高中数学第一章常用逻辑用语3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学案北师大选修2-1

3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题

学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.

知识点一全称量词、全称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5.

(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).

梳理(1)概念

短语“______”“每一个”“任何”“__________”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作__________.

(2)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.

知识点二存在量词、特称命题

思考观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m∈Z，m>5.

(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)

梳理(1)概念

短语“________”“__________”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作__________.

(2)特称命题真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

类型一 全称命题与特称命题的判断

命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述

例1 设p (x )：2x 是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：

(1)全称命题：任意x ∈N ，p (x )；

(2)特称命题：存在x ∈N ，p (x ).

反思与感悟 全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.

跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)

命题角度2 全称命题与特称命题的识别

例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.

反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题.

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.

类型二全称命题与特称命题的真假的判断

例3 判断下列命题的真假.

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；

(5)任意x∈R，x2－3x＋2＝0；

(6)存在x∈R，x2－3x＋2＝0.

反思与感悟要判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.

要判定特称命题“存在x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练3 判断下列命题的真假：

(1)有一些奇函数的图像过原点；

(2)存在x∈R,2x2＋x＋1<0；

(3)任意x∈R，sin x＋cos x≤ 2.

类型三利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例4 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围.

(1)命题p(x)：x＋1>x；

(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；

(3)命题p(x)：sin x>cos x.

反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.

跟踪训练4 若方程x 2＋ax ＋1＝0，x 2＋2ax ＋2＝0，x 2

－ax ＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围.

1.下列命题中，不是全称命题的是( )

A.任何一个实数乘以0都等于0

B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

2.命题p ：存在x ∈N ，x 3

A.p 假q 真

B.p 真q 假

C.p 假q 假

D.p 真q 真 3.已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1f (x 2)”为真

命题，则下列结论一定成立的是( )

A.a ≥0

B.a <0

C.b ≤0

D.b >1

4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )

A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α

B.存在实数x ，使sin x ＝π2

C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β