拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换和反变换
F (s)s(s2s 2 1 s 5 )1 5 [1 ss2 s 2 s3 5 ]
L 1 [(s 1 s ) 2 3 4 ] L 1 [(s ( 1 s ) 2 1 )4 ] L 1 [(s 1 4 )2 4 ]
0
s
t
L[ 0
t 0
f(t)dnt]s1nF(s)
第16页
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控制工程基础
（7）初值定理
lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
f(0)lim sF(s) s
（8）终值定理
lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
f()lim sF(s)
Fssp1
Ns sp2 .......spn
k1 k2 .........kn
sp1 sp2
spn
其中 k i [F s(s p i)s ]p i
第23页
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例
F(s)s2
s1 5s6
解：（1）F（s）的极点
s25s60 s1 2 s2 3
Fs 的原函数；L是表示进行拉氏变换的
符号。
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F(s)L[f(t)]
f(t)L1[F(s)]
拉氏变换是这样一种变换，即在一定的 条件下，它能把一实数域中的实变函数
f t 变换为一个在复数域内与之等价的
复变函数 Fs。
第3页
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1）、 典型函数的拉氏变换
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
第20页
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Laplace变换和逆变换
1 d2 r ar−2 = 2 [F(s)(s + p1) ] 2 ds ! s=−p M
1
ar−i
1 di r = i [F(s)(s + p1) ] i!ds s=−p
1
1 d r−1 r a1 = r−1 [F(s)(s + p1) ] (r −1 ds )! s=−p
0
at −st
∞
−(s−a)t
1 dt = s −a
3. 脉冲函数δ(t)
L δ(t)] =1 [
4. 正弦和余弦函数
ω L ωt] = 2 [sin 2 s +ω
s L ωt] = 2 [cos 2 s &# L[At]At = ∫ At ⋅e dt = 2 0 s
−1 −1
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1s +a2 M(s) = F(s) = + +L + N(s) (s +σ + jβ)(s +σ − jβ) s + p3 s + pn
将上式两端同乘(s+σ+jβ)(s+σ−jβ)，同时令s=－σ－jβ (或 s＝－σ＋jβ)得
(a1s + a2 )
s +3 a1 = ×(s +1 ) =2 )( (s +1 s + 2) s=−1
s +3 a2 = ×(s + 2) = −1 )( (s +1 s + 2) s=−2
2 −1 ∴ F(s) = + s +1 s + 2
逆拉普拉斯变换公式
逆拉普拉斯变换公式逆拉普拉斯变换公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！咱先来说说啥是拉普拉斯变换。
想象一下，你在处理一个复杂得让人头疼的函数，就像面对一堆乱麻一样。
这时候拉普拉斯变换就像一把神奇的梳子，能把这堆乱麻给梳理得整整齐齐，让咱能更清楚地看到它的规律。
那逆拉普拉斯变换呢，其实就是把经过拉普拉斯变换梳理好的函数再变回去，变回原来那个原汁原味的样子。
比如说，有一个函数 f(t) ，经过拉普拉斯变换变成了 F(s) 。
这就好比把一个调皮的孩子送去学校教育，变成了乖乖听话的好学生。
而逆拉普拉斯变换就是要把这个“好学生”再变回那个有点调皮但充满活力的孩子。
逆拉普拉斯变换公式就像是一把魔法钥匙，能打开这个变回原样的大门。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，假如你要设计一个电路，电路里的电流和电压的变化可复杂了，用拉普拉斯变换和逆拉普拉斯变换就能让你更轻松地分析和解决问题。
”这就好比你要去一个陌生的地方，拉普拉斯变换给你规划了一条清晰的路线，逆拉普拉斯变换则能让你根据这条路线准确地回到出发点。
在实际应用中，逆拉普拉斯变换公式可帮了大忙。
比如在控制系统中，我们要研究系统的稳定性、响应特性等等，都离不开它。
再比如说，在通信领域，信号的传输和处理也经常会用到逆拉普拉斯变换公式。
总之，逆拉普拉斯变换公式虽然看起来有点复杂，但它就像一个隐藏在数学世界里的宝藏，一旦你掌握了它，就能在解决各种实际问题时如鱼得水。
所以啊，同学们，别被它看似吓人的外表给唬住了，只要咱们认真学，多练习，一定能把它拿下！。
拉普拉斯变换
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
a=2,b=3
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
sin 2t sin 3t - 1 (e j2t - e- j2t )(e j3t - e- j3t ) 4
1 (e j5t - e- jt - e jt e- j5t ) 4
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
L [sin kt] sin kt e-std t 0 1 (e jkt - e- jkt ) e-std t 2j 0
- j e-(s- jk)td t - e-(s jk )td t
20
0
- j
2
s
-1 - jk
而 L [m!] m!L [1] m! s
所以
L
[tm ]
m! s m1
(Re(s) 0).
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
f(t)
O
t
f(t)u(t)e-bt
O
t
对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换, 可得
Gb ()
j (t)u(t) e-bte- jtd t
-
f (t) e-(b j)td t f (t) e-std t
0
0
其中 s b j, f (t) j(t)u(t)
若再设
拉普拉斯变换表-互联网类
拉普拉斯变换表－互联网类关键信息项：1、拉普拉斯变换的定义和原理2、常见函数的拉普拉斯变换公式3、拉普拉斯变换的性质4、逆拉普拉斯变换的方法5、拉普拉斯变换在互联网领域的应用场景6、协议的有效期限7、协议的更新和修订方式1、引言11 本协议旨在规范和明确关于拉普拉斯变换表在互联网类应用中的相关事宜。
12 拉普拉斯变换作为一种重要的数学工具，在互联网领域具有广泛的应用价值。
2、拉普拉斯变换的定义和原理21 拉普拉斯变换是一种积分变换，用于将时域函数转换为复频域函数。
22 其定义式为：F(s) ＝ L{f(t)｝＝∫0,∞ e^（st) f(t) dt23 通过拉普拉斯变换，可以将线性常系数微分方程转化为代数方程，从而简化问题的求解。
3、常见函数的拉普拉斯变换公式31 单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 1/s32 指数函数 e^（at) 的拉普拉斯变换为 1/（s a)33 正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω/（s^2 ＋ω^2)34 余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s/（s^2 ＋ω^2)4、拉普拉斯变换的性质41 线性性质：L{αf(t) ＋βg(t)｝＝αL{f(t)｝＋βL{g(t)｝42 时域平移性质：L{f(t τ)u(t τ)｝＝ e^（sτ)F(s)43 频域平移性质：L{e^（at)f(t)｝＝ F(s a)44 微分性质：L{f'（t)｝＝ sF(s) f(0)45 积分性质：L∫0,t f(τ) dτ ＝ F(s)／s5、逆拉普拉斯变换的方法51 部分分式展开法：将复杂的拉普拉斯变换式分解为简单分式之和，然后分别求逆变换。
52 留数法：通过计算复变函数在极点处的留数来求得逆变换。
6、拉普拉斯变换在互联网领域的应用场景61 在网络信号处理中，用于分析信号的频谱特性和滤波。
62 在控制系统中，对网络控制系统的稳定性和性能进行分析和设计。
63 在通信系统中，用于调制解调、信道编码等方面的分析。
第9章 拉普拉斯变换
特别地,当
f (0) f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0
时,
f ( n ) (t ) s n F ( s) ℒ
可以证明
( n ) (t ) s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
a
u d v uv | - v d u
9.2.3 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t -1 F ( s ) ℒ 0 f (t )dt s
t
一般地
1 ℒ [ 0 dt 0 dt 0 f (t )dt ] s n F (s)
sin k t e - st dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 2 s k
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ
f (at ) 1 F s a a
ℒ
-1
s F ( a ) af (at )
9.2.2 微分性质 （1）象原函数的微分性质
k - st e cos k tdt s 0
k - 2 s
- st - st k e sin k tdt e cos k t 0 0
信号与系统-拉普拉斯逆变换
(t ) ↔1,δ ' (t ) ↔s,L Qδ
∴δ (t ) + 2δ (t ) ↔ s + 2
'
下面主要讨论有理真分式的情形。 下面主要讨论有理真分式的情形。
实系数有理真分式 有理真分式（ 如果 F (s ) 是 s 的实系数有理真分式（式中 m < n )
B( s ) bm s + bm −1 s + L + b1 s + b0 F ( s) = = n A( s ) s + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a0
二、部分分式展开法 的有理分式， 若 F( S) 是s的有理分式，可写为： 的有理分式 可写为：
bms + bm−1s +L+ b1s + b0 F( S) = n n−1 s + an−1s +L+ a1s + a0 式中， 式中，各系数 ai (i = 0,1,L n), bj ( j = 0,1,L m) , , 均为实数， 均为实数，为简单设 an = 1。 若 m≥ n ,可用多项式除法将象函数F(s) 可用多项式除法将象函数 分解为有 ≥
− jθ 1
k1 e k1 e F (s ) = + s + α − j β s + α + jβ
jθ 1
− jθ 1
f ( t ) = K1 e
[
jθ1 ( −α + jβ ) t
Hale Waihona Puke e= K1 e−αt
= 2 K1 e
若
−αt
[e
+ K1 e
− jθ1 ( −α − jβ )t
拉普拉斯变换表-互联网类
拉普拉斯变换表－互联网类关键信息项：1、拉普拉斯变换的定义和基本原理2、常见函数的拉普拉斯变换公式3、拉普拉斯变换的性质4、逆拉普拉斯变换的方法5、拉普拉斯变换在互联网领域中的应用场景6、协议的生效日期和有效期限7、协议的更新和修订机制11 拉普拉斯变换的定义和基本原理拉普拉斯变换是一种数学变换，用于将时域函数转换为复频域函数。
其定义为对于函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_0^＼infty f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是复变量，σ 为实部，ω 为虚部。
111 拉普拉斯变换的目的在于将微分方程转化为代数方程，从而简化系统的分析和设计。
12 常见函数的拉普拉斯变换公式以下是一些常见函数的拉普拉斯变换：单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 1/s。
指数函数 e^at 的拉普拉斯变换为 1/（s a)。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω/（s^2 ＋ω^2)。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s/（s^2 ＋ω^2)。
121 更多复杂函数的拉普拉斯变换可以通过基本函数的组合和性质推导得出。
13 拉普拉斯变换的性质包括线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、卷积性质等。
131 线性性质：若 Lf1(t) ＝ F1(s)，Lf2(t) ＝ F2(s)，则对于任意常数a，b，有 Laf1(t) ＋ bf2(t) ＝ aF1(s) ＋ bF2(s)。
132 微分性质：若 Lf(t) ＝ F(s)，则 Lf'（t) ＝ sF(s) f(0)。
133 积分性质：若 Lf(t) ＝ F(s)，且 f(t) 在 t ＝ 0 处连续，则L∫f(t)dt ＝ F(s)／s ＋ f^（－1)（0)／s。
134 位移性质：若 Lf(t) ＝ F(s)，则 Le^at f(t) ＝ F(s a)。
135 卷积性质：若 Lf1(t) ＝ F1(s)，Lf2(t) ＝ F2(s)，则 Lf1(t) f2(t) ＝F1(s)F2(s)。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换一． 拉普拉斯变换的定义设f （t ）是变量t 的函数，定义：F(s)=⎰∞-0)(dt e t f st 为f ( t )的拉普拉斯变换。
记为£[f(t)]=F(s).ｆ(t)=⎰∞+∞-j j st dt e s F jσσπ)(21 称逆拉普拉斯变换，记为 f （t ）=£-1[F(s)]。
二． 一些常用函数的拉普拉斯变换1． 阶跃函数 1（t ）£[f (t)]=⎰∞)(e t f -st dt =⎰∞1e -stdt=–se st- t 2.指数函数 e - at £[ate-]=⎰∞--0dt e e st at =as +1 3.冲击函数 δ(t)£[δ(t)]=⎰∞-0)(dt e t stδ=1三． 拉普拉斯变换的性质1． 线性(叠加)f 1(t) F 1(s) f 2(t) F 2(s) K 1，K 2是常数， 则K 1f 1(t) +K 2f 2(t) K 1F 1(s) +K 2F 2(s)例。
F(t)=sinwt ,求拉式变换：∵sinwt=je e jwtjwt 2--jwt ejw s -1 , jwte - jws +1∴ sinwt22ws w+ 2． 原函数微分 f(t) F(s) 则dtt df )( sF(s) –f(0) nn dt t f d )( )0()()(11r n r r n n f s s F s ∑-=---式中)0()(r f表示)()(t f r 在-0处的值。
3． 原函数的积分 f(t) F(s) 则⎰∞-tdx x f )( sf s s F )0()()1(-+ 式中⎰∞--=0)1()()0(dx x f f4． 延时(时域平移 )f(t) F(s ) 则f(t-t 0)1(t-t 0) )(0s F e st -5． S 域平移 f(t) F(s) f(t)ate- F(s+a)例。
4.拉普拉斯变换
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
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拉普拉斯变换及其反变换表
1.表A-1 拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
)()]([saFtafL
叠加性
)()()]()([2121sFsFtftfL
2 微分定理 一般形式
11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtf
fssFsdttfdL
fsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（
初始条件为0时
)(])([sFsdttfdLnnn
3 积分定理
一般形式
nktnnknnnntttdttfsssFdttfLsdttfsdttfssFdttfLsdttfssFdttfL1
0
1
0220
2
2
0
]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共
初始条件为0时
n
n
nssFdttfL)(]))(([个共
4 延迟定理（或称t域平移定理）
)()](1)([sFeTtTtfLTs
5 衰减定理（或称s域平移定理）
)(])([asFetfLat
6 终值定理
)(lim)(lim0ssFtfst
7 初值定理
)(lim)(lim0ssFtfst
8 卷积定理
)()(])()([])()([21021021sFsFdtftfLdftfLtt
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换F(s) 时间函数f(t) Z变换F(z)
1
1 δ(t) 1
2
Tse
1
1
0)()(n
T
nTtt
1z
z
3
s
1
)(1t
1z
z
4
2
1
s
t
2
)1(z
Tz
5
3
1
s
2
2
t
32)1(2)1(zzzT
6
11n
s
!n
t
n
)(!)1(lim
0aTnnnaezzan
7 as1 ate
aTezz
8 2)(1as atte
2)(aTaTezTze
9 )(assa ate1
))(1()1(aTaTezzze
10 ))((bsasab btatee
bTaTezzezz
11
22
s
tsin
1cos2sin2Tzz
Tz
12
22
s
s
tcos
1cos2)cos(2Tzz
Tzz
13
22
)(as
teatsin
aTaTaTeTzezTze22cos2sin
14
22
)(as
as
teatcos
aTaTaTeTzezTzez222cos2cos
15
aTsln)/1(1
Tta/
azz
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐
项查表进行反变换。设)(sF是s的有理真分式
011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsb)s(A)s(B)s(F
（mn）
式中系数n1n10a,a,...,a,a，m1m10b,b,b,b都是实常数；nm,是正整数。按
代数定理可将)(sF展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 0)(sA无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
n1i
iinnii221
1
sscsscsscsscss
c
)s(F
式中，Sn2S1S，，，是特征方程A(s)＝0的根。ic为待定常数，称为F(s)
在is处的留数，可按下式计算：
)s(F)ss(limcissii
或
i
ssi)s(A)s(Bc
式中，)(sA为)(sA对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）
可求得原函数
tsn1iin1iii11iecsscL)s(FL)t(f
② 0)(sA有重根
设0)(sA有r重根1s，F(s)可写为
)ss()ss()ss()s(BsFn1rr1
=nnii1r1r111r11rr1rsscsscssc)ss(c)ss(c)ss(c
式中，1s为F(s)的r重根，1rs，…, ns为F(s)的n-r个单根；
其中，1rc，…, nc仍按式(F-2)或(F-3)计算，rc，1rc，…, 1c则按下式计算：
)s(F)ss(limcr1ssr1
)]s(F)ss([dsdlimcr1ss1r1
)s(F)ss(dsdlim!j1cr1)j()j(ssjr1
)s(F)ss(dsdlim)!1r(1cr1)1r()1r(ss11
原函数)(tf为
)()(1sFLtf
nnii1r1r111r11rr1r1sscsscssc)ss(c)ss(c)ss(
c
L
tsn1riits
12
2r1r1rr1ecectct)!2r(ct)!1r(c
（F-6）