥BC于P，交AD于D，则AE＝AB＝8，此时，BD+DP的值最小，BD+DP的最小值＝EP，∵∠BAC＝∠BPE＝90°，∠C＝∠E，∴△ABC∽△PBE，∴AAAA=AAAA，∴1617=AA 15，∴PE =24017， 故答案为：24017．28．【解答】解：当△ABC 为锐角三角形时，如图1，设AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，交AC 于点E ，∵∠ADE ＝40°，DE ⊥AC ，∴∠A ＝90°﹣40°＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠C =12（180°﹣∠A ）＝65°；当△ABC 为钝角三角形时，如图2，设AC 的垂直平分线交AC 于点E ，交AB 于点D ，∵∠ADE ＝40°，DE ⊥AC ，∴∠DAC ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠B +∠C ＝∠DAB ，∴∠C ＝25°；综上可知∠C 的度数为65°或25°，故答案为：65°或25°．29．【解答】解：过B 作BF ⊥AC 于F ，交CD 于E ， 则BF 的长即为AE +EF 的最小值，∵AC ＝BC ＝5，CD 为△ABC 的中线，∴AD =12AB ＝3，∵S △ABC =12AB •CD =12AC •BF ，∴BF =6×45=245， ∴AE +EF 的最小值为245， 故答案为：245．30．【解答】解：点P （﹣2，﹣3）关于x 轴对称点的坐标为：（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）．。

人教版八年级数学上册 轴对称填空选择单元复习练习(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册 轴对称填空选择单元复习练习(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册 轴对称填空选择单元复习练习(Word 版 含答案)一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).2．如图，ABE △，BCD 均为等边三角形，点A ，B ，C 在同一条直线上，连接AD ，EC ，AD 与EB 相交于点M ，BD 与EC 相交于点N ，连接OB ，下列结论正确的有_________．①AD EC =；②BM BN =；③MN AC ；④EM MB =；⑤OB 平分AOC ∠【答案】①②③⑤.【解析】【分析】由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可.【详解】解：∵△ABE ，△BCD 均为等边三角形，∴AB=BE ，BC=BD ，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC ，在△ABD 和△EBC 中，AB BE ABD EBC BD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴AD=EC ，故①正确；∴∠DAB=∠BEC ，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM 和△EBN 中，MAB NEB AB BEABE EBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ABM ≌△EBN （ASA ），∴BM=BN ，故②正确；∴△BMN 为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN ∥AC ，故③正确；若EM=MB ，则AM 平分∠EAB ，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；如图作,,BG AD BH EC ⊥⊥∵由上可知△ABD ≌△EBC ，∴两个三角形对应边的高相等即BG BH =，∴OB 是AOC ∠的角平分线，即有OB 平分AOC ∠，故⑤正确.综上可知：①②③⑤正确.故答案为：①②③⑤.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质与平行线的判定是解题的关键.3．在ABC 中给定下面几组条件：①BC=4cm ，AC=5cm ，∠ACB=30°；②BC=4cm ，AC=3cm ，∠ABC=30°；③BC=4cm ，AC=5cm ，∠ABC=90°；④BC=4cm ，AC=5cm ，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则ABC 能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS ，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm ，AC=3cm ，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC 和△BCD ，错误；③符合全等三角形的判定定理HL ，即能画出唯一三角形，正确；④∵∠ABC 为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．4．如图，△ABE ，△BCD 均为等边三角形，点A ，B ，C 在同一条直线上，连接AD ，EC ，AD 与EB 相交于点M ，BD 与EC 相交于点N ，下列说法正确的有：___________ ①AD=EC ；②BM=BN ；③MN ∥AC ；④EM=MB ．【答案】①②③【解析】∵△ABE ，△BCD 均为等边三角形，∴AB=BE ，BC=BD ，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC ，在△ABD 和△EBC 中AB BE ABD EBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△EBC(SAS)，∴AD=EC ，故①正确；∴∠DAB=∠BEC ，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM 和△EBN 中MAB NEB AB BEABE EBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM ≌△EBN(ASA)，∴BM=BN ，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S四边形AEDF＝14AD2，其中正确结论是_____（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2，从而判定⑤的正误．【详解】解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，∵∠MDN＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF．在△AED与△CFD中，EADC AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD （ASA ），∴AE ＝CF ，ED ＝FD ．故①②正确；又∵△ABD ≌△ACD ，∴△BDE ≌△ADF ．故③正确；∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，ED ＝FD ，∴BE +CF ＝BE +AE ＝AB ＝2BD ，∵EF ＝2ED ，BD ＞ED ，∴BE +CF ＞EF ．故④错误；∵△AED ≌△CFD ，△BDE ≌△ADF ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12AD 2．故⑤错误． 综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点睛】 考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．6．如图，在△ABD 中，∠BAD＝80°，C 为BD 延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD 的角平分线BE 与AC 交于点E ，连接DE ，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH ，设∠DEG=y ，∠GEB=x ，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB ，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB ＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.7．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别过A、B、C三点，l1∥l2∥l3，若l1与l2之间的距离为4，l2与l3之间的距离为5，则正方形的边长为______．41【解析】解：过B作直线BF⊥l3于F，交直线l1于点E．∵l1∥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴BE=4，BF=5．∵ABCD是正方形，∴AB=BC ，∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =90°．∵∠ABE +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠CBF ．在△ABE 和△BCF 中，∵∠BAE =∠CBF ，∠AEB =∠BFC ，AB =BC ，∴△ABE ≌△BCF ，∴AE =BF =5．在Rt △AEB 中，AB=22AE BE =2254+=41．故答案为41．点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解答本题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△ABE ≌△BCF ，难度适中．8．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+BC=2BF ．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 、Q 是边AC 、BC 上的两个动点， PD ⊥AB 于点D ， QE ⊥AB 于点E ．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．若点P 从C 点出发沿CA 以每秒3个单位的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回到点C 停止运动；点Q 从点B 出发沿BC 以每秒1个单位的速度向点C 匀速运动，到达点C 后停止运动 ，当t= 时，△APD 和△QBE 全等．【答案】2或4．【解析】试题分析：①0≤t ＜83时，点P 从C 到A 运动，则AP=AC=CP=8﹣3t ，BQ=t ，当△ADP ≌△QBE 时，则AP=BQ ，即8﹣3t=t ，解得：t=2；②t≥83时，点P 从A 到C 运动，则AP=3t ﹣8，BQ=t ，当△ADP ≌△QBE 时，则AP=BQ ，即3t ﹣8=t ，解得：t=4；综上所述：当t=2s 或4s 时，△ADP ≌△QBE ．考点：1．全等三角形的判定；2．动点型；3．分类讨论．10．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．【答案】AC 中点或点P 与点C 重合【解析】分析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP=BC=5cm ，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP=AC ，P 、C 重合．详解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP BC =的，∵90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt QPA 中，AP BC PQ AB=⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，即5AP BC ==，即P 运动到AC 的中点．②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），即AP=AC=10cm ，∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于O ，连结AO ，则图中共有全等三角形的对数为（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C【解析】【分析】 先根据条件，利用AAS 可知△ADB ≌△AEC ，然后再利用HL 、ASA 即可判断△AOE ≌△AOD ，△BOE ≌△COD ，△AOC ≌△AOB.【详解】∵AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A 为公共角，∴△ADB ≌△AEC ，（AAS ）∴AE=AD ，∠B=∠C∴BE=CD ，∵AE=AD ，OA=OA ，∠ADB=∠AEC=90°，∴△AOE ≌△AOD （HL ），∴∠OAC=∠OAB ，∵∠B=∠C ，AB=AC ，∠OAC=∠OAB ，∴△AOC ≌△AOB.（ASA ）∵∠B=∠C ，BE=CD ，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE ≌△COD （ASA ）．综上：共有4对全等三角形，故选C.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．12．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．【详解】解：∵∠A=2∠B，∴∠A﹥∠B∴BC﹥AC∴可在BC上截取CE=CA，连接DE(如图)，，∴∠ACD=∠BCD∵CD平分ACB又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD≌△ECD，∴AD=ED，∠CED=∠A=2∠B又∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,13．下列四组条件中，能够判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判断：A、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不符合“SAS”定理，不能判断全等；B、AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D，不符合“ASA”定理，不能判断全等；C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ，“AAA”不能判定全等；不符合“SAS”定理，不对应，不能判断全等；D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可利用“SAS”判断全等；故选：D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL ，直接判断即可.15．如图所示，在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，且:1:7CAD BAD ∠∠=，则BAC ∠=( )A ．70B ．45C ．60D ．48【答案】D【解析】 根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD ，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x ，则∠BAD=7x ，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°. 故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.16．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，∴AP BQ =．在ACP △和ABQ △中，60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．则AQC CPB ∠=∠．即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．∴60AMP B ∠=∠=︒．则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．∵APM ∠不一定等于60︒．∴AP AM ≠．∴BQ AM ≠．故①错误．设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t①当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；②当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．∴④正确.故选C.点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．17．如图，在Rt△ABC 中，∠CBA=90°，∠CAB 的角平分线AP 和∠ACB 外角的平分线CF 相交于点D ，AD 交CB 于点P ，CF 交AB 的延长线于点F ，过点D 作DE⊥CF 交CB 的延长线于点G ，交AB 的延长线于点E ，连接CE 并延长交FG 于点H ，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF -CG=CA ；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①②④⑤D ．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正确；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E为△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴2CD，故④错误；⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF≌△CEG（AAS），∴GE=MF，∴CF=CM+MF=2CD+GE，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．18．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A．AD+BC=AB+CD，B．AB+AC=DB+DC,C．AD+BC＜AB+CD，D．AB+AC＜DB+DC【答案】D【解析】【分析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC＜DB+DC.【详解】解: 在BA的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED,∵AD是△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠CAD,在△ACD和△AED中,AD AD EAD CAD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED(SAS)∴DE=DC,在△EBD 中,BE ＜BD+DE,∴AB+AC ＜DB+DC故选:D.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB 、AC 、DB 、DC 的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A ．①，②都正确B ．①，②都错误C ．①错误，②正确D ．①正确，②错误 【答案】A【解析】【分析】根据SSS 即可推出△111A B C ≅△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C ，△222A B C 的周长相等，1122A B A B =，1122AC A C =，1122B C B C ∴=，∴△111A B C ≅△222()A B C SSS ，∴①正确；②如图，延长11A B 到1D ，使1111B D B C =，，延长22A B 到2D ，使2222B D B C =，∴111111A D A B B C =+，222222A D A B B C =+，∵111122,A B C A B C △△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D =，在△111A B D 和△222A B D 中1122121122==A D A D A A A C A C =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △111A B D ≅△222A B D （SAS ）∴12=D D ∠∠，∵1111B D B C =，2222B D B C =∴1111=D D C B ∠∠，2222=D D C B ∠∠，又∵1111111=A B C D D C B ∠∠+∠，2222222=A B C D D C B ∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠，在△111A B C 和△222A B C 中111222121122===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．20．如图，，，，点D 、E 为BC 边上的两点，且，连接EF 、BF 则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．22．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【答案】B【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；故选：D．点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA =，∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，在DAF △和ABH 中()AFD BHA DAF ABHAAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌ABH ．∴DF AH =．⑤正确：∵150CAD ︒∠=，AH CD ⊥，∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.24．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.【详解】解：∵与都是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC即∠DAC=∠EAB∴∴，①正确； ∵∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA -∠ADC≠∠CEA -∠AEB∴,③错误 ∵∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴④正确故由①②④三个正确，故选：C【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．26．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．27．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（）A．3 B．5 C．4 D．不确定【答案】C【解析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．故选：C．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．28．如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【答案】B【解析】【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO与△BEN中，BAO NBEAOB BNEAB BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF与△NPE中，FBP ENPFPB EPNBF NE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=12BN；而BN=AO，∴BP=12AO=12×8=4，故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 29．在ABC ∆中，已知AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 是BC 边延长线上一点，如图所示，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90︒得到AF ，连接CF 交直线AB 于点G ，若53BC CE =，则AG BG=（ ）A ．73B ．83 C ．113 D ．133【答案】D【解析】【分析】过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D, 设BC=5x ，利用AAS 证出△FAD ≌△AEB ，从而用x 表示出AD ，BD ，然后利用AAS 证出△FDG ≌△CBG ，即可用x 表示出BG,AG 从而求出结论．【详解】解：过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D∵53BC CE = 设BC=5x ，则CE=3x∴BE=BC ＋CE=8x∵5AB BC x ==，90ABC ∠=︒，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD和△AEB中90FAD ED ABEAF EA∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△FAD≌△AEB∴AD=EB=8x，FD=AB∴BD=AD－AB=3x，FD=CB在△FDG和△CBG中90FDG CBGFGD CGBFD CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FDG≌△CBG∴DG=BG=12BD=32x∴AG=AB＋BG=132x∴13132332xAGxBG==故选D．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．30．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，故①正确；∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，∴FD=FH＜FA，故③错误；∵AM⊥EF，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中{FBD DANBD ADBDF ADN∠∠∠∠＝＝＝∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，故④正确；故选C．。

人教版八年级数学上册 轴对称填空选择专题练习(解析版)

人教版八年级数学上册 轴对称填空选择专题练习(解析版)

人教版八年级数学上册 轴对称填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B 的坐标是__________.【答案】(3，－1)【解析】分析：过C 和B 分别作CD ⊥OD 于D ，BE ⊥CD 于E ，利用已知条件可证明△ADC ≌△CEB ，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B 点的坐标．详解：过C 和B 分别作CD ⊥OD 于D ，BE ⊥CD 于E ，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中，∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE ，AC=BC ，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴DC=BE ，AD=CE ，∵点C 的坐标为(1,2),点A 的坐标为(−2,0)，∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，∴则B 点的坐标是(3,−1).故答案为(3,−1).点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.2．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB∠=______︒，点O____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP上．【答案】116 64 26 在【解析】【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；∠BCP= 12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；同理可证OA平分∠BAC，故点O在直线AP上．【详解】解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB）= 12（180°-∠A）=90°- 12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+ 12∠A=90°+ 12∠A=90°+26°=116°；如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP= 12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC= 12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°- 12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°- 12（∠A+180°）=90°- 12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF和△HBF中ABE CBEBAF BHFBF BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF，AF=FH∴AE=FH∵FG∥BC，FH∥AC∴四边形FHCG是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG是平行四边形∴FG=HC∵△ABF≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③【解析】【分析】根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.【详解】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，BDC AFCACF CBDAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．【答案】4【解析】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.【详解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=12BE•DG，S△BED=12AE•CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC=1222⨯⨯=2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.6．如图，平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），BC∥y轴，且BC＜OA，第一象限内有一点P（a，2a-3），若使△ACP是以AC斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标为_______________．【答案】（103，113）．【解析】【详解】解：∵点P的坐标为（a，2a-3），∴点P在直线y=2x-3上，如图所示，当点P在AC的上方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC的延长线于E，则∠E=∠ADP=90°，∵△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴AP=PC，∠APD=∠PCE，∴△APD≌△PCE，∴PE=AD，又∵OD=2a-3，AO=3，∴AD=2a-6=PE，∵DE=OB=4，DP=a，又∵DP+PE=DE，∴a+（2a-6）=4，解得a=10 3∴2a-3=11 3，∴P（103，113）；当点P在AC下方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC于E，a=2，此时，CE=2，BE=2，即BC=2+2=4＞AO，不合题意；综上所述，点P的坐标为P（103，113）故答案为P（103，113）．7．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF ∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正确的有．【答案】①③④【解析】【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．【详解】解：在△ABE和△ACF中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM，即∠EAM=∠FAN，在△AEM和△AFN中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中，∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，则正确的选项有：①③④．故答案为①③④8．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.综上所述：∠ABC的度数为45°或135°.故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.9．如图，在△ABC中，AB=AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．【答案】9.6【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB⋅CQ=BC⋅AD，∴CQ=BC ADAB⋅=12810⨯=9.6故答案为：9.6.点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.10．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=_________．【答案】2.5【解析】解：以CD为边向外作出等边三角形DCE，连接AE，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=90°，在△ACE 与△BCD中，∵AC =BC ，∠ACE =∠BCD ，CE =DC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴BD =AE =6.5，∴AD 2+DE 2=AE 2，∴AD 3+62=6.52，∴AD =2.5．故答案为：2.5．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，点P 是AB 上任意一点，∠ABC=∠ABD ，还应补充一个条件，才能推出△APC ≌△APD ．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC ≌△APD 的是( )A ．BC=BD ；B ．AC=AD ；C ．∠ACB=∠ADB ；D ．∠CAB=∠DAB【答案】B【解析】根据题意，∠ABC=∠ABD ，AB 是公共边，结合选项，逐个验证得出：A 、补充BC=BD ，先证出△BPC ≌△BPD ，后能推出△APC ≌△APD ，故正确；B 、补充AC=AD ，不能推出△APC ≌△APD ，故错误；C 、补充∠ACB=∠ADB ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故正确； D 、补充∠CAB=∠DAB ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故正确． 故选B ．点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS ，SSS ，ASA ，SAS ．注意SSA 是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．12．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系． 【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD ≌△ECD ，∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,13．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（）A．五对B．四对C．三对D．二对【答案】A【解析】如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；∴图中共有5对全等三角形.故选A.14．如图所示，在Rt ABC∆中，E为斜边AB的中点，ED AB⊥，且:1:7CAD BAD∠∠=，则BAC∠=( )A．70B．45C．60D．48【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.15．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（）A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm【答案】C【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证△ACD≌△AED，所以AE=AC=BC，ED=CD.△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.16．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．1+22C．2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22； 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为2，腰长为12，所以周长为1122122++=+. 故答案为B.17．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．如图，过点D作DF AB⊥于F，DG AC⊥的延长线于G，∵BE、CE分别为ABC∠、ACB∠的平分线，∴AD为BAC∠的平分线，∴DF DG=，∴36090260120FDG∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC∠=︒，∴120BDF CDF∠+∠=︒，120CDG CDF∠+∠=︒．∴BDF CDG∠=∠，∵在BDF和CDG△中，90BFD CGDDF DGBDF CDG∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BDF≌()CDG ASA，∴DB CD=，∴1(180120)302DBC∠=︒-︒=︒，∴30DBC DBC CBE CBE∠=∠+∠=︒+∠，∵BE平分ABC∠，AE平分BAC∠，∴ABE CBE∠=∠，1302BAE BAC∠=∠=︒，根据三角形的外角性质，30DEB ABE BAE ABE∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE∠=∠，∴DB DE=，故②正确．∵DB DE DC==，∴B、C、E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，∴2BDE BCE∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．18．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（）A．△ACF B．△ACEC．△ABD D．△CEF【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先分别求得△ABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全等的判定方法进行判定即可得.【详解】在△ABC中，AB=22+=10，BC=2231+=2，AC=22，11A、在△ACF中，AF=2221+=5≠10，5≠2，5≠22，则△ACF与△ABC不全等，故不符合题意；B、在△ACE中，AE=3≠10，3≠2，3≠22，则△ACE与△ABC不全等，故不符合题意；C、在△ABD中，AB=AB，AD=2=BC，BD=22=AC，则由SSS可证明△ACE与△ABC全等，故符合题意；D、在△CEF中，CF=3≠10，3≠2，3≠22，则△CEF与△ABC不全等，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法是解题的关键.19．已知111122,A B C A B C△△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A AB CB A A C==，则111222A B C A B C△≌△；②若12=A A∠∠，1122=A C A C，则111222A B C A B C△≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①，②都正确B．①，②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误【答案】A【解析】【分析】根据SSS即可推出△111A B C≅△222A B C，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C，△222A B C的周长相等，1122A B A B=，1122AC A C=，1122B C B C∴=，∴△111A B C≅△222()A B C SSS，∴①正确；②如图，延长11A B到1D，使1111B D B C=，，延长22A B到2D，使2222B D B C=，∴111111A D AB B C=+，222222A D AB B C=+，∵111122,A B C A B C△△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D=，在△111A B D和△222A B D中1122121122==A D A DA AA C A C=⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B D≅△222A B D（SAS）∴12=D D∠∠，∵1111B D B C=，2222B D B C=∴1111=D D C B∠∠，2222=D D C B∠∠，又∵1111111=A B C D D C B ∠∠+∠，2222222=A B CD D C B ∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠，在△111A B C 和△222A B C 中111222121122===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．20．如图，，，，点D 、E 为BC 边上的两点，且，连接EF 、BF 则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS 证明△AED ≌△AEF ，判定①正确；由△AED ≌△AEF 得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD ，又AB=AC, 利用SAS 证明≌,判定②正确； 先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF ，再利用SAS 证明△ACD ≌△ABF ，得出CD=BF ，又①知DE=EF ，那么在△BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF ＞EF ，等量代换后判定③正确；先由△ACD ≌△ABF ，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG．其中正确的是A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．【详解】解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD=CD.故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA.又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC.∴BF=AC；DF=AD.∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC.∴CE=AE=12 AC.又由(1)，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；故③正确；连接CG.∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG.∵CE=AE，∴AE<BG.故④错误.故选C.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.22．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键23．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．2D．2【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.24．具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是( ).A．一边和这一边上的高对应相等B．两边和第三边上的中线对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等D．直角三角形的斜边对应相等【答案】B【解析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．【详解】解：A、一边和这边上的高对应相等，无法得出它们全等，故此选项错误；B、两边和第三边上的中线对应相等，通过如图所示方式（倍长中线法）可以证明它们全等（△ABC≌△A′B′C′），故此选项正确.．C、两边和其中一边的对角对应相等，无法利用ASS得出它们全等，故此选项错误；D、直角三角形的斜边对应相等,无法得出它们全等，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．26．在ABC ∆中，已知AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 是BC 边延长线上一点，如图所示，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90︒得到AF ，连接CF 交直线AB 于点G ，若53BC CE =，则AG BG=（ ）A ．73B ．83 C ．113 D ．133【答案】D【解析】【分析】过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D, 设BC=5x ，利用AAS 证出△FAD ≌△AEB ，从而用x 表示出AD ，BD ，然后利用AAS 证出△FDG ≌△CBG ，即可用x 表示出BG,AG 从而求出结论．【详解】解：过点F 作FD ⊥AG ，交AG 的延长线于点D∵53BC CE = 设BC=5x ，则CE=3x∴BE=BC ＋CE=8x∵5AB BC x ==，90ABC ∠=︒，∴∠BAC=∠BCA=45°∴∠BCA=∠CAE＋∠E=45°由旋转可知∠EAF=90°，AF=EA∴∠CAE＋∠FAD=∠EAF－∠BAC=45°∴∠FAD=∠E在△FAD和△AEB中90FAD ED ABEAF EA∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△FAD≌△AEB∴AD=EB=8x，FD=AB∴BD=AD－AB=3x，FD=CB在△FDG和△CBG中90FDG CBGFGD CGBFD CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FDG≌△CBG∴DG=BG=12BD=32x∴AG=AB＋BG=132x∴13132332xAGxBG==故选D．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．27．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．225°【答案】B【解析】【分析】根据SAS 可证得ABC ≌EDC ，可得出BAC DEC ∠∠=，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解.【详解】由题意得：AB ED =，BC DC =，D B 90∠∠==，ABC ∴≌EDC ，BAC DEC ∠∠∴=，12180∠∠+=．故选B ．【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ．.28．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①△PFA ≌△PEB ，②EF=AP ，③△PEF 是等腰直角三角形，④当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），S 四边形AEPF =12S △ABC ，上述结论中始终正确有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 ∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP ⊥BC ，AP=PB ，∠B=∠CAP=45°，∵∠APF+∠FPA=90°，∠ APF+∠BPE=90°，∴∠APF=∠BPE ，在△BPE 和△APF 中，∠B=∠CAP ， BP=AP ，∠BPE =∠APF ，∴△PFA ≌△PEB ；故①正确；∵△ABC 是等腰直角三角形点P 是BC 的中点，∴AP=12 BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PFA≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA =S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.故选：C.点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.29．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，AF AEBAF CAEAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．30．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．【详解】延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，在△ABC与△AEF中，0=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AC=AF ，∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF ，在△ACD 与△AFD 中，AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×12×2×2=4． 故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．。

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人教版八年级数学上册轴对称填空选择专题练习（解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN 分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝14BC2．其中正确结论是_____（填序号）．【答案】①②【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.详解：∵∠B=45°，AB=AC∴点D为BC的中点，∴AD=CD=BD故①正确；由AD⊥BC，∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（ASA）故②正确；∴DE=DF，AE=CF，∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF＞EF故③不正确；由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S 四边形AEDF =S △ACD =12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC 2， 故④不正确.故答案为①②. 点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.2．如图，AD ⊥BC 于D ，且 DC ＝AB ＋BD ，若∠BAC ＝108°，则∠C 的度数是______度．【答案】24【解析】【分析】在DC 上取DE=DB ．连接AE ，在Rt △ABD 和Rt △AED 中，BD=ED ，AD=AD ．证明△ABD ≌△AED 即可求解．【详解】如图，在DC 上取DE=DB ，连接AE ．在Rt △ABD 和Rt △AED 中，BD ED ADB ADE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB=AE ，∠B=∠AED ．又∵CD=AB+BD ，CD=DE+EC∴EC=AB∴EC=AE ，∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AED=2∠C又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°∴∠C=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．3．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，点I是△ABC的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，在△ABI和△ADI中，AB=ADBAI=DAIAI=AI⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI≌△ADI（SAS）∴DI=BI又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC中，∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ，∴180=3066β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.4．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，若BE 交AD 于点F ，则∠AFE 的大小为_____（度）．【答案】60【解析】【分析】根据△ABC 为等边三角形得到AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，再利用BD ＝CE 证得△ABD ≌△BCE ，得到∠BAD ＝∠CBE ，再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE＝60°.【详解】∵△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝,∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠ABF +∠CBE ＝∠ABC ＝60°，∴∠ABF +∠BAD ＝60°，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∴∠AFE＝60°，故答案为：60．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，题中证明三角形全等后得到∠BAD＝∠CBE，再利用外角和内角的关系求∠AFE是解题的关键.5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形∴FG=HC∵△ABF ≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.6．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝70°，若点O 到三边的距离相等，则∠BOC ＝_____°．【答案】115或65或22.5【解析】【分析】先画出符合的图形，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可．【详解】解：①如图，∵点O 到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三角的平分线的交点，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠OBC＝12∠ABC＝30°，1OCB2∠=∠ACB＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；②如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点，∴∠OBC＝12∠EBC＝60°，1OCB2∠=∠FCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；③如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBA和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBA＝12∠EBA＝12×（180°﹣60°）＝60°，1OCB2∠=∠ACB＝37.5°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；如图，此时∠BOC＝22.5°，故答案为：115或65或22.5．【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意分情况讨论.7．如图，ABC ∆中，090,,102ACB AC BC AB ∠===，点G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

其中正确的结论的序号为___________。

【答案】③④【解析】【分析】作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．构造全等三角形，证明△CAP ≌△BCG （ASA ），△EAG ≌△EAP （SAS ），即可分步判断①②③，利用四点共圆可以证明④正确．【详解】解：如图，作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．∵CE ⊥BG ，∴∠CFB=∠ACB=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠CBG ，∵BG 是△ABC 的中线，AB ＞BC ，∴∠ABG≠∠CBG ，∴∠ACE≠∠ABG ，故①错误，∵∠ACP=∠CBG ，AC=BC ，∠CAP=∠BCG=90°，∴△CAP ≌△BCG （ASA ），∴CG=PA=AG ，∠BGC=∠P ，∵AG=AP ，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE ，∴△EAG ≌△EAP （SAS ），∴∠AGE=∠P ，∴∠AGE=∠CGB ，故③正确，∵90,,102ACB AC BC AB ∠===，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC=10，∴AG=CG=5，∴2251055BG =+=，∵••12•12CG CB CF = ， ∴25CF =，故②错误，∵CA=CB ，∠ACB=90°，AH=HB ，∴∠BCH=∠ACH=45°，∵∠CFB=∠CHB=90°，∴C ，F ，H ，B 四点共圆，∴∠HFB=∠BCH=45°，∴∠EFH=∠HFB=45°，∴FH 平分∠BFE ，故④正确，综上所述，正确的只有③④.故答案为：③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，熟悉各项性质是解题的关键．8．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是_________；【答案】17【解析】【分析】首先作AD ⊥l 3于D,作CE ⊥l 3于E,再证明△ABD ≌△BCE ，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC 的长.【详解】作AD ⊥l 3于D,作CE ⊥l 3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,又∠DAB+∠ABD=90°,∴∠BAD=∠CBE,又AB=BC,∠ADB=∠BEC.∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC=34,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=22342217AB CB+=⨯=故答案为217【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.9．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，∠DEC=30°，HF=32，则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．【详解】如图，延长AF交CE于P，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，∴∠ABH=∠PAC ，∵AK ⊥CE ，AF ⊥BD ，∠EHK=∠AHF ，∴∠HEK=∠FAH ，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF ，∴∠AHB=∠APC ，在△ABH 与△APC 中，ABE PAC AB ACAHB APC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABH ≌△APC （ASA ），∴AH=CP ，在△AHF 与△EPF 中，90AHF EPF AFH EFP AF EF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHF ≌△EPF （AAS ），∴AH=EP ，∠CED=∠HAF ，∴EC=2AH ，∵∠DEC=30°，∴∠HAF=30°， ∴AH=2FH=2×32=3， ∴EC=2AH=6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．10．如图，已知AC 平分∠DAB ，CE ⊥AB 于点E ，AB =AD +2BE ，则下列结论：①AB +AD= 2AE ；②∠DAB +∠DCB =180°；③CD =CB ；④S ACE ﹣S BCE =S ACD ．其中正确的是______．【答案】①②③④．【解析】【分析】【详解】①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，∴AD＝AF，∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，∴AB+AD= 2AE，故①正确；②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键12．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．【详解】试题分析：解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正确；∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴③正确；没有条件可证明△BRP≌△QSP，∴④错误；连接RS，∵PR=PS，∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴点P在∠BAC的角平分线上，∴PA平分∠BAC，∴①正确．故答案为①②③．故选A.点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．13．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；②根据作图的过程可以判定出AD的依据；③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.解：如图所示，①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的∠平分线；故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD 的依据是SSS ；故②错误；③∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°， ∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D 在AB 的中垂线上.故④正确；故选C.“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC 的度数是解题的关键.14．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D15．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒， 在Rt APR 和Rt APS 中，AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， ∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确； 在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.16．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2，则五边形ABCDE 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 可延长DE 至F ，使EF=BC ，利用SAS 可证明△ABC ≌△AEF ，连AC ，AD ，AF ，再利用SSS 证明△ACD ≌△AFD ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积，进而求解即可．【详解】延长DE 至F ，使EF=BC ，连AC ，AD ，AF ，在△ABC 与△AEF 中，0=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AC=AF ，∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF ，在△ACD 与△AFD 中，AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×12×2×2=4． 故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．17．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】结论（1）正确，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA），同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）错误．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA，∴（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD•CE=DE2+2CD•CE=2OA2；结论（4）正确，理由如下：∵△AOD ≌△COE ，∴AD=CE ；∵△COD ≌△BOE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：CD 2+CE 2=DE 2，∴AD 2+BE 2=DE 2．∵△AOD ≌△COE ，∴OD=OE ，又∵OD ⊥OE ，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE 2=2OE 2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE ，∴△OEP ∽△OCE ，∴，即OP•OC=OE 2．∴DE 2=2OE 2=2OP•OC ，∴AD 2+BE 2=2OP•OC ．综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．18．如图，AC ⊥BE 于点C ，DF ⊥BE 于点F ，且BC ＝EF ，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL ”来证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件应该是( )A ．AC ＝DEB ．AB ＝DEC ．∠B ＝∠ED ．∠D ＝∠A【答案】B【解析】在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，直角边BC ＝EF ，要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.故选：B.19．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=12CAB∠，∠ABE=12ABC∠∴∠BAD+∠ABE=111+=()45 222CAB ABC CAB ABC∠∠∠+∠=︒∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；在△APH与△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；连接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPHPBD S S S S =+++ ABP APH PBDS S S =++ ABP FPD PBD SS S =++ ABP FBP S S =+2ABP S =故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．20．如图，把ΔABC 剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线上，点O 都落在直线MN 上，直线MN ∥AB ．在ΔABC 中，若∠AOB =125°，则∠ACB 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．60°D ．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．22．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）A ．AB CD =B ．AD BC = C ．//AD BC D ．A C ∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.24．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出下列四个结论：①△APE ≌△CPF ；②AE=CF ；③△EAF 是等腰直角三角形；④S △ABC =2S 四边形AEPF ，上述结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用“角边角”证明△APE 和△CPF 全等，根据全等三角形的可得AE=CF ，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF 的面积相等，然后求出四边形AEPF 的面积等于△ABC 的面积的一半．∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，45APE CPFAP PCEAP C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，故①②正确；∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC．故④正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF【答案】A【解析】【分析】通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，∴∠CAB＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴CE＝BE＝12BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△ADF≌△BDC（AAS）∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°∴∠AHG＝67.5°，∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，∴DH＝DF，故选项D不符合题意，连接BH，∵AG＝BG，DG⊥AB，∴AH＝BH，∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，∴∠EHB＝∠EBH＝45°，∴HE＝BE，故选项B不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.26．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（）A ．3B ．5C ．4D ．不确定【答案】C【解析】 根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E ，再利用“角角边”证明△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC ，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．故选：C ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．27．如图，在△ABC 中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点D 是BC 的中点，BF ⊥AD ，垂足为E ，BF 交AC 于点F ，连接DF.下列结论正确的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠3=∠4D ．∠4=∠5【答案】A【解析】【分析】 如图，过点C 作BC 的垂线，交BF 的延长线于点G ，则CG BC ⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G ∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G ∠=∠，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C 作BC 的垂线，交BF 的延长线于点G ，则CG BC ⊥，即90BCG ∠=︒ ,90AB BC ABC =∠=︒45BAC ACB ∠∴∠==︒904545GCF BCG ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BF AD ⊥1190BAD CBG ∴∠+∠=∠+∠=︒BAD CBG ∴∠=∠在BAD ∆和CBG ∆中，90BAD CBG AB BC ABD BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()BAD CBG ASA∴∆≅∆,1BD CG G∴=∠=∠点D是BC的中点CD BD CG∴==在CDF∆和CGF∆中，45CD CGDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDF CGF SAS∴∆≅∆3G∴∠=∠13∠∠∴=故选：A．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．28．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．29．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q 在轨道槽AM 上运动，点P 既能在以A 为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN 上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是( )A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．综上：②③④正确．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q 是关键．30．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△ADF≌△BAH；⑤DF=2EH.其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】①根据△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC，即可作出判断；②分别求出∠AFG和∠AGD的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB的度数，求证EHG DFA∠=∠，利用AAS即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH，又由③可知AH DF=，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC△是等边三角形，∴60BAC︒∠=，∴CA AB=．∵ABD△是等腰直角三角形，∴DA AB=．又∵90BAD︒∠=，∴150CAD BAD BAC︒∠=∠+∠=，∴DA CA=，∴()1180150152ADC ACD︒︒︒∠=∠=-=；②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH︒∠=∠=，DA AB=，∵AE BD⊥，AH CD⊥．∴180EHG EFG︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG∠+∠=，∴EHG DFA∠=∠，在DAF△和ABH中()AFD BHADAF ABH AASDA AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF△≌ABH．∴DF AH=．⑤正确：∵150CAD︒∠=，AH CD⊥，∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.。

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