2.4 二次函数与幂函数

§2.4 二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 4ac－b24a，＋∞ 

－∞，4ac－b

2

4a

单调性 在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增 在x∈－b2a，＋∞上单调递

减在x∈－∞，－b2a上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝－b2a对称

2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 特征 函数 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1

定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数

单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a. ( × )

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数． ( × ) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)． ( × ) (4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数． ( × ) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22. ( × )

(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2. ( × ) 2．(2013·重庆)3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为 ( ) A．9 B.92 C．3 D.322

答案 B 解析 因为3－aa＋6＝18－3a－a2 ＝ －a＋322＋814， 所以当a＝－32时，3－aa＋6的值最大，最大值为92. 3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上 ( ) A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增 答案 D 解析 由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3， ∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增． 4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________． 答案 [1,2] 解析 y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，无解． 当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2. 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________． 答案 1或2

解析 由 m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合.

题型一 二次函数的图象和性质 例1 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间． 思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用． 解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]， 且f(x)＝ x2＋2x＋3，x∈0，6]x2－2x＋3，x∈[－6，0]， ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]． 思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 答案 y＝12(x－2)2－1

(2)若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是_ ___________． 答案 (－∞，－3] 解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－m4，

∴－m4≤－1，∴m≥4. 又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]． 题型二 二次函数的应用 例2 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围． 思维启迪 利用f(x)的最小值为f(－1)＝0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决． 解 (1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0， 且－b2a＝－1，∴a＝1，b＝2.

∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]， 单调增区间为[－1，＋∞)． (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立． 设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减． ∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)． 思维升华 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点． 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]， 所以当x＝1时，f(x)取得最小值1； 当x＝－5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a， 因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 题型三 幂函数的图象和性质 例3 (1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 ( ) A．－3 B．1 C．2 D．1或2

(2)若(2m＋1)21 >(m2＋m－1) 21，则实数m的取值范围是 ( ) A.－∞，－5－12 B.5－12，＋∞

C．(－1,2) D.5－12，2 思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n2＋2n－2＝1，再利用f(x)的单调性、对称性求n；(2)构造函数y＝x21，利用函数单调性求m范围． 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1， 解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.

(2)因为函数y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，

所以不等式等价于 2m＋1≥0，m2＋m－1≥0，2m＋1>m2＋m－1. 解2m＋1≥0，得m≥－12； 解m2＋m－1≥0，得m≤－5－12或m≥5－12. 解2m＋1>m2＋m－1，得－1综上5－12≤m<2. 思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图 象理解函数的对称性、单调性． 已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而m与m＋1中必有一个为偶数， ∴m(m＋1)为偶数． ∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f(x)经过点(2，2)，

∴2＝2(m2＋m)－1，即221＝2(m2＋m)－1. ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x21.

由f(2－a)>f(a－1)得 2－a≥0，a－1≥02－a>a－1. 解得1≤a<32.∴a的取值范围为[1，32)．

分类讨论思想在函数中的应用 典例：(12分)已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)． (1)若a＝1，作出函数f(x)的图象； (2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 思维启迪 (1)因f(x)的表达式中含|x|，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图． (2)因a∈R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决． 规范解答 解 (1)当a＝1时， f(x)＝x2－|x|＋1

＝ x2＋x＋1，x<0x2－x＋1，x≥0.[3分]