第四章年金精算现值

Y
aK |, an|
K 0, 1, 2,, n 1 K n
精算现值：
n
a x: n |
vk k px
a x: n |
1 n Ex
a x: n 1|
1
k 1
三、期末付年金的精算现值
-延期生存年金
基本公式
nm
a n|m x
vk k px ,
k n1
n|ax
vk k px
k n1
与期初付生存年金的关系
n
i
1 a i
a 1 vn
n
d
s (1 i)n 1
n
d
a 1 d
1 vn
a
n|
s (1 i)n 1 (1 i)n a
n|
n|
一、确定性年金（例题分析）
【例4.1】一项年金在20年内每半年末付500元， 设年名义利率为9%，求此项年金的现时值。
500a 50018.4016 9200.8 40 0.045
第四章 生存年金的精算现值
本章结构
年金简介（包括确定性 年金和生存年金）
年付一次生存年金 年付多次的生存年金
第一节 年金简介
一、年金的概念和种类 二、确定性年金简介 三、生存年金简介
年金的概念和种类
概念
按一定的时间间隔支付的一系列付款
种类
确定性年金：支付与否、支付的数额都是确定的 不确定性年金：未来相应的时间点上的支付是否
精算折现因子的含义 (x)要在n年后生存时获得1元，此时需要存入 n E x元。 与折现因子有何区别与联系？
二、生存年金
（一次性生存给付例题分析）
【例4.5】计算25岁的男性购买40年定期 生存险的趸缴纯保费。已知
40 p25 0.78765825
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
(1)1000040E25 100001.0640 0.78765825 765.78 (1)1000040E25 100001.02540 0.78765825 2933.48
之间的关系 三、期末付年金及其精算现值 四、用换算函数计算年金精算现值(重点)
一、终身生存年金
-精算现值的总额支付法
步骤一：计算到死亡发生时间K为止的所有 已支付的年金的现值之和
Y a , K 0, 1, 2, K 1|
为何是aK 1| 而不是
a K|
步骤二：计算这个年金现值关于时间求和所得的 年金期望值，即终身生存年金精算现值
发生不确定，由其生命状态决定
一、确定性年金（图示）
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期末付永久年金
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0---
期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
n|
n|
一、确定性年金（期初付）
2.延期m年的n年定期年金
现值
m|
a n|
vm
源自文库
v m 1
v m n 1
a mn|
a m|
vma n|
终值
m
|
s n
|
(1 i) (1 i)2
(1 i)n
s n|
一、确定性年金（期初付）
3.递增型n年定期年金
现值
a nvn
(I a) 1 2v 3v2 nvn1 n|
公式 a lim a 1 d | n n|
含义：若期初投资1/d元，则每年期初可获得1元的收益。
期末付永续年金
公式 a lim a 1 i | n n |
含义？
一、确定性年金（常用结论）
年金 期末付 期初付 连续型
有限年金
现值
终值
永续年金 现值
a 1vn
n
i
s (1 i)n 1
ba x:n | j
yx
yx
其中：v (1 g)v 1 , j i g
1 j
1 g
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
例题分析
【例4.7】已知：i 0.05
x
90
91 92
93
lx
100 72 39
0
dx
28
33
39
－
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，试分别 用总额法和现时支付法求该终身年金的精算现值。
二、生存年金
（一次性生存给付-精算折现因子）
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年 末获得生存赔付的保险。
也就是上一章讲到的n年期生存保险。n年期生存
保险的趸缴纯保费为 A 1
x:n
在生存年金研究中习惯用
n
Ex表示该保险的精算现
值，且将其称为精算折现因子。
n Ex
A1 x:n
vn n px
延期m年的n年定期生存年金
m n 1
a m| x:n|
vk
k
px
a x: m n |
a x:m|
m Ex
a xm:n|
k m
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
一般公式
n年定期变额生存年金的精算现值
x n 1
( APV ) x by v yx yx px yx
终身变额生存年金的精算现值
一、确定性年金（期初付）
1. n年定期年金
现值
公式： a 1 v v2 vn1 1 vn
n|
d
含义：可期得初1投元资的a收n| 元益，。则之后的n年里，每年年初
终值
公式：s (1 i) (1 i)2 (1 i)n (1 i)n 1
n|
d
两者之间的关系 s (1 i)n a
n|
n|
终值：
s (1 i)n1 (1 i)n2 (1 i) 1 vs
n|
n|
一、确定性年金（连续型年金）
n年定期年金
现值
a n vt dt 1 v n
n|
0
终值
s
n
(1
i)nt
dt
(1
i)n
1
(1
i)n
a
n|
0
n|
一、确定性年金（永续年金）
收付时间趋于无穷大 期初付永续年金
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
n Ex
E nt xt
1
现值
1
S
t Ex
1
二、生存年金（精算现值的求法）
现时支付法
以生存给付事件为考虑线索 考虑未来连续支付的现时值之和 将时刻 t 时的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
例题答案
APV
EY
5v p90
10v2
2
p90
5 72 1.05 100
10 1.052
39 100
6.97
0 Y 5v
5v 10v2
k 0 k 1 k 2
EY 5v 1| q50 (5v 10v2 ) 2|q50 5v p50 10v22 p50
ax E(Y )
a k 1|
k|qx
k 0
一、终身生存年金
-精算现值的现时支付法
步骤一：计算时间 K 所支付的当期年金的现值
vK
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的 时间求和，得到精算现值
ax vk k px k Ex
k 0
k 0
一、期初付年金及其精算现值
-终身生存年金
【例4.6】张华今年30岁，从今年起，只要 他存活，可以在每年年初获得1000元的 生存给付，假设年利率为9%。计算这一 年金的精算现值。
1000 k p30 1.09k k 0
一、期初付年金及其精算现值
-n年定期生存年金
现时支付法：
n 1
n 1
a x: n |
vk k px
k Ex
k 0
k 0
一、期初付年金及其精算现值
-延期生存年金
延期m年的终身生存年金
m| ax
vk
k
px
ax
a x:m|
m Ex
axm
k m
x: m|
x:mn |
d
注：上述各式的成立不需要任何条件
三、期末付年金的精算现值
-终身生存年金
未来年金给付现值随机变量：
Y a v v2 vK K|
v a K|
a K
1|
1
精算现值：
ax E(Y ) vk k px ax 1 k 1
三、期末付年金的精算现值
-n年定期生存年金
未来年金给付现值随机变量：
分类 期初付年金/延付（期末付）年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 即期年金/延期年金
二、生存年金（与确定性年金关系）
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的 年金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
二、生存年金（与确定性年金的区别）
年金
n|
d
终值
(I s) (1 i)n (I a)
n|
n|
一、确定性年金（期初付）
4.递减型n年定期年金的现值与终值
现值
na
(D a) n (n 1)v v n1
n|
n|
d
终值
(Ds) (1 i)n(Da)
n|
n|
一、确定性年金（期末付）
n年定期年金
现值：
a v v 2 v n va
1512 0.465%
R 2464
（2）
P V60
Ra 120 0.465%
226215.04
或者
P V60
3000001.0046560
Rs 60 0.465%
226215.04
一、确定性年金（例题分析）
【例4.3】有一企业想在一学校设立一永久奖 学金，假如每年末发出5万元奖金，问：在 年实实际利率为20%的情况下，该奖学金基 金的本金至少为多少？
生存年金
支付期数是不确定 的，它以被保险人 生存为给付条件， 被保险人一旦死亡 ，给付就终止
确定性年金
支付期数是确定的 ，无论中间发生什 么事情，支付时期 都不可发生更改
二、生存年金（用途）
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
一、确定性年金（例题分析）
【例4.2】某人以名义利率5.58%从银行贷 款30万元，计划在15年里每月末等额偿 还。问：（1）他每月等额还款额等于多 少？（2）假如他想在第五年末提前还完 贷款，问除了该月等额还款额之外他还 需一次性付给银行多少钱？
一、确定性年金（例题分析）
（1）
Ra
300000
二、生存年金
（一次性生存给付-精算积累因子）
精算积累因子
S 1 (1 i)n
n Ex
n px
(x)现在存入1元，仅其n年后生存时才获得 给付，则n年后生存时的给付额为 1 n Ex 元。
二、生存年金
（一次性生存给付相关公式及意义）
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
1 n Ex
现值相加或积分
总额支付法
以死亡事件发生为考虑线索 考虑年金在死亡或到期而结束时的总值 先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额现值，再求现
值的数学期望。
两种方法是等价的（最终的结果相同） 掌握现时支付法的计算公式
第二节 年付一次生存年金
一、期初付年金及其精算现值(掌握现时支付法) 二、期初付年金精算现值与寿险精算现值
1
( APV ) x by v yx yx px yx
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
等差递增生存年金
n1
(I a)x
(k 1) vk k px ,
(I a) x:n |
(k 1) v k k px
k 0
k 0
等差递减生存年金
n1
(D a) x:n |
(n k) vk k px
P 5a 5 25 0.2 0.2
一、确定性年金（例题分析）
【例4.4】A留下一笔100000元的遗产。这 笔财产头10年的利息付给受益人B，第2 个10年的利息付给受益人C，此后的利息 都付给慈善机构D。若此项财产的年实际 利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产 中各占多少份额？
一、确定性年金（例题分析）
二、 期初付年金的精算现值与
寿险精算现值之间的关系
年龄为x岁的人，投资1元能使
其在生存期间每年得到利息额
d 的给付，一旦其死亡，便立
A da 1 x
x
即获得1元的死亡保险金
(Y a 1 vK1 )
A da 1 x:n|
x:n|
K 1|
d
m| ax
A x:m|
Ax
,
d
m
|
a x: n
|
A A
I 100000 7% 7000 B：7000a 49465
10 0.07
C : 7000(a a ) 24993 20 0.07 10 0.07
D : 7000(a a ) 25842 0.07 20 0.07
二、生存年金
生存年金：在已知某人生存的条件下，按预先 约定金额进行一系列的给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人 生存为条件；一旦年金受领人死亡， 给付便立即中止。
k 0
一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
等比例变额生存年金
应用场合：养老保险中，其给付额在一个基础水平上 按一个规定比例增长，这个比例常是价格指数或社会 平均工资指数
精算现值
x n 1
x n 1
(APV ) x
b (1 g) yx v yx yx px b
(v) yx yx px