傅里叶变换与傅里叶级数
2_傅里叶级数与傅里叶变换
• 傅里叶的主要贡献
– 任何周期信号可以用成谐波关系的正弦函数级数表 示。
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大连理工大学
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• 傅里叶理论的发展历程
• 傅里叶之前周期性现象的研究
– 古代巴比伦（Babylonians）时代，利用这一理论来 研究天体运动。 – —1748年，欧拉（Euler）用于研究弦的振动，其 结论为： – 如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式 的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也 都是这些振荡模式的线性组合。
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• 傅里叶理论的意义
– 在数学、科学、工程上产生巨大影响，是电子信息 与通信技术的基石之一。 • 有了傅里叶理论，才有： – 信号的频域分析处理； – 通信的频率划分与复用； – 其他科学与工程问题的分析与解决。 – 近年来，傅里叶理论有新发展： • 本部分介绍4种：FS，DFS，FT，DTFT • 近年来：STFT与WT （第V部分介绍），FRFT
大连理工大学硕士研究生校管课程 信号分析与数据处理
第2章
傅里叶级数与傅里叶变换
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2012年9月
2012/10/21 大连理工大学 1
内容概要
• §2.1 • §2.2 • §2.3 • §2.4 • §2.5 概述 周期性连续时间信号的傅里叶级数 周期性离散时间信号的傅里叶级数 连续时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换
a0 1/ 2
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周期性连续时间信号的频谱
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• 3.狄利赫莱条件（收敛问题）
傅里叶变换级数公式
傅里叶变换级数公式傅里叶变换级数公式或傅里叶展开式是一种将周期函数表示为三角函数级数的方法。
这种方法在许多领域中都有广泛的应用，包括信号处理、物理、工程等。
本文将详细介绍傅里叶变换级数公式及其相关概念。
1. 周期函数周期函数是一种满足 $f(x+T) = f(x)$ 的函数，其中$T$ 是其周期，也就是说，函数在每个周期内重复。
周期函数的图像通常表现为重复的波形。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是一种用三角函数级数表示周期函数的方法。
这种方法中，周期函数可以表示为以下级数的形式：$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]$$其中，$a_0, a_n,$ 和 $b_n$ 都是常数，且适用于所有 $x$. 这个公式中的第一项称为直流成分，其余部分称为交流成分。
根据傅里叶级数公式，$a_0$ 的值等于周期函数在一个周期内的平均值，$a_n$ 和 $b_n$ 的值可以通过以下公式计算：$$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cos(nx) dx$$$$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\sin(nx) dx$$3. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期函数分解成正弦和余弦函数的方法。
它是将傅里叶级数推广到非周期函数中的一种方式。
傅里叶变换通常用于分析和处理信号和图像数据。
傅里叶变换是通过对非周期函数 $f(x)$ 进行积分来计算的：$$F(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} dx$$其中，$F(\omega)$ 是傅里叶变换的结果，$e^{-i\omega x}$ 是欧拉公式 $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ 的复指数形式，其中 $i=\sqrt{-1}$.类似于傅里叶级数，傅里叶变换可以表示为一个逆变换的形式：$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega x} d\omega$$通过傅里叶变换和反变换，我们可以在频域和时域之间相互转换。
信号与系统三角函数的傅里叶变换
信号与系统三角函数的傅里叶变换傅里叶变换是信号与系统领域中的重要概念，它可以将一个时域信号转换为频域信号，通过分解信号的频谱特性来研究信号的性质和行为。
在傅里叶变换的过程中，三角函数扮演着重要的角色。
本文将以中括号为主题，详细介绍信号与系统中的三角函数及与傅里叶变换的关系。
一、中括号的基本概念中括号是数学符号中的一种，一般用于表示区间、集合、矩阵等概念。
在信号与系统的描述中，中括号常常用来表示时域信号或频域信号的时间或频率范围。
比如，我们可以将一个周期为T的周期性信号表示为[f(t)]，其中t表示信号的时间，方括号表示时间的范围。
二、三角函数的基本特性三角函数是研究周期性现象的重要数学工具，它们具有周期性、正交性、相位差的特性。
在信号与系统中，三角函数常用来表示周期信号或者通过信号的频谱分析。
1. 正弦函数正弦函数是最简单的三角函数，表示为f(t) = A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为相位差。
正弦函数的频谱是由单一频率的正弦波组成的，它的傅里叶变换是一个包含单一频率的冲激函数。
2. 余弦函数余弦函数也是常见的三角函数之一，表示为f(t) = A*cos(ωt+φ)。
余弦函数的频谱也是由单一频率的余弦波组成的，它的傅里叶变换也是一个包含单一频率的冲激函数。
正弦函数和余弦函数的频谱是相同的，只是相位不同。
3. 周期信号的表示对于周期信号而言，常常可以使用正弦函数的线性组合来表示。
这是因为正弦函数具有正交性的特性，即不同频率的正弦函数之间相互正交。
通过这种特性，我们可以将一个周期信号表示为多个正弦函数的叠加。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的数学工具。
在傅里叶变换的推导中，通过将周期信号表示为正弦函数的线性组合，然后进行积分操作，将信号从时域转换为频域。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是将周期信号表示为正弦函数的线性组合。
对于一个周期为T的周期性信号f(t)，可以表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是恒定分量，an和bn是对应于不同频率的正弦函数的系数。
信号与系统公式大全
信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。
在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。
如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将一个函数转换为频谱表示的数学工具。
它可以帮助我们分析信号的频率成分，并在许多领域中有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、通信等。
傅里叶变换的一般形式为：
F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt
其中，F(ω)表示频谱，即将函数f(t)表示为频率ω的复数系数。
傅里叶反变换则是将频谱表示转换回原始函数的过程。
其公式为：
f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(iωt)dω
这个公式表示，我们可以通过频谱F(ω)中的复数系数和频率ω，逆变换得到原始函数f(t)。
傅里叶级数也是傅里叶变换的一个特例，用于周期函数的频谱表示。
傅里叶级数的公式为：
f(t) = A0 + Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]
其中，An和Bn是函数f(t)的傅里叶系数，ω是基频率，A0是直流分量。
这些是傅里叶变换和傅里叶级数的基本公式，用于将函数表示为频
谱。
根据具体的问题和应用场景，还可以有其他的变体和扩展形式。
离散傅里叶级数和离散傅里叶变换
离散傅里叶级数和离散傅里叶变换离散傅里叶级数和离散傅里叶变换是数字信号处理中常用的数学工具。
它们可以将一个离散的信号分解成一系列的正弦和余弦函数，从而方便地进行频域分析和滤波处理。
离散傅里叶级数是将一个周期为N的离散信号表示为一系列复数的和。
它的公式为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)]其中，X(k)表示信号的频域表示，x(n)表示信号的时域表示，k表示频域的索引，n表示时域的索引，N表示信号的长度。
离散傅里叶级数可以将一个离散信号分解成一系列的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数的频率为k / N，幅度为X(k)。
通过分析这些正弦和余弦函数的频率和幅度，我们可以了解信号的频域特性，例如信号的主要频率成分和能量分布情况。
离散傅里叶变换是将一个长度为N的离散信号转换为一个长度为N 的复数序列。
它的公式为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)]离散傅里叶变换可以将一个离散信号从时域转换到频域，得到信号的频域表示。
通过分析信号的频域表示，我们可以了解信号的频率特性，例如信号的主要频率成分和能量分布情况。
离散傅里叶变换和离散傅里叶级数在数字信号处理中有广泛的应用。
它们可以用于信号的频域滤波，例如去除信号中的噪声或者突发干扰。
通过将信号转换到频域，我们可以选择性地滤除不需要的频率成分，从而提取出我们感兴趣的信号。
此外，离散傅里叶变换和离散傅里叶级数还可以用于信号的压缩和编码。
通过分析信号的频域表示，我们可以找到信号中能量较低的频率成分，并将其舍弃，从而实现信号的压缩。
在通信系统中，离散傅里叶变换和离散傅里叶级数也被广泛应用于调制和解调过程中。
总之，离散傅里叶级数和离散傅里叶变换是数字信号处理中重要的数学工具。
它们可以将一个离散信号分解成一系列的正弦和余弦函数，从而方便地进行频域分析和滤波处理。
通过分析信号的频域表示，我们可以了解信号的频率特性，从而实现信号的处理和编码。
已知傅里叶级数求傅里叶变换
已知傅里叶级数求傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理和数学中非常重要的概念，它们在科学、工程、物理学和数学各个领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数用于描述周期性信号的频域特性，而傅里叶变换则适用于非周期性信号，将信号从时域转换到频域。
通过对这两个概念的深入了解，我们可以更好地理解信号的频谱特性和信号处理的方法。
接下来，让我们来深入探讨已知傅里叶级数如何求傅里叶变换。
一、傅里叶级数的基本概念在深入研究傅里叶变换之前，我们需要首先了解傅里叶级数的基本概念。
傅里叶级数可以表示任意周期信号为一系列正弦和余弦函数之和的形式，它的数学表达式为：\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos{(\frac{2\pi nt}{T})} + b_n \sin{(\frac{2\pi nt}{T})}) \]其中，\[ f(t) \] 代表信号的时域表示，\[ T \] 代表信号的周期，\[ a_0, a_n, b_n \] 为傅里叶系数。
二、傅里叶级数到傅里叶变换当我们已知一个信号的傅里叶级数，想要求出其傅里叶变换时，我们可以通过一定的方法将傅里叶级数转换为傅里叶变换。
这里需要引入复数形式的傅里叶级数，即欧拉公式：\[ e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x} \]通过欧拉公式，我们可以将之前的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
这为我们求解傅里叶变换提供了便利。
傅里叶变换的数学定义是：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt \]其中，\[ f(t) \] 为时域信号，\[ F(\omega) \] 为频域信号，表示信号在频域上的频谱特性。
三、从傅里叶级数推导傅里叶变换对于已知傅里叶级数的情况，我们可以通过一些步骤将其转换为傅里叶变换。
根据欧拉公式将傅里叶级数中的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
常见的傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐一介绍一下这些变换对。
一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。
傅里叶级数是将周期信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在频域中的谱线。
当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。
因此，离散傅里叶变换与傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。
二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种高效的计算方法。
它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。
三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号的方法。
与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变换可以对非周期信号进行变换。
CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。
这两种变换方法都是将信号从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周期信号的处理。
四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。
与傅里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号在时间域上不同尺度的局部信息。
小波变换是一种时频分析方法，可以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高分辨率。
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重温傅里叶—笔记篇本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数＄关于三角函数系得正交性:三角函数系包括:1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。
(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。
不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。
同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。
＄上公式！①当周期为2π时:式(１):上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:１。
在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即ｆ(x)左右极限得算术平均。
下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。
第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。
②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):式(2):第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。
$ 傅里叶级数得复数表达方式同样设周期为2L。
根据欧拉公式,正余弦函数都可以用复指数表示出来。
这样上面式(２)中得第一行:可以表示为:令:ｃn与c—n互为共轭。
这样式(4)变为:由式(5)与式(２)中对a0 b０ａn ｂn c0c n c-n得定义,可以发现c n可统一表达为:将傅里叶级数用复数表示后,就就是式(６)与式(7)这样简洁得形式、简单分析:②若ｆ(x)为偶(或奇)函数,则所有得bｎ(或ａn)将为0,此时得c n将变为实数(或纯虚数),且a n(或b n)就是转换后所得得c n得2(或2ｉ)倍,而c－n与c n相等(或纯虚共轭)。
二、复变函数中得傅里叶变换＄先上公式:定理:若f(ｔ)在(-∞,＋∞)上绝对可积,即f(t)得绝对值在(-∞,+∞)上收敛,则F(ω)在(-∞,+∞)上存在且连续(F(ω)得连续性在复变函数得教科书中一般都有证明)、F(ω)就是实变复值函数,即变量ω就是在实数区间(－∞,+∞)定义,而函数值Ｆ(ω)却在复数空间。
式(9)得条件就是:ｆ(t)在(-∞,+∞)上绝对可积,并在任一有限区间满足狄立克雷充分条件。
＄若f(t)为偶函数,则Ｆ(ω)将为纯实数,且同为偶函数;若f(t)为奇函数,则F(ω)将为纯虚数,且同为奇函数;而对任意f(t),F(ω) 与F(－ω)始终共轭,这意味着｜F(ω)|与｜F(-ω)｜恒相等,即F(ω)得绝对值就是偶函数。
$ 由于要求ｆ(t)绝对可积,所以对于周期函数一般就是不能用傅里叶变换得,只能用傅里叶级数分析。
(周期函数往往不能收敛)。
三、总结性说明周期函数可以瞧成由很多频率就是原函数频率整数倍得正余弦波叠加而成,每个频率得波都有各自得振幅与相位,必须将所有频率得振幅与相位同时记录才能准确表达原函数、但从上面得公式来瞧,我们好像从没涉及到相位？其实不然,从式(2)来瞧,我们将每个频率得波分成了一个正弦分量与一个余弦分量,同时记录了这两个分量得振幅aｎ、bｎ其实就已经包含了这个频率得波得相位信息;而对于式(6ａ),每个频率得波被分成了正负两个频率得复数“波”,这种方式其实比正余弦形式更加直观,因为复振幅c n恰好同时记录了这个频率得振幅与相位,它得物理意义很明显:c n得幅值|ｃn｜即为该频率得振幅(准确得说就是振幅得一半),而其辐角恰好就就是相位(准确得说就是反相得相位,c－ｎ得辐角才恰好代表该频率波分量得相位)。
傅里叶变换针对得就是非周期函数,或者说,周期为无穷得函数、它就是傅里叶级数得一个特例(好吧,我曾经一直以为傅里叶级数就是傅里叶变换得一个特例,正好相反,刚前几天才想通透)、当傅里叶级数得周期L趋于无穷时,自然就变成了上面得傅里叶变换。
这种关系从二者得表达式中大概能瞧出点端倪,但就是也不就是特别明显,毕竟它们得表达形式差别还挺大。
如果不把傅里叶级数表达成复数形式,那就更加难瞧出二者之间得联系了,这也就是为什么本文中详细列出了复数形式得傅里叶级数。
傅里叶变换要求ｆ(t)在(—∞,+∞)上绝对可积,其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内得积分必须收敛”。
在深入篇中,我再好好说说二者就是如何联系得。
重温傅里叶－-深入篇1-—傅里叶级数与傅里叶变换得关系以及频谱图得介绍在读本文前,请先大致浏览一下笔记篇里得东西,下面使用得符号及其意义都跟笔记篇里就是一致得、笔记篇里记录得大都就是基础得公式,教科书上都可以找到。
(抱歉,刚发现有点小错误:在式(6-4)与式(１1)里,积分项中得“dx”都应改为“dω”,由于改图不太好改,就只在这里说明了。
请读者瞧得时候注意)为了下面叙述方便,我先做几点约定与说明:本文中提到得傅里叶级数都就是复数形式得级数,下标n都就是负无穷到正无穷;对于笔记篇里经常出现得“ nπ／L”,它可以瞧成一个角频率,用ω表示、(角频率与频率(通常用f表示)之间得关系就是:ω=2πf)、(参见笔记篇中得式(3)、(4)、(6)等);进一步,我将“π/Ｌ"称为“角基频”, 这样得话“ nπ/L ”就就是n倍角基频。
当周期为2π时,角基频恰好为1;一定别搞混:c n代表得不就是角频率为ｎ得波分量得振幅,而就是角频率为n倍角基频得波分量得振幅;对于周期函数,除了角频率为整数倍(包括负整数倍)角基频得波分量振幅可以不为０外,角频率为其她值得波分量振幅都就是0。
(下面介绍频谱图时会再提到此事);*对于周期L等于无穷大得函数(非周期函数),其角基频为π/Ｌ=0 ,这样实数范围内得所有角频率都可以瞧成整数倍角基频了,因此非周期函数在所有得角频率处都有波分量！(就就是说,频谱图由离散变得连续了)。
什么,那不乱套了？如果所有得角频率都有波分量而且每个波分量都有一个不为0得振幅,那级数怎么可能收敛？还好,每个ｃｎ得表达式中都有一个１/2L得系数,这样周期无穷大时,所有得振幅ｃｎ也都变成“０”了,所以不会乱套,但就是这么多0加一块应该还就是0,怎么能凑出原来得f(ｘ)呢？这就像对一个函数积分一样,函数在任意一个点处得积分都就是0(好吧我知道这说法不科学,但就是方便理解),但对一个区间积分,这么多0加起来就成了一个有限值。
好了,不乱说了,越说越乱,本文就从这里开始,瞧完下面得几段大家就能清楚得知道就是怎么一回事了、为了方便大家翻阅,我先将一会儿涉及到得几个公式重新贴一遍在这里。
这些公式及公式得标号都与笔记篇中相同。
周期级数公式如式(6)与式(7)那样,我们现在要做得就是,搞明白为什么周期L趋于无穷时,就会有式(9)与式(8)得结果。
好,现在我们对式(6)与式(7)进行第一步加工:将式中得“ nπ/L "用角频率ωn来表示,代表n倍角基频。
这样,会产生下面得新式子:对比式(7—1)与式(８),发现她们右边得积分式主体部分形式几乎就是一样得,只就是上下限与系数不同。
好吧,为了更直观得对比,我再创造一个符号,Fｎ,将它定义如下:F n ＝cｎ× 2Ｌ这样我们就可以彻底抛弃ｃn 这个碍眼得符号了,全部用F n代替。
然后重写式(6)与式(7):再拿式(7-2)与式(８)对比,会发现很让人兴奋得结果,她们得形式几乎一样！但就是式(6—2)与式(９)貌似差别还不小,她们得系数一个就是(１/2Ｌ),一个(1/2π)。
好吧,接着来,我们再创造一个符号,Δω,定义如下:Δω = (π/ Ｌ) (其实就就是角基频得大小)利用它来再次加工式(6):(式(7－2)不变,但还就是一块列了出来)重新对比式(６—3)与式(9),发现形式已经很相近了,只不过一个就是积分一个就是与式……等一下！与式？再仔细瞧瞧瞧式(6—3),发现这时它很像一个函数积分得与式展开式！那我们现在来构造两个函数吧:Ｆ*(ω)与ω*(ω),构造方法如下:F＊(ω) =Fｎ当 [ ( n -1/2 )Δω] 〈ω 〈[( n + 1/2 )Δω]时;ω＊(ω) =ωn 当 [ ( n—1/2 )Δω]< ω 〈［(n＋１/２)Δω］时;这就是两个分段跳跃函数,它们都以ω为自变量,并每隔Δω,函数值变化一次。
好吧,数字太不直观,我把F＊(ω)得函数图象大致画出来方便大家理解:上面这个阶梯状得东西就就是F*(ω)得函数图象、ω＊(ω)得图像也就是类似得阶梯状,而且它得更简单,就是一个从负无穷到正无穷逐步升高得形状(每次升高一个角基频得大小)、这里有必要说明一下,以免误导大家:F n一般都就是复数,只有在f(x)本身就是偶函数时才就是实数,因此函数F*得值也应为复数。
也就就是说,将F＊得函数图象画成图1那样得实数形式其实就是不合理得。
我这样做只就是为了方便大家理解(6—3)中得与式就是如何变成积分式得。
好了,有了这两个函数,我们再来仔细瞧瞧式(6-3),不难瞧出,这个与式其实就就是函数F*在(—∞,+∞)上得积分(面积)!这次我们再进一步,将上面两个式子中得F n与ωn也都换掉,使其变成ω*与F*这两个函数之间得关系式(离成功不远了):这就就是转换后得结果、笔记篇中得式(6b)与式(7),跟现在推出得式(6-4)与式(７—４),就是完全等价得,因为后面得两个就就是根据前两个换算来得,只不过借助了F＊(ω)与ω*(ω)这两个新构造得函数而已、表达得意义一样,适用范围也一样(都适用于周期函数),但形式却大变！这时再回头瞧瞧式(9)与式(8),我们终于可以松口气了,形式完全一样!好了,现在我们再瞧瞧瞧周期L趋于无穷时会发生什么。
如果直接分析笔记篇中得式(6ｂ)与式(7),我们会很失望,因为L趋于无穷时,它们都“退化”了,很难直接地从这两个式子中得到有用得信息(如果用这两个式子,我们所能得到得“直观"结果就就是:c n全变0了,所以f(x)就是0。