勾股定理中的数学思想
培优专题12 闪耀在勾股定理中的数学思想方法
AC2＝32＋42＝25，所以 AC ＝5dm，所以这圈金属丝的最小长度为2 AC ＝10dm.
类型四：面积法
6. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝13， BC ＝10，点 D 为 BC 的中点， DE ⊥ AB ，
垂足为点 E ，则 DE 等于（
A.
B.
D ）
C.
∠ ACB ＝90°，∠ ACD ＝90°，所以 AB2－ BC2＝ AC2， AD2－ CD2＝ AC2，所以
AB2
－ BC2＝ AD2－ CD2，即172－（9＋ x ）2＝102－ x2，解得 x ＝6，所以 CD ＝6，所
以
AC2＝ AD2－ CD2＝64，所以 AC ＝8.
4. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ，且 AC ＋ AD ＝32， BD ＝5， CD ＝
16，
求 AB 的长.
◉答案
解：设 AD ＝ x ，则 AC ＝32－ x .在△ ACD 中，因为∠ ADC ＝90°，所以
AD2＋ CD2＝ AC2，即 x2＋162＝（32－ x ）2，解得 x ＝12，所以 AD ＝12.在△
ABD
中，因为∠ ADB ＝90°，所以 AD2＋ BD2＝ AB2.所以 AB2＝122＋52＝169，所以 AB
＝13.
类型三：转化思想
5. [空间观念]如图，已知圆柱底面周长为8dm，高为3dm，在圆柱的侧面上，点 A
和点 C 相对，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，求这圈金属丝的最小长度.
◉答案
解：如图，把圆柱的侧面展开，则这圈金属丝的最小长度为2 AC 的长度.因
为圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，所以 AB ＝3dm， BC ＝BC'＝4dm，所
勾股定理的方程思想总结
勾股定理的方程思想总结勾股定理是数学中的一条重要定理，由中国古代数学家所发现和证明。
它为解决直角三角形中的问题提供了重要的数学工具，也是数学推理中的一种经典的思想方法。
在这1000字的总结中，我将详细介绍勾股定理的方程思想，包括其背景、推导过程和应用领域。
首先，我们来介绍一下勾股定理的背景。
在古代，古希腊的毕达哥拉斯学派和古中国的《周髀算经》中都有类似的关于直角三角形的边长的关系。
然而，勾股定理最早的证明是由中国古代的《周髀算经》所给出的，可以追溯到约公元前500年左右。
根据《周髀算经》中的记载，古代算术家商高在解题时发现了直角三角形中三边的关系，并用文字形式进行了描述。
这一发现被后来的数学家所发扬光大，成为了后来的勾股定理。
接下来，我们探讨一下勾股定理的推导过程。
勾股定理的推导思想可以用几何和代数方法进行证明。
首先，我们以直角三角形的三个边为对象进行分析。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
为了证明这个定理，我们可以使用几何方法进行推导。
具体步骤如下：1. 通过画图，我们可以得到一个直角三角形，其中直角边a和b构成直角，斜边c位于直角边的对面。
2. 将直角边a和b延长，分别延长到直角边b的竖直延长线和直角边a的水平延长线上。
3. 直角边a和b所延长后的部分构成一个正方形和一个长方形。
4. 根据几何性质，我们可以得到正方形的边长为a+b，长方形的边长为a和b。
5. 正方形的面积可以表示为边长的平方，即(a+b)²。
长方形的面积可以表示为a*b。
6. 根据几何性质，正方形的面积可以等于两个长方形面积之和。
7. 将上述两个公式相等，我们可以得到(a+b)² = a² + b²。
8. 展开上述式子后，我们可以得到一个等式 a² + 2ab + b² = a² + b²。
应用勾股定理,渗透数学思想
应用勾股定理，渗透数学思想勾股定理是一个重要的定理，在解题中有着广泛的应用.在应用勾股定理解题的过程当中，若能根据不同的题型，恰当地把数学思想渗透到运算中，则可取得化难为易，化繁为简的效果.一、方程思想例1 如图1,OA ⊥OB,OA=45cm,OB=15cm,一机器人在点B 处发现有一个小球自A 点出发沿着AO 方向匀速直线运动,机器人自BC 方向以与小球同样的速度前进拦截小球,在点C 处截住了小球,求机器人行走的路程BC.分析:要求BC 的长,因为△OBC 是直角三角形,所以需要借助勾股定理解决.而借助够勾股定理时,需要知道OC 的长,OC 的长等于OA-AC,由于机器人和小球的运动速度相同,运动的时间也相同,所以二者的路程也相同,即BC=AC.可设BC=x,借助勾股定理构造方程解决.解:设BC=AC=x,则OC=OA-AC=45-x,在Rt △OBC 中,152+(45-x)2=x 2,解得x=25,所以BC=25cm. 图1所以机器人行走的路程BC 为25cm.评注:利用勾股定理解决实际问题,其基本思想是从实际问题中建立直角三角形,找到三角形边与边的数量关系,通过设未知数,借助勾股定理构造方程,通过解方程解决问题.二、分类思想例2小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．分析：本题没有明确说明三角形是锐角三角形，还是钝角三角形，根据已知条件可以判断该三角形不可能是直角三角形，所以需要分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论解决。
解：如图2,当△ABC 是锐角三角形时,在Rt △ACD 中,AC=50cm,AD=30cm,根据勾股定理可得CD=40cm,在Rt △ABD 中,AB=40cm,AD=30cm,根据勾股定理可能,BD=107cm,所以这块地的面积为21(BD+CD )·AD=30)71040(21⨯+=(600+157)cm 2; 如图3，当△ABC 为钝角三角形,可求得(600-157)cm 2.图2 图3评注：在已知条件下可能存在不止一种结论时,需要分类讨论,这样可避免出现漏解情况的发生.三、转化思想例3 如图4，正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从M 点沿正方体的表面爬到D 1点，蚂蚁爬行的最短距离是多少?分析：由于蚂蚁是沿正方体的表面爬行的,解决问题时可将正方体的表面展开,将立体图形问题转化为平面图形问题解决.解:将正方体展开成平面图形,因为两点之间线段最短,所以爬行的路程应是线段MD 1的长度.根据M 点的位置,展开后有下列两种情况:（1）如图5,由勾股定理，得MD 1=174122=+；（2）如图6,由勾股定理,得MD 1=132322=+.比较（1）、（2）中的结果知，蚂蚁爬行的最短距离为13 .友情提示:利用转化思想,将空间图形转化为平面图形,是解决问题的一种重要的思想方法.应注意这种思想方法的灵活使用.图4 图5 图6。
从勾股定理说数学思想方法[1]
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探索勾股定理及其逆
定理，并能运用它们 解决一些简单的实际 问题。
3
课程标准பைடு நூலகம்计思路
在数学课程中，应当注重发展学生的 数感、符号意识、空间观念、几何直 观、数据分析观念、运算能力、推理 能力和模型思想。为了适应时代发展 对人才培养的需要，数学课程还要特 别注重发展学生的应用意识和创新意 识。
4
几何直观主要是指利用图形描 述和分析问题。借助几何直观 可以把复杂的数学问题变得简 明、形象，有助于探索解决问 题的思路，预测结果。几何直 观可以帮助学生直观地理解数 学，在整个数学学习过程中都 发挥着重要作用。
14
多种数学思想的集中
最典型的数形结合思想 由特殊到一般的思想 方程思想 转化思想 （由难到易、由数到形、由实 际问题转化为数学问题等）
15
情感的升华
16
5
⑴用8个同样大小的直角三角形，设直角三角形的直角边分别
为a和b,斜边为c ⑵在白纸上画出两个边长均为（a+b）的正方形
⑶将已经剪出的4个直角三角形，摆放在第一个正方形内；
⑷将另外的4个直角三角形，摆放在第二个正方形内。
3个白色正方形的面积有什么关系？你有什么发现？与同学交流。 6
应用意识有两个方面的含义，一方面有 意识利用数学的概念、原理和方法解释现 实世界中的现象，解决现实世界中的问题； 另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量 与数量和图形有关的问题，这些问题可以 抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。 在整个数学教育的过程中都应该培养学生 的应用意识，综合实践活动是培养应用意 识很好的载体。
从勾股定理想到的
贾镇中学 韩新芳
1
陈省身：几何学的最重要定理
从勾股定理说数学思想方法
弦
方
1
25
4 秦九韶公式
秦九韶公式：勾股术的精彩应用
s2 ( ah)2 1 a2 (c2 gu2 ) 24
1 [a2c2
a2 (
c2
b2
)2 ]
4
2
ch b 股 a弦
26
秦九韶公式c2 gu2 ) 24
1
[a2c2
问题1.几何角度:如何以面积方式推广勾 股定理？
问题2.代数角度: (a)三角形两边之和大于第三边（ab+c）. (b)直角三角形a2+b2=c2. 怎样统一上面两个命题?
32
勾股定理推广：几何方式
思路:1+2=3. 定义 ABC的补ADE.
12
D
3
E A
B
C
33
补三角形外积圆直径
38
7 蝴蝶定理的傻瓜证法
蝴蝶定理 圆内三条弦AB、CD、EF交于 O，若O平分AB，则O也平分GH（如图）.
F
D
1
2
AH 3
O
G 4
B
C
E
39
蝴蝶定理
蝴蝶定理:一个近代初等几何定理 大约1815年发现, 1944年Month.AMS给了这个美丽字 1987美国Math.Magazine给了15个证明 张景中的面积法:真正的傻瓜证法
已知ABC 补ADE
E
D A
B
C
34
定理*三角形两短边(交点A)上正方形面积 的和等于补三角形过A的外接圆直径与最 长边所组成的平行四边形的面积. 注 直角三角形的补三角形就是它本身.
35
勾股定理推广二：代数方式
浅谈勾股定理教学中数学思想的体现
５ ２
投 由暂ｓｋ ｖ ３ｏ …………………… 数学藏学通讯（ 稿 ６ ：ｊ ｉ ６．ｒ ｊ ｘ ＠ ｐ ｃｎ １ 教师版 ）…………一 …… … 一 ……－ 题 究＞ 题 究 一 研 试 探 试
立 体 图形 转 换 成 平 面 图形 （ 图４ ， 如 ） 在 Ｒ ＡＡ Ｂ中， Ｃ ２ ｍ，Ｃ １ ｍ， 勾 ｔ Ｃ Ａ ＝０ ｄ Ｂ ＝５ ｄ 由
试 研 试题 究 ………… ………… …… 数学教举通讯（ 题 究， 探 － 教黼
）
投 邮 ｓｋ ｖ。３ｏ 稿 箱：ｊ ｉ ． ｒ ｘ ＠ ｐ ６ｃｎ １
浅
邓 可伟
江苏 江宁桃红 中学
一 个 最 基 数 学 思 想 理 解 和 记 体 现 豫 的 数
２ １５ １１１
最 能 更
直 观 的 图 形 有 机 结 合 来 思 考 ． 抽 象 思 是 维 与 形 象 思 维 的结 合 ．通 过 “ 以形 助 数 ” 或 “ 数解 形” 可使复 杂 问题简 单化 ， 以 ，
倒 ５ 折叠长方 形的一边Ａ Ｄ．点Ｄ
‘ ， ．
３ｄ ｍ
。
２ｄ ｍ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｄ
Ｂ ห้องสมุดไป่ตู้
图１
图２
评 析 ： Ｂ ￣ 斜 三 角形 。 用 化 归 ＡＡ Ｃ ］ 利
思 想 可 化 斜 三 角 形 为 直 角三 角 形 ． 转化
评 析 ： 这是 一 个 生 活 实 际 问 题 ， 我
们 可 以将 它转 化 为 一 个 数 学 问题．先 在 底 面Ａ Ｄ的Ｒ ＡＡ Ｄ中利 用 勾 股 定 理 Ｃ ｔ Ｂ
的知识将 飞机模型完 整地带 上了飞机 ．
倒 １ 已 知 ＡＡ Ｃ中 ， Ｂ＝ ０ Ｂ ６ 。，
八年级数学专题：勾股定理中的思想方法(导学案)
专题：勾股定理中的思想方法学习目标 : 理解、掌握勾股定理中的一些解题思想方法，并能较熟练运用这些思想方法解决简单的实际问题.一、复习回忆1．勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .2．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝，那么这个三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的；(3)比拟最大边的平方与另两边的平方和是否相等，假设相等，则说明这个三角形是三角形．3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个数，称为勾股数，即满足a2＋b2＝c2的三个数a、b、c，称为勾股数．[注意] 勾股数都是正整数．4．勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1) 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；(2)说明线段的平方关系问题；二、典例分析◆类型一数形结合思想例1. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，〔1〕求四边形ABCD的面积；〔2〕求∠ABC的度数．变式训练：如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C，D都在格点上．〔要求：写出必要的过程〕〔1〕求四边形ABCD的面积；〔2〕求∠ABC的度数．◆类型二分类讨论思想1、直角边和斜边不明时需分类讨论例2．在一个直角三角形中，假设其中两边长分别为5，3，则第三边长的平方为〔〕A．16 B．16或34 C．34 D．不存在变式训练：x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y的长为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔〕A．5 B．7 C．7或25 D．16或252、锐角和钝角不明时需分类讨论例3．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，求△ABC的面积。
变式训练：等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为 .◆类型三方程思想1、利用“连环勾〞列方程例4．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，假设AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为〔〕A．4 B．5 C．6 D．82、折叠问题中利用勾股定理列方程例5.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC 上与点B′重合，AE为折痕，求BE的长。
【初中数学】人教版八年级下册思维特训（八） 勾股定理中的数学思想(练习题)
人教版八年级下册思维特训（八）勾股定理中的数学思想(356)1.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树梢恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为3米．在点A处有一只蚂蚁想尽快爬到位于B，C两点之间的D处，且CD=0.1米，问它怎样走最近？为什么？2.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？3.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A 和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A.4√2dmB.2√2dmC.2√5dmD.4√5dm4.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望，一棵树高是15肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树间的距离是35肘尺，每棵树的树梢上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们以相同的速度立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？参考答案1.【答案】:解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，在Rt△BCH中，∠H=90∘.∵株距为3米，∴CH=3米．∵BC=5米，∴由勾股定理得BH2=52−32=16，∴BH=4米，∴AH=5米．在Rt△ACH中，∠H=90∘，∴AC2=52+32=34,∴AC=√34米，∴AC+CD=(√34+0.1)米,AB+BD=1+5−0.1=5.9(米)．∵AC+CD−(AB+BD)=√34−5.8>0,∴蚂蚁从A到B再到D走，即所走路程为AB+BD时最近2(1)【答案】解：海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形∴AC×BC=AB×CD，∴300×400=500×CD∴CD=300×400=240(km)．500∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响(2)【答案】如图,当EC=250km，FC=250km时，台风中心由E到F正好影响海港C．∵ED=√EC2−CD2=70km，∴EF=140km．∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7(h)．即台风影响该海港持续的时间为7h．3.【答案】:A【解析】:如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2√2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4√2dm．4.【答案】:解：如图所示，两棵棕榈树分别设为AB，CD，且AB=15肘尺，CD=20肘尺，BC所在直线设为地面，且BC的长即为两棵棕榈树间的距离，即BC=35肘尺，E点是鱼出现的位置，AE，DE是两只鸟飞行的路程，且AE=DE．设CE为x肘尺，则BE=BC−x=(35−x)肘尺．在Rt△ABE中，∠B=90∘，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2,即AE2=152+(35−x)2.在Rt△CDE中，∠C=90∘，由勾股定理，得DE2=CD2+CE2,即DE2=202+x2.因为AE=DE．所以152+(35−x)2=202+x2,解这个方程，得x=15.答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根15肘尺远。
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S4 S3
S2
S1
图1
L 3
2
1
勾股定理中的数学思想
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.同学们在学习时,不仅要灵活运用该定理及逆定理,而且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析,供同学们参考.
一、数形结合思想
例1.在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正
方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S
1
、S
2
、S
3
、S
4
,
则S
1
+S
2
+S
3
+S
4
=
.
分析:经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系
为: S
1
+S
2
=1;S
2
+S
3
=2; S
3
+S
4
=3;这样数形结合可把问题解决.
解: S
1
代表的面积为S
1
的正方形边长的平方, S
2
代表的面积为S
2
的正方形边
长的平方,所以S
1
+S
2
=斜放置的正方形面积为1;同理S
3
+S
4
=斜放置的正方形面积
为3,故S
1
+S
2
+S
3
+S
4
=1+3=4.
二、转化思想
例2. 如图2,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C,需要爬行的最短路径是多少?
分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行,如果将长方体的
侧面展开(如图2-1),根据“两点之间线段最短.”所以求得的路径
就是侧面展开图中线段AC之长,但展开方式有3种,这样通过侧面
展开图把立体图形转化为平面图形,构造成直角三角形,利用勾股
定理便可求解.
解:如图所示,把长方体展开后得到如图2-1、图2-2、图2-3三种情形,蚂蚁爬行的路径为展开图中的AC长,根据勾股定理可知:
在图2-1中,AC2=AB2
2BC
+=302
25+=925
图2-2中, AC2=AD2
2CD
+=202
215
+=625
图2-3中, AC 2= AD 22CD +=252210+=725
于是,根据上面三种展开情形中的AC 长比较,最短的路径是在图2-2中,故蚂蚁从A 点爬行到点C,最短距离为25cm.
三、 方程思想
例3. 如图3,铁路上A 、B 两点相距25km,C 、D 两点为村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km 。
现在要在铁路AB 上建一个农贸市场E ，使得
C 、
D 两村到农贸市场
E 的距离相等，则农贸市场E 应建在距A 站多少km 处？ 图3E D C
B
A
分析：这是一个实际生活中的问题，从图中可以看出，如果单独解直角三角形，这时条件不够，根据题意，不妨把两个直角三角形同时考虑进去，设未知数，如果设AE=x ，结合勾股定理，抓住等量关系“DE=CE ”列出方程就可以解决问题了。
解：设AE=x km ，由勾股定理得，15)25(102222x x -+=+
解此方程得 x=10
故农贸市场E 应建在铁路上离A 站10km 处。
四、 分类讨论思想
例4. 已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边长.
分析:已知直角三角形的两边的长度,并没有指明哪一条边是斜边,因此要分类讨论.
解:(1)当5和12均是直角边时,则由勾股定理可得斜边的长度为22125+=13;
(2)当5是直角边,12是斜边时,则由勾股定理可得另一直角边长为11951222=-. 综合(1)、（2）得第三边的长为13或119。
试一试(供同学们练习）
1.（2008年荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)， 在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB 距离为1㎝，到上盖 中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h ㎝，则h 的最小值大约 为_________㎝.（精确到个位）
2.2≈≈≈）
k J
H G F E D C B A
C
2. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 4/π,高为3,若一只小虫从A 点出发沿着圆柱的侧面 爬行到点C,则小虫爬行的最短路程是 . 答案:5
3. 如图,设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正 方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH,如此下去…
(1)记正方形ABCD 的边长为,11=a 依上述方法所作的正方形的边长依次为,...,,,432n a a a a 求出432a a a ，，的值.
(2)根据以上规律写出第n 个正方形的边长a n 的表达式
答案提示：
(1),)2(,)2(,)2(231201===a a a
a 4=(3)2; (2)a 1)2(-=n n (n ≧1的自然数)。