质点平衡应力的概念[1]
弹性力学_第二章__应力状态分析
弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
1 静力学基本概念和受力分析
F
C
FC'
A
B
FAx A FAy
三铰拱
§1-4 物体的受力分析和受力图
[例1] 分别画球和AB 杆的受力图。 画物体受力图主要步骤为： (1)选研究对象； (2)取分离体； (3)画上主动力； (4)画出约束力。 FB FB
或
FD FE
FD FAy FAx
FD FA 应用三力汇交定理
§1-4 物体的受力分析和受力图
P
B
RA
P
XA
A C
RB
45
NB
mg
B
YA
RB
45
§1-4 物体的受力分析和受力图
画AC和CB的受力图
P
C
P
C
B
A
FC FC
A
C
B
FCB C P
P
C
FB
B
B
C
F´CB
FBC
A
F
FAC A
§1-4 物体的受力分析和受力图
练习2、画出下列各构件的受力图和整体的受力图 FD F FBy FBx FH FC F FAx FAy FD
本篇重点： 1.物体的受力分析 2.力系的简化
3.力系的平衡条件
§1-1
静力学基本概念
静力学：研究物体在力系作用下的平衡规律的科学。
1、刚体：就是在力的作用下，大小和形状都不变的物体。
即物体内部任意两点间距离始终保持不变。
静力学的研究对象，是理想化的力学模型。 2、平衡：是指物体相对于惯性参考系（如地面）保持静止或
★ 根据各类约束类型逐一画出约束力。
F
C
水力学 水静力学 水静力学
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
PyD ydP gyy sin dA
A
g sin y 2 dA g sin I x
A
yD
g sin I x
P
g sin I x I x g sin yc A yc A
2 （惯性矩平行移轴定理 ） I x I C Ayc
yD
2 I xC Ayc I yc C yc A yc A
dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x dx 1 p pN p x , y, z p dx 2 2 x
质量力在x轴的分量为：
fx dx dy dz
X方向的平衡方程：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz f x dxdydz 0 p 2 x 2 x
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp ( f x dx f y dy f z dz )
质量力只有重力：fx＝ fy ＝0， fz ＝－g，可得：
dp gdz
p c z c 积分可得： p gz g g p C 也可变形为 z g
微小面元dA上水压力
dP pdA ghdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
高一物理必修一第二章知识点笔记
高一物理必修一第二章知识点笔记物理高一必修一知识点：运动学的基本概念、自由落体运动，竖直上抛运动、运动的图象运动的相遇和追及问题、力重力弹力摩擦力、力的合成和分解、受力分析、共点力作用下物体的平衡、牛顿运动三定律、牛顿运动定律的应用。
运动学的基本概念1、参考系：叙述一个物体的运动时，LSU做为标准的的另外的物体。
运动是绝对的，静止是相对的。
一个物体是运动的还是静止的，都是相对于参考系在而言的。
参考系的挑选就是任一的，被选为参考系的物体，我们假设它就是恒定的。
挑选相同的物体做为参考系，可能将得出结论相同的结论，但挑选时必须并使运动的叙述尽量的直观。
通常以地面为参考系。
2、质点：①定义：用来代替物体的有质量的点。
质点是一种理想化的模型，是科学的抽象。
②物体可以看作质点的条件：研究物体的运动时，物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略。
且物体若想看作质点，必须具体内容问题具体分析。
③物体可被看做质点的几种情况:(1)对应状态的物体通常可以视作质点.(2)有转动但相对平动而言可以忽略时，也可以把物体视为质点.(3)同一物体，有时可以看作质点，有时无法.当物体本身的大小对所研究问题的影响无法忽略时，无法把物体看作质点，反之，则可以.注(1)不能以物体的大小和形状为标准来判断物体是否可以看做质点，关键要看所研究问题的性质.当物体的大小和形状对所研究的问题的影响可以忽略不计时，物体可视为质点.(2)质点并不是质量不大的点，必须区别于几何学中的“点”.3、时间和时刻：时刻就是所指某一瞬间，用时间轴上的一个点去则表示，它与状态量相对应当;时间就是指初始时刻至中止时刻之间的间隔，用时间轴上的一段线段去则表示，它与过程量相对应当。
4、位移和路程：加速度用以叙述质点边线的变化，就是质点的由初边线指向末边线的存有向线段，就是矢量;路程是质点运动轨迹的长度，是标量。
5、速度：用来描述质点运动快慢和方向的物理量，是矢量。
(1)平均速度：就是加速度与通过这段加速度所用时间的比值，其定义式为，方向与加速度的方向相同。
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
工程力学重点总结
P2 刚体：在力的作用下不会发生形变的物体。
力的三要素：大小、方向、作用点平衡：物体相对于惯性参考系处于静止或作匀速直线运动。
二、静力学公理1力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于改点的一个合力，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线矢量确定。
2二力平衡条件：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上。
3加减平衡力系原理：作用于刚体的任何一个力系中，加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原来力系对刚体的作用。
（1）力的可传性原理：作用在刚体上某点的力可沿其作用线移动到该刚体内的任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
（2）三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
4作用与反作用定律：两个物体间相互作用的力，即作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线重合，并分别作用在两个物体上。
5 刚化原理：变形体在某一力系作用下处于平衡状态时，如假想将其刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
三、约束和约束反力P7 约束：1柔索约束：柔索只能承受拉力，只能阻碍物体沿着柔索伸长的方向运动，故约束反力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索本身，指向背离物体；2光滑面约束：约束反力通过接触点，沿接触面在接触点的公法线，并指向物体，即约束反力为压力；3光滑圆柱铰链约束：①圆柱、②固定铰链、③向心轴承：通过圆孔中心或轴心，方向不定的力，可正交分解为两个方向、大小不定的力；④辊轴支座：垂直于支撑面，通过圆孔中心，方向不定；4链杆约束（二力杆）：工程中将仅在两端通过光滑铰链与其他物体连接，中间又不受力作用的直杆或曲杆称为连杆或二力杆，当连杆仅受两铰链的约束力作用而处于平衡时，这两个约束反力必定大小相等、方向相反、沿着两端铰链中心的连线作用，具体指向待定。
2应力应变分析
JJ J
1 2
应该是单值的，不随坐标
3
而变，因此把
JJ J
1 2
3
分别称为应力张量的
第一、第二和第三不变量，存在不变量也是张
量的特性之一。
15
例题
• 设某点的应力状态如图所示，试求其主应力（应力 单位：牛顿/平方毫米）
16
• 解：
x
yx
zx
2; 3;
4;
ij
xy y
2
2
2
2
xy
yz
zx
x
yz
y
xz
z
xy
2
2
2
18
• 将应力张量不变量带入应力状态特征方程中得:
J 1 J 2 J 3 0
3 3 2
•
9;
1
15 60 54 0
2
9 6 6 0
2 2
3 3;
ζ
ζ η ζ
ζ 主剪切应力平面
21
• 一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面 垂直并与另两个主平面成45度，而且每对正交主剪平面 上的主剪应力都相等。如下图所示：
22
三个主剪应力为： τ σ σ 2 23 2 3
τ 31 σ 3 σ1 2
τ12 σ1 σ 2 2
张量的特性：一个对称张量有三个相互垂直的方向， 叫做主方向，在主方向上，下标不同的分量均为零， 只剩下下标相同的分量，叫做主值。
在应力张量中，主值就是主方向上的三个正应力， 叫做主应力；与三个主方向垂直的微分面叫主平面， 主平面上没有剪应力。也就是说τ=0。
材料力学的基本假设
材料力学的基本假设
1.应力-应变的线性关系假设：在小变形范围内，材料的应力与应变
之间存在线性关系，即应力是应变的线性函数。
2.同性与各向同性假设：材料在各个方向上具有相同的物理性质，即
同性；在任意方向上的物理性质相同，即各向同性。
3.材料的连续性假设：材料在微观层面上具有连续性，即认为材料是
由无数微小的质点组成的，而且质点之间的距离可以被忽略。
4.材料的弹性本质假设：材料在受力后会发生形变，但当去除作用力时，材料会恢复原始形态，即弹性本质。
5.应力状态的平衡假设：材料在受力时，应力状态必须处于平衡状态，即所受的所有内部力的合力必须为零。
6.多轴应力状态的等效假设：将多轴应力状态转化为等效单轴应力状态，使得应力状态的分析变得简单。
7.破坏准则的假设：材料在受到超过一定程度的应力时会发生破坏，
该程度可以通过破坏准则进行描述。
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http://www.paper.edu.cn [1] 新概念弹性理论（8） 韩文坝1，蔡冰清2，韩晓东31 中国石化总公司扬子石油化工股份有限公司，南京（210048）
2 哈尔滨工业大学，哈尔滨（150001）
3 深圳岱宇实业有限公司，深圳（518035）
摘 要： 受力作用而处于平衡的物体，其体内任一质点也处于平衡,这是不争的结论。可是等直杆拉伸任一斜截面上的质点却不能保持平衡。本文得出：单元体斜截面上的应力，不是其上质点的平衡应力。推导出单向应力状态、二向纯剪切应力状态、二向应力状态和三向应力状态下的质点平衡应力。并指出，质点平衡应力的计算与单元体平衡不同：单元体平衡必须用应力乘作用面积得到力代入平衡方程；而质点的平衡可直接用应力代入平衡方程（因为质点本身无大小的概念，即没有面积的概念）。文中指出，质点平衡应力是当单元体趋近于零时的合应力，因此，它大于单元体的应力分量。而强度条件的建立都是要找出物体内受最大应力的质点。用质点平衡应力推导出来的拉伸—剪切强度条件公式：
222α2σσσττ′=++与实验现象非常符合：低碳拉伸滑移线出现在45°；铸铁压缩时成
45°破坏；特别是能解释拉伸使剪切变得容易，压缩使剪切变得困难；因为公式中有非平方项2στ，σ的正负号得出的相当应力ασ′不同。而所有的强度理论都不能解释此现象。莫尔
强度理论当拉、压强度极限相等时也无法解释。特别是质点平衡强度条件解决了第三、第四强度理论：当二向、三向等应力拉伸（压缩）时，无论多大的应力物体都不会断裂的结论。质点平衡应强度条件表明：二向或三向等应力拉伸分别达到拉应力的0.71和0.58就断裂。本文由纯剪切状态直接推导出剪切定理，代替由薄壁扭转得出的剪切虎克定律（因为纯扭转体内无剪应力）。并提出质点平衡应矩的概念。 关键词： 单元体平衡，质点平衡，质点平衡应力，剪切定理，质点平衡应矩
8.1 前言 平衡是弹性理论的最根本，新概念弹性理论由整体平衡、单元体平衡发展到质点平衡，单元体的平衡为质点平衡应力的建立奠定了基础。由于质点平衡应力都大于物体内任一点任方向上的应力分量，因此，确定不同应力状态下的质点平衡应力，并建立其强度条件，是保证避免断裂事故的重要强度理论。从质点平衡应力推导出的拉伸—剪切强度条件，圆满解释了所有强度理论都无法解释的拉伸使剪切变得容易，压缩使剪切变得困难（莫尔强度理论对拉压强度极限相等的材料也无法解释）的实验现象。低碳钢在45°出现滑移线，铸铁压缩成45°断裂，而应用最广的第四强度理论，理论上滑移线断裂却应发生在30°，与实际发生在45°相矛盾。特别是二向、三向等应力拉伸；第三、第四强度理论出现了相当应力等于零，即无论多大应力都不会使材料破坏，完全不符合实际的结论，应该说第三、第四强度理论出现了危机。而质点平衡应力强度理论解决了这一危机。只要二向等应力拉伸达到拉应力的71%就断裂，与实验接近。三向应力状态达到拉应力的58%就断裂。由纯剪切应力状态推导出来的剪切定理，取代了由薄壁圆筒扭转实际得出的剪切虎克定律，因为应矩理论证明纯扭转体内无剪应力，因此剪切虎克定律是无中生有。由于应力状态与应矩状态完全相似，因此，提出质点平衡应矩的概念和公式，当然这要进深一步探讨。
-1- 8.2 直杆拉伸斜截面上的任一点的质点平衡应力 8.2.1 直杆拉伸斜截面上的任一点不平衡 等直杆拉伸如图8.1a所示，众所周知，杆内任一质点都受到大小相等方向相反的拉应力而处于平衡，而现行弹性理论却使杆内质点不能处于平衡。
图8.1 轴向拉伸斜截面上的质点平衡应力分量 Figure 8.1 balance stress of a particle in the inclined section of a shaft
设杆轴向拉力为P，横截面积为F，求斜面k－k（与垂直方向夹角为α）上任一点正应力aσ和剪应力a
τ时，现行弹性理论推导如下：
横截面上的正应力0σ为
FP=0σ
（a）
与横截面成α角的斜面k－k的面积为，F与间的关系为
αFα
F
cosFFαα
= （b）
用P′表示k－k面上水平方向的内力，由单元体左段的平衡（图8.1b），可得 P=P' 由于内力是均匀分布的，则斜截面k－k上的应力为
α
P
-2-
http://www.paper.edu.cn αααFPF
PP=='
以（b）式代入上式可得 ασααcoscos
0==
F
PP （c）
把分解成垂直于斜面的正应力αPασ和切于斜面的剪应力ατ（图8.1c）。 则 []22
0coscosaaPaσσ==a
（8.1）
[]aaaaPaa2sin2sincossin0
02
σστ===
（8.2）
值得注意，公式（8.1）和公式（8.2），只是保持左段杆平衡的正应力和剪应力。它不是保持截面k－k上任一质点的平衡应力。这点可以得到明显的证明：如图8.1c取a点，则质
点a受到三个应力：0σ、aσ和aτ，而aσ和aτ的合成应力为： a
P
()()aaaaPaaacossincoscos02022022σσστσ=+=+= （8.3）
而质点a左边受到的应力0
σ，可见左右应力不相等；
ασσcos00≠
上式表明质点a不处于平衡，这是不符合实际的。 8.2.2 保持拉伸体斜截面上的质点平衡的正应力和剪应力 要保证斜面k－k上任一质点a的平衡，必须是右0左σσ=o（见图8.1d）。这是非常明显的结论：单向拉伸体内任一点都受到大小相等方向相反的应力而处于平衡。a点不会因为人为的画上一条k－k线（认为是截面上k－k线上的点）而就不处于平衡。斜面k－k上的
点要平衡必须由力的解析法求得： aacos0σσ
=
′
（8.4）
aasin0στ
=
′
（8.5）
（8.4）式和（8.5）式，才是保证拉伸体内任一截面上质点的平衡应力，因为： ()()()()
左0202022右0
sincosσασαστσσαα=+=+=′′
由于左0右0
σσ=
，说明质点a左和右受大小相等方向相反的应力而处于平衡。（8.4）式
和（8.5）式才是求保持质点平衡应力的公式。
8.2.3 单元体平衡与质点平衡的结论 （1）单元体的平衡与质点平衡有本质的区别，单元体的平衡无论单元体取得多么微小， -3-
http://www.paper.edu.cn （2）作用在单元体面积上的力，有正应力和剪应力之分，而作用在质点上的力无正应力和剪应力之分。因为质点无面的概念。用微分体平衡得到斜截面上的应力，即使微分体趋近于无穷小时，其应力也不等于其微分体邻域内质点的质点平衡应力。 （3）现行弹性理论用微正六面体做力学模型，求得各方向上的应力。其应力仍然是微单元体的平衡应力，不是三向应力状态下的质点平衡应力。
8.3 纯剪切应力状态下的质点平衡应力 8.3.1 纯剪切应力状态斜面上的应力不是质点平衡应力 由求二向应力状态任意斜截面上的应力[2]公式
cos2sin222xyxy
xα
σσσσσατα+−
=+− （8.6）
可求得纯剪应力状态下对角线ac斜面上正应力为bdσ和bd斜面上的正应力ac
σ，如图
8.2。此时0==yxσσ
，σ=±45°。代入（8.6）式，可得
bdστ=−，acστ=
说明对角线ac上各点都受到拉应力，对角线bd上各点都受到压应力。 研究图8.2中a点的平衡：作用于a点有三个应力：τ、τ和aσ。
图8.2 纯剪切单元体上的质点a受到的应力 图8.3 纯剪切单元体上的质点a不能平衡 Figure 8.2 stress in unit body a under pure shearing Figure 8.3 imbalance of unit body a under pure shearing
对于质点而言，没有面积的概念，因此，静力平衡方程可直接用应力而不用力： cos45221022axτσ
τττ=−°
=−=(−)≠∑
-4-
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