初中数学复习总动员-归纳猜想(附习题答案)

2017年暑期初中数学复习总动员第45讲归纳猜想问题 【知识巩固】 一、专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二． 解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言， 猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 【典例解析】 典例一、猜想数式规律 （2017毕节）观察下列运算过程： 计算：1+2+22+„+210． 解：设S=1+2+22+„+210，① ①×2得 2S=2+22+23+„+211，② ②﹣①得 S=211﹣1． 所以，1+2+22+„+210=211﹣1 运用上面的计算方法计算：1+3+32+„+32017= ． 【考点】37：规律型：数字的变化类． 【分析】令s=1+3+32+33+„+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可． 【解答】解：令s=1+3+32+33+„+32017 等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+„+32018 两式相减得：2s=32018﹣1， ∴s=， 故答案为：． 【变式训练】 按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，„请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】把整数1化为，可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，分析即可求解． 【解答】解：把整数1化为，得，，，（ ），，，„ 可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母， 所以，第4个数的分子是2，分母是3， 故答案为：． 典例二、猜想图形规律 （2017黑龙江鹤岗）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；„．则第2017个图形中有 8065 个三角形．

【考点】38：规律型：图形的变化类． 【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4． 【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形， 第2个图形中一共有1+4=5个三角形， 第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形， „ 第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3， 当n=2017时，4n﹣3=8065， 故答案为：8065． 【变式训练】 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 135 个点．

【考点】38：规律型：图形的变化类． 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可． 【解答】解：第一个图形有3=3×1=3个点， 第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点； 第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点； „ 第n个图形有3+6+9+„+3n=3×（1+2+3+„+n）=个点； 当n=9时， =135个点， 故答案为：135． 典例三、猜想数量关系 （2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②， ②一①得：3S―S＝39－1，即2S＝39－1， ∴S＝39―12. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋„＋m2016的值？如能求出，其正确答案是___________. 【专题】规律探究——数式规律 【答案】m2017－1m－1. 【解析】设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋„＋m2016 „„„„„„„①， 在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋„＋m2016＋m2017 „„„„„„„② ②一①得：mS―S＝m2017－1. ∴S＝m2017－1m－1. 【点拨】仔细理解题目中所给的求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值过程，仿照其解法，即可得到求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋„＋m2016的值的方法. 【变式训练】 （2016·广西百色·3分）观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4 „ 可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+„+ab2015+b2016）= a2017﹣b2017 ． 【考点】平方差公式；多项式乘多项式． 【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可． 【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4； „ 可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+„+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017， 故答案为：a2017﹣b2017 典例四、猜想变化情况 （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，„在直线l上，点B1，B2，B3，„在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，„，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2n+1﹣2 ． 【考点】D2：规律型：点的坐标． 【分析】先求出B1、B2、B3„的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【解答】解：由题意得OA=OA1=2， ∴OB1=OA1=2， B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8， ∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）„， 2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，„ ∴Bn的横坐标为2n+1﹣2． 故答案为 2n+1﹣2．

【变式训练】 （2017内江）如图，过点A0（2，0）作直线l：y=x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2

⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，„，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，„，则线段A2016A2107的长为（ ） A．（）2015 B．（）2016 C．（）2017 D．（）2018 【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OAn=（）nOA=2（）n，依此规律即可解决问题．

【解答】解：由y=x，得 l的倾斜角为30°， 点A坐标为（2，0）， ∴OA=2， ∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，„， ∴OAn=（）nOA=2（）n． ∴OA2016=2×（）2016， A2016A2107的长×2×（）2016=（）2016， 故选：B．

典例五、其他类规律 （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2

为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半

径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；„按此做法进行下去，其中的长为 22015π． ．

【考点】MN：弧长的计算；F8：一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题． 【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3„

∵P1 是⊙O2上的点， ∴P1O1=OO1， ∵直线l解析式为y=x， ∴∠P1OO1=45°， ∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴， 同理，PnOn垂直于x轴， ∴为圆的周长， ∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推， ∴OOn=2n﹣1， ∴=•2π•OOn=π•2n﹣1=2n﹣2π， 当n=2017时， =22015π． 故答案为 22015π． 【变式训练】 （2017内江）观察下列等式： 第一个等式：

第二个等式：