课题：圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合运用 (2)
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析一圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
二 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠利用圆周角定理的推论求角的度数BABA O例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．例3（2016·山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．利用圆周角定理的推论进行推理论证例4 （2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5 如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．分析：由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．利用圆内接四边形的性质求度数例6（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）利用圆内接四边形的性质进行推理证明 例 7 （2015南京）（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．圆周角定理与相似三角形的综合例 8 （2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．(第26题)例 9 （肇庆市2012）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．圆内接四边形性质的综合应用例10 （2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC ＝β．求证：（1）∠ABD ＝90°－β （2）CD ⊥DF ； （３）BC=2CD ．圆周角定理与函数的综合例 1 1 如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，（1）求证：△ACE ∽△CBE ；（2）若AB=4，设OE=x （0＜x ＜2），CE=y ，请求出y 关于x 的函数解析式图7。
二、圆内接四边形的性质与判定
2、探究圆内接四边形的性质（1）研究课本27页的探究，看四个图形中的角有什么关系，得出圆内接四边形的性质定理。
（2）圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角互补证明这个定理（利用圆周角定理证明）（3）由等角的补角相等得到圆内接四边形的性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角（简称内对角）说明：如图四边形ABCD是圆的内接四边形，则有如下的结论：∠ADB＝∠ACB想一想，为什么？还能推哪些角相等这个结论可以直接运用3、圆的内接四边形的判定下面我们研究圆内接四边形的性质定理的逆命题是不是成立，如果成立就要以作为圆内接四边形的判定方法。
如图在四边形ABCD中，∠B+∠D＝1800我们探求四边形ABCD是不是圆的内接四边形，即A、B、C、D四点是不是共圆。
A、B、C三点不在一直线上，过这三点作一个圆O，则点D与圆O位置关系有三种，在圆外、圆内、圆上，分三种情况说明。
（1）得到圆的内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角相补，那么这个四边形的四个顶点共圆由上面证明定理的过程知道，对D分三种情况证明，这种方法叫穷举法。
同样性质定理2的逆命题也成立，他也是判定四点共圆的一种方法。
（2）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么些这个四边形的四个顶点共圆。
想一想，在性质定理的说明中，这个结论的逆命题是不是成立，即由∠ADB＝∠ACB能不能推出四点共圆？这个结论是成立的，也可以作为四点共圆的判定方法。
4、例题例1、课本29页例1分析：向学生说明证明两相交圆的问题常常要作出它们的公共弦。
此题作出公共弦目的是把一个四边形分成两个圆内接四边形。
证明：略BA DCABD C例2、课本29页例2。
分析：方法一：课本上的方法。
先判定PCQF四点共圆，然后利用说明中的结论，结合等角的余角证明外角等于内对角方法二：利用射影定理可得到CQ·CA=CP·CB，把它化成比例式，再加上公共角就能证明出两个三角形相似。
15-16版：二 圆内接四边形的性质与判定定理
二 圆内接四边形的性质与判定定理
23
规律方法 判断四点共圆的常用方法有 (1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四 个顶点共圆； (2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个 四边形的四个顶点共圆.
二 圆内接四边形的性质与判定定理
24
跟踪演练4 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长 线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED. (1)证明：CD∥AB；
故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.
二 圆内接四边形的性质与判定定理
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当堂训练，体验成功
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1.圆内接平行四边形一定是( D )
二 圆内接四边形的性质与判定定理
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31
课堂小结
1.对圆内接四边形的理解
(1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关
系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}.
(2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；
三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外
二 圆内接四边形的性质与判定定理
16
要点三 利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题 例3 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G.求证：
二 圆内接四边形的性质与判定定理
17
(1)D、E、F、G四点共圆；
证明 如图，连接GF，取GF的中点H.
已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与
课件3：二 圆内接四边形的性质与判定定理
这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采
用反证法证明,也就是假设点D不在圆上,经过推理论证,得出错误
的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.
由于点D不在圆上时,可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,
在△ABC 中,由正弦定理可知
sin∠
= sin∠ = sin60°,
∴bsin∠ABC=asin 60°.
1
3
∴S 四边形 ABCD=2·a·a·sin 60°= 4 a2.
5.ABCD是圆内接四边形,过点C作DB的平行线交AB的延长线于E
点,求证:BE·AD=BC·CD.
证明:如图,连接AC.
F,AE=EC,EG⊥AC 交 AB 于点 G.求证:
(1)D圆.
思路分析:(1)连接 GF,则易证△GDF 与△GEF 均为直角三角形,由直角
三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.
(2)连接 DE,由条件易证 DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知∠ADE=∠
(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四
边形的四个顶点共圆.
(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个
顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).
探究一 证明四点共圆
判断四点共圆时,要根据题目特点,灵活选用判定四点共圆的方法.
【例 1】 如图所示,在△ABC 中,AD=DB,DF⊥AB 交 AC 于点
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ADC=∠EBC.又 BD∥EC,
∴∠CEB=∠DBA,且∠ACD=∠DBA,∴∠CEB=∠ACD.∴△ADC∽△CBE.
3.4.2圆周角定理的推论 课件(共21张PPT)2024-2025学年数学北师大版九年级下册
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A，
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
∵AC为直径，
A
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
O
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
B
C
新课导入
（2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图，连接OB，OD.
新课导入
问题1 什么是圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
D
特征： ① 角的顶点在圆上.
B
E
② 角的两边都与圆相交.
●
A
O
C
新课导入
问题2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC =
∠AOC.
A
A
A
C
C
●
B
●
B
O
C
●
B
O
新课导入
小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，
件，则考虑构造直角三角形来求解.
新知探究
知识点 2
圆内接四边形及其性质
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形
叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
新课导入
问题 5（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
2019-2020九年级数学下册 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形同
第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质知识点 1 圆周角定理的推论21．如图2－2－32，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°，则∠B的度数为 ( )图2－2－32A．15°B．30°C．45°D．60°2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )图2－2－33A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )图2－2－34A．∠ADC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．图2－2－355．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．图2－2－36知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( )A．60°B．120°C．140°D．150°7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )图2－2－37A．50°B．60°C．80°D．100°8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．图2－2－389．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE ＝________°.图2－2－3910．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．图2－2－4011．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )图2－2－41A．15°B．30°C．45°D．60°12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.图2－2－4213．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－2－4315．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图2－2－4416．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．图2－2－45教师详解详析1．D 2.B3．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠ACD ＝∠ABD ，∴∠BAD ＋∠ACD ＝90°，故选D.4．65° [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.5．解：△ABD 是等腰直角三角形．理由：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形．6．B7．D [解析] 如图所示．在优弧BD 上任取一点A (不与点B ，D 重合)，连接AB ，AD .因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠BCD ＝180°.因为∠BCD ＝130°，所以∠A ＝50°.因为∠A 与∠BOD 都对着劣弧BD ，所以∠BOD ＝2∠A ＝2×50°＝100°.8．96°9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝12∠BOD ＝60°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE ＝∠A ＝60°.10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°.又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠BCE ，∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ， ∴△ADE 是等腰三角形．11．B [解析] 连接CD ，则CD 为⊙A 的直径，可得∠OBD ＝∠OCD ，根据点D (0，1)，C (3，0)，得OD ＝1，OC ＝3，由勾股定理得出CD ＝2，∵OD ＝12CD ，∴∠OCD ＝30°，∴∠OBD ＝30°.故选B.12．80 [解析] 连接EM ，∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴AM ⊥BC .∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM ＝∠AEM ＝90°，∴∠AME ＝∠AMD ＝90°－∠BMD ＝50°，∴∠EAM ＝40°，∴∠EOM ＝2∠EAM ＝80°.13．15°或75° [解析] 作直径AD ，AD ＝2.如图①，若两条弦在AD 的同侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝2，AC ＝3，∴cos ∠BAD ＝AB AD ＝22，cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°－30°＝15°.如图②，若两条弦在AD 的两侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.cos ∠CAD ＝32，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°， ∴∠BAC ＝45°＋30°＝75°. 故答案为15°或75°.14．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .又∵DC ＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D . (2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)． ∵∠B ＝∠E ，∠B ＝∠D ， ∴∠D ＝∠E ，∴DC ＝CE .又∵DC ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋7. 15．解：(1)证明：如图，连接AE . ∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC ＝90°， ∴AE ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE . (2)如图，连接DE ，∵BE ＝CE ＝3，∴BC ＝6.易知∠BED ＝∠BAC ， 而∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BED ∽△BAC ， ∴BE BA ＝BD BC ，即3BA ＝26， ∴AB ＝9，∴AC ＝AB ＝9.16．解：(1)∵AD 经过圆心O ，∴∠ACD ＝∠ABD ＝90°. ∵AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝6， ∴四边形ABDC 为正方形， ∴BD ＝CD ＝AB ＝AC ＝6.(2)连接BC ，OD ，过点O 作OE ⊥BD . ∵AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝6， ∴BC 为⊙O 的直径，∴BC ＝6 2，∴BO ＝CO ＝DO ＝12BC ＝3 2.∵∠BAD ＝2∠DAC ，∴∠DAC ＝30°，∠BAD ＝60°， ∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝120°，∴△COD 为等边三角形，∠BOE ＝60°， ∴CD ＝CO ＝DO ＝BO ＝3 2，则BE ＝3 62，。
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
B
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考
虑构造直角三角形来求解.
练一练 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75°
A
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
O
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
B
D
C
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD.
ABD 90，
OAB 40，
ADB 50.
O
C 180 50 130.
∠ABC= 90° .
推论：直径所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
问题 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到 两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
典例精析
例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
导入新课
复习引入
问题1 什么是圆周角？ 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
当堂练习
圆内接四边形的定义及性质-九年级数学上册教学课件(人教版)
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
D
∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
A O
延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°.
圆内接多边形 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多
边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
探究性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外
接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º
思考：如何证明你的猜想呢？
性质1：圆的内接四边形的对角互补.
性质2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
人教版 数学 九年级 上册
理解并掌握圆内接四边形的定义及性质. 能灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题.
圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角和直径的关系
A2
A
A1
3
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂 直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC.
【点睛】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( A )
初中数学人教版九年级上册《24142圆周角(2)》教案
人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角（2）教学设计一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。
学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。
学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。
学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。
这个四边形有一个特点，四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）师：出示圆内接三角形图片，并指出：这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：出示圆内接五边形图片，并指出：这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接六边形图片）归纳总结：现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°，我们再来看圆内接四边形有什么性质。
圆的内接四边形知识讲解
应用格式：在四边形ABCD中，∵A+C=180°,∴四点A,B,C,D共圆．
圆内接四边形判定定理的推论：如果四边形的一个外角等 于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
应用格式：在四边形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四A 点A,B,C,D共圆．
显然， ⊙O与点D有且只有三种位置关系:
(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上．分类讨论思想
只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题．反证法
D
D
D
A
A
A
O
B
C
O
O
B
C
B
C
(1) 如果点D在⊙O的外 证明：(分类讨论思想及反证法)
部．设E是AD与圆周的交
（2）如果点D在⊙O的内
D
A
O
B
C
O
B
D
C
E
二 定理的应用
练习 ：
A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的 内接四边形，已知∠BOD=100°,
O
B
D
则∠BAD= 50º,∠BCD= 130º.
C
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,
则∠A=60º ∠B=90º ∠C= 120º∠D= 90º
设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º, ∴x=30º.
3 四边形存在外接圆的判定定理
圆内接四边形的性质定理１： 圆的内接四边形的对角互补．
DE
A
圆内接四边形的性质定理2：
圆内接四边形的外角等于 它的内角的对角．
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课题：圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合运用
【学习目标】
1．理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
2．了解圆内接多边形、多边形的外接圆等概念．
3．独自探索并证明圆内接四边形的性质，并能应用该性质解决问题．
【学习重点】
理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
【学习难点】
独自探索并证明圆内接四边形的性质，并能应用该性质解决问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
如图：AD︵所对的圆心角是∠AOD，所对的圆周角有∠ABD和∠ACD．∠ABD和∠ACD的大小关系是相
等．它们都等于∠AOD度数的一半．
自学互研 生成能力
知识模块一 圆周角定理的推论
【自主探究】
1．阅读教材P86推论内容至P87“思考”，理解并证明圆周角定理的推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角相等；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径．
2．定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边
形的外接圆．
范例：如图所示的角中，圆周角有∠DAB、∠DCB、∠ADC、∠ABC，其中和∠DAB相等的角是∠DCB，
和∠ADC相等的角是∠ABC．
范例图仿例图
仿例：如图：AC︵所对的圆周角是∠ABC，所对的圆心角是∠AOC，它们之间的关系是∠ABC＝12∠AOC．
【合作探究】
变例：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝
36°，求∠ADC的度数．
解：∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.
∵∠E＝36°，∴∠B＝54°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝54°.
∴∠ADC的度数为54°.
知识模块二 圆内接四边形的性质
【自主探究】
阅读教材P87“思考”前一段话至P88该课时结束：
由教材思考前一段话及思考后内容可得：
1．圆内接四边形的概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个
圆叫做这个多边形的外接圆．
2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补．
【合作探究】
范例：如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经
过点B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.
求证：CE∥DF.
证明：连接AB.
∵四边形ABEC是⊙O1的圆内接四边形，
∴∠ACE＋∠ABE＝180°.
∵四边形ABFD是⊙O2的圆内接四边形，
∴∠ADF＋∠ABF＝180°.
又∵∠ABE＋∠ABF＝180°，
∴∠ACE＋∠ADF＝180°，∴CE∥DF.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板
上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 圆周角定理的推论
知识模块二 圆内接四边形的性质
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是
( B )
A．115° B．105° C．100° D．95°
(第1题图)(第2题图)
2．如图，在⊙O中，已知∠AOB＝100°，则∠D＝50°，∠C＝130°．
3．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E，若BC＝BE.求证△ADE是等腰三
角形．
证明：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，
∴四边形ABCD是圆内接四边形．
∴∠A＋∠DCB＝180°.
∵∠DCB＋∠ECB＝180°，
∴∠ECB＝∠A.
∵BC＝BE，
∴∠ECB＝∠E.
∴∠A＝∠E.
∴DA＝DE.
∴△ADE是等腰三角形．
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________