平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
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【同步备课】人教A版高中数学必修4第二章2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(共21张PPT)
课堂小结
1.理解平面向量的数量积的物理意义、几何意 义；
2.掌握平面向量的数量积的概念； 3.掌握平面向量的数量积的性质； 4.理解数量积的运算是不同于实数运算
的一种新的运算，注意它们的区别； 5.会用数量积的运算解决一些基本问题。
四.作业布置：
1.课本108页2、3、6题
2.思考题：已知向量 a与 b夹角为45，| a | 2,| b |1, 当向量 a b 与a b夹角为锐角时，求实数的 取值范围.
B A
也不能用 “×” 代替
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
即： 0 a 0
向量的数量积运算与线性运算的结果 有什么不同？影响数量积大小的因素
有哪些？
讨论并完成下表：
夹角 θ的范围 00 900
a
b 的正负
+
= 900
0
90 180
-
a ·b =| a || b |cos
当0°≤θ ＜ 90°时 ， arr.br为r 正；
(4)cos=( a ·b )/(|a||b|).
(5)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线 | a ·b |=| a || b |
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 5 4 ( 1) 10
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
(×)
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
()
6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
(×)
（二）.用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
高中数学教学能手示范课第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教版必修4
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生位 移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念.
W F S cos
a • b | a | | b | cos
二、向量 a 与 b 的数量积的概念
(5) a b 19
(6)(a b)与(a b)夹角的余弦值为 5 133
133
五、归纳小结：
1、平面向量 a , b 的数量积. 2、一个向量在另一向量方向上 的投影.
测一测：前提：a与b是非零向量
(1) a •b的结果还是一个向量对吗？ (2) a•a| a|2 对吗？
(3)| a•b|| a||b| 对吗？ (4)a•b0ab对吗？ (5)aba•b0对吗？ (6)a//ba•b|a||b|对吗？
结论：前提：a与b是非零向量
(1)a•b0ab (2)当a与b同向时 a•b， |a||b|； 当a与b反向时 a•b， |a||b| (3)a•a|a|2或 |a|a•a
别地，当θ=0°，它就等于 | b | ；而当
θ=180°时，它等于 | b | 。
你能根据投影的定义解释
a•b|a||b|co的s几何意义？
练一：
若 | a | 4 ,| b | 8 , a与b夹角为 （1）当 30 0时a在b上的投影为 2 3 （2）当 90 0时a在b上的投影为 0 （3）当 120 0时a在b上的投影为 2 （4）当 120 0时b在a上的投影为 4
假
(2 )在 A中 BA C ， B B 0 C 若 ， A 则 是 B C 。 钝
数学人教A版必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上课课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 已 知 |a| ＝ 1 ， |b| ＝ 2 ， a 与 b 的 夹 角 θ ＝ 120° ， 则 a·b ＝ ________，a在b方向上的投影为________．
1 解析 a· b＝|a||b|cos θ＝1×2×(－2)＝－1， 1 1 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝1× (－2)＝－2．
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( 提示 但180°不是钝角． )
)
)
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(
(1)×，当a与b 的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0 ，
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°
或0°，则a∥b． (3)√，由a⊥b⇔a·b＝0知其正确性．
|a|2 或______________ |a|＝ a· a 3．a·a＝______ ． a· b 4．cos θ＝__________ ． |a||b| ≤ 5．|a·b|_______ |a||b|．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(
运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角， 条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向 量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方 向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】 在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，∠BAD → → ＝60° ，E 是 CD 的中点，求AE· BD．
人教A版高中数学必修四2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件精选课件
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投
影 | b | cos 的乘积．
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
探究：数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？
运算律 实数乘法
向量的数量积
交换律
abba
abba
(ab)ca(bc)
结合律 (ab)ca(b)c (a ) b a (b ) a b
3.若a≠0，a ·b=0,则b=0 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0
(× ） (× ）
5.若b≠0，a ·b= b ·c,则a=c
(× ）
6.若a ·b= a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 ( × ）
7对任一向量a,有a2=|a|2
(√ ）
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
分配律 (ab)cacbc (ab)cacbc
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
若a 与 b 反向，则 a b | a || b | ；
特别地，a a |
a
| 2
2
a ，|a|
aa
2
a
a b
(3)cos
|a | b | ；
(4) | a b | ≤ | a || b | .
用于计算向量的模
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投
影 | b | cos 的乘积．
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
探究：数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？
运算律 实数乘法
向量的数量积
交换律
abba
abba
(ab)ca(bc)
结合律 (ab)ca(b)c (a ) b a (b ) a b
3.若a≠0，a ·b=0,则b=0 4.若a ·b=0,则a ·b中至少有一个为0
(× ） (× ）
5.若b≠0，a ·b= b ·c,则a=c
(× ）
6.若a ·b= a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 ( × ）
7对任一向量a,有a2=|a|2
(√ ）
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
分配律 (ab)cacbc (ab)cacbc
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
若a 与 b 反向，则 a b | a || b | ；
特别地，a a |
a
| 2
2
a ，|a|
aa
2
a
a b
(3)cos
|a | b | ；
(4) | a b | ≤ | a || b | .
用于计算向量的模
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(2)课件新人教A版必修4
解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a· b＋16b2
＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2 3.
解析答案
1
2
3
4
5
3.已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a＋b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是( C ) A.60° B.30° C.135° D.45°
解析 ∵(a＋b)· a＝a2＋a· b＝0，
当a＝0，b⊥c时，a· b＝b· c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a· b)c与c共线，a(b· c)与a共线，故③不正确；
a· [b(a· c)－c(a· b)]＝(a· b)(a· c)－(a· c)(a· b)＝0，故④正确.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 列结论：
设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2
(1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，
2 且b⊥c，则t＝________. 解析 本题主要考查向量的基本知识及运算.
由题意，将b· c＝[ta＋(1－t)b]· b整理，得ta· b＋(1－t)＝0，
2 2 ＝ke2 ＋ k e ＋ ( k ＋1)e1· e2＝2k>0，∴k>0. 1 2
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
解析答案
返回
达标检测
1.下面给出的关系式中正确的个数是( C )
1
2
3
4
5
①0 · a＝0；②a· b＝b· a；③a2＝|a|2；④|a· b|≤a· b；⑤(a· b)2＝a2· b2. A.1 B.2 C.3 D.4
人教A版高中数学必修四课件《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》.pptx
A. 平行
C. 夹角为
3
B. 垂直 D. 不平行也不垂直
练习：
3. a 3, b 4, 向量a 3 b与a 3 b
4
4
的位置关系为( )
A. 平行
C. 夹角为
3
B. 垂直 D. 不平行也不垂直
4. 已知 a 8, b 10, a b 16,
求 a 与 b 的夹角.
课堂小结
1.平面向量的数量积及其几何 意义; 2.平面向量数量积的重要性质 及运算律; 3.向量垂直的条件.
当 a 与 b 反向时, a b a b .
2
特别地, a a a 或 a a a .
4.两个向量的数量积的性质:
设 a、b为 两 个 非 零 向 量.
(1) a b a b 0 . (2) 当 a 与 b 同向时, a b a b .
当 a 与 b 反向时, a b a b .
(2) 时, a与b反 向 ；
ba
0
复习引入
(1) 0时, a 与b 同向；
(2) 时, a与b反 向 ；
ba
0
b
a
复习引入
(1) 0时, a 与b 同向；
(2) 时, a与b反 向 ；
(3) 时, a b；
2
ba
b
a
0
复习引入
(1) 0时, a 与b 同向；
2.两向量共线的判定
复习引入
2.两向量共线的判定
设a
(
x1
,
y1
),
b
(
x2
,
y2
),
其
中b
0.
复习引入
2.两向量共线的判定
设a
高中数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》课件2新人教A版必
2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】 1． 通过物理中“功”等实例， 理解平面向量数量积的含义及其 物理意义． 2．掌握向量 a 与 b 的数量积公式及其投影的定义． 3． 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律， 并能运用这些性 质与运算律解决有关问题． 【核心扫描】 1．平面向量的数量积．(重点) 2．平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
【变式 3】 设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2 的值是________． 解析 由 a⊥b，得 a· b＝0. 由 a＋b＋c＝0，得 c＝－(a＋b)． 又(a－b)⊥c，∴(a－b)· c＝0，(a－b)(a＋b)＝0， ∴a2－b2＝0，|a|＝|b|＝1， ∴|c|2＝[－(a＋b)]2＝|a|2＋|b|2＋2a· b＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝1＋1＋2＝4. 答案 4
3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔
a· b＝0
；
|a||b|
(2)当 a 与 b 同向时，a· b＝
； .
当 a 与 b 反向时，a· b＝ －|a||b|
2 | a | (3)a· a＝ 或|a|＝ a· a＝ a2；
a· b (4)cos θ＝ |a||b| (5)|a· b|
(3)两个向量 a，b 的数量积与代数中两个数 a，b 的乘积 ab 是 两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量 a，b 的数量积是记作 a· b， 中间的实心小圆点不能省略， 也不能把实 心小圆点用乘号“×”代替，写成 a×b.
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】 1． 通过物理中“功”等实例， 理解平面向量数量积的含义及其 物理意义． 2．掌握向量 a 与 b 的数量积公式及其投影的定义． 3． 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律， 并能运用这些性 质与运算律解决有关问题． 【核心扫描】 1．平面向量的数量积．(重点) 2．平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
【变式 3】 设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b， 若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2 的值是________． 解析 由 a⊥b，得 a· b＝0. 由 a＋b＋c＝0，得 c＝－(a＋b)． 又(a－b)⊥c，∴(a－b)· c＝0，(a－b)(a＋b)＝0， ∴a2－b2＝0，|a|＝|b|＝1， ∴|c|2＝[－(a＋b)]2＝|a|2＋|b|2＋2a· b＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝1＋1＋2＝4. 答案 4
3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔
a· b＝0
；
|a||b|
(2)当 a 与 b 同向时，a· b＝
； .
当 a 与 b 反向时，a· b＝ －|a||b|
2 | a | (3)a· a＝ 或|a|＝ a· a＝ a2；
a· b (4)cos θ＝ |a||b| (5)|a· b|
(3)两个向量 a，b 的数量积与代数中两个数 a，b 的乘积 ab 是 两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量 a，b 的数量积是记作 a· b， 中间的实心小圆点不能省略， 也不能把实 心小圆点用乘号“×”代替，写成 a×b.
人教A版必修四 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 课件(57张)
b
(3)关于数量积的运算律 数量积对向量的结合律不成立,对于平面内的任意三个 向量a,b,c,如果(a·b)·c=a·(b·c),则λc=μa (λ,μ∈R),即a,c共线,与a,c为任意向量不符,只有在 特殊情况下,如三个向量都同向时,才能相等.
【自我检测】
1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且a与b的夹角为 30°,那么a·b等于 ( )
2
所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.
答案:5或-8
【补偿训练】(2018·大理高一检测)已知向量a与b的
夹角为30°,且|a|= 3 ,|b|=2,则|a-b|等于 ( )
A.1
B. 13
C.13
D. 7 2 3
【解析】选A.向量a与b的夹角为30°,且|a|= 3,
|b|=2,可得a·b=|a|·|b|·cos30°=
【点拨】(1)关于数量积的结果 ①非零向量数量积的运算结果是一个数量, 当0°≤θ<90°时,a·b>0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0; 当θ=90°时,a·b=0. ②特别地,如若a或b等于零,则a·b=0.
(2)关于数量积的几何意义 ①向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,是一个数量,投 影的值由向量a的模、两向量的夹角的余弦决定,而与 向量b的模无关. ②向量a在b方向上的投影还可以表示成 a b .
ab a
2 2
1.
3.设向量b和a的夹角是α,
因为|a|= 2 ,|b|=2,且(a-b)⊥a,
所以(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=2-2 2 cosα=0, 所以cosα= 2 ,所以(|2a-b|)2=4a2+b2-4a·b
(3)关于数量积的运算律 数量积对向量的结合律不成立,对于平面内的任意三个 向量a,b,c,如果(a·b)·c=a·(b·c),则λc=μa (λ,μ∈R),即a,c共线,与a,c为任意向量不符,只有在 特殊情况下,如三个向量都同向时,才能相等.
【自我检测】
1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且a与b的夹角为 30°,那么a·b等于 ( )
2
所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.
答案:5或-8
【补偿训练】(2018·大理高一检测)已知向量a与b的
夹角为30°,且|a|= 3 ,|b|=2,则|a-b|等于 ( )
A.1
B. 13
C.13
D. 7 2 3
【解析】选A.向量a与b的夹角为30°,且|a|= 3,
|b|=2,可得a·b=|a|·|b|·cos30°=
【点拨】(1)关于数量积的结果 ①非零向量数量积的运算结果是一个数量, 当0°≤θ<90°时,a·b>0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0; 当θ=90°时,a·b=0. ②特别地,如若a或b等于零,则a·b=0.
(2)关于数量积的几何意义 ①向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,是一个数量,投 影的值由向量a的模、两向量的夹角的余弦决定,而与 向量b的模无关. ②向量a在b方向上的投影还可以表示成 a b .
ab a
2 2
1.
3.设向量b和a的夹角是α,
因为|a|= 2 ,|b|=2,且(a-b)⊥a,
所以(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=2-2 2 cosα=0, 所以cosα= 2 ,所以(|2a-b|)2=4a2+b2-4a·b