静力学经典习题汇编

静力学经典习题汇编

【微元法的应用】

【例1】如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力

T.

解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足：

θθθθT G T T +?=?+cos θρθθc o s c o s Lg G T ?=?=?

由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，即 ∑∑∑?=?=?=

θρθ

ρθc o s c o s L g Lg T T 观察 θcos L ?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，

所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以 ∑=?R L θ

c o s 可得铁链A 端受的拉力 ∑=?=gR L g T ρθρcos

【例2】图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.

解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为 零，则由平衡条件得：

2

sin 22sin 2sin

θθθ?=?+?=?T T T N 当△θ很小时，22sin θ

θ?≈? ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ

则绳所受法向支持力线密度为 R

T

R T L N n =??=??=

θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ② T －mg=m a ③ 由②、③解得： m

M Mmg

T +=2

将④式代入①式得：R

m M Mmg

n )(2+=

【例3】质量为m ，自然长度为2πa ，弹性系数为k 的弹性圈，水平置于半径为R 的固定刚性球上，不计摩擦。而且a = R/2 。

（1）设平衡时圈长为2πb ，且b = 2a ，试求k 值； （2）若k =

R

2mg

2π ，求弹性圈的平衡位置及长度。

解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈 不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中 每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在

弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.

先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的

质量 M m πθ

2?=

? △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为 2

sin 2)2cos(2θ

θπ?=?-=F F T

因为当θ很小时，θθ≈sin

所以θ

θ

?=?=F F T 2

2

再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ， 二力的合力与T 平衡.即 θt a n ??=mg T

现在弹性绳圈的半径为 R R r 2

2

22==

ππ 所以 ?===

452

2

sin θθR r 1t a n

=θ 因此T=Mg mg πθ2?=

? ①、②联立，θπ

θ

?=?F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π

2Mg

F =

设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=

所以绳圈的劲度系数为：R

Mg

R Mg x F k 22

2)12()12(2ππ+=-==

【绳模型】

【例1】均质铁链如图2悬挂在天花板上，已知悬挂处的铁链的切线与天花板的夹角为θ，而铁链总重为G , 试求铁链最底处的张力。

【极限讨论】

【例1】如图3所示，两不计大小的定滑轮被等高地固定在天花板上，跨过滑轮的轻绳悬挂三部分重物。A 、B 部分的重量是固定的，分别是A G = 3牛顿和B G = 5牛顿，C G 则可以调节大小。设绳足够长，试求能维持系统静止平衡的C G 取值范围。

A B

C 图 3

图 2

θ

【重心与质心】

【例1】如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。（三力汇交原则）

【例2】如图所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离。

解说：练习三力共点的应用。

根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。

答案：R 。

反馈练习：静摩擦足够，将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？

解：三力共点知识应用。

答：。

【例3】沿着一个边长为l的均匀等厚的正方形的两条对角线，将它分成四个三角形．割去其中一个，则剩余部分的重心离原正方形重心的距离为

【例4】4个半径为r的均质球在光滑的水平面上堆成锥形，如图所示。下面的三个球A、B、C用绳缚住，绳与三个球心在同一水平面内。如各球均重P，求绳子的张力S。当上面的球未放上时，设绳内不存在初始内力。

解：如图所示，A 、B 、C 、D 分别为四个球的质心， 所以：33sin =θ 36cos =θ

分析D 球受力得：

P F =θcos 3 F 为A 、B 、C 三球对D 球的支持力 可得：P F 6

6=

设绳对A 球的作用力为F 1， 所以12sin 6

F F P θ=?=

分析绳于A 的接触点可得， 12

2c o s306

S F P ==

所以：6

0.13618

S P P =

=

【共点力平衡】

【例1】如图所示，一根重8N 的均质直棒AB ，其A 端用悬线悬挂在O 点，现用F = 6N 的水平恒力作用于B 端，当达到静止平衡后，试求：（1）悬绳与竖直方向的夹角α；（2）直棒与水平方向的夹角β。

图1

F

O

A

B

α

β

【例2】如图2-6所示，圆柱A 、B 各重50N 和150N ，放置在V 形槽中，不计各处摩擦，平衡时，两圆柱中心连线AB 与水平轴x 的夹角是 ．

取整体研究对象 相互作用力

F F'计

竖直方向 N1*sin30°+N2*sin60°=G1+G2

θ

A

B

C

D

1

F S

S

水平方向 N1*cos30°=N2cos60° 解得N1=(G1+G2)/2=100N N2=(√3/2)*(G1+G2)=100√3N

对于第力矢量三角形使用余玄定理得

F^2=N1^2+G1^2-2Ni*G1*cos60° =50√3N

再使用正玄定理得 F/sin60°=NI/sin(90°-θ) 解得cosθ=1

所θ=0°

【例3】三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为0r 的环1上，彼此间距相等．三根绳都穿过半径为0r 的第3个圆环，另一端用同样的方式系在半径为02r 圆环2上(图2-10)．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之间的距离．(三个环都是用同种金属丝制作的，摩擦力不计)

【力矩平衡】

【例1】如图所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？

【例2】水平导轨AB固定在支架CD上，其形状、尺寸如图所示．导轨与支架的总质量M=4kg，其重心在O点，它只能绕支架C点且垂直于纸面的水平轴转动．质量m=1kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，现受到水平拉力F=2.5N的作用．已知小铁块和导轨之间的动摩擦因数μ=0.2．g取10m/s2，求：

（1）小铁块刚开始运动时的加速度大小？

（2）小铁块运动到离A端多远时，支架将要开始翻转？

（3）若在小铁块运动的过程中，支架始终保持静止，则拉力F作用的最长时间为多少？

【计算力偶】

【例1】如图2-11所示，重量为G的均质杆用两平行绳水平悬挂，绳长L，杆长为2r，在杆上作用一力偶使杆绕中心转过角度 ，试求此力偶矩的大小·

M=Gr2sinα/√（l2-4r2sin2(α/2))

【例2】