热传导方程习题和答案
一维热传导方程求解例题
一维热传导方程求解例题摘要：I.引言- 介绍一维热传导方程- 说明求解例题的目的II.一维热传导方程的数学模型- 描述一维热传导方程的物理背景- 给出热传导方程的数学表达式III.求解方法- 介绍求解一维热传导方程的常用方法- 说明采用差分法求解的步骤IV.求解例题- 给出具体的求解例题- 详细描述求解过程V.结果与讨论- 分析求解结果的正确性- 说明结果的实际意义VI.结论- 总结求解一维热传导方程的过程- 提出可能的改进方向正文：一维热传导方程是传热过程的基本数学模型，用于描述在一条方向上的温度分布情况。
在实际应用中，许多场景下温度分布可以近似为一维，因此求解一维热传导方程具有重要意义。
本篇文章将通过一个具体的例题，介绍如何求解一维热传导方程。
II.一维热传导方程的数学模型考虑一个长为L 的一维热传导系统，其中两个边界分别为温度为Tw1 和Tw2 的恒温壁面，内部为温度为T1 的流体。
根据热传导的基本原理，可以得到以下一维热传导方程：$$frac{partial T}{partial t} = alpha frac{partial^2 T}{partial x^2}$$其中，T 表示流体的温度，t 表示时间，x 表示空间位置，α表示热扩散系数。
III.求解方法求解一维热传导方程的方法有很多，常见的有有限差分法、有限元法、有限体积法等。
本例题将采用有限差分法进行求解。
有限差分法是一种常用的数值方法，可以将连续的空间和时间离散化，从而将偏微分方程转化为离散的线性方程组。
IV.求解例题为了具体说明求解过程，我们选取一个简单的例题进行求解。
假设热传导方程的初始条件为：T(x, 0) = T_1, quad x in (0, L)$$边界条件为：$$T(0, t) = T_w, quad T(L, t) = T_w, quad t > 0$$其中，T1 为流体的初始温度，Tw 为壁面的温度。
采用有限差分法，可以将空间和时间离散化为网格点。
数理方程3热传导方程及偏微分化简
6.
∂ 2u ∂ 2u 2 ∂2 ∂2 =0 −a ( 2 − a 2 2 )u = 0 2 2 ∂x ∂t ∂x ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂2 2 )( − a ) =( +a −a 2 2 ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t
u(x, t ) = f( x – at ) + g( x + at )
⎧ ut = a 2 u xx , 0 < x < L, 0 < t < +∞ ⎪ ⎨ u(0, t ) = 0, u( L, t ) = 0, 0 < t < +∞ ⎪ u( x ,0) = ϕ ( x ), 0< x< L ⎩
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ut = a2[uxx + uyy + uzz ] 初始条件: u(x, y, z, 0)= ϕ (x, y, z) I. 第一类边界条件:
⎧ξ = x − at ⎨ ⎩η = x + at
∂ 2u =0 ∂ ξ∂ η
u = f (ξ ) + g (η )
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二阶线性偏微分方程(两个自变量)分类
a11u xx + 2a12 u xy + a 22 u yy + b1u x + b2 u y + cu = 0
主部 通过自变量的非奇异变换简化主部，进而分类求解。 二次曲线分类回顾:
双曲型
ut = a2uxx
抛物型
uxx+ uyy = 0
椭圆型
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思考题
1. 曲线微元ds和曲面微元ds有何区别？ 2. 付里叶热传导定律中温度变化率有哪些表现形式？ 3. 对比二阶方程分类与二次曲线分类方法 4. 可逆线性变换应该具有什么条件？
数理方程第二章 有限长杆上的热传导-2
将u(x,t)代入，可求出 平均温度U(t)=C0
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例２：热传导(混合边界条件)
有界杆的长度为L，其左端保持恒定温度(摄氏零 度)，右端绝热。已知杆内初始温度分布为(x),求 解关于杆内任意时刻温度分布的定解问题：
2 u 2 u a ( 0 x L , t 0) 2 t x u t 0 ( x)
分离变量：
设方程（1）有形式解： u( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程（1）分离变量：
X ' ' ( x) T ' (t ) 2 (常数) X ( x) a T (t )
X ( x) X ( x) 0 T (t ) a 2T (t ) 0
系统最终趋于热平衡温度:
u( x, ) C0
这一过程是绝热的 (总热量保持恒定)：
初始温度 1 C0 的平均值 L
L
0
( x)dx
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系统的稳态温度：3.稳态分析
热传导的动力学行为:
2 u 2 u a t x 2
热传导方程的稳态解 （适用于任何情况）
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系统的稳态温度：1.直观分析
u( x,0) ( x)
L
绝热
(总热量保持恒定)
x
u( x, ) 常数
曲线下面积 相等
L
x
1 u ( x, ) L
L
0
( x ) dx
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系统的稳态温度：2.动力学分析
na 2 n u ( x, t ) C0 Cn exp x t cos L n 1 L
大学物理-热传导方程的定解问题例题
du u dx E0 cosdR
现在计算上式从 R 0到 的积分。由于在静电 场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路 线为直线，如图(1)所示。将 E0 cos 作为常数提出积分
号外，并将 u(0) 0代入，便有
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.2 热传导及稳定场问题
例1 在均匀外电场 E0中置入半径为 R0的导体球，若导体 球接有电池，使球与地保持电势差 u0 。试写出电势 u
满足的泛定方程与定解条件。设导体置入前球心位置
的电势 u(0) 0。 解：选z轴沿均匀外电场 E0的方向，见图1 。
u |R E0R cos |0R E0R cos
球面上电势连续，即 u1(R0 ) u2 (R0 ) u0
因为本题比较简单，有些条件(如周期性条件等)不需要 列出也可以求出结果，就不用列出了。
E0
u2
• • u1 u0
0
R0
z
dx
• E0
•
0
Z
(a)
(b)
（图 1）
设球内外电势分别用u1、u2 表示。
（1）泛定方程。因为除球面上 (R R0 )有自由电荷
分布外，球内外的 f 0，故
2u1 0, R R0 2u2 0, R R0
（2）定解条件 因为导体表面有限的电荷分布对无穷远处电势的
3 数理方程-热传导方程的导出
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L长的细杆边界上有热流进、出 长的细杆边界上有热流进、 长的细杆边界上有热流进 u(x, t ) ∂u dQ = − k dsdt L O ∂n ∂u ∂u q = −k 这里 ∂n 为沿热流方向的方向导数 ∂n 1. 在 x = L 处有热流 q 流出 ux | x=L = – q / k 2. 在 x = L 处有热流 q 流入 3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 4. 在 x = 0 处有热流 q 流入 边界上有热交换 边界上有热交换
t2 ∂u ∂u dt ]dxdydz = ∫ [ ∫∫∫ cρ dxdydz ]dt = ∫∫∫ cρ [ ∫ t 1 ∂t t1 ∂t V V
V
t2
Q1 = Q2
∫ [∫∫∫ k[div(Grad u )]dxdydz ]dt = ∫
t1 V
t2
t2
t1
∂u [ ∫∫∫ c ρ dxdydz ]dt ∂t V
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Q1 = Q2 记 a2 = k/(cρ)
∂u k div (Grad u) = cρ ∂t
∂u a div (Grad u) = ∂t
2
三维热传导方程: 三维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
∂u 2 =a ∆u ∂t
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热传导问题三类边界条件
热传导学试题及答案初中
热传导学试题及答案初中一、选择题（每题2分，共20分）1. 热传导是热量从高温物体传递到低温物体的过程，其传递方式不包括以下哪一项？A. 热辐射B. 热对流C. 热传导D. 热交换答案：D2. 热传导过程中，热量传递的方向是：A. 从低温物体到高温物体B. 从高温物体到低温物体C. 同时向两个方向传递D. 不确定，取决于物体的材质答案：B3. 热传导的速率与物体的哪种性质有关？A. 密度B. 比热容C. 导热系数D. 热膨胀系数答案：C4. 以下哪种材料的导热系数最大？A. 木材B. 塑料C. 金属D. 玻璃答案：C5. 热对流是液体和气体中热量传递的主要方式，其传递过程不涉及以下哪个因素？A. 流体的密度B. 流体的粘度C. 流体的流速D. 流体的比热容答案：D6. 热辐射不需要介质即可进行热量传递，其传递方式是：A. 通过电磁波B. 通过声波C. 通过光波D. 通过机械波答案：A7. 热传导的速率与物体的温差大小有关，温差越大，热传导的速率：A. 越快B. 越慢C. 不变D. 无法确定答案：A8. 热传导的速率与物体的截面积有关，截面积越大，热传导的速率：A. 越快B. 越慢C. 不变D. 无法确定答案：A9. 热传导的速率与物体的厚度有关，厚度越小，热传导的速率：A. 越快B. 越慢C. 不变D. 无法确定答案：A10. 热传导的速率与物体的导热系数有关，导热系数越大，热传导的速率：A. 越快B. 越慢C. 不变D. 无法确定答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 热传导的三种基本方式是热传导、热对流和________。
答案：热辐射2. 热传导的速率与物体的温差成正比，与物体的截面积和厚度成反比，这一关系可以用傅里叶定律来描述，其公式为：q=-kA(ΔT)/L，其中q 表示热流密度，k表示导热系数，A表示截面积，ΔT表示温差，L表示物体的厚度。
答案：傅里叶定律3. 热对流的传递过程涉及到流体的流动，其传递速率与流体的流速、粘度和密度有关。
热传导方程[整理版]
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前言本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。
一、概念与常量1、温度场：指某一时刻τ下，物体内各点的温度分布状态。
在直角坐标系中：t=f(x,y,z,τ)；在柱坐标系中：t=f(r,θ,z,τ)；在球坐标系中：t=f(r,θ,∅,τ)。
补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。
2、等温面与等温线：三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面；一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。
3、温度梯度：在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。
称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。
用grad t表示。
定义为：grad t=∂t∂nn补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。
对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。
在直角坐标系中：grad t=∂t∂xi+∂t∂yj+∂t∂zk3、导热系数定义式：λ=q-grad t单位W/(m⋅K)导热系数在数值上等于单位温度降度(即1K/m)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。
导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。
补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。
二、热量传递的三种基本方式热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射三、导热微分方程式（统一形式：ρc∂t∂τ=λ∇2t+q）直角坐标系：ρc∂t∂τ=∂∂x(λ∂t∂x)+∂∂y(λ∂t∂y)+∂∂z(λ∂t∂z)+q圆柱坐标系：ρc∂t∂τ=1r∂∂r(λr∂t∂r)+1r2∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+∂∂z(λ∂t∂z)+q球坐标系：ρc∂t∂τ=1r2∂∂r(λr2∂t∂r)+1r2sinθ∂∂θ(λsinθ∂t∂θ)+1r2sin2θ∂∂ϕ(λ∂t∂ϕ)+ q其中，称α=λρc为热扩散系数，单位m2/s，ρ为物质密度，c为物体比热容，λ为物体导热系数，q为热源的发热率密度，h为物体与外界的对流交换系数。
数学物理方程谷超豪版第二章课后规范标准答案
,.第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-=又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s xukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
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第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s x ukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lk t x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π 又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3 由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x ukt x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ 消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
一般情形1=C 。
由于21,,t t Ω的任意性即得方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z u D z y u D y x u D x t u C3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。
以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则Q dtdQβ-=，其中β为常数。
又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。
解： 可将水化热视为一热源。
由Q dtdQβ-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。
由假设，放热速度为t e Q ββ-0它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρρββc k a e c Q z u y u xu a t u t 202222222 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程()2201224.0ρωρωρc ri u u c P k x u c k t u +--∂∂=∂∂ 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。
解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。
因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为()t x f xu a t u ,222+∂∂=∂∂其中()()()t x F c t x F t x f c ka ,,/,,,2ρρ==为单位体积单位时间所产生的热量。
由常电流i 所产生的()t x F ,1为22/24.0ωr i 。
因为单位长度的电阻为ωr，因此电流i 作功为ωri 2乘上功热当量得单位长度产生的热量为ω/24.02r i 其中0.24为功热当量。
因此单位体积时间所产生的热量为22/24.0ωr i由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为()014u u l k --其中l 为细杆直径，故有ll l p 44/2==ππω，代入得()()012,u u pk t x F --=ω因热源可迭加，故有()()()t x F t x F t x F ,,,21+=。
将所得代入()t x f xu a t u ,222+∂∂=∂∂即得所求：()22012224.0ρωρωρc ri u u c P k x u c k t u +--∂∂=∂∂ 5*. 设物体表面的绝对温度为u ，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于4u ，即dsdt u dQ 4σ=今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已 知函数),,,(t z y x f ,问此时该§导问题的边界条件应如何叙述？解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为,|41dsdt u dQ s σ=辐射进来的热量为,|42dsdt f dQ s σ=因此由热量的传导定律得边界条件为：]||[|44s s s f u nuk-=∂∂σ§2 混合问题的分离变量法 1． 用分离变量法求下列定解问题的解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=>=∂∂=<<>∂∂=∂∂)0()()0,()0(0),(),0(0,0()222πππx x f x u t t x u t u x t x u a tu 解：设)()(t T x X u =代入方程及边值得⎪⎩⎪⎨⎧=+'='==+00)(0)0(02"T a T X X X X λπλ 求非零解)(x X 得x n x X n n n 212sin )(,4)12(2+=+=λ ),1,0( =n对应Ｔ为 t n a n n eC t T 4)12(22)(+-= 因此得 ∑∞=+-+=4)12(212sin),(22n tn a nx n eC t x u 由初始值得 ∑∞=+=212sin)(n n x n C x f 因此 ⎰+=ππ212sin)(2xdx n x f C n 故解为 ∑⎰∞=+-+⋅+=4)12(212s i n 212s i n )(2),(22n tn a x n ed n f t x u πξξξπ２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>==⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=<<>∂∂=∂∂)0(0),1(),0(1211210)0,()10,0(22t t u t u x x x x x u x t x ut u 解：设)()(t T x X u =代入方程及边值得⎩⎨⎧=+===+0'0)1()0(0"T T X X X X λλ求非零解)(x X 得x n X n n n ππλsin ,22== n=1,2,……对应Ｔ为 tn n n e C T 22π-=故解为 ∑∞=-=1sin ),(22n t n n x n e C t x u ππ由始值得∑∞=⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=11211210sin n n x x x x x n C π 因此 ⎰⎰-+=210121]sin )1(sin [2xdx n x xdx n x C n ππ1212221022]sin 1cos )1(1[2]sin 1cos 1[2x n n x n x n x n n x n x n ππππππππ---++-=2sin 422ππn n =所以 ∑∞=-=122sin 2sin 4),(22n tn x n e n n t x u ππππ３．如果有一长度为l 的均匀的细棒，其周围以及两端l x x ==,0处均匀等到为绝热，初始温度分布为),()0,(x f x u =问以后时刻的温度分布如何？且证明当)(x f 等于常数0u 时，恒有0),(u t x u =。
解：即解定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂∂∂=∂∂===)(|0||00222x f u x u xux u a t u t l x x 设)()(t T x X u =代入方程及边值得⎩⎨⎧=+===+0'0)(')0('0"2T a T l X X X X αλλ 求非零解)(x X ：)1( 当0<λ时，通解为x xBe Aex X λλ---+=)( x xe B eA x X λλλλ------=)(' 由边值得 ⎩⎨⎧=---=------00le B eA B A lλλλλλλ因0≠-λ故相当于 ⎩⎨⎧=-=----00ll Be AeB A λλ 视B A ,为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要)(x X 非零，必需不同为零，即此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有011=-----lle eλλ 但011≠-=--------lllle eeeλλλλ因,0,0>->λl x e 为单调增函数之故。
因此没有非零解)(x X 。
)2(当0=λ时，通解为ax X bax x X =+=)(')(由边值得 0)(')0('===a l X X 即b 可任意，故1)(≡x X 为一非零解。
)3(当0>λ时，通解为xB x A x X x B x A x X λλλλλλcos sin )('sin cos )(+-=+=由边值得 ⎩⎨⎧=+-===0cos sin )('0)0('l B l A l X B X λλλλλ因,0≠λ故相当于⎩⎨⎧==0sin 0l A B λ要)(x X 非零，必需,0≠A 因此必需,0sin =l λ即)(整数n n l πλ=)(整数n ln πλ=这时对应 )1(cos)(==A x ln x X 取π因n 取正整数与负整数对应)(x X 一样，故可取,2,1cos )(,2,1)(2=====n x ln x X n l n l n n ππλπλ 对应于,1)(,00==x X λ解T 得00)(C t T =对应于,)(2l n πλ=,cos )(x ln x X n π=解T 得t l an n n e C t T 2)()(π-=由迭加性质，解为∑∞=-+=1)(0cos),(2n t lan n x ln eC C t x u ππ ∑∞=-⋅=)(cos2n t lan nx ln eC ππ 由始值得 ∑∞==cos)(n n x ln C x f π 因此 ⎰=ldx x f l C 00)(1 ⎰=ln xdx ln x f l C 0cos)(2π,2,1=n 所以 ⎰∑⎰∞=-⋅+=ln lt lan x ln ed l n f l dx x f l t x u 010)(coscos )(2)(1),(2πξξπξπ 当const u x f ==0)(时，0cos2,1000000====⎰⎰xdx ln u l C u dx u l C ln l π,2,1=n 所以 0),(u t u u =4．在,0>t l x <<0区域中求解如下的定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--∂∂=∂∂)()0,(),(),0()(002222x f x u u t l u t u u u x utu βα其中0,,u βα均为常数，)(x f 均为已知函数。