数论综合-小学六年级秋季第一讲
小学六年级奥数 数论之质合数论之质合、、因倍因倍、、余数综合余数综合_PDF压缩
【例1】(★ ★) 有一组密码有7个数字组成，它们不是2就是1，并且数字2比数字1
的数量多，已知这个密码能被3和4整除，试求出其中的一个密码。
【例2】(★★) 有一个长长的纸条，里面有37个方格，要求在每个方格里填入 一个自然数，从1到37，既不重复，也不遗漏。但数字不能随便 乱填，有一项特殊要求：第1个数能被第2个数整除，第1个数与 第2个数之和能被第3个数整除；第1、2、3个数之和能被第4个 数整除，…这个规律一直要保持下去，直到前面36个数的和能
数论之质合、因倍、余数综合
一、整除 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能 被b整除。 (1)末尾系:2,5;4,25;8,125 (2)和系：3,9;99 (3)差系：7,11,13 (4)拆分系 (5)试除法
Байду номын сангаас
二、质数与合数
质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数 (或素数)。
【例5】(★★★) 有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是？
【例6】 (★★★) 一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前 两位数字组成的两位数。如果它后两位数字组成的两位数是质 数，那么原来的四位数是多少？
一、本讲重点知识回顾
1．整除：整除特征熟记
2. 质合：100以内质数熟记，特殊质数——2,5 3. 因倍：因数个数定理，
最小公倍数的乘积。 两个数的最大公因数是这两个数的和，差， 积的因数。 四、余数
1．运算性质：
(1)和的余数等于余数的和
(2)积的余数等于余数的积 1
2．同余定理 （1）定义 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b （ mod m） （2）性质 若两个数关于某一个数同余，那么这两个数的差一定是这个数的倍数
数学思维导引-六年级-数论综合一 (7)
2、设 N=301×302×…×2005×2006，请问： （1）N 的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？ （2）用 N 不断除以 12，知道结果不能被 12 整除为止，一共可以除以多少次 12？ 【答案】（1）426 个；（2）850 次 【分析】
（1）1～2006
末尾
0
的个数
2006 5
【答案】70 【分析】7 和 5 前面的没法改，2 的因子个数奇数个，除不完。
4、有 15 位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自 然数，2 号说：“这个数能被他的编号数整除。1 号一一作了验证：只有两个同学（他们 的编号是连续的）说得不对，其余同学都对。问： （1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？ （2）如果 1 号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
所以应为 14、32、 50、68、86 中的一组，满足条件的只有 1 个，14。 方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求解 的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位 幸运数．
设所求的幸运数是质数 p 的两倍，即此幸运数为 2p ，则 p 的所有可能取值为 5、7、 11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是 2p 1的所有可能取值为 9、 13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①， 2 p 1应为质 数，因此2 p 1 只可能为 13、37、61 或 73．再由条件③知 2 p 1除以 9 所得余数 应为 4，于是 2p 1只能等于 13，从而这个幸运数只能是2 p 14 ．
共 28 个
六年级上册数学讲义-小升初培优第01讲奇数和偶数(解析版)全国通用
第一讲奇数与偶数1、掌握奇数和偶数的定义和运算性质，能够利用奇偶性质解决实际问题；2、探究奇偶性的特征，培养运算及分析解决问题的能力；3、培养学生的应用意识，增加学习数学的成就感。
1、奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数。
讲演者：得分：101×102＋103×104＋105×106＋……＋999×1000的得数是奇数还是偶数？【解析】奇数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以最后的结果是偶数。
讲演者：得分：某偶数N的各位数字之和是50，则N的最小值是多少？【解析】N是偶数，则N的末位是偶数8，50－8＝42，要使得N的值最小，数位越少越小，9×4＝36，42－36＝6，最小的数为699998。
是否存在自然数a、b、c，使得（a－b）（b－c）（a－c）＝45327？【解析】不存在，结果45327是奇数，如果成立，需要奇数×奇数×奇数＝奇数，而abc中肯定有两个是同奇或者同偶，所以（a－b），（b－c），（a－c）至少有一个是偶数，所以（a－b）（b－c）（a－c）＝偶数。
解答：不存在。
有6个学生都面向南站成一行，每回只能有5个学生向后转，则最少要转多少回就能使6个学生都面向北？【解析】一个学生向后转奇数次后就从面向南变为面向北。
要使6个学生从面向南变为面向北，则转动的总“人次”是6个奇数的和，即总人次是偶数。
由于每回都有5人向后转，只要转动偶数回，就能使转动的总人次是偶数。
小升初数学六年级重点-数论
一、本讲任务全面回顾小学数论知识及常用解题方法二、经典例题【举一反三】被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
(★★★)用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。
被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？数论例1【举一反三】一列数，前几个数是1，3，8，21，55，144，377，987，……，通过观察中间数的3倍都是它前后相邻2个数之和，求：这列数中的第2011个数除以6所得的余数是几？(★★★)2008222008 除以7的余数是 。
(★★★)有一串数：1，3，8，22，60，164，448，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。
那么在这串数中，第2011个数除以9的余数是＿＿。
例2例3【举一反三】求20101000(221)83⨯÷的余数。
(★★★★)一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a ＋5、2a 、a ，求这个自然数和a 的值。
(★★★) 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的 3个余数之和是50，那么这个整数是______。
例4例5(★★★★)有已知n 是正整数，规定!12n n =⨯⨯⨯令1!12!23!32009!2009m =⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m 除以2009的余数为( )。
(★★★★)有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
例6例7【本讲小幽默】一天，小白兔跑到药店里，问老板：“老板老板，你这里有胡萝卜吗?”老板说：“没有。
” 小白兔就走了。
(★★★★)设12233420012002A =⨯+⨯+⨯++⨯那么A 除以12的余数是_______。
例8第二天，小白兔跑到药店里，问老板：“老板老板，你这里有胡萝卜吗?”老板说：“我都跟你说过了，没有!”小白兔就走了。
第三天，小白兔跑到药店里，问老板：“老板老板，你这里有胡萝卜吗?”老板急了：“我跟你说过多少次了?！没有！！你再烦人，我就拿老虎钳子把你的牙都拔下来!”小白兔害怕了，跑掉了。
六年级数学思维训练专题第8讲数论综合一
六年级数学思维训练专题第8讲数论综合一内容概述运用已学过的数论知识,解决综合性较强的各类数论问题；学会利用简单代数式处理数论问题．典型问题兴趣篇1．如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为“幸运数”,求出所有的两位幸运数．2．一个五位数 25□ □8,空格中的数未知,请问： (1)如果该数能被72整除,这个五位数是多少？(2)如果该数能被55整除,这个五位数是多少？3．在小于5000的自然数中,能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如,按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数,另一个是6的倍数,还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？5 ．26460的所有约数中,6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？6．一个自然数N 共有9个约数,而N -1恰有8个约数,满足条件的自然数中,最小的和第二小的分别是多少？7．一个自然数,它最大的约数和次大的约数之和是111,这个自然数是多少？8．有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”,计算结果还是自然数,那么这个自然数最小是多少？9．一个两位数分别除以7、8、9,所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？10．信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A378B421C,字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同；②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．你能破解此密文吗？拓展篇1．已知73a ×c b 0是495的倍数,其中a 、b 、c 分别代表不同的数字．请问：三位数abc 是多少？2. 11个连续两位数乘积的末4位都是0,那么这11个数的总和最小是多少？3．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”,计算结果还是自然数,那么这个自然数最小是多少？4．有15位同学,每位同学都有个编号,他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”,3号接着说：“这个数能被3整除”……依此下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对,其余同学都对．问：(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数,那么这个自然数为多少？5．有2008盏灯,分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍）,第2个人按的开关的编号是2的倍数,第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去,第2008个人按的开关的编号是2008的倍数,如果刚开始的时候,灯全是亮着的,那么这2008个人按完后,还有多少盏灯是亮着的？6．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳214米,黄鼠狼每次跳432米,它们每秒钟都只跳一次,在比赛道路上,从起点开始每隔8312米设有一个陷阱．请问：当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米？7．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数,恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？8．一个合数,其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数．9．已知a与b是两个正整数,且a>b．请问：(1)如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况？(2)如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况？10．已知a与b的最大公约数是14,a与c的最小公倍数是350,b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？11．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5,除以6的余数之和是5,除以7的余数之和是1．求这两个两位数．12．如图8-1,在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）．小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔,他先试着每隔2个孔跳一步,结果只能跳到B孔,他又试着每隔4个孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6个孔跳一步,正好回到A孔．问：这个圆圈上共有多少个孔？超越篇1．有6个互不相同且不为0的自然数,其中任意5个数的和都是7的倍数,任意4个数的和都是6的倍数．请问：这6个数的和最小是多少？2．设N= 301×302×…×2005×2006,请问：(1)N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？(2)用N不断除以12,直到结果不能被12整除为止,一共可以除以多少次12？3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数,这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数,晶晶计算出它与10！的最大公约数,结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？4．一个正整数,它分别加上75和48以后都不是120的倍数,但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？5．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300,c和a、c和b的最大公约数都是20,且a>b>c．请问：满足条件的a、b、c共有多少组？6．有一类三位数,它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？7．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等,并且商和余数都大于1,那么这个自然数是多少？8．有4个互不相同的三位数,它们的首位数字相同,并且它们的和能被它们之中的3个数整除,请写出这4个数,。
1《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲_小升初必备》-第1讲-计算综合(一)
第1讲计算综合（一）【内密柢述】繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题.1 •繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”•找到最长的分数线，将其上视为分子, 其下视为分母.2 •一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数•所以需将带分数化为假分数.3 •某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4 •对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.5 •本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级［第1讲循环小数与分数］•第一底“华罗庚金杯杯少年数学邀请杓决赛一试第1题7 11_ A一一----- 4-—1 •计算：182627c131335834167123【分析与解】原式=- 46271223174 -1311284812833第五届“华罗庚金杯"少年歎芋邀请奏'复骞第i题2•计算：5【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有195•于是，我们想到改变运算顺序，95如果分子与分母在19-后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为 1 ;如果不一9致，也不会增加我们的计算量•所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995X 0.5 •翁國级数浊謬跨北索审第三居“迎春杯”載学竞赛•决赛第一题第I 題錮翅级数：拿卓 ，1999年全国小学数学真林匹克*决赛B 毛第2题4•计算:1 8 已知= ，则x 等于多少？1+ 1 11 2+ 11x+ - 4翁建级数：拿杠心5 •求4,43,443,...,4绘净3这10个数的和.9个45 919 —( 3 5.22) 原式=4 10 195( 9 650 5.22)(1993 0.4 (1995 0.5195=9195 1.32 9,,1993 2 =1 (19951.32 (1993 0.4 4 0.41995 0.41995 0^)0.50.5 41 1+2■一x+ - 4 交叉相乘有 88x+66=96x+56 ,x=1 .111 方法二：有1 一1 11 1 2宀8x -4【分析与解】方法1 "1 44x 11 4x 1 8x 68x 6 12x 78 1125.3 8所以23 ；所以X3•计算：1-1【分析与解】原式119871 =1 =1d 19871 -19861986 19873973=3973【分析与解】方法4+43+443 ... 44?.-^39个4(100 1) (1000 1)...(如0040 1)] 910个04— 如2均0 9=4938271591. 9 9个1方法二： 先计算这10个数的个位数字和为 3 9+4=31 ;再计算这10个数的十位数字和为 4X9 =36, 加上个位的进位的 3, 为 36 3 39 ;再计算这10个数的百位数字和为 4X 8=32,加上十位的进位的 3, 为 32 3;再计算这10个数的千位数字和为 4X 7=28,加上百位的进位的 3, 为 28 3 31 ； 再计算这10个数的万位数字和为4X 6=24,加上千位的进位的 3, 为 24 3 2Z ；再计算这10个数的十万位数字和为4X 5=20，加上万位的进位的 2,为20 2 2上；再计算这10个数的百万位数字和为4X 4=16，加上十万位的进位的 2,为16 2 18 ； 再计算这10个数的千万位数字和为4X 3=12，加上百万位的进位的1,为121;再计算这10个数的亿位数字和为 4X 2=8，加上千万位的进位的 1，为8 1 [9 ；最后计算这10个数的十亿位数字和为 4X 1=4,加上亿位上没有进位，即为 4 •所以，这10个数的和为4938271591.⑱砂级数：*1】空住全目小学数学奥林匹克•决赛A 卷爺2题6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中(44 1)=4 44 44444…4 9=4 (9 99 10个 4 9999 ... 999-3-9)10个9=4 [(10 1)96条线段的长度之和是多少 ？级数汀車*w19務年全国小学数学豐林匹A •初*_A 程第4题7.我们规定，符号“O”表示选择两数中较大数的运算,23 155（0.625/仝）（仝 d0.4）表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5 △ 2.9=2.9 △ 3.5=2.9 .请计算：333841 Cd 0.3） 3【分析与解】原式觀@级数:* ” L |19g6年金国小学就孝真袜匹克*初赛B 養第于题8 .规定(3) =2X 3X 4,(4) =3X 4X 5, (5) =4X 5X 6, (10) =9X 10X 11,….如果(16)那么方框内应填的数是多少 ？ 【分析与解】(丄丄)丄口 1=3^ 1 1(16) (17) (17) (16) 15 16 17 5北京市弟二届“迎春杯”戟学竟那•决赛第二題第2题【分析与解】 3（14因为每个端点均有三条线段通过，所以这0.6 0.875) 1+0.75+1.8+2.625=6.175=66条线段的长度之和为:7 40例如：3. 502.9=2.9 O 3.5=3.5 .符号“△”評25)0.625 1555 3845155 _ 7 25 ---- 2 — --------- 384 12 256(17)觀毬级数：卓*車1啲年全国小学数学奧林匹克•决赛那4题10 •如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数, 例如1.892915929 .那么在所有这种数中。
小学六年级数论知识点
小学六年级数论知识点数论是数学的一个分支领域，主要研究整数之间的性质和关系。
在小学六年级数学学习中，数论是一个非常重要且需要掌握的知识点。
本文将介绍小学六年级数论的几个重要知识点。
一、素数和合数在小学六年级数论中，首先要了解的是素数和合数的概念。
素数是指只能被1和自身整除的正整数，除了1以外没有其他的因数。
而合数则是可以被除了1和自身以外的其他正整数整除的数。
二、质因数分解质因数分解是指将一个合数分解为几个素数的乘积的过程。
对于一个合数，可以通过不断地除以素数，直到不能再分解为止，得到质因数分解的结果。
例如，12可以分解为2 × 2 × 3。
三、最大公因数和最小公倍数最大公因数是指两个或多个数中同时能够整除的最大的正整数，而最小公倍数则是指两个或多个数中能够被它们同时整除的最小的正整数。
在小学六年级，通常通过求质因数分解的方式来计算最大公因数和最小公倍数。
四、奇数和偶数奇数和偶数是数论中的另一个重要概念。
奇数是指不能被2整除的正整数，而偶数则是可以被2整除的正整数。
小学生在学习数论时需要熟练掌握奇数和偶数的特点及其性质。
五、整数的性质在数论中，还有一些关于整数的性质需要掌握。
例如，两个偶数的和或差仍为偶数，两个奇数的和为偶数、差为偶数，奇数与偶数相乘的结果为偶数等等。
这些性质在解题过程中经常会用到，小学生需要加以练习和记忆。
六、数字的尾数在数论中，数字的尾数是指该数字的个位数字。
小学六年级学生需要掌握尾数的特点以及不同尾数之间的规律。
例如，以0、2、4、6、8结尾的数字都是偶数，而以1、3、5、7、9结尾的数字都是奇数。
以上就是小学六年级数论的几个重要知识点。
通过对这些知识点的学习和掌握，学生可以更好地理解整数之间的性质和关系，提高数学解题的能力和思维能力。
希望本文对小学六年级学生在数论学习上有所帮助。
小学数学六年级下册数论之数论综合六年级小升初讲课上课PPT教学课件
练习1：有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如 果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（ ）块 。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正 方形，至少需要瓷砖的块数为（ ）。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加 上5后被5除余1，这个两位数是______.
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
4、位值原理 技巧：
数论基础
例题1：如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所 得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的 和是多少？
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题2：某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低 于90分的人数占1/7,得80～89分的人数占1/2，得70～79分得 人数占1/3.那么得70分以下的有________人。
例题3： a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余 数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数 是_______
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个 自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
小学奥数数论导引
数论（导引五、六年级共计45页）数论问题第1讲整除一、内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征，通过分析整除特征解决数的填补问题，以及多位数的构成问题等。
二、典型例题（一）兴趣篇1.★下面有9个自然数:14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：(1)有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？(2)有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.★有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837.这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.★★有如下4个自然数：2695，1804，1963，23205.这些数中哪些能被11整除？哪些能被7整除？哪些能被13整除？4.★★一个三位数的十位数字未知，请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值：(1) 如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？(2) 如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？(3) 这个三位数有没有可能同时被3和4整除？如果有可能，“□”可能等于多少？5.★★四位数能被11整除，求出所有满足要求的四位数.6.★★新学年开学了，同学们要改穿新的校服，萱萱收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师.老师给了萱萱一张纸条，上面写着“交来校服费元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了.墨莫看了看，很快就算出了方格处的数字.聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？7.★★四位数能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数.8.★★★四位偶数能被11整除，求出所有满足要求的四位数.9.★★★一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话.服务人员告诉他，目前只有形如“1234□6□8”的号码可以申请.也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动.王经理打算申请一个同时能被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？10.★★★一个各位数字各不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除.这个四位数最大是多少?（二）拓展篇1.★判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407.（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？2.★★是一个四位数.数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除.”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？3.★★多位数能被11整除，满足条件的n最小是多少？4.★★★五位数能同时被11和25整除，这个五位数是多少？5.★★★牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上.但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示被烧出的洞.牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？6.★★★六位数能同时被9和11整除，这个六位数是多少？7.★★★★请从1，2，3，4，5，6，7 这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数.这个五位数最大是多少？8.★★★卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59和89之间拼成一个五位数，使得这个五位数能被7整除.请问：小高写的数是多少？9.★★★已知51位数能被13整除，中间方格内的数字是多少?10.★★★（1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0.如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？（2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最少是多少？11.★★★用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.12.★★★墨莫和小高玩一个数字游戏.墨莫先将一个三位数的百位和个位填好，然后小高来填写这个三位数的十位.如果最后这个三位数能被11整除，那么小高获胜，否则墨莫获胜.墨莫想了一会，想到了一个必胜的办法.请问：墨莫想到的办法是什么？13.★★★★对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何N 整除.请问：一共有多少个不大于10的一个自然数的右端，形成的新数都不能被1破坏数？14.★★★一个五位数，它的末三位为999.如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？（三）超越篇1.★★★在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？2.★★★将自然数1，2，3，…，依次写下去形成一个多位数“123 456 789 101 112 …”.当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除.请问：N是多少？3.★★★萱萱的爸爸买回来两箱杯子，两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.○◇元”（□，△，○，◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）.爸爸告诉萱萱，其中一箱装了99只A型杯子，另一箱装了75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分.但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也记不得哪个箱子装的是A型杯子，哪个箱子装的是B型杯子了.爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱.萱萱看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整数性质，这下可以派上用场了.”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？4.★★★★小高在一张纸条上依次写上了2，3，4，5，6，7 这六个数字，形成了一个六位数.卡莉娅把这张纸条撕成了三节，这三张纸条上的数加起来得到的和（如图，三节++=）能被55整除.请问：卡莉娅可能是在什么位置撕断纸条上的和为234567486的这张纸？5.★★★★将一个自然数N接在任一自然数右面（例如将2接在13的右面的到132），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为“神奇数”.请求出所有的两位“神奇数”.6.★★★★在六位数中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除.方框中的两位数是多少？7.★★★★多位数A由数字1，3，5，7，9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中的任意一个数字整除.求这样的A的最小值.8.★★★★★有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”.比如2332，181，77都是回文数.如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那么这个六位数是多少？数论问题第2讲质数与合数一、内容概述：掌握质数与合数的概念;熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题;学会计算乘积末尾零的个数.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★写出50以内所有的质数.2.★（1）如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？（2）如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？（3）如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？3.★有人说：“任何7个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子，说明这句话是错的.4.★★★请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列.5.★请把下面的数分解质因数：（1）160；（2）598；（3）211.6.★★三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数.请求出这三个数.7.★★用一个两位数除330，结果正好能整除.请写出所有可能的两位数.8.★★两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?9.★★请将2,5,14,24,27,55,56,99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等.10.★★请问：算式的计算结果的末尾有几个连续的0？（二）拓展篇1.★★一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数.2.★★★9个连续的自然数中，最多有多少个质数？3.★★（1）两个质数的和是39，这两个质数的差多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？4.★★请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660.5.★★有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于140，把所有的这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？6.★★★小高在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字5看成了8，由此得乘积为1104，正确的乘积是多少？7.★★★三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？8.★★★甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙.请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？⨯⨯972⨯，要使这个连乘积的最后4个数字都是0.方框内最小应填9.★★★975935什么数？⨯⨯3⨯⋯⨯29⨯30的计算结果的末尾有几个连续的0？10.★★★（1）算式12（2）算式31⨯32⨯33⨯⋯⨯150的计算结果的末尾有几个连续的0?11.★★★请问：两个连续两位数乘积的末尾最多有几个连续的0？12.★★★把从1开始的若干连续的自然数1，2，3，…乘到一起.已知这个乘积的末尾13位恰好都是0.请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？13.★★★168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数.乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平方？14.★★★（1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数.这个三位数至少是多少？（2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这样的三位数一共有多少个？（三）超越篇1.★★如图，三张卡片上各印有一个数字.从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选1次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？2.★★★★用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次.请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法.3.★★★三个质数的乘积恰好等于它们和的5倍，这三个质数分别是多少?4.★★★★在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙各自的总环数.5. ★★★★两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制.每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜.结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480.请问：各局比分分别是多少？（按大比小的方式写出）6. 如图，把13，12，15，25，20这5个数依次排列.它们每相邻的两个数相乘得4个数，这4个数每相邻的两个数相乘得3个数，这3个数每相邻的两个数相乘得2个数，这2个数每相邻的两个数相乘得1个数.请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个0？7. ★★★★★从1!，2!，3!，…，100! 这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数.请问：被去掉的那个数是什么？8. 8.★★★★★已知对任意正整数n ，都有公式：222126n n n n ⨯(+1)⨯(2+1)++⋯+=,求分数2222222221(12)(123)(12100)100!⨯+⨯++⨯⋯⨯++⋯+化成最简分数后的分母.数论问题第3讲 约数与倍数一、内容概述：掌握约数与倍数的概念;学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法;能够利用最大公约数与最小公倍数的性质解决相关的整数问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★（1）请写出4个24的约数；（2）请写出4个24的倍数；（3）请写出24的所有约数.2.★（1）请写出105的所有约数；（2）请写出72的所有约数.3.★★（1）20000的约数有多少个？（2）720的约数有多少个？4.★★计算：（1）（28，72），[28，72]；（2）（28，44，260），[28，44，260].5.★★两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少?6.★★（1）求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；（2）求3553,3910和1411的最大公约数.7.★★教师节到了，校工会买了320个苹果、240个橘子、200个香蕉来慰问退休老职工.请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、香蕉各有多少个？8.★★★一块长方形草地，长120米，宽90米.现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都种树，且相邻两棵树之间的距离都相等.请问：最少要种多少棵树？9.★★甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？10.★★墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是168.那么这两个数的和是多少？（二）拓展篇1.★★72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？2.★★★5400共有多少个约数?求出所有约数乘积的质因数分解形式.3.★★★有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍.已知甲数是2，4，6，8，10，12，14，16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数.乙数是多少？4.★★★两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1.这两个数分别是多少？5.★★计算：（1）（391，357），[391，357]；（2）（18，24，36），[18，24，36].6.★★1547，1573，1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？7.★★张阿姨把225个苹果、350个梨和150个橘子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个橘子没分出去.请问：每个小朋友分了多少个苹果？8.★★一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？9.★★★两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？10.★★★两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？11.★★★卡莉娅、小高、萱萱在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？12.★★★有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少?13.★★★★甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？14.★★★★甲、乙是两个不同的自然数.它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数.它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？（三）超越篇1.★★★360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？2.★★★求出所有恰好含10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和.3.★★★★已知a与b的最大公约数是4，a与c，b与c的最小公倍数都是100，而且a≤b.满足条件的自然数a、b、c共有多少组？4.★★★★所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？5.★★★★自然数n是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数.n的最小值是多少？6.★★★★三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处.里圈跑道长15千米，中圈跑道长14千米，外圈跑道长38千米.甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑.开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑132千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.他们同时出发，请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？7.★★★★★如图，在一个600600的方格表ABCD中，将A与线段CD上除端点外的所有格点，，，…,分别相连，得到599条线段.请问，在这些线段中：（1）不会与其他格点相交的线段共有多少条？（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？（3）除去端点，还恰好经过29个格点的线段有多少条？8.★★★★★有些自然数等于自身约数个数的平方，例如1和9都具有此性质.请问：是否还有其他自然数具有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由.数论问题第4讲余数一、内容概述：掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法.学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数;学会运用周期性处理各类余数的计算问题；学会求解“物不知数”问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★72除以一个数，余数是7.商可能是多少？2.★★97与79除以一个数的余数都是7，那么这个数可能是多少？3. ★★100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0.这个除数可能是多少？4. ★20 080 808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？5. ★★（1）135137139⨯+除以5的余数是多少？（2）3579135713579⨯+除以9的余数是多少？6. ★★★4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101，126，173，193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数.请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？7. ★★某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包，最后发现一包不够17个.请问：最后一包有多少个零件？8. ★★★（1）202除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？（3）12128除以13的余数是多少？9. ★★★一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？10. ★★有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1.请问：这个数除以12余数是几？（二）拓展篇1. ★1111除以一个两位数，余数是66.求这个两位数.2. ★（1）21421421421421⋯个除以4和125的余数分别是多少？（2）21808808808808⋯个除以9和11的余数分别是多少？3. ★★一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个.年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个.请问：最后一包有多少个零件？4. ★★自然数67221⨯2⨯2⨯⋯⨯2-个的个位数字是多少？5. ★★★算式20072007200720071232006+++⋯+计算结果的个位数字是多少？6. ★★★1088888+⨯+⋯+⨯8⨯⋯⨯8个除以5的余数是多少？7. ★★★一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？8. ★★★一个自然数除以19余9，除以23余7.这个自然数最小是多少？9. ★★★刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只; 如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只.请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？10. ★★★100多名小朋友站成一列.从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？11. ★★★123123123123123⋯个除以99的余数是多少？12. ★★★把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去.请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？13. ★★★有一个大于1的整数，用它除300，262，205得到相同的余数，求这个数.14. ★★★★用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍.如果这个数大于1，那么这个数是多少？（三）超越篇1. ★★★从1依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899.这个多位数除以11的余数是多少？2. ★★★算式20087777777+⨯+⋯+⨯⨯⋯⨯个计算结果的末两位数字是多少?3. ★★★算式12007⨯3⨯5⨯7⨯⋯⨯计算结果的末两位数字是多少？4. ★★★有多根牙签，按以下种规格分成小包：如果根一包，最后还剩根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根.原来一共有牙签多少根？5. ★★★有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5，7，9的倍数.这三个连续自然数最小是多少？6. ★★★★请找出所有的三位数，使它除以7，11，13的余数之和尽可能大.7. ★★★已知21!0909421717094000AB CD =，那么四位数ABCD 是多少？8. ★★★★有一些自然数n ，满足：2n n -是3的倍数，3n n -是5的倍数，5nn -是2的倍数.请问;这样的n 中最小的是多少?（以下内容为六年级导引）数论问题第5讲数论综合一一、内容概述：运用已学过的数论知识，解决综合性较强的各类数论问题;学会利用简单代数式处理数论问题.二、典型问题:（一）兴趣篇1.★★如果某整数同时具备如下三条性质：（1）这个数与1的差是质数；（2）这个数除以2所得的商也是质数；（3）这个数除以9所得的余数是5.那么我们称这个整数为“幸运数”.求出所有的两位幸运数.2.★★一个五位数825，方格中的数未知.请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？3.★★在小于5000的自然数中，能被11整除，并且所有数字之和为13的数共有多少个？4.★★★一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47，27，24）.已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数.请问：原来的三位数是多少？5.★★26 460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？N 恰有8个约数.满足条件的自然数中，最6.★★★一个自然数N共有9个约数，而1小的和第二小的分别是多少？7.★★★一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？8. ★★★有一个算式61⨯5⨯4⨯3⨯2⨯，小明在上式中把一些“⨯”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？9. ★★★一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20.问：这个两位数是多少？10. ★★★信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送.对方能获得密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文：378421A B C ，字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件：（1）密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；（2）三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；（3）三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数；你能破解此密文吗?（二）拓展篇1. ★★★已知370a b c ⨯是495的倍数，其中a 、b 、c 分别代表不同的数字.请问：三位数是多少？2. ★★11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？3. ★★★有一个算式9⨯8⨯7⨯6⨯5⨯4⨯3⨯2⨯1.小明在上式中把一些“⨯”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？4. ★★★由1、2、3、4各一个组成四位数abcd ，使得a 、ab 、abc 、abcd 这四个自然数都不是3的倍数，那么最大是多少，最小是多少？5. ★★★在小于100的正整数中，能被2或3整除，且不能被6整除的数共有多少个?6. ★★★★有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号.1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除,3号接着说：“这个数能被3”……依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整除.1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说的不对，其余同学都对.问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？7.★★★有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关.现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依次下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数.如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？8.★★★狐狸与黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次.在比赛道路上，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱.请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?9.★★★一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数.请问：这个偶数是多少？10.★★★一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数.11.★★★★已知a与b 是两个正整数，且a> b.请问：（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？12.★★★★已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？13.★★★已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1.求这两个两位数.14.★★★如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）.小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔.他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6个孔跳一步，正好回到A孔.问：这个圆圈上共有多少个空？。
沪教版(五四制)六年级数学上册 第一章数的整除综合讲义【无答案】
数的整除综合本讲主要是对数做进一步的认识，要求在小学对整数的运算基础上，进一步了解素数、合数、整除、分解素因数等基本概念。
另外，需要我们主要能被2,3,5整除的各个数的特征，这在今后的学习中都会得到非常重要的运用。
还有分解素因数除了在找几个数的最大公因数和最小公倍数得4也是到运用意外，在处理不能整除的余数相同问题时，优势也是非常明显的。
这些结题技巧和想法，对启迪我们今后的学习，意义重大。
知识梳理1.整数和整除定义1.零和整数统称为自然数.正整数、零、负数，统称为整数.2.整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.【注】整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零.知识梳理2.因数、倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a因数.【注】因数和倍数是相互依存的.知识梳理3.特殊的整除1.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.奇数：1,3,5,7,9，11,13…偶数：2,4,6,8,10,12,14…2.个位上时0或者5的整数都能被5整除3.补充：能被3 整除的数：各个数位的和是3的倍数.知识梳理4.素数、合数的定义、分解素因数素数、合数1、素数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做素数（也叫做质数）。
2、合数：一个数除了1和它本身，还有别的数，这个数叫做合数。
3、按照一个数的因数的个数分类，正整数可以分三类：分解素因数1、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数2、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
3、分解素因数的方法：（1）数枝分解法（2）用短除法分解素因数．用短除法分解素因数的步骤：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始．．．．．．）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序．．．．．．．．写成连乘的形式；4．最后别忘了检验一下每个因数．．．。
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（一）知识点概述
1、综合复习数论各方面知识。
2、平方数的尾数特点、被4除余数特点以及平方数因子特点。
3、对十进制数的理解与认识，会利用位值原则分析解决问题。
4、约数、倍数、分解质因数的知识运用。
（二）典型例题
1、1到2010这2010个自然数中，有多少个数约数个数为奇数？
2、自然数N是一个三位数，它是一个完全平方数，且它的三个数位上的数都为完全平方数，这样的自然数有几个？
3、一个多位数（至少为两位）均是由同一个数字组成，如77777，333。
那么，所有这样的数中，是否存在平方数？
4、自然数1，2，3，4，5，……按顺序排列，划去2的倍数和3的倍数，但是其中7的倍数一律保留，剩下的第2010个数是多少？
5、有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1332，这样的三位数中最大的是？
6、三个两位数的和的40，如果把每一个数的十位数与个位数互换，组成三个新的两位数，它们的和是多少？
7、有两个三位数，分别在200~300之间和300~400之间，两数之比为2:3，分别把两个数的百位数字移到个位之后，得到两个新的三位数之和为1355，求原来的两个三位数。
8、若n 是自然数，求证分数11
n 187n 12++不需要约分。
9、12010+22010+…+20102010的个位数字是几？
10、从1开始到a 的所有自然数做乘法，得到的结果末尾有21个零，a 的最大值是多少？如果计算出来的结果末尾有91个零，结果正确吗？为什么？
11、某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12。
他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？
12、使用从1到9的数字各一次，设法组成四个平方数，使它们都具有除了1以外的某些公因数。
（三）课后作业
1、一个多位数，由30个数字5，和若干个数字0组成，问：这样的数是平方数吗？
2、在1到100的自然数中，既不是4的倍数，也不是3的倍数的数共有多少个？
3、有一类正整数，它是2的倍数，也是3的倍数，但是并不是5的倍数，那么这类数字从小到大排列，第2010个数是多少？
4、1×2×3×4×…×2010的末尾有多少个0？
5、有三个不同的数（都不为0）组成的所有的三位数的和是1998，这样的三位数中最小的是?
6、连续的四个自然数分别被7,9,11,13整除，这样的四个连续自然数最小的一组是多少？
7、若n 是自然数，求证分数2
n 31n ++不能约分。
8、12011+22011+…+20102011的个位数字是几？。