2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质课

2．2.2 对数函数及其性质(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得
出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．

1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质

定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0

图象
定义域 ________
值域 ________
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过点________，即loga1＝0

函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈________； x∈[1，＋∞)时， y∈________ x∈(0,1)时， y∈________；
x
∈[1，＋∞)时，

y
∈________

对称性
函数y＝logax与y＝1logax的图象关于____对称

3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．

一、选择题
1．函数y＝log2x－2的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)

2．设集合M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪
N
等于( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是( )
2

5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，
则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x
C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x

6．若loga23<1，则a的取值范围是( )

A．(0，23) B．(23，＋∞)
C．(23，1) D．(0，23)∪(1，＋∞)

题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是
______________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

9．给出函数则f(log23)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
3

11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．

能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝log
a4x
的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )
A．a4B．a3C．a2D．a3

13．若不等式x2－logmx<0在(0，12)内恒成立，求实数m的取值范围．

1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当04

2．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式
与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，
值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)
点，故对数函数图象必过(1,0)点．
2．2.2 对数函数及其性质(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 2.(0，＋∞) R
(1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
3．y＝ax (a>0且a≠1)
作业设计

1．D [由题意得： log2x－2≥0，x>0.解得x≥4.]
2．C [M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．]
3．B [α＋1＝2，故α＝1.]
4．A [y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与
x
轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]
5．D [由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]

6．D [由loga23<1得：loga23

当a>1时，有a>23，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．]
7．(1,2)

解析 由题意，得 0<3－a<1，01，a>1，解得18．(4，－1)
解析 y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.

9.124
解析 ∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)

＝f(log23＋3)＝f(log224)＝222log241loglog24241222

＝124.
10．解 (1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域
是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
5

又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝32，

即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[32，＋∞)．
11．解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f
(3)＝log2(3＋1)＝2.

(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．B [作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交
点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.

解 由x2－logmx<0，得x2示．

要使x2是0∵x＝12时，y＝x2＝14，

∴只要x＝12时，y＝logm12≥14＝logm14m.
∴12≤14m，即116≤m.又0∴116≤m<1，
即实数m的取值范围是[116，1)．