高二数学 人教A版 17直线与圆锥曲线-教学设计、教案、重点、考点 、讲义

直线与圆锥曲线 知识讲解 一、直线与椭圆的位置关系 位置关系：相交、相切、相离．

判定条件归纳为： 设直线l：0AxByC++=，椭圆方程C：()0fxy=，，由0()0AxByCfxy++=

=，

消去y（或消去x）得：

20axbxc++=．24bac∆=−，

0∆>⇔相交； 0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切． 二、弦长公式 1.定义：连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．

2.求弦长方法： 方法一：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； 方法二：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为1122()()xyxy，，，，

则弦长公式为221212

1||11ABkxxyy

k

=+−=+−



．

3.两根差公式： 如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc++=，

则22

2121212

4()44bcbacxxxxxx

aaaa

−∆

−+−−−⋅



（0∆>）． 三、直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 1.从方程的观点出发：利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何

问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质． 2.以向量为工具：利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题． V 典型例题 一．解答题（共14小题） 1．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：𝑥𝑥24+𝑦𝑦23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣12； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→=0→．证明：|𝐹𝐹𝐹𝐹→|，|𝐹𝐹𝐹𝐹→|，

|𝐹𝐹𝐹𝐹→|成等差数列，并求该数列的公差． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2∵线段AB的中点为M（1，m）， ），

∴x1+x2=2，y1+y2

将A，B代入椭圆C：𝑥𝑥24+𝑦𝑦23=1中，可得

=2m

�3𝑥𝑥12+4𝑦𝑦12=123𝑥𝑥22+4𝑦𝑦22=12

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2即6（x）=0， 1﹣x2）+8m（y1﹣y2∴k=𝑦𝑦1−𝑦𝑦2𝑥𝑥1−𝑥𝑥2=﹣68𝑚𝑚=﹣34𝑚𝑚

）=0，

点M（1，m）在椭圆内，即14+𝑚𝑚23＜1，(𝑚𝑚＞0)， 解得0＜m＜32

∴𝑘𝑘═34𝑚𝑚＜−12．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3可得x），

1+x2∵𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→=0→，F（1，0），∴x=2， 1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3

=0， ∴x3=1，y3=﹣（y1+y2

∵m＞0，可得P在第四象限，故y

）=﹣2m

3由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex=﹣32，m=34，k=﹣1 1=2﹣12x1，|FB|=2﹣12x2，|FP|=2﹣12x3则|FA|+|FB|=4﹣12(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)=3，∴|FA|+|FB|=2|FP|， =32．

联立�𝑦𝑦=−𝑥𝑥+743𝑥𝑥2+4𝑦𝑦2=12，可得|x1﹣x2

所以该数列的公差d满足2d=±12|x|=�(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)2−4𝑥𝑥1𝑥𝑥2=3�217 1﹣x2∴该数列的公差为±3√2128． |=±3�2114，

2．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：𝑥𝑥24+𝑦𝑦23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣12； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→=0→，证明：2|𝐹𝐹𝐹𝐹→|=|𝐹𝐹𝐹𝐹→|+|𝐹𝐹𝐹𝐹→|．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2∵线段AB的中点为M（1，m）， ），

∴x1+x2=2，y1+y2

将A，B代入椭圆C：𝑥𝑥24+𝑦𝑦23=1中，可得

=2m

�3𝑥𝑥12+4𝑦𝑦12=123𝑥𝑥22+4𝑦𝑦22=12，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2即6（x）=0， 1﹣x2）+8m（y1﹣y2∴k=𝑦𝑦1−𝑦𝑦2𝑥𝑥1−𝑥𝑥2=﹣68𝑚𝑚=﹣34𝑚𝑚

）=0，

点M（1，m）在椭圆内，即14+𝑚𝑚23＜1，(𝑚𝑚＞0)， 解得0＜m＜32

∴k=﹣34𝑚𝑚＜−12．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3可得x），

1+x2∵𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→+𝐹𝐹𝐹𝐹→=0→，F（1，0），∴x=2 1﹣1+x2﹣1+x3

∴x

﹣1=0，

3由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex=1 1=2﹣12x1，|FB|=2﹣12x2，|FP|=2﹣12x3则|FA|+|FB|=4﹣12(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)=3， =32．

∴|FA|+|FB|=2|FP|， 3．（2018•上海模拟）已知a∈R，双曲线𝛤𝛤：𝑥𝑥2𝑎𝑎2−𝑦𝑦2=1

（1）若点（2，1）在Γ上，求Γ的焦点坐标 （2）若a=1，直线y=kx+1与Γ相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实数k的值 【解答】解：（1）把（2，1）代入双曲线方程可得4𝑎𝑎2﹣1=1， ∴a2∴c=√2+1=√3， =2，

∴Γ的焦点坐标为（﹣√3，0），（√3，0）． （2）当a=1时，双曲线方程为x2﹣y2联立方程组�𝑥𝑥2−𝑦𝑦2=1𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+1，消去y得：（1﹣k=1， 2）x2∵直线y=kx+1与Γ相交于A、B两点， ﹣2kx﹣2=0，

∴△=4k2+8（1﹣k2解得：﹣√2＜k＜√2． ）＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2

解得：k=−1+√52或k=−1−√52（舍）．

=2𝑘𝑘1−𝑘𝑘2=2，

故k=−1+√52． 4．（2018•安阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=

﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程； 的距离之积为1．

（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2 于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得|𝑥𝑥−𝑦𝑦|√2⋅|𝑥𝑥+𝑦𝑦|√2=1，|（x+y）（x﹣y）|=2．

因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2

即点P的轨迹C的方程为𝑥𝑥22−𝑦𝑦22=1．

=2，

（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，|𝑂𝑂𝑂𝑂|=√2，|𝐹𝐹𝐹𝐹|=2√2，得𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐹𝐹𝐹𝐹=12|𝐹𝐹𝐹𝐹|⋅|𝑂𝑂𝑂𝑂|=2． 当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则𝑂𝑂(−𝑚𝑚𝑘𝑘，0)， 把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k+2=0， 2m2﹣4（k2﹣1）（m2得m+2）=0， 2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1． 设A（x1，y2），B（x2，y2所以𝑆𝑆△𝑂𝑂𝐹𝐹𝐹𝐹=12|𝑂𝑂𝑂𝑂||𝑦𝑦1−𝑦𝑦2|=12|𝑚𝑚𝑘𝑘||𝑚𝑚1−𝑘𝑘−𝑚𝑚1+𝑘𝑘|=|𝑚𝑚21−𝑘𝑘2|=2． ），由�𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑚𝑚𝑦𝑦=𝑥𝑥得𝑦𝑦1=𝑚𝑚1−𝑘𝑘，同理，得𝑦𝑦2=𝑚𝑚1+𝑘𝑘． 综上，△OAB的面积恒为定值2． 5．（2018•商丘三模）已知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； =4x的焦点重合，点（1，32）在椭圆C上．

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G（18，0），求实数k的取值范围． 【解答】解：（I）抛物线y2

设椭圆方程为𝑥𝑥2𝑎𝑎2+𝑦𝑦2𝑏𝑏2=1（a＞b＞0），则�𝑎𝑎2−𝑏𝑏2=1𝑏𝑏2𝑎𝑎=32， =4x的焦点为（1，0），故（1，0）为椭圆的右焦点，

∴a=2，b=√3， ∴椭圆C的标准方程为𝑥𝑥24+𝑦𝑦23=1．

（II）线段MN的垂直平分线方程为：y=﹣1𝑘𝑘（x﹣18）， 设M（x1，y1），N（x2，y2联立方程组�𝑦𝑦=𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑚𝑚𝑥𝑥24+𝑦𝑦23=1，消去y得：（3+4k）， 2）x2+8kmx+4m2∴△=64k﹣12=0， 2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2由根与系数的关系可得：x+3． 1+x2=﹣8𝑘𝑘𝑚𝑚3+4𝑘𝑘2，∴y1+y2=k（x1+x2设线段MN的中点为P，则P（﹣4𝑘𝑘𝑚𝑚3+4𝑘𝑘2，3𝑚𝑚3+4𝑘𝑘2）， ）+2m=6𝑚𝑚3+4𝑘𝑘2，

代入y=﹣1𝑘𝑘（x﹣18）得：4k2+8km+3=0，即m=﹣18𝑘𝑘（4k2∴(4𝑘𝑘2+3)264𝑘𝑘2＜4k+3）， 2+3，即k2＞120，