5.5二重积分的概念与性质讲解
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
高等数学二重积分概念及性质
D
设区域 D 关于 y 轴对称，函数 f(x, y) 在 D
上可 积， f (x, y) 关于 x 是 偶 函数，即
满足
f(-x,
y)
= f(x,
y) ，
并设
D
是
1
D
的右边
一半区域， 则 f(x, y)d 2 f(x, y)d .
将薄片分割成若干小块，
取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，
所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
y
•
(i,i )
i
o
n
x
Ml i0m i1(i,i)i.
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 1 ，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i 数
积 分 变 量
被 积 表 达
面 积 元 素
积 分 和
式
对二重积分定义的说明：
(1 ) 在 二 重 积 分 的 定 义 中 ， 对 闭 区 域 的 划 分 是 任 意 的 .
(2 )当 f(x ,y )在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 定 义 中 和 式
D
D1
设区域 D 关于 x 轴对称，函数 f(x, y) 在 D 上可 积可 如果 f(x, y) 关于 y 是奇函数，
即 满 足 f(x,-y) = - f(x, y) ， 则 f(x, y)d 0;
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。
首先，我们来介绍二重积分的概念。
在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。
如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。
这个过程可以用二重积分来表示。
二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。
我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。
而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。
在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。
首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。
闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。
一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。
根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。
在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。
接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。
对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。
对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。
然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。
接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。
最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。
对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。
二重积分的概念与性质
重积分【目的要求】1、了解二重积分的概念；2、会用估值定理估计二重积分的范围；3、会应用二重积分的中值定理证明等式或不等式．【重点难点】二重积分的概念与性质．【教学内容】§1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念观察如图7-1所示三个柱体，我们讨论他们的体积.我们看到第一个是圆柱体，第二个是立方体. 它们有共同的特点：顶是平的，即立体的高是不变的. 我们将这一类立体称为平顶柱体. 它们的体积可用公式体积=底面积⨯高来定义与计算. 关于第三个立体，它是以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底，母线平行于z 轴的柱体，假设函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续，且(,)0f x y ≥，(,)x y D ∈. 我们称此类立体为曲顶柱体. 当(,)x y 在区域D 上变动时，高度(,)f x y 是个变量，因此，我们不能直接用平顶柱体的体积公式来定义与计算它的体积. 我们可以仿照曲边梯形面积的方法来定义曲顶柱体的体积.(1) 用一组曲线网将区域D 任意分成n 个小区域，12,,,,n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆，且以i σ∆表示第i 个小区域的面积，如图7-2所示. 这样就把曲顶柱体分成n 个小曲顶图7-1柱体. 当这些小闭区域的直径很小时，由于(,)f x y 是连续函数，我们可以将这些小曲顶柱体近似地看成是平顶柱体.(2) 在每个小区域i σ∆(1,2,,)i n =⋅⋅⋅内，任取一点(,)i i ξη，以(,)i i f ξη为高，i σ∆为底的平顶柱体的体积为(,)i i i f ξησ∆ (=1,2,,)i n ⋅⋅⋅. 这些平顶柱体的体积之和为1(,)n n i i i i V f ξησ==∆∑，则n V 是曲顶柱体的体积V 的一个近似值.(3) 当分割越来越细时，小区域i σ∆越来越小，而逐渐收缩接近于一个点时，总和n V 就趋于V . 我们用i λ表示i σ∆内任意两点间距离的最大值，称为该区域的直径，设12max{,,}n λλλλ=. 当0()n λ→→∞时，n V 的极限存在，我们将这个极限自然地定义为曲顶柱体的体积V ，即01lim (,)ni i i i V f λξησ→==∆∑. 我们将上述这种和的极限加以抽象，从而给出二重积分的定义.定义 1.1 设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域12,,,n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆，其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积. 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)(=1,2,,)i i i f i n ξησ∆⋅⋅⋅，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑. 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(,)d Df x y σ⎰⎰，即y 图7-2(,)d D f x y σ⎰⎰=01lim (,)n i i ii f λεησ→=∆∑. (1)其中(,)f x y 称为被积函数，(,)f x y d σ称为被积表达式，d σ称为面积元素，x 与y 称为积分变量，D 称为积分区域，1(,)ni i i i f ξησ=∆∑称为积分和.在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，如果在指教坐标系中用平行与坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形区域. 设矩形闭区域i σ∆的边长为j x ∆和k y ∆，则i σ∆=j x ∆ k y ⋅∆. 因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d σ记作d dy x ，而把二重积分记作(,)d dy Df x y x ⎰⎰，其中d x dy 称为直角坐标系中的面积元素.这里我们要指出，当(,)f x y 在闭区域D 上连续时，(1)式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数(,)f x y 在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，不再每次加以说明.二重积分的几何意义：当(,)0f x y ≥时，(,)d Df x y σ⎰⎰的值就等于以曲面(,)z f x y =为顶，以D 为底，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积. 如果函数(,)f x y 是负的，柱体就在xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果(,)f x y 在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么(,)f x y 在D 上的二重积分就等于xOy 面上方的柱体体积减去xOy 面上方的柱体体积所得之差.二、二重积分的性质比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下．性质 1 设α、β为常数，则[](,)(,)d (,)d (,)d D D Df x yg x y f x y g x y αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 性质 2 如果闭区域D 被有线条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D 分为两个闭区域1D 和2D ，则12(,)d (,)d (,)d D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰．这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．性质 3 如果在D 上，(,)1,f x y σ=为D 的面积，则1d d D Dσσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰．这性质的几何意义是很明显的，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积．性质 4 如果在D 上，(,)(,)f x y x y ϕ≤，则有(,)d D f x y σ⎰⎰(,)d Dx y ϕσ≤⎰⎰． 特殊地，由于(,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤，又有(,)d (,)d D D f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰．性质 5 设M 、m 分别是(,)f x y 在有界闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)d Md Dm f x y σσσ≤≤⎰⎰．上述不等式是对以二重积分估值的不等式．因为(,)m f x y M ≤≤，所以由性质4得d (,)d d D D Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,再应用性质1和性质3，便得此估值不等式．性质 6 （二重积分的中值定理） 设函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)d (,)Df x y f σξησ=⋅⎰⎰．证 显然σ≠0．把性质5中不等式各除以σ，有1(,)d D m f x y M σσ≤≤⎰⎰． 这就是说，确定数值1(,)d Df x y σσ⎰⎰是介于函数(,)f x y 在D 上的最大值M 与最小值m 之间的．根据在有界闭区域上连续函数的介值定理知，在D 上至少存在一点(,)ξη，使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即1(,)d (,)Df x y f σξησ=⎰⎰．上式两端各乘以σ,就得所需要证明的公式．中值定理的几何意义：以D 为底，(,)z f x y =((,)0)f x y ≥为曲顶的曲顶柱体的体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于函数(,)f x y 在D 中某点(,)ξη的函数值(,)f ξη．所以，1(,)d Df x y σσ⎰⎰又称为函数(,)f x y 在D上的平均值．例 1 设D 为中心在原点，以r 为半径的圆域，求极限22201lim cos()d dy x y r D ex y x r π-→+⎰⎰．解 根据中值定理，在D 上至少存在一点(,)ξη，使得22222cos()d dy=cos()x y D ex y x r e ξηπξη--++⎰⎰．当0r →时，(,)(0,0)ξη→．于是22201lim cos()d dy x y r D e x y x r π-→+⎰⎰22(,)(0,0)lim cos()1e ξηξηξη-→=+=．例 2 估计下列积分之值22d dy 100cos sin D x I x x=++⎰⎰，{}(,)||||10D x y x y =+≤．解 积分区域D 如图7-3所示，它的面积2200σ==，且在D 上，22111102100cos sin 100x x ≤≤++， 由性质5，得 200200102100I ≤≤，即 1.962I ≤≤．。
二重积分的概念与性质
kf ( x, y)d k f ( x, y)d . D D [ f ( x, y) g ( x, y)]d D f ( x, y)d g ( x, y)d .
D D
逐项积分
线性性质
m g ( x, y)d k f ( x , y ) d [ kf ( x , y ) mg ( x , y )] d
9/24
二、二重积分的定义及可积性
1.定义 设 f ( x, y ) 是定义在有界闭区域 D上的有界函数 , 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.
积分和 积分表达式
x , y 称为积分变量
则有
f ( x, y)d g ( x, y)d . D D
特殊地
f ( x, y )d f ( x, y ) d . D D
15/24
性质6
设 M 、 m分别是 f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
[注] 1. 重积分与定积分的区别： 重积分中d 0,定积分中dx 可正可负. 2. 根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系 下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D
12/24
即
x 常数 , y 常数
y
则直角坐标系下面积元素为 d dxdy 故二重积分可写为 f ( x, y )d f ( x, y )dxdy
2
y
1
D
x y2
o
x y1
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
二重积分的概念
Th9. 若函数f在R可积，则函数 | f | 在R也可积，且 (因为 − | f |≤ f ≤| f | ,因此由 因此由Th8、Th5有 因为 因此由 、 有
− ∫∫ | f | dσ ≤ ∫∫ fdσ ≤ ∫∫ | f | dσ
R R R
,即) 即
| ∫∫ fdσ |≤ ∫∫ | f | dσ
z
z=f(x，y)
O R x
Rk
y
∆Vk
2、分别以这些小闭区域的 边界曲线为准线， 边界曲线为准线，作母线平行于
z
z=f(x，y)
z 轴的柱面， 轴的柱面，
这些柱面把原曲顶柱体分割 成以Rk 为底的n 个小曲顶 成以R 为底的n 柱体, 柱体,其体积记为 ∆Vk ，这 n个小曲顶柱体的体积之和 就是原曲顶柱体的体积， 就是原曲顶柱体的体积，即 x O R
|| T ||= max{d ( R1 ), d ( R2 ),......., d ( Rn )}
则曲顶柱体的体积为
O R x
Rk
y
V = lim
||T || →0
∑ f (ξ
k =1
n
k
,η k )∆σ k
曲顶柱体的体积定义原则上给出了计算曲顶柱体体 积的方法，但是， 积的方法，但是，按照定义计算曲顶柱体的体积非 常麻烦； 常麻烦；而且不单在计算曲顶柱体的体积时要用到 形如（ 式的和式极限， 形如（1）式的和式极限，在计算非均匀薄片的质 曲面的面积等等问题中都要用到形如（ 量，曲面的面积等等问题中都要用到形如（1）式 的和式极限，因此有必要抽象地来讨论（ 的和式极限，因此有必要抽象地来讨论（1）式的 极限。 极限。
.
显然,按照定义,以定义在有界闭区域R 显然,按照定义,以定义在有界闭区域R上的正值 连续曲面 f ( x, y )为曲顶的曲顶柱体体积
二重积分与二次积分
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
D
d
dy
2 ( y)
f (x, y)dx
c
1( y)
d
(
2 ( y)
f (x, y)dx)dy
c 1( y)
y
d D
x 1( y)
c
O
x 2( y) x
先对x 后对y的二次积分.
二、在直角坐标系中化二重积分为 累次积分
(1) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.
D {( x, y)a x b,1( x) y 2( x)},
其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
f ( x, y)d
D
y
y 2(x)
D
b
dx
2 (x)
f (x, y)dy
a
1 ( x)
b
(
2 (x)
f (x, y)dy)dx
a 1 ( x)
y 1(x)
Oa
bx
先对y 后对x的二次积分
(2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
计算积分
D
xy dxdy 1 y3
其中：D表示区域 x 0, x 1, y 1, y x2
解
D
xy dxdy 1 y3
y
1
y 1
1 1
dx
xy dy
0 x2 1 y3
y x2
O
二重积分的定义和基本概念
二重积分的定义和基本概念对于工程领域的许多问题，数学中的二重积分都可以提供有力的支持。
二重积分是多重积分的一种，它将一个平面区域上的函数值进行求和。
下面，让我们来一探二重积分的定义和基本概念。
一、二重积分定义为了更加深入地了解二重积分的定义，我们可以首先看一下一重积分。
一重积分即为定积分，它的计算方法是从区间的左端点到右端点逐步地进行积分。
相比之下，二重积分则需要在二维平面上使用一个小矩形，将需要积分的函数垂直投影，最后进行累计。
而在二重积分中，使用的是两个变量，我们会遍历整个区域，并计算在小矩形中的函数值。
因此，二重积分的定义为：$$\iint\limits_{D}f(x,y)dA$$其中，$D$ 代表平面区域，$f(x, y)$ 代表我们要在区域上求和的函数，$dA$ 代表小矩形的元素面积。
换句话说，在区域 $D$ 上，$f(x, y)$ 乘以小矩形的面积，最后求和得到的结果就是二重积分。
需要注意的是，由于小矩形非常小，它的面积可以看作是$dA$ 。
而由于我们要遍历整个区域，因此二重积分一般使用两个累计求和符号，其标记如下：$$\iint\limits_{D}f(x,y)dA =\lim_{n,m\to\infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_i,y_j)\Delta A$$二、二重积分的基本概念我们已经知道二重积分的定义，然后我们来看看它的基本概念。
这里我们着重介绍三个基本概念：积分上限、积分下限和被积函数。
1. 积分上限积分上限是指二重积分中小矩形的右上角顶点，也就是变量$x$ 的上线 $x_1$ 和变量 $y$ 的上限 $y_1$。
下同。
2. 积分下限积分下限是指二重积分中小矩形的左下角顶点，也就是变量$x$ 的下线 $x_0$ 和变量 $y$ 的下线 $y_0$。
3. 被积函数被积函数是指在积分符号中的要被积分的函数。
在二重积分中，被积函数要依次带入两个变量，如 $f(x, y)$。
第一节 二重积分的概念与性质
第九章 重积分大纲要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）第一节 二重积分的概念与性质㈠ 本课的基本要求掌握二重积分的定义和性质㈡ 本课的重点、难点二重积分的定义本课的重点，二重积分的几何意义为本课的难点㈢ 教学内容一．两个实际问题1．曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底为xoy 平面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，顶是由二元连续函数）（假定0),(),(≥=y x f y x f z 表示的曲面围成的立体。
问题：求曲顶柱体的体积V ？ 图① 分割 将区域D 任意分成n 个小区域n i i ,2,1}{=∆σ，i σ∆表示第i 个小区域的面积，以每个小区域i σ∆为底，以它的边界线为准线作母线平行于z 轴的小曲顶柱体。
这样整个曲顶柱体就相应地分割成n 个小曲顶柱体，它们的体积分别证为1σ∆，2σ∆，…，n σ∆。
② 近似代替 取),(),(i i i i i f ηξσηξ，以∆∈为高，i σ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似i V ∆),(y x f),,2,1(),(n i f V i i i i =∆≈∆σηξ③ 求和 ∑∑==∆≈∆=n i i ii n i i f V V 11),(σηξ④ 取极限 ∑=→∆=n i i i i f V 10),(lim σηξλ，λ表示n 个小区域中的最大直径2．平面薄片的质量设有一质量非均匀分布的薄片，在xoy 平面上占有区域D ，面密度ρ(x,y)是D 上的ct 函数，且ρ(x,y)>0，求M 。
),,2,1(),(n i M i i i =∆≈∆σηξρ 图∑=∆≈n i i ii M 1),(σηξρ ∑=→∆=ni i i i M 10),(lim σηξρλ (n →∞，λ→0，小区域的最大直径)二．二重积分的概念引入定义：设),(y x f z =是定义在有界区域D 上的有界函数，将D 任意地分成n 个小区域 1σ∆，2σ∆，…，n σ∆，小区域i σ∆的面积仍记为i σ∆，在i σ∆内任取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆=n i i ii n f S 1),(σηξ，若当),,2,1(n i i =∆σ的最大直径n S 时，0→λ极限存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分，记为⎰⎰Dd y x f σ),(，即\ ⎰⎰D d y x f σ),(=∑=→∆n i i i i f 10),(lim σηξλ 其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为被积表达式，D 叫做积分区域，σd 称为面积元素，⎰⎰为重积分号，x ，y 为积分变量，∑=∆=n i i ii n f S 1),(σηξ称为积分和。